LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của góc (CUNG) LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC (CUNG) LƯỢNG GIÁC Giá trị lượng giác góc(cung) có liên quan đặc biệt B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Các ví dụ minh họa .6 Bài tập luyện tập DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC 10 Phương pháp giải .10 Các ví dụ minh họa 10 Bài tập luyện tập: 13 DẠNG TOÁN : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC .19 Phương pháp giải .19 Các ví dụ minh họa 19 Bài tập luyên tập .24 DẠNG TỐN : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 28 Phương pháp giải .28 Các ví dụ minh họa 29 Bài tập luyện tập .33 § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác góc(cung) lượng giác a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word đường tròn đơn vị, định hướng chọn điểm A làm gốc b) Tương ứng số thực điểm đường tròn lượng giác Điểm M đường tròn lượng giác cho ( OA ,OM ) = a gọi điểm xác định số a (hay cung a , hay góc a ) Điểm M gọi điểm đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo a Nhận xét: Ứng với số thực a có điểm nằm đường tròn lượng(điểm xác định số đó) tương tự trục số Tuy nhiên, điểm đường tròn lượng giác ứng với vơ số thực Các số thực có dạng a + k2p, k Ỵ Z d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang cơtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn lượng giác Với góc lượng giác ( Ou,Ov) có số đo a , xác định điểm M ( x; y) đường tròn lượng giác cho sđ Khi ta định nghĩa cosa = x, sin a = y sin a ổ p ỗ tan a = a + kpữ ữ ỗ ữ cosa ỗ è ø cosa ( a ¹ kp) sin a Ý nghĩa hình học: Gọi K , H hình chiếu M lên trục Ox,Oy Vẽ trục số At gốc A hướng với trục Oy vẽ trục số Bs gốc B hướng với trục Ox , gọi T ,S giao điểm đường thẳng OM cắt với trục sô At, Bs Khi ta có: cot a = sin a = OH , cosa = OK ,tan a = AT ,cot a = BS e) Tính chất: • sin a ,cosa xác định với giá trị a - 1£ sin a £ 1,- 1£ cosa £ p tana c xỏc nh a + kp , cota xác định a ¹ kp • sin a = sin( a + k2p) ,cosa = cos( a + k2p) tan a = tan( a + kp) ,cot a = cot( a + kp) f) Dấu giá trị lượng giác: Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm đường tròn lượng giác Bảng xét dấu Phần tư I II III IV + – – + Giá trị lượng giác cosα http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word sinα + + – – tanα + – + – cotα + – + – g) Giá trị lượng giác góc đặc biệt Góc a sina p p p p 2p 3p p 3p 2p 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 3 2 –1 2 2 - –1 3 || - –1 || || 3 - 3 –1 || || cosa tana cota - 2 Các hệ thức lượng giác 1) sin2 a + cos2 a = 1 p 2) 1+ tan2 a = (a ¹ + kp) 2 cos a 3) 1+ cot2 a = (a ¹ kp) sin2 a kp 4)tan a.cot a = 1(a ¹ ) Giá trị lượng giác góc(cung) có liên quan đặc biệt Góc đối ( a - a) Góc bù nhau( a p- a ) Góc phụ nhau( a p - a) http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word cos(- a ) = cosa sin(p - a ) = sin a ổ p sinỗ - aữ ữ ỗ ữ= cosa ỗ2 ố ứ sin(- a ) = - sin a cos(p - a ) = - cosa ổ p cosỗ - aữ ữ ỗ ữ= sin a ỗ ố2 ứ tan(- a ) = - tan a tan(p - a ) = - tan a ổ p tanỗ - aữ ữ ỗ ữ= cot a ỗ ố2 ứ cot(- a ) = - cot a cot(p - a ) = - cot a æ p