Chuyên đề 3 chủ đề 5 tính chất tia phân giác của một góc

Toanhocsodo-ĐT:0945943199 CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC I TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định lí thuận Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc Định lí đảo Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Vận dụng tính chất phân giác góc để chứng minh đoạn thẳng Phương pháp giải: Áp dụng Định lí thuận Cho  ABC vng A có AB = 3cm, AC = 6cm Gọi E trung điểm  AC, tia phân giác A cắt BC D 1A a) Tính BC b) Chứng minh:  BAD =  EAD c) Gọi H, K hình chiếu D AB, AC Chứng minh điểm D cách AB AC   1B Cho xOy khác 180° Trên tia phân giác Ot xOy lấy điểm M Chứng minh điểm M cách Ox Oy  Cho  ABC có A = 120° Tia phân giác A cắt BC D Tia phân  giác ADC cắt AC I Gọi H, K, E hình chiếu I đương thẳng AB, BC, AD Chứng minh: 2A  a) AC tia phân giác DAH 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 b) IH = IK 2B Cho  ABC Hai tia phân giác góc ngồi đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh điểm I cách hai cạnh AB, AC 3A Cho  ABC có trung tuyến AM đồng thời đường phân giác Trên tia AM lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh: a) AB = CD b)  ACD cân C c) Chứng minh  ABC cân A 3B Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm K cạnh BC, vẽ KH  AC (H  AC) Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh: a) Chứng minh AB //HK;   b) Chứng minh KAH IAH c) Chứng minh  AKI cân, Dạng Chứng minh tia tia phân giác góc Phương pháp giải: Để chứng minh tia tia phân giác góc, ta sử dụng cách sau: Cách Áp dụng Định lí đảo Cách Chứng minh hai góc dựa vào hai tam giác Cách Đường trung tuyến tam giác cân đồng thời đường phân giác 4A  Cho xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot lấy điểm C Lấy A  Ox, B  Oy cho OA = OB Gọi H giao điểm AB Ot Chứng minh:  a) CA = CB CO phân giác ACB ; b) OC vng góc với AB trung điểm AB; c) Biết AB = cm, OA = cm Tính OH 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 4B Cho  ABC, AB = AC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh: a) BE = CD; b)  BMD =  CME; c) Đường vng góc với OE E cắt Ox, Oy M, N Chứng minh MN / / AC //BD  5A Cho xOy Lấy điểm A,B thuộc tia Ox cho OA > OB Lấy điểm C, D thuộc Oy cho OC = OA, OD = OB Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh.: a) AD = BC ; b)  ABE =  CDE; c) OE tia phân giác góc xOy 5B Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A cạnh Oy lấy điểm B cho OA = OB Đường vng góc với Ox kẻ từ A cắt Oy điểm C Đường vng góc với Oy kẻ từ B cắt Ox D cắt AC I Đường vng góc với Ox kẻ qua D cắt Oy E Đường vng góc với Oy kẻ qua C cắt Ox F cắt DE J  a) Chứng minh OI tia phân giác xOy  b) Chứng minh OC = OD Từ suy OJ tia phân giác xOy c) Chứng minh ba điểm O, I, J thẳng hàng 6A Cho  ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx  BC Trên tia Mx lấy E cho ME = MB a) Tam giác BEC tam giác gì? b) Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ E đến đường thẳng AB,   AC Chứng minh BEH CEK c) Chứng minh AE tia phân giác góc A 3.Đường gắn khơng khơng đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 6B Cho  ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng  BCD vuông cân D Hạ DI  AB, DH  AC  Chứng minh AD tia phân giác A III BÀI TẬP VỀ NHÀ  Cho tam giác ABC vuông A có B = 60° Trên cạnh BC lấy điểm H cho HB = AB Đường thẳng vuông góc với BC H cắt AC D Chứng minh:  a) BD tia phân giác ABC ; b)  BDC cân  Cho xOy khác góc bẹt  a) Từ điểm M tia phân giác xOy , kẻ đường vng góc MA, MB đến hai cạnh Ox, Oy (A  Ox, B  Oy), OM cắt AB H Chứng minh AB  OM b) Trên tia đối tia Ox, Oy lấy hai điểm C D, cho OC = OD Hai đương thẳng vng góc với Ox, Oy C D cắt E Chứng minh ba điểm O, H, E thẳng hàng   Cho hai góc nhọn xOy zO ' t có cạnh cắt tạo thành hình ABCD hình vẽ Xét hình ABCD a) Chứng minh tổng bốn góc A + B + C + D 360°      b) Cho biết A = 130°, B = 120°, C = 50°.Các tia phân giác A , B cắt M, tia phân   giác D , C cắt N   Tính AMB, DNC c) Chứng minh tia phân   giác hai góc xOy zO ' t vng góc với 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 HƯỚNG DẪN 1A a) Áp dụng Định lí Pytago tam giác vng ABC tính, BC 45 cm Vì E trung điểm AC nên AE = AC = cm => AE = AB =>  BAD =  EAD (c.g.c) c) Do DH  AB nên DH khoảng cách từ D đến AB Tương tự DK khoảng cách từ D đến AC Suy DH = DK 1B Hạ ME, MF vng góc với Ox,Oy (E  Ox, F  Oy) Chứng minh  OME =  OMF (ch-gn) => ME = MF Vậy M cách, hai cạnh Ox, Oy 2A   a) Vì BAC = 120° nên CAH = 60°  Do AD phân giác BAC nên 1  DAC  BAC = 60°   => DAC CAH  => AC phân giác DAH b) Khi IE = IH Mặt khác DI phân giác 5.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 ADC nên IE = IK Vậy IH = IK 2B Gọi E, F, P hình chiếu I đường thẳng AB, BC, CA Theo Định lí thuận ta có IE = IF IF = IP => IE = IP Vậy I cách hai cạnh AB, AC 3A a) Trên tia đối tia MA lấy D cho MA = MD =>  MAB =  MDC (c.g.c) => AB = CD    b) AM phân giác BAC nên BAM CAM   Lại có BAM CDM (hai góc tương ứng nhau)   Do CAM CDM =>  CAD cân C => CA = CD c) Vậy AB = AC =>  ABC cân A 3B a) Ta có: AB  AC, KH  AC => AB // KH b)  AHK =  AHI (ch-cgv)   => KAH IAH c)  AKI có AH vừa đường trung tuyến, vừa đường phân giác nên  AKI cân A 4A    a) Vì Ot phân giác xOy nên AOC BOC   =>  AOC =  BOC (c.g.c) => CA = CB, OCA OCB  => CO phân giác ACB 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 b) Chúng minh được:  OAH =  OBH (c.g.c)   => OAH OHB = 90°, AH = BH Vậy OC vng góc với AB trung điểm AB c) Vì H trung điểm AB => AH = AB = cm Áp dụng định lí Pytago tam giác vng OHA, tính OH = cm 4B a)  ABE =  ACD (c.g.c) => BE = CD     b) Do  ABE =  ACD => ABE  ACD  BDC CEB Mặt khác AB = AC, AD = AE => BD = CE     Lại có:  ABE =  ACD => ABE  ACD  DBM ECM =>  BMD =  CME (g.c.g) c) Vì  BMD =  CME => MD = ME =>  ADM =  AEM(c.c.c)    => MAD MAE => AM phân giác BAC 5A a)  OAD =  OCB (c.g.c) => AD = CB b) Do OA = OC, OB = OD => AB = CD     Lại có  OAD =  OCB (c.g.c) => OBC ODA  ABE CDE   Mà OAD OCB Vậy  ABE =  CDE (g.c.g)   c) Vì  ABE =  CDE (g.c g) => BOE DOE => OE tia phân giác góc xOy Tam giác AOC BOD cân O nên OE  BD OE  AC Suy 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199 AC // MN // BD 5B a) b) Tương tự 5A c) Vì OI, OJ phân giác  xOy nên ba điểm O, I, J thẳng hàng 6A a)  BEC có trung tuyến ME = BC =>  BEC vuông E Mặt khác   BME vuông cân M nên MBE = 45° =>  BEC vuông cân E b) Từ ý (a) suy BE = CE (1) AB  AC, EK  AC => AB // EK  Mà EH  AB nên EH  EK => HEK = 90°    => HEB KEC (cùng phụ HEC ) (2) c) Từ (1) (2) suy  BHE =  CKE (Ch-gn) => EH - EK   Chứng minh  AHE =  AKE => HAE KAE Vậy AE tia phân giác góc A 6B Tương tự 6A Chứng minh  BID =  CHD => DI = DH   Suy  ADI =  ADH => DAI DAH  Vậy AD tia phân giác A a) Chứng minh  ABD  HBD 8.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199   =>  ABD =  HBD => ABD HBD  => BD tia phân giác ABC    BDH  ABC  30 , DCB  90  ABC  90  60  30 b)   => DBH DCB =>  DBC cân D Tương tự 4A a) Ta có MA = MB suy  OAM =  OBM => OA = OB   Do  OAH =  OBH nên OHA OHB = 90° Vậy AB  OM H   b)  OCE =  ODE => EOC EOD Vậy E thuộc đường thẳng chứa tia phân  giác xOy a)  ABD có tổng góc 180° Tương tự,  DBC có tổng góc 180° Cộng lại ta ĐPCM  b) Sử dụng kết ý a) suy D = 60° A B    AMB có 2 = 125° nên AMB = 55°  Tương tự DNC = 125° c) Gọi I giao điểm tia phân giác  góc xOy với AD E giao điểm  hai tia phân giác góc xOy  't zO Ta có: 1  C  IO ' E  z O ' t = 180  D 2  1   C  IOA  x Oy = 180  B 2  5     35 9.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Toanhocsodo-ĐT:0945943199  OAI  180  A 50    Suy AIE IOA  OAI 55  Vậy O ' EI 180  (35  55 ) 90 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên