LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của góc (CUNG) LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Bài tập luyện tập...6 DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC...8 1.. Điểm M trên đường tr

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC 2

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2

1 Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác 2

a) Đường tròn lượng giác: 2

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác 2

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: 2

e) Tính chất: 2

f) Dấu của các giá trị lượng giác: 3

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 3

2 Các hệ thức lượng giác cơ bản 3

3 Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt 4

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 4

1 Phương pháp giải 4

2 Các ví dụ minh họa 5

3 Bài tập luyện tập 6

DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC 8

1 Phương pháp giải 8

2 Các ví dụ minh họa 8

3 Bài tập luyện tập: 11

DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC 16

1 Phương pháp giải 16

2 Các ví dụ minh họa 16

3 Bài tập luyên tập 20

DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 24

1 Phương pháp giải 24

2 Các ví dụ minh họa 25

3 Bài tập luyện tập 29

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.

a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn

đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc

b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng

giác.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA OM, )= gọia

là điểm xác định bởi số a(hay bởi cung a, hay bởi góc a).

Điểm Mcòn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu

diễn cung(góc) lượng giác có số đo a.

Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường

tròn lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số

Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số

thực Các số thực có dạng là a+k2 ,p kÎ Z.

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường tròn

lượng giác Với mỗi góc lượng giác (Ou Ov có số đo , ) a, xác định điểm M x y trên ( ; )

đường tròn lượng giác sao cho sđ Khi đó ta định nghĩa

cosa=x, sina=y

x

s S

T B

M(x;y)

K H

Ý nghĩa hình học: Gọi ,K H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox Oy Vẽ trục số,

At gốc A cùng hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox, gọi ,T S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OM cắt với các trục sô At Bs Khi đó ta,

có:

sina=OH, cosa=OK, tana=AT,cota=BS

e) Tính chất:

 sin , cosa a xác định với mọi giá trị của a và 1- £ sina£ - £1, 1 cosa£ 1

 tan a được xác định khi

2 k

p

a¹ + p, cot a xác định khia¹ k p

 sina=sin(a+k2p),cosa=cos(a+k2p)

tana=tan(a+k p),cota=cot(a+k p)

f) Dấu của các giá trị lượng giác:

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác

Bảng xét dấu Phần tưGiá trị lượng giác

3

32

2

2

22

1

12

1

sin4) tan cot 1 ( )

2

k k k

3 Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.

Góc đối nhau (a và - a) Góc bù nhau(a và p a- ) Góc phụ nhau(a và 2

sin(p a+ )= - sina sin cos

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém

p tang côtang, hơn kém

2

p

chéo sin" Với nguyên tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.

1 Phương pháp giải.

Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau

Góc a và góc a+k2 ,p kÎ Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng k2

Lời giải :

360= Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.3

Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 2 0

120 d) Ta có - 7650 =- 450+ -( )2 3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc - 7650 trùng với góc

0

45

-

45 1

360= Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )8

Khi đó điểm M (điểm chính giữa cung nhỏ ¼ '3 AB ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo

0

765

Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau

(với k là số nguyên tùy ý)

B' A'

B

A O

M1

M2

M3

 Ta có 1 2

2

k

do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x1=kp

Với k= Þ0 x1= được biểu diễn bởi điêm 0 A

3

k= Þ x = p

được biểu diễn bởi M 4

 Do các góc lượng giác x x x được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều1, 2, 3

p= Ta chia đường tròn thành sáu phần

bằng nhau Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1

360= Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.8

Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 2 - 450

d) Ta có 0 0 0

765 =45 +2.360 do đó điểm biểu diễn bởi góc 0

765 trùng với góc 45 0

45 1

360= Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau 8

Khi đó điểm M (điểm chính giữa cung nhỏ »AB ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo3

= Þ = được biểu diễn bởi M4

Vậy góc lượng giác có số đo là

Bài 6.8: Các góc lượng giác x1=kp được biểu diễn bởi hai điểm là A và A' trên đường

tròn lượng giác Các góc lượng giác 2

DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.

1 Phương pháp giải

 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặcbiệt

 Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểmngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấucác giá trị lượng giác

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) sin7 cos 9 tan( 5 ) cot7

d) tan2 tan3 tan5

a) Ta có sin cos( 4.2 ) tan cot 3

tan 8 360 2 cos 90 8 2.360 cos 90 8

B

-

Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi

Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:

sin 45 sin135 2 2 2cos 30 cos 60 1 3 1 3

e) F =(cos 152 °+sin 152 ° +) (cos 352 °+sin 352 ° =) 2

Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 5 sin2151 3 cos2 85 4 tan2193 7 cot2 37

d) 900<2a+900<2700 Þ cos(2a+90 )0 <0

Bài 6.13: Cho 0

2

p a

< < Xét dấu của các biểu thức sau:

Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù Xét dấu của các biểu thức sau:

a) M=sinA+sinB+sinC

DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU

2 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) cos4x+2 sin2x= +1 sin4x

b) sin 3cos cot3 cot2 cot 1

cot cot cos cos

cot cot cos cos

a) Đẳng thức tương đương với 4 2 ( 2 )2

cos x= -1 2 sin x+ sin x

b) Ta có sin 3cos 12 cos3

x

= nên

cot 1 cot cot 1

VT= x+ + x x+ =cot3x+cot2x+cotx+ =1 VP ĐPCM

d) VT= sin4x+4 1 sin( - 2x) + cos4x+4 1 cos( - 2x)

Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) cos(5 ) sin 3 tan 3 cot(3 )

b) sin(900 ) cos(450 ) cot(1080 ) tan(630 )

cos(450 ) sin( 630 ) tan(810 ) tan(810 )

x

+ D - 2 cos x

-c) C= 2- sin(x+12013p). 1 cos+1 x+1 cos- 1 x với p< <x 2p

cot(3p- x)=cot - x =- cotx

Suy ra A=- cosx- -( cosx)+cotx+ -( cotx)=0

Vậy sinsin cossin ( cotcot ) cotcot sin2 sincos

2 cos1

21

Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa.

Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:

a) cos cos(2 ) cos(3 )

b) 2 cos 3 cos( ) 5 sin 7 cot 3

211cos(5 )sin( ) tan(7 )

Bài 6.15: a) A=- sinx+cosx- cosx=- sinx

b) B=2 cosx+3 cosx- 5 cosx+tanx=tanx

c) C=2 cosx+sinx- cosx- sinx=cosx

sin sin tan

tancos cos tan

tan tan sin sin

tan tan sin sin

-Lời giải :

tan x.cos x tan x.sin x tan x sin x

-Bài 6.18: Rút gọn biểu thức sau:

a) (tana+cot )a 2- (tana- cot )a 2

cot 30 (sin a- cos a)+4 cos 60 (cos a- sin a) sin (90- - a) tan a- 1

d) (sin4a+cos4a- 1)(tan2a+cot2a+2)

A.- 2 B cos x C - tan x2 D - 2 cos x

3 sin cos sin cos 2 sin cos sin sin cos cos

 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sô.

Vì 0< < Þa p sina>0 và tana =- 2 2< nên 0 cosa <0

Vì tan a, cot a cùng dấu và tana+cota<0 nên tana<0, cota<0

Do đó cota =- 2 6 Ta lại có tan 1 1

b) Cho tana =3 Tính 3 sin 3cos

sin 3 cos 2 sin

c) Cho cota = 5 Tính C=sin2a- sin cosa a+cos2a

Lời giải :

a) Ta có

2 2

2

11

sin 3 cos 2 sin tan 3 2 tan tan 1

Mặt khác sinx+cosx=m nên 2

1 2 sin cos

m = + a a hay

2

1sin cos

B

C sin 2 , tan 2, cot 1

25

D sin 2 , tan 2, cot 1

25

d) cosa =0, 8 và tana+cota>0

A cota =2 6 B cota =- 2 6 C sin 2

Bài 6.21: a) Cho cos 2

Bài 6.22: Biết tanx+cotx=m.