PHƯƠNG TRÌNH một số ví dụ về hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI HAI ẩn (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word image marked

§5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN  DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI Phương pháp giải Sử dụng phương pháp  Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn  Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn  Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ìï y + x = x a) ïí ïï2 x + y - = ỵ A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm ìï3 x - y + = b) ï í ïïỵxy = 3( x + y ) - A.1 nghiệm Lời giải: ìï5 - x + x = x a) Hệ phương trình tương đương ïí ïï y = - x ỵ ì ï éx = ìx - x + = ï ìx = ï ï ïì x = ï êê ï Ûí Ûï ïí í ëx = Û ï í ï ï ï ïïỵ y = -5 ï ï ï îy = îy = - 2x ï y = x ï ỵ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1; 3) (5; -5) ì 4y -1 ï ï x= ï ï b) Hệ phương trình tương đương ï í ï 4y -1 4y -1 ï y = 3( + y) - ï ï ï ỵ 116 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ì 4y -1 ï ï x= ï ì ì ìï x = ï ï 11 ï ï ïx = y - ï ï x= ï ï ï ï Ûí Û íé y = Ûí í ê ïï y = ï ï ï ï ï ï ê ïỵ ï ï ỵ y=3 ï ỵ4 y - 22 y + 30 = ï ï êy = ï ï ï ỵêë ỉ 11 ỉ 5ư Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) l ỗỗ ; 3ữữữ v ỗỗ3; ữữữ ỗố ứ ốỗ ứ Nhn xột: T cỏch gii ca hệ phương trình ta thấy hệ phương trình hai ẩn mà có phương trình bậc hai ẩn(hoặc biểu diễn ẩn qua ẩn kia) ta dùng phương pháp Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ìïx = xy + a) ïí ïï x - y = î A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm ïìïx( x + y + 1) - = b) ï í ïï( x + y )2 - + = ïỵ x2 A.1 nghiệm Lời giải: ìïx = x (2 x - 3) + a) Hệ phương trình tương đương với ïí ïï y = 2x - ỵ ì ï( x - 1)( x - x + 2) = ï ì x=1 Ûï Ûï í í ï ï y = 2x - ï ï y = -1 ỵ ï ỵ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1; -1) b) ĐKXĐ: x ¹ ìï ïïx + y = - ï x Hệ phương trình tương đương với ï ùùổ ửữ ùùỗỗỗ - 1ữữ - + = ïỵè x ø x 117 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ì ï ì ï ï ì y = - x -1 ï ï ï x + y = ï ï ï y = x x ï ï x ï Ûï Ûí Ûí x í éx = ï ï ï ï ï ïê + + = x x + = ï ï ï ï ỵ ê ï ï x x2 ï ỵx ïë x = ỵ ìï x = ï ïìï x = ï (thỏa mãn) Ûí í ïï y = - ïïỵ y = ïỵ ỉ 3ư Vậy hệ phương trình cú nghim ( x; y) l (1;1) v ỗỗ2; - ữữ ỗố ữứ Bi luyn Bài 3.54: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ïì2 x + y = a) ïí ïï4 x + y = 17 ỵ A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm ìïx y = 16 b) ïí ïï3 x + y = ỵ A.1 nghiệm ì ï x3 - 8x = y + y ï c) í 2 ï ï ỵx - = 3( y + 1) A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.54: a) Ta có y = - x vào phương trình hai ta được: éx = Þ y = ê x + (5 - x) = 17 Û x - x + = Û ê êx = Þ y = êë 2 2 Vậy nghiệm hệ là: ( x; y ) = (2;1),( ; 4) b) Ta có y = - 3x thay vào phương trình đầu ta được: x (8 - x) = 16 Û x - x + 16 = Û ( x - 2)2 (3 x + x + 4) = 118 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Û x = Vậy hệ có nghiệm x = y = c) Từ phương trình Þ x = 3( y + 2) (3) thay vào phương trình ta : éx = ê x2 2 x - x = y( y + 2) = y Û x(3x - xy - 24) = Û ê ê y = 3x - 24 êë x * Với x = thay vào (3) ta có: y + = vơ nghiệm ỉ 3x - 24 ư÷ 3x - 24 ÷÷ + * Với y = thay vo (3) ta c: x = ỗỗỗ ữứ çè x x é x = ±3 Þ y = ±1 é x2 = ê ê Û 13 x - 213 x + 864 = Û ê 96 Û ê ê x = ± 96 Þ y =  78 êx = ê êë 13 13 13 ë Vậy hệ có bốn nghiệm: ( x; y ) = (±3; ±1), (± 96 78 ; ) 14 13 ì ïx + y = m Bài 3.55: Tìm m để hệ phương trình: ï có nghiệm í 2 ï ï ỵ2 x - y = A m £ B m ³ C m < 6 D m > Lời giải: Bài 3.55: Ta có x = m - y thay vào phương trình hai ta được: 2( m - y )2 - y = Û y + my + - m2 = (*) Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm Û D ' = m2 - (1 - m2 ) ³ Û m ³ Vậy m ³ 6 giái trị cần tìm  DẠNG TỐN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Phương pháp giải a) Hệ đối xứng loại Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng: 119 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ïì f ( x , y ) = (I) ïí với f ( x; y) = f ( y ; x) g ( x; y) = g ( y ; x) ïïỵ g( x , y ) = (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi) Cách giải  Đặt S = x + y, P = xy  Đưa hệ phương trình (I) hệ (I') với ẩn S P  Giải hệ (I') ta tìm S P  Tìm nghiệm ( x; y) cách giải phương trình: X - SX + P = b) Hệ đối xứng loại ìï f ( x , y ) = Hệ phương trình đối xứng loại hệ phương trình có dạng: (II) ï í ïïỵ f ( y , x) = (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) ïì f ( x , y ) - f ( y , x) = (3)  Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: (II)  ïí ïïỵ f ( x , y ) = (1) (2) éx = y  Biến đổi (3) phương trình tích: (3)  ( x - y ).g( x , y ) =  ê ê g( x , y ) = ë éïì f ( x , y ) = êïí êïx = y ï  Như (II)  êỵ êì êïï f ( x , y ) = êí êëïïỵ g( x , y ) =  Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm hệ (II) c) Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ìïx + xy + y = + a) ïí ïïx + y = î A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm ì ï x y + xy = 30 ï b) í ï ï ỵx + y = 35 A.1 nghiệm Lời giải: a) Đặt S = x + y ; P = xy , ta có hệ: 120 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìS2 + 2S = 10 + ï ì(S + 1)2 = (3 + 2)2 ì ï ïS + P = + Û ï ï ï Û í í í ïS - P = ï ï ï ï ï ỵ ïS + P = + ï ỵ îP = + - S ìé S = + ï ï ê ìS = + ì ï ï ï ïê ïS = -4 - ï Û íêS = -4 - Ûï í í ë ï ï ï ï ï ï ï ï ỵP = + ỵP = 2 ï P = + S ï ï ỵ  Với S = + ; P = 2 ta có x, y nghiệm phương trình: éX = X - (2 + 2)X + 2 = Û êê êë X =  Với S = -4 - ; P = + ta có x, y nghiệm phương trình: X + (4 + 2)X + + = ( vô nghiệm) Vậy hệ có nghiệm ( x; y) (2; 2) ( 2; 2) b) Đặt S = x + y , P = xy , điều kiện S ³ 4P Hệ phương trình trở thành: ìï ïïP = 30 ìïSP = 30 ìïS = ìïx + y = ìïx = ìïx = ïï S ïí ï ïí Û Û Û Û ïí Ú ïí í í ïïS(S2 - P) = 35 ùù ổỗ 90 ửữ ùùợP = ïïỵxy = ïïỵ y = ïïỵ y = ợ ùùS ỗỗS - ữữ = 35 Sứ ùợ è Ví dụ 2: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ìïx + x = y a) ïí ïï y + y = x î A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm ì ïy = x3 - 3x2 + x b) ï í ï ï ỵx = y - y + y A.1 nghiệm ìï ïï3 x = x + ï y2 c) ïí ïï y2 + ïï3 y = ïỵ x2 121 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm Lời giải: a) Trừ vế với vế phương trình đầu phương trình thứ hai ta được: x - y + x - y = Û ( x - y )( x + y + xy + 3) = Û x = y ộổ ự y ửữ 3y2 ỗ + 3úú > ) (Vì x + y + xy + = ờỗ x + ữữ + ỗ ø÷ êëè úû 2 Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x + x = Û x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = (0; 0) b) Trừ vế với vế phương trình đầu phương trình thứ hai ta được: y - x = x - y - 3( x - y ) + 2( x - y ) Û ( x - y )( x + xy + y - x - y + 2) = Û ( x - y ) éê x + y + ( x + y - 2)2 ùú = Û x = y ë û (vì x + y + ( x + y - 2)2 > 0) Thay x = y vào phương trình đầu ta được: x - x + x = Û x( x - x + 2) = éx = éx = Û êê Û êê ëê x - x + = êë x = ± Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0);(2 + 2; + 2) (2 - 2; - 2) c) ĐKXĐ: x ¹ y ¹ ìïx > Nhận xét từ hệ phương trình ta có phương trình có nghiệm ( x; y) ïí ïïỵ y > ìï ïï3 x = x + ïï ïìï3 xy = x + (1) y2 Ta có í Ûí 2 ïï y + ïïỵ3 yx = y + (2) ïï3 y = ïỵ x2 Trừ (1) (2) ta được: ( x - y )(3 xy + x + y ) = Û x = y (vì xy + x + y > ) 122 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Với x = y : (1) Û x - x - = Û ( x - 1)(3 x + x + 2) = Û x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) = (1;1) ì ïx + xy + y = m + Ví dụ 3: Tìm m để hệ phương trình ï có nghiệm í ï x + xy + y = m ï ỵ A m = 12 B m = 21 C m = D m = Lời giải: Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Vậy hệ có nghiệm ìï3 x = m + Þ x02 = x02 + x0 + suy x0 = y0 suy ïí ïïx + x = m ỵ é x = -1 Þ m = -3 Û x02 - x0 - = Û ê ê x = Þ m = 21 ë ì ïx + xy + y = + Với m = -3 hệ trở thành ï í ï ï ỵ2( x + y ) + xy = -3 ìï S2 - P = ïìS = x + y ïí Đặt ï hệ phương trình trở thành , S ³ P í ïï2S + P = -3 ïïỵ P = xy ỵ ì é S=0 ï ï ì ì ìïS = -2 ï ï S=0 ï êê S + 2S = ï Ûí Ûï ïí í ëS = -2 Û ï í ï ï ïïỵ P = ïP = -2S - ï ï ï ỵ P = -3 ỵ ï P = 2S ï ỵ ìï S = Khi ïí ta có ïïỵP = -3 é X= ìïx + y = -2 ïí suy x , y nghiệm phương trình X - = Û êê ïïỵxy = êë X = - Do hệ có nghiệm ( 3; - ) ( - 3; ) Suy m = -3 hệ phương trình khơng có nghiệm ì ì ïx + xy + y = 27 ï( x + y )2 - xy = 27 + Với m = 21 hệ trở thành ï Ûï í í ï ï x + xy + y = 21 ï ï ỵ ỵ2( x + y ) + xy = 21 123 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ìïS = x + y ïìïS2 - P = 27 ï Đặt í , S ³ P hệ phương trình trở thành í ïï2S + P = 21 ïïỵ P = xy ỵ ì é S=6 ï ï ì ì ìïS = -8 ï ïS = ï êê S + S 48 = Ûï Ûï ïí (loại) í í ëS = -8 Û ï í ï ï ï ï P = P = 37 P = S + 21 ï ï ï ï ỵ ỵ ỵ ï ï ỵP = -2S + 21 ïìS = Khi ï ta có í ïïỵP = ïìïx + y = suy x , y nghiệm phương trình X - X + = Û X = í ïïỵxy = Suy hệ có nghiệm ( x; y) = (3; 3) Vậy với m = 21 hệ có nghiệm ìïx + y = m - Ví dụ 4: Cho ( x; y) nghiệm hệ phương trình ïí Tìm m để xy nhỏ ïïx + y = m2 + m - ỵ B m = A m = -1 C m = - D m = Lời giải: Đặt S = x + y , P = xy , điều kiện S2 ³ P ì ïS = m - Hệ phương trình trở thành ï í 2 ï ï ỵS - P = m + m - ìS = m - ì S = 2m - ï ï ï Ûï Û í í 2 ï ï(2 m - 1) - P = m + m - ï ï P = m - 3m + ỵ ỵ Điều kiện S2 ³ P suy (2 m - 1)2 ³ (m2 - 3m + 2) Û m ³ Û m ³ (*) ỉ 3ư 1 Ta có P = xy = m - 3m + = ỗỗm - ữữữ - 2ứ 4 ốỗ 2 Du bng xy Û