cotỗ - aữ ữ ỗ ữ= tan a ç è2 ø Góc p ( a p +a ) Góc p ( a p +a ) sin(p + a ) = - sin a ổ p sinỗ +aữ ữ= cosa ç ç ÷ è2 ø cos(p + a ) =- cosa ổ p cosỗ +aữ ữ ỗ ữ= - sin a ỗ2 ố ứ tan(p + a )= tan a ổ p tanỗ +aữ ữ ỗ ữ= - cot a ỗ2 ố ứ cot(p + a )= cot a ổ p cotỗ +aữ ữ ỗ ữ= - tan a ỗ2 ố ứ Chỳ ý: nh nhanh công thức ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ p chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị khơng nhắc đối chéo p tang cơtang, B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: BIỂU DIỄN GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Để biểu diễn góc lượng giác đường tròn lượng giác ta thường sử dụng kết sau http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word • Góc a góc a + k2p, k Ỵ Z có điểm biểu diễn đường tròn lượng giác k2p m ( với k số nguyên m số nguyên dương) m Từ để biểu • Số điểm đường tròn lượng giác biểu diễn số đo có dạng a + diễn góc lượng giác ta cho k từ tới ( m- 1) biểu diễn góc Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường tròn lượng giác có số đo sau: a) p b) - 11p c) 1200 d) - 7650 Lời giải : p a) Ta có Ta chia đường tròn thành tám phần = 2p Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo p b) Ta có - 13p p =- +( - 3) 2p điểm biểu diễn 2 góc - 11p p trùng với góc điểm B' 2 c) Ta có 120 = Ta chia đường tròn thành ba phần 360 Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo 1200 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 0 d) Ta có - 765 =- 45 +( - 2) 360 điểm biểu diễn góc - 7650 trùng với góc - 450 45 = Ta chia đường tròn làm tám phần (chú ý góc âm ) 360 ¼ ' ) điểm biểu diễn góc có Khi điểm M (điểm cung nhỏ AB số đo - 7650 Ví dụ : Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số nguyên tùy ý) x1 = kp ; x2 = p + kp ; x3 =- p + kp Các góc lượng giác viết dạng cơng thức nào? Lời giải : • Ta có x1 = k2p có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x1 = kp Với k = Þ x1 = biểu diễn điêm A k = 1Þ x1 = p biểu diễn A ' • x2 = p 2kp có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng + x2 = p + kp k = Þ x2 = k = 1Þ x = p biểu diễn M 4p biểu diễn M http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word • x3 =- p k2p có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng + p + kp x3 =k = Þ x3 =k = 1Þ x6 = p biểu diễn M 3 2p biểu diễn M • Do góc lượng giác x1 , x2 , x3 biểu diễn đỉnh đa giác AM 1M 4A ' M 2M nên góc lượng giác viết dạng cơng thức x = kp 3 Bài tập luyện tập Bài 6.6: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường tròn lượng giác có số đo sau: a) p b) - 17p c) - 450 d) 7650 Lời giải : p Bài 6.6: HD: a) Ta có Ta chia đường tròn thành = 2p sáu phần Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo b) Ta có - p 17p p =- +( - 2) 2p điểm biểu diễn góc 4 17p p trùng với góc điểm M 4 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Ta có 45 = Ta chia đường tròn thành tám phần 360 Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo - 450 d) Ta có 7650 = 450 + 2.3600 điểm biểu diễn góc 7650 trùng với góc 450 45 = Ta chia đường tròn làm tám phần 360 » ) điểm biểu diễn góc có Khi điểm M (điểm cung nhỏ AB số đo 