Bài giảng số 3: Đường thắng song song với mặt phẳng song song trong không gian

Biên soạn: ThS. a) Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS.  Dạng 2: Tìm giao [r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định lý 1: Nếu đường thẳng a không nằm mp P  song song với đường thẳng trong mp P  a song song với mp P 

Tức là, với a P a d  P a P

 Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P mặt phẳng  Q chứa a mà cắt  P cắt theo giao tuyến song song với a

Tức là,  

   

a P

a Q P d

  

  

 



a d

 

 Hệ 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng nào mặt phẳng

 Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng

Tức là:

       

P Q d

P a

Q a

  

   

 

a d

 

a

d

P

a

d Q

P

Q

(2)

 Định lý 3: Nếu a b hai đường thẳng chéo qua a có mặt phẳng song song với b

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng  d song song với mặt phẳng  P ta chứng minh  d không nằm

 P song song với đường thẳng  a chứa  P

Chú ý: Nếu  a khơng có sẵn ta chọn mặt phẳng  Q chứa  d nhận  a làm giao tuyến của  P  Q

Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng

a) Gọi O O tâm ABCD ABEF Chứng minh OO song song với mặt phẳng ADF BCE

b) M , N theo thứ tự trọng tâm ABD ABF Chứng minh MN song song với CDEF

Giải:

a) Trong BDF có OO đường trung bình nên

 

OODF ADF OOADF

Trong ACE có OO đường trung bình nên

 

OOCE BCE OOBCE

b) Gọi I trung điểm AB, ta có:

3 IM IN

ID  IE  MNDECDEFMNCDEF

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G 1 G theo thứ tự trọng 2

tâm ABD ACD Chứng minh G G song song với mặt 1 2

phẳng ABC BCD

Giải

E

M I

O' F

A

D

C

O B

N

I

D

B C

A

G G

2

N M

(3)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang E

C

B D

A

I

M K

J Q F

P

H

Cách 1: Gọi M , N , I , K theo thứ tự trung điểm AB, AC, CD, BD Trong ABD có:

3 AG

AK 

1

3 DG DM  Trong ACD có: 2

3 AG

AI 

2

3 DG

DN  Từ đó,ta có:

1 2

3 AG AG

AK  AI  G G1 2KIBCDG G1 2BCD

1 2

3

DG DG

DM  DN  G G1 2MN ABCG G1 2ABC

Cách 2: Gọi E trung điểm AD Trong ABD có:

3 BG

BE  Trong ACD có: 2

3 CG

CE  Từ ta có: 2

3 BG CG

BE  CE  G G1 2BC

Vì BC thuộc mặt phẳng ABC BCD nên G G1 2BCD

 

1

G G  ABC

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J hai điểm di động cạnh AD, BC cho

ln có IA JB ID  JC

a) Chứng minh IJ song song với mặt phẳng cố định

b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước (tức điểm M thỏa mãn IMk MJ.)

Giải:

a) Dựng JH AB, HAB

Ta có: HA JB IA

HC  JC  ID HI CD

Gọi   mặt phẳng chứa AB song song với CD, suy   mặt phẳng cố định HIJ   

b) Giả sử HIJ cắt BD K, dễ thấy HIKJ hình bình hành Qua M kẻ PQ song song với AB

D B

C A

E

G G

(4)

PHI và QJK Ta có: APBQ E EMAB F Ta có: ED PI MI k

EC  PH  MJ  E điểm chia CD theo tỉ số k

FA MP MI

k

FB  MQ  MJ  F điểm chia AB theo tỉ số k

Vậy tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k đoạn EF với E F điểm chia , CD AB theo tỉ số k

 Dạng 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng, thiết diện song song với đường thẳng cho trước

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình thang có đáy lớn BC2a, ADa, ABb Mặt bên SAD tam giác   mặt phẳng qua điểm M cạnh AB song song với SA BC,

  cắt CD, SC, SB N , P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang cân

b) Tính diện tích thiết diện theo a , b x AM0xb Tính giá trị lớn diện tích

Giải:

a) Ta có:

        SA SA SAB MQ SAB            MQ SA             BC PQ SBC MN ABCD             

MN PQ BC

  

Nhận xét: MQ BM BQ CN CP NP

SA  BA  BS CD CS  SD

SA SD

MQ NP



 

Vậy thiết diện MNPQ hình thang cân b) Giả sử AB cắt CD I , ta có:

2 AD BC



AD

 đường trung bình IBC

Do IA ABb

2 MN IM IA AM b x

BC IB IA AB b

 

  



 

a b x MN

b 

 

Trong SBC có: PQ SQ AM x BC  SB  AB b

2ax PQ

b

 

Trong SAB có: MQ BM b x

SA AB b



  MQ a b x

b 

 

Xét hình thang cân MNPQ , hạ đường cao QH , ta có:

(5)

2

QH  MQ MH  

2

a b x

MN PQ MQ b                2 MNPQ a

S MN PQ QH b x b x

b

    

Ta biến đổi:

2

2 2 2

2

3 4

3

4 3 3

MNPQ

a b b a b a

S x b b                 

Vậy  

2

max 3

MNPQ

a

S  , đạt

3 b

x  

3 b x  

Ví dụ 5: Cho hình chóp SABC Gọi K N trung điểm SA BC, M điểm nằm giữa S C

a) Chứng minh mặt phẳng qua K, song song với AB SC qua điểm N

b) Xác định thiết diện hình chóp SABC cắt mặt phẳng KMN Chứng tỏ KN

chia thiết diện thành hai phần có diện tích

Giải:

a) Gọi  P mặt phẳng qua K, song song với AB SC, ta có: + Mặt phẳng  Q chứa AB song song với SC

+ Mặt phẳng  R chứa SC song song với AB

Khi đó, ba mặt phẳng  P ,  Q ,  R song song với chắn hai cát tuyến BC SA đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, cụ thể:

BN CN BC

AK  SK  AS

BN AK CN SK

  

BN CN

  N trung điểm BC b) Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu M trung điểm SC thiết diện hình bình hành MNPK với P trung điểm AB Và hiển nhiên KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích

Trường hợp 2: Nếu M không trùng với trung điểm SC ta thực hiện:

+ Nối KM cắt AC D + Nối ND cắt AB P

Khi đó, tứ giác MNPK thiết diện cần dựng Gọi  O KNMP, nhận xét rằng: d M , P d S P , ,

 

 ,   , 

d P P d A P , d S P , d A P ,  Suy ra: d P P , d M , P OPOM

(6)

Do KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có M , N nằm cạnh SA, SC cho SA3SM ,

SC  SN Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng ABCD

Bài 2: Cho tam giác SAB hình bình hành ABCD khơng nằm mặt phẳng Gọi G trọng tâm tam giác SAB N điểm nằm AC cho AC3AN Chứng minh GN song song với mặt phẳng SCD

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M N P trung điểm cạnh , , , ,

AB CD SA Gọi G G trọng tâm tam giác 1, 2 ABC, SBC Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng MN song song với hai mặt phẳng SBC SAD

b) Đường thẳng SB SC song song với mặt phẳng , MNP

c) Đường thẳng G G song song với mặt phẳng 1 2 SAD

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có M nằm cạnh AB Gọi  P mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng AC BD

a) Tìm giao tuyến  P với mặt tứ diện

b) Thiết diện thu hình gì?

Bài 5: Cho tứ diện ABCD Lấy M điểm thuộc miền tam giác ABC Gọi  P mặt phẳng qua M song song với đường thẳng AB CD

a) Xác định thiết diện tạo mặt phẳng  P tứ diện

b) Thiết diện hình gì?

(7)

Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng

a) Gọi O O tâm ABCD ABEF Chứng minh OO song song với mặt phẳng ADF BCE

b) Gọi M N trọng tâm hai tam giác , ABD ABE Chứng minh MN song song với mặt phẳng CEF

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang AB CD AB , CD Gọi I J , trung điểm AD BC , G trọng tâm SAB

a) Tìm giao tuyến SAB IJG

b) Xác định thiết diện hình chóp với IJG Thiết diện hình ? Tìm điều kiện AB CD để , thiết diện hình bình hành

Bài 9: Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm ABD, điểm I nằm cạnh BC cho BI 2IC Chứng minh IG song song với mặt phẳng ACD

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC  P mặt phẳng qua AM song song với BD

a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  P

b) Gọi E F giao điểm ,  P với cạnh SB SD Hãy tìm tỉ số diện tích SME với SBC tỉ số diện tích SMF với SCD

c) Gọi K giao điểm ME CB, J giao điểm MF CD Hãy chứng minh ba điểm , ,

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	503,75 KB