Bài 4 Đường trung bình của tam giác, của hình thang Bài 34 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1 2 DC Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM[.]
Bài 4: Đường trung bình tam giác, hình thang Bài 34 trang 84 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC cho AD = DC Gọi M trung điểm BC, I giao điểm BD AM Chứng minh: AI = IM Lời giải: Gọi E trung điểm DC Trong ΔBDC, ta có: M trung điểm BC (gt) E trung điểm CD (gt) Nên ME đường trung bình ∆BCD ⇒ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác) Suy ra: DI // ME Ta có: AD = DE = DC (gt) DC (cách vẽ) ⇒ AD = DE nên D trung điểm AE Xét tam giác AEM có: D trung điểm AE DI // ME nên DI qua trung điểm AM nên I trung điểm AM Nên AI= IM (tính chất) Bài 35 trang 84 SBT Tốn Tập 1: Hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E, F, I theo thứ tự trung điểm AD, BC, AC Chứng minh ba điểm E, F, I thẳng hàng Lời giải: * Hình thang ABCD có AB // CD E trung điểm AD F trung điểm BC (gt) Nên EF đường trung bình hình thang ABCD EF // CD (tính chất đường trung bình hình thang) (1) * Trong ΔADC ta có: E trung điểm AD I trung điểm AC (gt) Nên EI đường trung bình ΔADC ⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình tam giác) (2) Từ (1) (2) theo tiên đề Ơ-clít ta có đường thẳng EF EI trùng Vậy E, F, I thẳng hàng Bài 36 trang 84 SBT Toán Tập 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự trung điểm AD, BC, AC Chứng minh rằng: a) EI // CD, IF // AB; b) EF AB + CD Lời giải: a) * Trong tam giác ADC, ta có: E trung điểm AD I trung điểm AC (gt) Nên EI đường trung bình ΔADC ⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình tam giác) EI = CD * Trong tam giác ABC, ta có: I trung điểm AC F trung điểm BC Nên IF đường trung bình ΔABC ⇒ IF // AB (tính chất đường trung bình tam giác) IF = AB b) Với điểm E, I, F ta có: EF ≤ EI + IF (dấu “ = ” xảy I nằm E CD AB F) mà EI = ; IF = (chứng minh trên) 2 ⇒ EF CD AB + 2 Vậy EF AB + CD (dấu xảy AB // CD) Bài 37 trang 84 SBT Toán Tập 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm AD, N trung điểm BC Gọi I, K theo thứ tự giao điểm MN với BD, AC Cho biết AB = 6cm, CD = l4cm Tính độ dài MI, IK, KN Lời giải: Hình thang ABCD có AB // CD M trung điểm AD N trung điểm BC (giả thiết) Nên MN đường trung bình hình thang ABCD ⇒ MN // AB // CD MN = AB + CD +14 = = 10cm 2 * Trong tam giác ADC, ta có: M trung điểm AD MK // CD Do MK qua trung điểm AC nên K trung điểm AC ⇒ AK = KC MK đường trung bình ΔADC ⇒ MK = 1 CD = 14= (cm) 2 Vậy: KN = MN – MK = 10 – = (cm) * Trong ΔADB, ta có: M trung điểm AD MI // AB Do đó, MI qua trung điểm BI nên I trung điểm BD DI = IB ⇒ MI đường trung bình ΔDAB ⇒ MI = 1 AB = = (cm) 2 Và IK = MK – Ml = – = (cm) Bài 38 trang 84 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE cắt G Gọi I, K theo thứ tự trung điểm GB, GC Chứng minh DE // IK, DE = IK Lời giải: * Trong ΔABC, ta có: E trung điểm AB D trung điểm AC (giả thiết) Nên ED đường trung bình ΔABC ⇒ ED // BC ED = BC (tính chất đường trung bình tam giác) (l) * Trong ΔGBC, ta có: I trung điểm BG K trung điểm CG (gỉa thiết) Nên IK đường trung bình ΔGBC ⇒ IK // BC IK = BC (tính chất đường trung bình tam giác) (2) Từ (l) (2) suy ra: IK // DE, IK = DE Bài 39 trang 84 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AM, E giao điểm BD AC Chứng minh AE = EC Lời giải: Gọi F trung điểm EC Trong ΔCBE, ta có: M trung điểm CB; F trung điểm CE Nên MF đường trung bình ΔCBE ⇒ MF // BE (tính chất đường trung bình tam giác) hay DE // MF * Trong ΔAMF, ta có: D trung điểm AM DE // MF nên DE qua trung điểm AF nên E trung điểm AF Suy ra: AE = EF (tính chất) Mà EF = FC = EC nên AE = EC 2 Bài 40 trang 84 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD, CE Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BE, CD Gọi I, K theo thứ tự giao điểm MN với BD, CE Chứng minh MI = IK = KN Lời giải: Trong ΔABC ta có: E trung điểm cạnh AB; D trung điểm cạnh AC; Nên ED đường trung bình Δ ABC ⇒ ED // BC ED = BC (tính chất đường trung bình tam giác) +) Tứ giác BCDE có ED // BC nên BCDE hình thang Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE M trung điểm cạnh bên BE N trung điểm cạnh bên CD Nên MN đường trung hình hình thang BCDE ⇒ MN // DE BC +BC 3BC DE + BC MN = = = 2 (tính chất đường trung bình hình thang) Trong ΔBED, ta có: M trung điểm BE MI // DE nên MI qua trung điểm BD I trung điểm BD Suy ra: MI đường trung bình ΔBED ⇒ MI = 1 DE = BC (tính chất đường trung bình tam giác) Trong ΔCED ta có: N trung điểm CD NK // DE nên NK qua trung điểm CE K trung điểm CE Suy ra: NK đường trung bình ΔCED ⇒ NK = 1 DE = BC (tính chất đường trung bình tam giác) IK = MN – (MI + NK) = ⇒ MI = IK = KN = 1 BC – ( BC + BC) = BC 4 4 BC Bài 41 trang 84 SBT Toán Tập 1: Chứng minh đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm hai đường chéo qua trung điểm cạnh bên thứ hai Lời giải: Giả sử ta có hình thang ABCD với E trung điểm AB đường thẳng qua E song song với hai đáy AB, CD cắt BD, AC, BC I, K F Trong ΔADC ta có: E trung điểm cạnh AD EK // DC (do EF song song với CD) EK qua trung điểm AC nên K trung điểm AC Trong ΔABD ta có: E trung điểm cạnh AD EI // AB (do EF // AB) EI qua trung điểm I BD nên I trung điểm BD Trong tam giác ABC ta có: K trung điểm AC FK song song với AB (do EF song song với AB) FK qua trung điểm BC nên F trung điểm BC Vậy đường thẳng song song với đáy, qua trung điểm E cạnh bên AD hình thang ABCD qua trung điểm cạnh bên BC trung điểm hai đường chéo AC, BD Bài 42 trang 84 SBT Tốn Tập 1: Chứng minh hình thang mà hai đáy không nhau, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nửa hiệu hai đáy Lời giải: Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi I, K trung điểm hai đường chéo BD, AC; F trung điểm BC * Trong ΔACB, ta có: K trung điểm cạnh AC F trung điểm cạnh BC Nên KF đường trung bình ΔACB ⇒ KF // AB KF = AB (tính chất đường trung bình tam giác) Trong ΔBDC, ta có: I trung điểm cạnh BD F trung điểm cạnh BC Nên IF đường trung bình ΔBDC ⇒ IF // CD IF = CD (tính chất đường trung bình tam giác) FK // AB mà AB // CD nên FK // CD Lại có: IF // CD (chứng minh trên) Suy hai đường thẳng FI FK trùng ⇒ I, K, F thẳng hàng, AB < CD ⇒ FK < FI nên K nằm I F Ta có: IF = IK + KF ⇒ IK = IF – KF = 1 CD − AB CD − AB = (điều phải chứng minh) 2 Bài 43 trang 85 SBT Toán Tập 1: Hình thang ABCD có AB // CD; AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Các đường phân giác góc ngồi đỉnh A D cắt M, đường phân giác góc ngồi đỉnh B C cắt N a) Chứng minh MN // CD b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a b, c, d có đơn vị đo) Lời giải: a) Gọi M' N' giao điểm tia AM BN với CD + Ta có: M' = A (sole trong) A1 = A (giả thiết) ⇒ M' = A1 nên ΔADM' cân D Vì DM phân giác ADM ' Suy ra: DM đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ AM = MM' nên M trung điểm AM’ + Ta có N' = B2 (so le trong) B1 = B2 (giả thiết) Vì N ' = B1 nên ΔBCN' cân C Lại có: CN phân giác BCN ' Suy ra: CN đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ BN = NN' nên N trung điểm BN’ Ta có N trung điểm BN’; M trung điểm AM’ Suy ra: MN đường trung bình hình thang ABN'M' ⇒ MN // M'N' (tính chất đường trung hình hình thang) Hay MN // CD b) Ta có: MN = MN = AB + M'N' (tính chất đường trung hình hình thang) AB + M'D + CD + CN' (1) Mà M'D = AD, CN' = BC Thay vào (1) : MN = AB + AD + CD + BC a + d + c + b = 2 Bài 44 trang 85 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi O trung điểm AM Qua O kẻ đường thẳng d cắt cạnh AB, AC Gọi AA', BB', CC' đường vng góc kể từ A, B, C đến đường thẳng d Chứng minh rằng: AA' = BB' + CC' Lời giải: Ta có: BB' ⊥ d (giả thiết) CC' ⊥ d (giả thiết) Suy ra: BB'// CC' Tứ giác BB'C'C hình thang Kẻ MM' ⊥ d ⇒ MM' // BB' // CC' (quan hệ từ vng góc đến song song) Lại có M trung điểm BC nên M' trung điểm B’C’ ⇒ MM' đường trung bình hình thang BB'C'C ⇒ MM' = BB' + CC' (1) * Xét hai tam giác vuông AA'O MM'O: AA'O = MM 'O = 90o AO = MO (giả thiết) AOA' = MOM' (2 góc đối đỉnh) Do đó: ΔAA'O = ΔMM'O (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒AA' = MM' (2) Từ (1) (2) suy ra: AA' = BB' + CC' (điều phải chứng minh) Bài 4.1 trang 85 SBT Tốn Tập 1: Trên hình bs.1, ta có AB // CD // EF // GH AC = CE = EG Biết CD = 9, GH = 13 Các độ dài AB EF bằng: A 10; B 12; C 11; D 12 Hãy chọn phương án Lời giải: Chọn đáp án C 11 Ta có : hình thang CDHG có : CD // GH CE = EG Do EF qua trung điểm DH Suy ra: F trung điểm DH Do đó, EF đường trung bình hình thang CDHG EF = CD + HG +13 = = 11 2 Ta có: hình thang ABFE có: AB // EF AC = CE Nên D trung điểm BF Suy ra: CD đường trung bình hình thang ABFE CD = AB + EF AB = 2CD − EF = 2.9 − 11 = Bài 4.2 trang 85 SBT Toán Tập 1: Cho đường thẳng d hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự 20cm 6cm Gọi C trung điểm AB Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng d Lời giải: a) Trường hợp A B nằm nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng d Gọi A', B' chân đường vng góc kẻ từ A B đến d Ta có: AA' ⊥ d; BB' ⊥ d ⇒ AA' // BB' Suy ra: tứ giác ABB'A' hình thang Kẻ CH ⊥ d ⇒ CH // AA' // BB' Xét hình thang ABB’A’ có: C trung điểm AB CH // AA’ Do CH qua trung điểm A’B’ nên H trung điểm A’B’ Nên CH đường trung bình hình thang ABB'A' ⇒ CH = AA'+ BB' 20 + = = 13cm 2 b) Trường hợp A B nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ với với đường thẳng d Kẻ CH ⊥ d cắt A'B K ⇒ CH // AA' // BB' Trong ΔAA'B ta có: AC = CB Mà CK // AA' nên CK qua trung điểm A’B nên K trung điểm A’B CK đường trung bình tam giác AA'B ⇒CK = AA' (tính chất đường trung bình tam giác) CK = 20 = 10 (cm) Trong ΔA'BB' có K trung điểm A’B KH // BB' Nên KH qua trung điểm A’B’ H trung điểm A’B’ Do đó, KH đường trung bình ΔA'BB' ⇒ KH = BB' (tính chất đường trung bình tam giác) ⇒ KH = = (cm) Suy ra: CH = CK – KH = 10 – = 7(cm) Bài 4.3 trang 85 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = AB Gọi K giao điểm DM AC Chứng minh AK = 2KC Lời giải: Gọi H trung điểm AK Ta có: B trung điểm AD, H trung điểm AC Nên ΔADK ta có BH đường trung bình ΔADK ⇒ BH // DK (tính chất đường trung bình tam giác) Hay BH // MK Trong ΔBCH ta có M trung điểm BC MK // BH Do MK qua trung điểm HC hay K trung điểm HC Ta có: AK = AH + HK = 2HK Suy ra: AK = KC (vì HK = KC) (điều phải chứng minh) ... trang 84 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AM, E giao điểm BD AC Chứng minh AE = EC Lời giải: Gọi F trung điểm EC Trong ΔCBE, ta có: M trung điểm CB; F trung. .. Suy ra: NK đường trung bình ΔCED ⇒ NK = 1 DE = BC (tính chất đường trung bình tam giác) IK = MN – (MI + NK) = ⇒ MI = IK = KN = 1 BC – ( BC + BC) = BC 4 4 BC Bài 41 trang 84 SBT Toán Tập 1: Chứng... cạnh bên AD hình thang ABCD qua trung điểm cạnh bên BC trung điểm hai đường chéo AC, BD Bài 42 trang 84 SBT Toán Tập 1: Chứng minh hình thang mà hai đáy khơng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm hai