7650 Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo x = p p + k ( k số nguyên tùy ý) Lời giải : Bài 6.7: Ta có x = đo dạng x = p p p 2p +k = +k có bốn điểm biểu diễn góc có số 4 p p +k Với k = Þ x = p biểu diễn điêm M k = 1Þ x = 3p biểu diễn M k = 2Þ x = 5p biểu diễn M k = 3Þ x = 7p biểu diễn M 4 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vậy góc lượng giác có số đo x = p p + k biểu diễn đỉnh hình vng M 1M 2M 3M Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số nguyên tùy ý) x1 = kp ; x2 = p + kp Các góc lượng giác viết dạng công thức nào? Lời giải : Bài 6.8: Các góc lượng giác x1 = kp biểu diễn hai điểm A A ' đường tròn lượng giác Các góc lượng giác x2 = p + kp biểu diễn hai điểm B B' đường tròn lượng giác Từ suy góc x1 , x2 viết dạng công thức kp DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải • Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác • Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng hệ thức lượng giác giá trị lượng giác góc liên quan đặc biệt • Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu giá trị lượng giác Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: 10 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word = 4cos4 x + 4cos2 x + 1+ 4sin4 x + 4sin2 x + = ( 2cos 2 x + 1) + ( 2sin x + 1) = 2cos2 x + 1+ 2sin2 x + =3 Vậy C không phụ thuộc vào x Bài tập luyên tập Giả sử biểu thức sau có nghĩa Bài 6.15: Rút gọn biểu thức sau: ỉ p + xữ a) A = cosỗ ữ ỗ ữ+ cos(2p - x) + cos(3p + x) ỗ ố2 ứ B cosx A - sinx C D - 2cosx ổ ổ3p 7p - xữ + cotỗ - x÷ b) B = 2cos x- 3cos(p - x) + 5sinỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố2 ø è2 ø B cosx A - sinx C tanx D - 2cosx c) C = 2sin( 900 + x) + sin(9000 - x) + sin( 2700 + x) - cos( 900 - x) B cosx A - sinx d) D = sin(5p + x)cos(xcos(5p - x)sin( A - sinx C tanx D - 2cosx C - tan2x D - 2cosx 9p )tan(10p + x) 11 p + x)tan(7p - x) B cosx Lời giải : Bài 6.15: a) A =- sin x + cos x - cos x =- sin x b) B = 2cos x + 3cos x- 5cos x + tan x = tan x c) C = 2cos x + sin x- cos x- sin x = cos x 24 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) D = - sin x sin x tan x =- tan2 x ( - cos x) ( - cos x) tan x Bài 6.16: Chứng minh đẳng thức sau(giả sử biểu thức sau có nghĩa) a) tan2 x- sin2 x = tan2 x.sin2 x b) tan3 x cot3 x + = tan3 x + cot3 x sin2 x sin x cos x cos2 x c) sin2 x- tan2 x = tan6 x(cos2 x- cot2 x) d) tan2 a- tan2 b sin2 a- sin2 b = tan2 a.tan2 b sin2 a.sin2 b Lời giải : Bài 6.16: a) tan2 x- sin2 x = b) sin2 x - sin2 x = sin2 x( 1+ tan2 x) - sin2 x = tan2 x.sin2 x cos x tan3 x cot3 x + = tan3 x( cot2 x + 1) - tan x( cot2 x + 1) + cot3 x( tan2 x + 1) 2 sin x sin x cos x cos x = tan x + tan3 x- cot x- tan x + cot x + cot3 x = tan3 x + cot3 x c) tan6 x(cos2 x- cot2 x) = tan6 x cos2 x- tan6 x cot2 x = tan4 x sin2 x- tan4 x = tan4 x.cos2 x = tan2 x.sin2 x = tan2 x- sin2 x (do câu a)) d) tan2 a- tan2 b 1 1 sin2 a- sin2 b 2 = = cot b cot a = = tan2 a.tan2 b tan2 b tan2 a sin2 b sin2 a sin2 a.sin2 b Bài 6.17: Đơn giản biểu thức sau a) - tan2 ( 1800 - x) - cos2 ( 1800 - x) cos x A sin2 x b) B 2sin2 x C 1+ sin2 x D sin2 x + cos x cos2 x- sin2 x - cos2 x 2 cot x- tan x 25 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A sin2 x c) B - cos4 x C 1+ sin2 x D sin2 x + cos x B 2sin2 x C 1+ sin2 x D sin x + cos x B 2sin2 x C 1+ sin2 x D sin x + cos x sin3 x + cos3 x cos2 x + sin x(sin x- cos x) A sin2 x 1+ sin x 1- sin x + 1- sin x 1+ sin x d) A cosx 1 1 ( < x < p ) + + 1+ cos x 1- cos x 1+ sin x 1- sin x e) A f) ( sin x cos x B 2sin2 x C 1+ sin2 x D sin x + cos x 1 1 1 + )( ) 2 2 sin x cos x tan x cot x sin x cos2 x 2 A 2( cot x- tan x) B sin x cos x C 2sin2 x D 1+ sin2 x Lời giải : Bài6.17: a) - tan2 ( 1800 - x) - cos2 ( 1800 - x) = tan2 x + 1- tan2 x- cos2 x = sin2 x cos2 x b) cos2 x- sin2 x - cos2 x = 2 cot x- tan x cos2 x- sin2 x - cos2 x = cos2 x sin2 x- cos2 x =- cos4 x 1 - 1+1 sin x cos2 x (sin x + cos x)( sin2 x- sin x cos x + cos2 x) sin3 x + cos3 x c) = = sin x + cos x cos2 x + sin x(sin x- cos x) sin2 x- sin xcos x + cos2 x 26 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word d) Đặt A = A2 = 1+ sin x 1- sin x + 1- sin x 1+ sin x 1+ sin x 1- sin x 1+ sin x 1- sin x + +2 1- sin x 1+ sin x 1- sin x 1+ sin x ( 1+ sin x) +( 1- sin x) = ( 1- sin x) ( 1+ sin x) Suy e) = + 2= 2( 1+ sin2 x) 1- sin x + 2= cos2 x cosx 1 1 2 + + = 1+ cos x 1- cos x 1+ sin x 1- sin x 1- cos x 1- sin2 x sin2 x cos2 x = sin x cos x f) æ æ ỉ 1 1 ư 1- cos2 x 1- sin2 xử ữ ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ + = + cot2 x- tan2 x) ÷ ữ ỗ ( ỗ ữ 2 ữỗ ữ ỗ ç çsin2 x cos2 xø ÷ ç èsin2 x cos2 x tan2 x cot2 xø è cos x ø è sin x 1- sin4 x- cos4 x ( cot2 x- tan2 x) = 2( cot2 x- tan2 x) 2 sin x cos x Bài 6.18: Rút gọn biểu thức sau: a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2 A - sinx B C - tan2x D - 2cosx C - tan2x D - 2cosx b) 2(sin6 a + cos6 a )- 3(sin4 a + cos4 a ) A - sinx B -1 c) cot2 300(sin8 a - cos8 a ) + 4cos600(cos6 a - sin6 a ) - sin6(900 - a )( tan2 a - 1) A.0 B cosx C - tan2x D - 2cosx d) (sin4 a + cos4 a - 1)(tan2 a + cot2 a + 2) 27 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word B cosx A - C - tan2x D - 2cosx Lời giải : Bài 6.18: a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2 = 6 4 2 2 b) 2(sin a + cos a )- 3(sin a + cos a ) = 2( 1- 3sin x.cos x) - 3( 1- 2sin x.cos x) =- c) cot2 300(sin8 a - cos8 a ) + 4cos600(cos6 a - sin6 a ) - sin6(900 - a )( tan2 a - 1) = 3( sin2 a - cos2 a ) ( sin4 a + cos4 a ) - 2( sin2 a - cos2 a ) ( sin4 a + sin2 a cos2 a + cos4 a ) 3 - ( sin2 a - cos2 a ) = ( sin2 a - cos2 a ) - ( sin2 a - cos2 a ) = d) (sin4 a + cos4 a - 1)(tan2 a + cot2 a + 2) =- Bài 6.19: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn ỉ Bư B A +C 1080 + A + C ữ ỗ 540 + ữ + cos + tan tan a) A = cos ỗ ữ ỗ 2ứ 2 ố A A = B A = C A = D A = ổB ổB sinỗ + 7200ữ cosỗ - 9000ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ cos( A + C) ỗ2 ỗ2 ố ứ ố ứ b) B = + tan B A +C A +C sin B cos sin 2 A B=- B B=- C B= D B= Lời giải : Bài 6.19: a) A = b) B= DẠNG TỐN : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải • Từ hệ thức lượng giác mối liên hệ hai giá trị lượng giác, biết giá trị lượng giác ta suy giá trị lại Cần lưu ý tới dấu giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp • Sử dụng đẳng thức đáng nhớ đại sô 28 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác lại góc a biết: a) sin a = 900 < a < 1800 A tan a =- b) cosa =- 2 B cosa = 2 C tan a = 2 D tan a =- 2 3p p < a < A sin a =- B tan a =- C sin a = D cot a = c) tan a =- 2 < a < p A cosa = d) cot a =- A sin a = B sin a =- C cosa =- D sin a =- C cosa = 3 D cosa =- 3 p 3p tan a =- 2 < nên cosa < Vì cosa =- Ta có tan a = ỉ 1ư sin a 2 Þ sin a = tan a.cosa =- 2.ỗ - ữ = ữ ỗ ữ ỗ cosa ố 3ứ 1 nên tan a = cot a =2 d) Vì cot a =- Ta có Do cot2 a + 1= 1 Þ sin2 a = = 2 sin a cot a + - p 3p cosa Þ cosa = cot a.sin a =sin a =3 30 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác lại góc a biết sin a = tan a + cot a < A cot a =- B cosa = b) Cho 3sin4 a - cos4 a = A C tan a = D cot a = Tính A = 2sin4 a - cos4 a B C.1 D.0 Lời giải : a) Ta có cot2 a + 1= 1 = = 25 Þ cot2 a = 24 2 sin a ổử hay cot a = 1ữ ỗ ữ ç ÷ ç è5ø Vì tana , cota dấu tan a + cot a < nên tan a < 0, cot a < Do cot a =- Ta lại có tan a = cot a = 1 = cot a cosa - Þ cosa = cot a sin a =- = sin a 5 b) Ta có 3sin4 a - cos4 a = 1 Û 3sin4 a - ( 1- sin2 a ) = 2 Û 6sin4 a - 2( 1- 2sin2 a + sin4 a ) = 1Û 4sin4 a + 4sin2 a - = Û ( 2sin2 a - 1) ( 2sin2 a + 3) = Û 2sin2 a - 1= 0(Do 2sin2 a + 3> ) Suy sin2 a = Ta lại có cos2 a = 1- sin2 a = 1- 1 = 2 31 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word ổử 1ữ Suy A = 2ỗ ữỗ ỗ ữ ố2ứ ổử 1ữ ỗ ữ= ỗ ỗ ữ è2ø Ví dụ 3: a) Cho cosa = A 17 tan a + 3cot a Tính A = tan a + cot a B b) Cho tan a = Tính B = A 9 C D 19 sin a - cosa sin a + 3cos3 a + 2sin a B C D.1 c) Cho cot a = Tính C = sin2 a - sin a cosa + cos2 a A 6- B 3- C 4- D 6- Lời giải : 1 +2 tan a + cos2 a tan a = = = 1+ 2cos2 a a) Ta có A = 1 tan2 a + tan a + tan a cos2 a 17 Suy A = 1+ = 9 sin a cosa tan a ( tan2 a + 1) - ( tan2 a + 1) 3 cos a cos a = b) B = sin3 a 3cos3 a 2sin a tan3 a + 3+ 2tan a ( tan2 a + 1) + + cos3 a cos3 a cos3 a 3( 9+ 1) - ( 9+ 1) = Suy B = 27 + 3+ 2.3( 9+ 1) tan a + c) Ta có C = sin a æ cosa cos2 a ö sin2 a - sin a cosa + cos2 a ỗ ữ ữ = sin a 1+ ỗ ữ 2 ỗ ữ ỗ sin a sin a sin a ø è 32 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word = 1 1- cot a + cot2 a ) = ( 1+ cot a 1+ ( ) ( 1- ) 5+ = 6- Ví dụ 4: Biết sin x + cos x = m 4 a) Tìm sin x- cos x A 3+ 2m2 - m4 B 3+ 2m2 - 2m4 C 4+ 2m2 - m4 D 3+ 3m2 - m4 Lời giải : a) Ta có ( sin x + cos x) = sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1+ 2sin x cos x (*) Mặt khác sin x + cos x = m nên m2 = 1+ 2sin a cosa hay sin a cosa = m2 - 4 Đặt A = sin x- cos x Ta có A = ( sin2 x + cos2 x) ( sin2 x- cos2 x) = ( sin x + cos x) ( sin x- cos x) 2 Þ A = ( sin x + cos x) ( sin x- cos x) = ( 1+ 2sin x cos x) ( 1- 2sin xcos x) ổ m2 ị A2 =ỗ 1+ ç ç ç è ỉ m2 1ư ÷ ç ữ ỗ ữ ỗ1ữ ỗ ứố 1ử 3+ 2m2 - m4 ÷ ÷ = ÷ ÷ ø Vậy A = 3+ 2m - m Bài tập luyện tập Bài 6.20: Tính giá trị lượng giác lại, biết a) sin a = với 00 < a < 900 33 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A tan a = B cot a = C cosa = D A,B, C C sin a = 5 D sin a = b) với < a < p A sin a = , tan a = 2, cot a = B C sin a =- D sin a =- , tan a = 2, cot a = , tan a =- 2, cot a =- c) tan a = p < a < 2p A cosa =- B cosa = 5 d) cosa = 0,8 tan a + cot a > A cot a = B cot a =- C sin a =- D tan a =- Lời giải : 4 Bài 6.20: a) 00 < a < 900 Þ cosa = 1- sin2 a = , tan a = , cot a = b) < a < p Þ sin a = 1- cos a = c) Vì tan a = Þ cot a = , tan a = 2, cot a = 1 = tan a 1 2 Ta có tan a + 1= cos2 a Þ cos a = tan2 a + = 1 = Þ cosa = ± ( 2) +1 34 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vì p < a < 2p Þ sin a < tan a = 2> nên cosa < Vì cosa =- Ta có tan a = ỉ 1ư sin a ữ ữ ị sin a = tan a.cosa = 2.ỗ = ỗ ữ ỗ ữ cosa ố 5ứ d) Vì tana , cota dấu tan a + cot a > nên tan a > 0, cot a > Ta có tan a + 1= cos2 a = cot a = ( 0,8) = 25 1 Þ tan2 a = Þ tan a = 24 24 0,8 = = , sin a = tan a cosa = tan a 6 Bài 6.21: a) Cho cos a= A A = 19 b) Cho sin a= A B = cot a+ 3tan a Tính A = 2cot a+ tan a B A = 14 19 13 D A = C B = 26- D B = 26- 2 C C = 17 D C = D D = 101 26 3cot a+ 2tan a+ 1 Tính B = cot a+ tan a 6- 2 B B = 2- 2 c) Cho tan a= Tính C = 2sin a+ 3cos a ; sin a+ cos a 7 13 A C =- C A = B C = d) Cho cot a= Tính D = 2cos2 a+ 5sin acos a+ A D = 11 26 B D = 103 26 C D =- 101 26 Lời giải : 35 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Bài 6.21: a) A = 19 b) Từ giả thiết suy cosa =- 2tan a+ = tan a+ c) C = d) 2 26- 2 , tan a =, cot a =- 2 Þ B = 2 D = 2cot2 a+ 5cot a+ Þ ( cot2 a+ 1) D = 3cot2 a + 5cot a+ sin a sin a Suy D = 101 26 Bài 6.22: Biết tan x + cot x = m a) Tìm tan2 x + cot2 x A 4m2 - b) B m2 - C 3m2 - D 2m2 - tan6 x + cot6 x tan4 x + cot4 x ( m - 2)( m A m2 + 1) B m4 - 4m2 + ( m - 2)( m 4m2 + 2) m4 - 4m2 + ( m - 1) ( m C 4m2 + 1) D m4 - 4m2 + ( m - 2)( m 4m2 + 1) m4 - 4m2 + Lời giải : Bài 6.22: a) tan2 x + cot2 x = m2 - 36 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 b) Ta có tan4 x + cot4 x = ( tan2 x + cot2 x) - = ( m2 - 2) - = m4 - 4m2 + 2 4 2 tan6 x + cot6 x ( tan x + cot x) ( tan x + cot x - tan x cot x) ( m - 2) ( m - 4m + 1) Þ = = tan4 x + cot4 x m4 - 4m2 + m4 - 4m2 + Bài 6.23: Cho sin a cosa = A 91 125 B 12 Tính sin3 a + cos3 a 25 91 12 C 91 15 D 911 125 Lời giải : Bài 6.23: ( sin a + cosa ) = 1+ 24 Þ sin a + cosa = (do cosa > 0) 25 Suy sin3 a + cos3 a = ( sin a + cosa ) ( sin2 a - sin a cosa + cos2 a ) = 91 125 Bài 6.24: Cho tan a- cot a= Tính giá trị biểu thức sau: a) A = tan2 a+ cot2 a A.11 B.12 C 13 D.14 C ± 13 D C ±33 13 D b) B = tan a+ cot a A 13 B - 13 c) C = tan4 a- cot4 a A 33 13 B - 33 13 Lời giải : Bài 6.24: a) 11 b) ± 13 Bài 6.25: Cho 3sin4 x + cos4 x = c) ±33 13 Tính A = sin4 x + 3cos4 x 37 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word A A = B A = 37 C A = 27 D A = 17 Lời giải : Bài 6.25: A = 38 ... .33 § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác góc( cung) lượng giác a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác http://dethithpt.com... nghĩa giá trị lượng giác • Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt • Sử dụng hệ thức lượng giác giá trị lượng giác góc liên quan đặc biệt • Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ... tròn lượng giác Từ suy góc x1 , x2 viết dạng cơng thức kp DẠNG TỐN : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC