Chuyên đề bất đẳng thức trong tam giác docx

Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 0 www.vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 1 Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán THPT, Bất Đẳng Thức là một phân môn khó nhưng lại thường bắt gặp trong những kì thi quan trọng như tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp, các kì thi Olympic trong và ngoài nước… Nhất là đối với phần Bất Đẳng Thức Trong Tam giác, nó là một dạng toán logic, người làm các bài toán này cần có những hiểu biết sâu về hình học, lượng giác và cả đại số.Chính vì thế, tác giả đã tập hợp, phân loại, biên soạn nên cuốn “Chuyên đề Bất Đẳng Thức Trong Tam Giác”. Cuốn sách trên tay các bạn là tâm huyết của chúng tôi cùng với sự giúpđở của các thầy cô, nó là một hệ thống kiến thức từ cơ bản đến chuyên sâu, tập hợp nhiều bài toán khác nhau thuộc nhiều chuyên đề. Quyển sách gồm 3 phần: I.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ II.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trong đó, mở đầu bẳng phần kiến thức cơ bản và nâng cao, sau đó là phần bài tập tham khảo, sau cùng là phần bài tập đề nghị có kèm hướng dẫn giải. Do là lần đầu tiên biên soạn chuyên đề, dù đã cố gắng hết sứi cố gắng cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các bạn thông cảm.Mọi góp ý xin gởi về địa chỉ ngohoangtoan1994@gmail.com. Cuối lời, tác giả chúc tất cả các bạn một mùa thi 2013 thành công và thắng lợi.Thân ái! Thành Phố Cần Thơ, ngày 25 tháng 09 năm 2012 Ngô Hoàng Toàn Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 3 MỤC LỤC Chương Trang I.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 4 II.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 30 III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 51 - Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 4 CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 1. Định lí hàm số Cosin. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cosB c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cosC 2. Định lí hàm số Sin R C c B b A a 2 sin sin sin  (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 3. Định lí trung tuyến. 2 2 2 222 BC AMACAB  4. Công thức về diện tích cba cba rcprbprapS cpbpappS cba pprS R abc S CabBacAbcS chbhahS )()()( ))()(( ) 2 ( 2 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 2 1 2 1        kính đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C ). ( với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; r a , r b , r c lần lượt là bán 5. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp www.vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 5 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin4 ))()(( 2 tan)( 2 tan)( 2 tan)( C BA c B AC b A CB a r CBA R p cpbpap p S r C cp B bp A apr      6. Công thức về bán kính đường tròn bàng tiếp 2 cos 2 cos 2 cos 2 tan. A CB a A pr a  2 cos 2 cos 2 cos 2 tan 2 cos 2 cos 2 cos 2 tan C BA c C pr A CA b B pr c b   7. Công thức tính độ dài đường phân giác trong )( 2 2 cos2 )( 2 2 cos2 )( 2 2 cos2 cpabp baba C ab l bpacp caca B ac l apbcp cbcb A bc l c b a                Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 6 BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Cho ABC  nhọn, M nằm trong ABC  , x, y, z là khoảng cách từ M đến ba cạnh BC, AC, AB . CMR: R cba zyx 2 222   Hướng dẫn giải Ta có          2 222 222 222 111 2 2 42 1 2 1 2 1 zyx yzxzxyzyxz b c y c b z a c x c a y a b x b a zyx czbyax cba abc czbyaxacbcab abc czbyax cba R cba R abc czbyax R abc czbyaxS                                         Vậy R cba zyx 2 222   Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh ABC  có chu vi là 2p. Chứng minh rằng: a)     8 abc cpbpap  b)             cbacpbpap 111 2 111 Hướng dẫn giải Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 7 a)Theo BĐT Cauchy          )3( 2 2 )2( 22 )1( 22 acpbp cpbp cbpap bpap bcpap cpap            Lấy (1)(2)(3) ta được     8 abc cpbpap  Dấu “=” xảy ra khi a=b=c b) Theo BĐT Cauchy        acpbp cpbp a cpbp cpbp cpbpcpbpa 411 4 11 211 2                                 Chứng minh tương tự capbp bcpap 411 411                         Vậy             cbacpbpap 111 2 111 Bài 3: Cho ABC  có S là diện tích và a,b,c là độ dài các cạnh. Chứng minh rằng   4442 16 1 cbaS  Hướng dẫn giải Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 8 Theo công thức Hê rông                               4442 444444444 222222444 22222244422 2 22222 222222 2 22 2 2 16 1 16 1 222 16 1 2224 16 1 4 16 1 22 16 1 16 1 cbaS cbacbacba cbcabacba cbcabacbacb acbcb acbbcbcacb cbaacbS        Dấu “=” xảy ra khi a=b=c Bài 4: Cho cba hhh ,, là độ dài ba đường cao của tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r Chứng minh rằng r h h h h h h a b b c c a 1 222  Hướng dẫn giải Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 9 Ta có     r h h h h h h rS cba cbacba S cbaa a c c c b b b a S Sa c Sc b Sb a h h h h h h rcbachbhahS a b b c c a a b b c c a cba 1 1 2 222 2 1 2 1 222 2 222 222 222 222                      Dấu “=” xảy ra khi ABC  đều Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là 51, 5 ,1  Hướng dẫn giải Cách 1 Giả sử tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là 15h ,5h ,1 cb  a h , các cạnh tương ứng là cba ,, Ta có : ca h S a h 2S c , h 2S b , 2 b  405625 )59(25 5925 5555420 4 15 5 5 1 51 1 5 1 1 1 111 222 22        cbacba hhhh S h S h S (Vô lí) Vậy không tồn tại một tam giác mà độ dài ba đường cao là 5,1 5 ,1  Cách 2 Tương tự trên ta có : )51.(5.1.2  cbaS Do đó [...]... BB2 CC 2 (b  c ) 2 (a  c) 2 (a  b) 2       12 A1 A2 B1 B2 C1C 2 a2 b2 c2 Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 23 Ngơ Hồng Tồn YD-K38 2012 Vậy Tmin=12 khi tam giác ABC đều Bài 19: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1 Đặt B1C1 = a1,... thấy: Nếu K nằm ngồi AC thì N nằm trong AB AB BN AN   MN MN MN AC AK CK   MK MK MK 2 4 h v n BN CK  MN MK AK BH Tam giác MAK và tam giác MBH đồng dạng   MK MH AN CH Tam giác MAN và tam giác MCH đồng dạng   MN HM BC AB AC BC CH BH BC Vậy:      2 MH MN MK MH MH MH MH BC AB AC Vậy   nhỏ nhất  MH lớn nhất  MH = R  M là điểm MH MN MK Tam giác MCK và tam giác MBN đồng dạng => o c chính... CHƯƠNG 2: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN  2 n a 1  a 2   a n  a 1   a n Dấu = xảy ra  a a1  0  i  j Bất đẳng thức Cauchy Cho hai số a,b  0 ta có ab  ab 2 4  a  b  a b v  Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a  b  a  b Dấu = xảy ra  ab  0 h 1  ih o c 2 Dấu = xảy ra  a = b a1  a 2   a n n  a1a 2 a n , ta có:  Cho n số n Dấu = xảy ra  a1 = a2 = = an 3 Bất đẳng thức Bunhiacopski... ta có: ( n BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ h v Bài 1: Gọi R, r lần lượt là bán kính vòng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC, d là khoảng cách giữa trọng tâm G và tâm O của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ấy Chứng minh rằng: d2 < R(R-2r) 2 4 Bài 2: Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có các đường phân giác trong AA’, BB’, CC’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại A1, B1, C1 Chứng minh rằng: (Đề thi Olympic 30-4,... ABC đều Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 12 Ngơ Hồng Tồn YD-K38 2012 Bài 9 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác bất kỳ , S là diện tích Hãy tìm số thực q nhỏ nhất thỏa mãn : S 2  q(a 4  b 4  c 4 ) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :  p a  p b  p c S  p( p  a )( p  b)( p  c )  p  3   p4 1  S2   S2  ( a  b  c) 4 27 16.27 3 2 Theo bất đẳng thức. .. minh trong một tam giác ta có: 1 1 1 9 a)    a b c P b) P 2  12 3.S 4 3 SP 3 9c 2 2 2 d )ma  mb  8 1 1 1 1 e)    2r ha hb r v n c) a 3  b 3  c 3  g ) la  h f )ha  hb  hc  9r p( p  a) 2 4 h)la 2  lb2  lc2  p 2 Bài 7: Cho điểm O nằm trong tam giác ABC, chứng minh rằng o c p  OA  OB  OC  p 2 ih Với p là chu vi của tam giác ABC Bài 8: Xác định vị trí của điểm M trong tam giác ABC sao... c1  ab bc ac   ab  bc  ac  a  b  c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều Bài 20: Cho tam giá c ABC nộ i tiep đương trò n (C) Ba chieu cao AA’ ,BB’ , CC’ ̀ lan lươt cat đương trò n ngoạ i tiep tạ i A1, B1, C1 Chứng minh rằng: ̣ ̀ AA' BB' CC ' 9    AA1 BB1 CC1 4 ih o c 2 4 h v n Hướng dẫn giải  V u Gọi H là trực tâm tam giác ABC Ta dễ dàng chứng minh được :A’H = A’A1... c  2b)  0 a b a b  2 2 b a b a Tương tự , ta nhận được ih a c b c   2 và   2 c a c b a b và có : b a o c 2 Áp dụng bất đẳng thúc Cauchy với hai số dương V u Cộng ba bắt đẳng thức cùng chiều , ta được điều phải chứng minh Dấu bất đẳng thức xảy ra a = b = c, tức ABC đều Cách 2 a,b,c>0 nên ta có : a(b 2  c 2 )  b(c 2  a 2 )  c(a 2  b 2 )  a.2bc  b.2ca  c.2ab  ab 2  ac 2  ab 2  bc... vi tam giác BMN (Đề thi Olympic 30-4, 2001) Bài 5: Gọi R, r, p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, nửa chu vi của tam giác ABC Chứng minh: Con đường dẫn đến thành cơng là sự tơi luyện Page 26 Ngơ Hồng Tồn YD-K38 2012 tan A A B B C C  p ( R  r )  R(4 R  r ) 1  cos   tan 1  cos   tan 1  cos   2 2 2 2 2 2 pR (Đề thi Olympic 30-4, 1999) Bài 6: Chứng minh trong. .. a 4  b 4  c 4 27 1  S 2  (a 4  b 4  c 4 ) 16 Dấu “=” xảy ra  ABC đều o c 2 Chú ý : Có hai cách chứng minh bất đẳng thức (*) 1/ Nếu dùng BCS hai lần (a  b  c ) 2  3(a 2  b 2  c 2 )  3 3(a 4  b 4  c 4 ) 4 ih a4  b4  c4 abc  (a  b  c )  27(a  b  c )     3 3   Dấu “=” xảy ra  a  b  c (bất đẳng thức đúng cho a, b, c  R ) 4 4 4 u 4 2/ Nếu dùng Cauchy : V (a  b  c . thức từ cơ bản đến chuyên sâu, tập hợp nhiều bài toán khác nhau thuộc nhiều chuyên đề. Quyển sách gồm 3 phần: I.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ II.BẤT ĐẲNG THỨC. MỤC LỤC Chương Trang I.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 4 II.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 30 III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 51 - Con đường dẫn đến thành