m = Vậy m = (thỏa mãn (*)) xy đạt giá trị nhỏ Bài tập luyện tập 124 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 3.56: Tìm số nghiệm hệ phương trình sau ìïx + y + xy = a) ïí ïïx + y = î A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D.4 nghiệm ì ï x + y = 19 ï b) í ï x + y)(8 + xy) = ï ỵ( A.1 nghiệm ì ïx + y + xy = c) ï í 2 ï ï ỵ2 x + y - xy = A.1 nghiệm ïìx + y + xy = -2 d) ï í ïïỵ x + y = A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.56: a) Đặt S = x + y , P = xy Khi hệ trở thành: ì -S ï ï ïP = ìS + P = ï ï Ûï í í ï ï - 3S ï ỵS(S - P) = ï S(S )=8 ï ï ï î Þ 2S3 + 3S2 - 6S - 16 = Û (S - 2)(2S2 + 7S + 8) = Û S = Þ P = Þ x , y nghiệm PT: X - X = Û X = 0, X = ïìx = ïìx = Vậy nghiệm hệ là: ïí È ïí ïỵï y = ïïỵ y = 125 http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải ìu = - v ï ì ïu + v = ï Û Ta có hệ phương trình: ï í í 3 ï ïv - 2u = 16 ï ïv - (2 - v) = 16 ỵ ï ỵ ìïu = - v ïìu = - v ïí Û ïí Û (* ) ïïv + v - 12 v + 24 v - 32 = ïï(v - 2)(v + v - v + 16) = ỵ ïỵ Vì v + v - v + 16 = v + (2 v - 1) + 15 > nên hệ phương trình ìïu = - v ìïu = (thỏa mãn) Û ïí ïïỵv = v = ïỵ (*) Û ïíï Ta có u = Þ ( x - 2) = Û x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét : Khi gặp phương trình có chứa đại lượng a + f ( x) , f ( x) b - f ( x) (hoặc b + f ( x) ) ìï g (u; v) = c ta đặt u = a + f ( x) , v = b - f ( x) (hoặc v = b - f ( x) ) đưa hệ phương trình ïí ïïu + v = a + b ỵ ïì g (u; v) = c (hoặc ïí ) Giải hệ tìm u, v từ giải phương trình u = a + f ( x) v = b ± f ( x) ïïu - v = a - b ỵ tìm x Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình a) 13 + x + 13 - 2x - 169 - x = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) x + - x = + x - x A.1 nghiệm B.2 nghiệm c) (15 x + 6) ( x + 2) = 25 x + 36 x + A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: 162 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ì ïu = 13 + x Þ u3 + v = 26 a) Đặt ï í ï ï ï ỵ v = 13 - x Phương trình trở thành u + v - 2uv = ìï ì ï u3 + v = 26 u + v) - 3uv (u + v) = 26 ( ï ï Ûí Vậy ta có hệ phương trình í (*) ï u + v - 2uv = ïu + v - 2uv = ïïïỵ ỵ ì ïS = u + v Đặt ï , S ³ P , hệ phương trình (*) trở thành í ï P = uv ï ỵ ìïS3 - 3SP = 26 ïí ïï S - P = ỵ ìï2S3 - 3S (S - 8) = 52 ïì2S3 - 3S2 + 24S - 52 = ïì S = ï Û ïí Û ïí í ïï ï 2P = S - 2P = S - ỵïïP = -3 ỵï ỵ ïì2 = u + v Thay vào ta có ïí , u, v nghiệm phương trình ïïỵ -3 = uv é X = -1 Suy X - 2X - = Û ê ê X=3 ë ìïu = -1 ìï u = ïí ïí ïïỵ v = ïïỵv = -1 ì ïu = -1 Với ï Þ 13 + x = -1 Û x = -7 í ï ï ỵ v=3 ïì u = Với ïí Þ 13 + x = Û x = ïïỵv = -1 Vậy phương trình có nghiệm x = ±7 b) x + - x = + x - x Đặt y = - x Þ x + y = Phương trình trở thành x + y = + xy ì ï( x + y)3 - xy ( x + y) = ì ï x3 + y = ï ï Ûí Vậy ta có hệ phương trình í (*) ï ï x + y = + xy x + y = + xy ï ï ỵ ï ỵ ìïS = x + y Đặt ï , S ³ P , hệ phương trình (*) trở thành í ïïỵ P = xy ì ï S3 - 3SP = ï í ï ï î S= 2+P 163 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ïìïS3 - 3S (S - 2) = ìïïS3 - 3S2 + 6S - = ìïï S = Ûí Ûí í ïï ïï ïïỵP = -1 P = S P = S ỵ ỵ ìï1 = x + y Thay vào ta có ïí Þ x , y nghiệm phương trình ïïỵ -1 = xy é êx = 1+ ê 1± X2 - X -1 = Û X = Þê ê ê x = 1- êë Do phương trình có nghiệm x = 1± c) Phương trình tương đương với -25 x + 15 ( x + 2)x + ( x + 2) - 36 x = ( Û x +( ) Û x + -26 x + 15 ( x + 2)x + ( x + 2) - 36 x = ) ( x + 2) - x = Đặt y = ( x + 2) - x Þ (2 x + y) = ( x + 2) Û x + xy + y = Phương trình trở thành x + y = ìï x + y = Do ta có hệ phương trình ïí , hệ đối xứng loại giải hoàn toàn tương tự ta ïïx + xy + y = ỵ nghiệm hệ phương trình ( x; y) = (1;1) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Tìm số nghiệm phương trình sau a) x - x + = - x A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm 164 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) x + x + = 3 + x x A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm Lời giải: a) ĐKXĐ: x £ Đặt 1- 8x = 1- y , y £ Þ 1- 8x = y2 - y + Û y2 + 2x = y Phương trình trở thành x - x + = - y Û x + y = x ìï y + x = y Vậy ta có hệ phương trình ïí (*) ïï x + y = x ợ ộ x=y ị x - y + y - x = x - y Û ( x - y)( x + y - 3) = Û ê êx = - y ë Thay vào phương trình đầu hệ phương trình (*): é y=0Þx=0 Với x = y ta có y + y = y Û y + y = Û ê (thỏa mãn) ê y = -1 Þ x = -1 ë Với x = - y ta có y + (3 - y) = y Û y - y + = (vơ nghiệm) Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = -1 b) ĐKXĐ: x ¹ Phương trình tương đương với x + x + x = x + Û ( x + 1) - = ( x + 1) + Đặt y = x + phương trình trở thành y - = y + , đặt t = y + Þ y = ì ï ï y - = 2t Khi ta có hệ í ï t -1 = 2y ï ï ỵ t3 -1 (1) ( 2) Lấy (1) trừ (2) ta có: y - t = 2t - y 165 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Û ( y - t )( y + yt + t ) + ( y - t ) = Û ( y - t )( y + yt + t + 2) = Û y - t = ỉ tư (Vỡ y + yt + t + = ỗỗ y + ÷÷÷ + t + > ) ỗố 2ứ 2 Vi t = y thay vào (1) ta có y - = y Û y - y - = é ê y = -1 Þ x = -2 ê ê 1+ -1 + ê Û ( y + 1)( y - y - 1) = Û ê y = Þx= 2 ê ê 1- 1+ ê Þ x =êy = êë 2 Vậy phương trình có nghiệm x = -2; x = -1 + 1+ ;x =2 Nhận xét: · Phương trình có dạng ax + bx + c = a ' x + b ' ta đặt a ' x + b ' = a y + b Þ a y + 2ab y - a ' x + b - b ' = phương trình trở thành ax + bx + c - a y - b = ìïa y + 2ab y - a ' x + b - b ' = Từ ta chọn a , b cho hệ phương trình ïí đối xứng Hồn tồn ïï ax + bx + c - a y - b = ỵ tương tự phương trình chứa bậc n · Khi gặp phương trình đưa dạng f n ( x) + b = a n af ( x) - b ta đưa hệ đối xứng loại ìït n + b = ay cách đặt t = f ( x) , y = n af ( x) - b ta có hệ ïí n ïï y + b = at ỵ Ví dụ 4: Tìm số nghiệm phương trình sau a) x + + x + = 13 x A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) 10 x + 12 x + = x x + x + A.1 nghiệm B.2 nghiệm 166 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Lời giải: a) ĐKXĐ: x ³ - Phương trình tương đương với (3 - x) + x + = x + ì u = - 2x ï 11 Đặt ï , v ³ 0, u £ Þ v + u = x + í ï ï ỵ 3x + = v Phương trình trở thành u2 + v = x + (*) ìïv + u = x + Vậy ta có hệ phương trình ïí ïïu + v = x + î é v=u Þ (v + u) - (u2 + v) = Û (v - u)(u + v - 1) = Û ê êv = 1- u ë Với v = u thay vào (*) ta có u2 + u = x + hay (3 - x) + - x = x + Û x - 15 x + = Û x = 15 ± 97 15 + 97 (loại x = v = u < ) 8 Với v = - u thay vào (*) ta có u2 + - u = x + hay (3 - x) + - (3 - x) = x + Û x - 11x + = Û x = 11 ± 73 11 - 73 (loại x = v = - (3 - x) < ) 8 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 15 - 97 11 - 73 x = 8 b) Phương trình tương đương với (3 x + 2)2 + x - = x x(3 x + 2) - x + ìïu = x( x + 2) - x + Đặt ïí , u ³ suy u2 = xv - x + ïï v = 3x + ỵ Phương trình trở thành v + x - = xu ìïu2 = xv - x + Vậy ta có hệ phương trình ïí ïïv + x - = xu ỵ 167 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é u=v Þ u2 - v - x + = xv - x + - xu Û (u - v)(u + v + x) = Û ê + v + x = ë Với u = v ta có v = xv - x + hay (3 x + 2) = x (3 x + 2) - x + é x = -1 ê Û x + 10 x + = Û ê (loại x = -1 u = v = -1 < ) êx = - êë Với u + v + x = Þ u = -x - v = -4 x - ta có (-4 x - 2) = x (3 x + 2) - x + Û 14 x + 14 x + = Û x = -7 ± -7 + (loại x = u < ) 14 14 Vậy phương trình có hia nghiệm x = -1 x = -7 - 14 Chú ý: Đây phương trình sau đặt u = f ( x) , v = g ( x) đưa hệ hương trình cịn ẩn x mà đưa phương trình tích Sau tìm nghiệm cần tìm u, v để kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện ẩn phụ hay khơng Ví dụ 5: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 3 - x = 3 - x A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) x + - x = x + 13 A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: a) ĐKXĐ: x £ 3 Đặt y = - x , y ³ Þ x + y = Phương trình trở thành y = 3 - x2 Û y + x2 = ì ï2 x + y = (1) Vậy ta có hệ phương trình ï Þ 2x3 - y + y - x2 = í ï ï ỵ2 y + x = (2) 168 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải é x=y (*) Û ( x - y)(2 x + xy + y - x - y) = Û ê ê x + xy + y - x - y = ë Ta có x + xy + y - x - y > 0, "x , "y , Nếu x ³ x + xy + y - x - y = x (2 x - 1) + y (2 x - 1) + y > Nếu < x < Þ < y < x + xy + y - x - y = x + x (2 y - 1) + y (2 y - 1) > Nếu x £ Þ y ³ x + xy + y - x - y = x + ( x + y) - x + y ( y - 1) > Do (*) Û x = y , thay vào phương trình (1) ta x + x = Û x + x - = Û x = Suy phương trình có nghiệm x = Vậy phương trình có nghiệm x = b) Đặt - x3 = y Þ x3 + y = Phương trình trở thành x + y = x + 13 Þ (2 x + y) = x + 13 Û x + y + xy = 13 ì ï 3 ì x + y - xy ( x + y) = ( ) ï ï x + y = ï Vậy ta có hệ phương trình ï (**) Û í í 2 ï ïx + y + xy = 13 ï ï x + y + xy = 13 ( ) ỵ ï ỵ ïìS = x + y Đặt ï , S ³ P , hệ phương trình (**) trở thành í ïïỵ P = xy ì ï S3 - 3SP = ï í ï ï ỵS + P = 13 ïìï2S3 - 3S (13 - S2 ) = 18 ìï5S3 - 39S - 18 = ïìï(S - 3)(5S2 + 15S + 6) = Ûí Û ïí Ûí (***) 2 ïï ïï P = 13 - S2 ïï P = 13 S P = 13 S ỵ ỵï ỵï Ta có S2 ³ P Þ S2 ³ (13 - S2 ) Þ S2 ³ 26 ỉ 15 225 26 225 ³ +6>0 Mặt khác 5S + 15S + = çç2S + ÷÷ + S2 + çè ÷ 4ø 16 16 2 ì ïS = Do hệ phương trình (***) Û ï suy í ï P = ï ỵ éX = X - 3X + = Û ê êX = ë ìï3 = x + y ïí , x , y nghiệm phương trình ïïỵ = xy 169 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Suy hệ phương trình (**) có nghiệm ( x; y) (1; 2) (2;1) Thử x = 1, x = vào thấy thỏa mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = Bài tập luyện tập Bài 3.70: Tìm số nghiệm phương trình sau a) (3x + 1) + (3 x - 1) + x - = A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm x + 17 - x = A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.70: a) Đặt: u = 3 x + v = 3 x - ìïu2 + v + u.v = (6) trở thành: ïí Þ u- v = Þ u = v + ïïu - v = ỵ Do đó: (v + 2) + v + v (v + 2) = Û 3v + v + = Û (v + 1) = Û v = -1 Þ u = ì ï ïu = x + = Þx=0 Vậy ta có: í ï v = x = ï ï ỵ b) ĐKXĐ: £ x £ Đặt a = x; b = 17 - x ; a , b ³ Ta có hệ phương trình ïìïa + b = ïìïa + b = ïìïa + b = ïìïa + b = Û Û Û í í í í ïïa + b4 = 17 ïï[( a + b)2 - ab]2 - a b2 = 17 ïïa b2 - 18 ab + 32 = ï ïỵab = V ab = 16 ỵ ỵ ỵ  ïìa + b = ïìïa = ïìa = é x = Với ïí Þí V ïí Þê ïỵïab = ïỵïb = ïïỵb = êë x = 16 170 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải  ïìa + b = Với ïí Þ hệ vơ nghiệm.Vậy phương trình cho có hai ngiệm x = 1; x = 16 ïïỵab = 16 Bài 3.71: Tìm số nghiệm phương trình sau a) x + x = x+3 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) x + x + = x + A.1 nghiệm c) 3 x - = x - 36 x + 53 x - 25 A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: Bài 3.71: a) ĐKXĐ: x ³ -3 Phương trình Û 2( x + 1)2 - = ( x + 1) + x +1 Û ( x + 1)2 - = +1 2 x +1 t t +1 = + Þ y - = , ta có hệ phương trình: 2 Đặt t = x + 1; y = ìï ét = y ïït - = y Þ (t - y )(t + y + ) = Û êê ïí ïï ê y = -t - 1 êë ïï y - = t 2 ïỵ * t = y Û t2 -1 = t ± 17 -3 ± 17 Û 2t - t - = Û t = Û x= (thỏa đk x ³ -3 ) 4 1 t -1 ± 13 -5 ± 13 Û x= * y = -t - Þ (t + )2 - = Û 4t + 2t - = Û t = 2 4 (thỏa đk x ³ -3 ) 171 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x = -3 ± 17 -5 ± 13 ;x= 4 b) ĐKXĐ: x ³ Phương trình Û (2 x + 1)2 + x = 2(2 x + 1) - x Đặt t = x + 1; y = 2t - x Þ y + x = 2t Þ ta có hệ phương trình éy = t ïìït + x = y Þ (t - y )(t + y + 2) = Û ê í ê y = -t - ïï y + x = 2t ë ỵ é x = -1 ê * y = t Û t - 2t + x = Û x + x - = Û ê êx = êë 2 é x = -1 ê * y = -t - Þ t + x + 2(t + 2) = Û x + 11x + = Û ê êx = - êë 2 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x = -1; x = - ; x = 4 Cách khác : pt Û 4x + x + = ( ) x + +1 c) Ta có phương trình Û 3x - = (2x - 3)3 - x + Đặt 3 x - = y - Þ (2 y - 3)2 = x - , ta có hệ phương trình ìï(2x - 3)3 = y - + x - ï Þ a - b3 = b - a (Với a = x - 3; b = y - ) í ïï(2 y - 3) = 2x - + x - ỵ Û ( a - b)( a + ab + b2 + 1) = Û a = b Û (2 x - 3)3 = x - éx = ê Û x - 36 x + 51x - 22 = Û ( x - 2)(8 x - 20 x + 11) = Û ê êx = ± ê ë 2 Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = 2; x = 5± Bài 3.72: Tìm số nghiệm phương trình sau 172 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải a) - x = (2 - x )2 A.1 nghiệm b) B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm - x2 = - x3 A.1 nghiệm Lời giải: Bài 3.72: a) ĐK: £ x £ ïìa + b = Đặt a = x ; b = - x , ta có hệ phương trình: ïí (I) ïïa + b4 = ỵ (I) Û a = b = Û x = nghiệm phương trình cho b) ĐKXĐ: x £ Đặt a = - x , a ³ Þ a = - x Û a + x = Mặt khác từ phương trình ban đầu Þ a = - x Û x + a = ìïa + x = Vậy ta có hệ phương trình: ïí trừ hai phương trình hệ ta ïïx + a = ỵ a - x - ( a - x ) = Û ( a - x)( a + ax + x - a - x) = (*) Ta có: a + ax + x - a - x = a + ( a + x)( x - 1) * Với x ³ Þ a + x > Þ ( a + x)( x - 1) ³ Þ a + ( a + x)( x - 1) > * Với £ x < Þ a ³ Þ a + ax + x - a - x = a( a - 1) + ax + x( a - 1) > * Với x < Þ a + x < Þ ( a + x)( x - 1) > Þ a + ( a + x)( x - 1) > Þ a + ax + x - a - x > "x Do đo (*) Û a = x thay vào hệ ta được: ì ï0 £ x £ 2 - x3 = x Û ï Û x = í ï x + x = ï ỵ Vậy phương trình cho có nghiệm x = 173 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 3.73: Tìm số nghiệm phương trình sau: (4 x - x + 3)3 - x = A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm (1) D nghiệm Lời giải: 3 ì ì ï2 y - x = ï ï2 y - x = Bài 3.73: Đặt y = x - x + (1) có dạng: ï ( I ) (I) Û í í 3 ï ï ï ï î4 x - x + = y î2 x + y - ( x + y ) = ìï2 y - x = 3(2) Û ïí ïï( x + y )(2 x - xy + y - 1) = 0(3) î TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm (1): x = - 3 TH2: x - xy + y - = 0; D 'x = - y Nếu có nghiệm y £ 2 Tương tự có x £ Khi 3 ỉ ư÷ VT (2) £ ççç ÷÷ = < Chứng tỏ TH2 vơ nghim ữ ỗố ữứ 3 KL (1) có nghiệm x = - 3 Bài 3.74: Tìm số nghiệm phương trình sau a) 3x + = x3 + 3x2 + x - A.1 nghiệm B.2 nghiệm C nghiệm D nghiệm C nghiệm D nghiệm b) x - x + = x x - x - x - A.1 nghiệm B.2 nghiệm Lời giải: Bài 3.74: a) Dễ thấy x = khơng nghiệm phương trình Xét x ¹ phương trình tương đương với ( x - 1) + x + = x x ( x - 1) - x - 174 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ì ïu = x ( x - 1) - x - Đặt ï Þ u3 + x + = x v í ï v = x -1 ï ỵ Phương trình trở thành v + x + = x v ìïu3 + x + = x v Vậy ta có hệ phương trình ïí ïïv + x + = x v ỵ é u=v Þ u3 - v = x (v - u) Û (u - v)(u2 + uv + v + x ) = Û ê + uv + v + x = ë éx = Với u = v ta có ( x - 1) + x + = x ( x - 1) Û x - x = Û ê (loại x = ) êx = ë ỉ vư Với u2 + uv + v + x = ỗỗu + ữữ + v + x = Û u = v = x = (loi) ỗố ữ 2ứ Vy phương trình có nghiệm x = b) Phương trình cho tương đương với 3 x + + x + = ( x + 1)3 ì ï( x + 1)3 = x + y + Đặt y + = 3 x + Ta có hệ phương trình ï í ï ï ỵ( y + 1) = x + Trừ hai phương trình hệ, vế theo vế, ta ( x - y ) éê( x - 1)2 + ( x - 1)( y - 1) + ( y - 1)2 ùú = y - x ë û éx - y = Û êê Û x=y 2 êë( x - 1) + ( x - 1)( y - 1) + ( y - 1) = -1 Suy x + = 3 x + Û ( x + 1)3 = x + Û x + x = Û ( x - 1)( x + 2)2 = Û x = Ú x = -2 Thử lại ta thấy thỏa Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = -2 175 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 176 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải ... phương trình bậc hai hai ẩn thành tích ta xem ẩn, ẩn cịn lại tham số từ dựa vào ứng dụng định lí Viét để phân tích.(xem lại phần ứng dụng định lí Viét) + Đối với hệ hai phương trình bậc hai hai... hàm số f (t ) = 4t - (16 - 3m) t + - m với  DẠNG TỐN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Phương pháp giải  Đưa phương trình tích: Việc phân tích thành tích có từ phương trình. .. hệ ta ìïx (3 + k + k ) = 11 (* ) ïï í ïïx (1 + k + k ) = 17 + m ïỵ (17 + m)(1 + k + k ) = 11(1 + k + 3k ) Suy Û (m - 16) k + (m + 6) k + m + = (* * ) Ta có: + k + k = ( k + 1) + > 0, "k Þ (*