LUONG GIAC PHUONG TRINH LUONG GIAC Ly thuyet Bai tap van dung File word

Phƣơng pháp loại nghiệm khi giải phƣơng trình lƣợng giác có điều kiện Phƣơng pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giáC.. Ta loại đi những điểm biểu diễn của ngh[r]

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾt Dạng tốn 1: Phƣơng trình lƣợng giác Phƣơng trình: sin x  m (1) * Nếu: m   Phương trình vơ nghiệm    * Nếu: m       ;  sin   m  2  x    k 2  (1)  sin x  sin     x      k 2 ( k ¢ )        Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 ta viết   arcsin m sin   m *Các trường hợp đặc biệt: sin x   x    k 2  sin x  1  x    k 2 sin x   x  k Phƣơng trình: cos x  m (2) * Nếu: m   phương trình vơ nghiệm * Nếu: m     [0; ] : cos   m  x    k 2 ( k  Z )  (2)  cos x  cos     x    k 2 0     Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  ta viết   arccosm cos   m * Các trường hợp đặc biệt: cos x   x  k2 cos x  1  x    k2 cos x   x    k Phƣơng trình : tan x  m (3)    Với m      ;  : tan   m  2  (3)  tan x  tan   x    k        Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 ta viết   arctanm tan   m * Các trường hợp đặc biệt: tan x   x    k  tan x  1  x    k tan x   x  k Phƣơng trình: cot x  m (4)   Với m    (  ; ) : cot   m 2  (4)  cot x  cot   x    k        Chú ý : * Nếu  thỏa mãn  2 ta viết   arc co t m cot   m * Các trường hợp đặc biệt: cot x   x    k  co t x  1  x    k cot x   x  Ghi chú:   k u  v  k  * sin u  sin v   u    v  k  * cos u  cos v  u  v  k 2 ( k ¢ ) ( k ¢ ) u  v  k  * tan u  tan v    u, v   n   ( k , n¢ ) u  v  k * cot u  cot v   ( k , n¢ ) u, v  n Dạng Phƣơng trình bậc sinx cosx Là phương trình có dạng: a sin x  b cos x  c (1) ; với a, b, c ¡ a2  b2  a2  b2 đặt Cách giải: Chia hai vế cho cos   a a b 2 ; sin   b a  b2 Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn) XOẠN TIN NHẮN: “TÔI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU ĐỀ THI FILE WORD” RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0969.912.851  (1)  sin x.cos   cos x.sin   c a  b2  sin( x  )  Chú ý:  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm  a2  b2  c 1   cos x   sin( x  )  sin x  cos x   sin x        sin x  cos x   sin x  cos x   sin( x  )   c a2  b2 (2)    sin x  cos x   sin( x  )  sin x  cos x     Dạng Phƣơng trình bậc hai chứa hàm số lƣợng giác sin u( x)  sin u( x)      cos u( x)  cos u( x)    b c  Là phương trình có dạng : a  tan u( x)   tan u( x)      cot u( x)  cot u( x)  sin u( x)    cos u( x)   Cách giải: Đặt t  ta có phương trình : at  bt  c   tan u( x)   cot u( x)  Giải phương trình ta tìm t , từ tìm x sin u( x)  Khi đặt t    , ta co điều kiện: t    1;1 cos u( x) Dạng Phƣơng trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f (sin x,cos x)  luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x  (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn tan x Dạng Phƣơng trình đối xứng (phản đối xứng) sinx cosx Là phương trình có dạng: a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  (3) Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t2   sin x cos x    t  sin x  cos x  sin  x     4    t   2;     Thay (5) ta phương trình bậc hai theo t Ngồi cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  (3’) t    2;       Để giải phương trình ta đặt t  sin x  cos x  sin  x      sin x cos x   t   Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề Giải phƣơng trình lƣợng giác Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: cos2 x  sin 2x  sin x  cos 2x  sin(2x  350 )  sin(2x  1)  cos(3x  1)  Lời giải:  Phương trình  cos x  sin x  cos(  x)   2   x   k  x   x  k 2 , k ¢    x     k 2  x     x  k 2   2 Phương trình cos2 x  2sin x cos x  cos x  cos x   cos x(cos x  sin x)      tan x  sin x  cos x      x   k  ,k ¢  x  arctan  k  Phương trình  sin(2 x  350 )   sin 600  950  k.180 x   x  350  600  k 3600   0 0 1550   x  35  180  60  k 360  x   k.180   Phương trình  cos(3x  1)  sin(2 x  1)  cos   x   2       x    k 2  3x    x   k 2    x     k 2  x      x   k 2   10 Ví dụ Giải phương trình sau: cos x  2sin 2x  sin2 2x  cos2 2x  cos 3x sin x sin 3x  cos x cos 3x   sin 2x.cos 3x  sin 5x.cos6x sin x  sin 2x  sin 3x  cos x  cos 2x  cos 3x sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x cos2 3x cos 2x  cos2 x  Lời giải: Phương trình  cos x  4sin x cos x   cos x(1  4sin x)    cos x   x   k   sin x   x  arcsin  k 2, x    arcsin  k 2   4 Ta có sin x  3sin x  sin 3x cos 3x  3cos x ; cos3 x  4 Nên phương trình cho tương đương với sin 3x  3sin x  sin 3x   cos 3x  cos 3x  3cos x      sin 3x sin x  cos 3x cos x      3cos x   5    cos x   x    k , k  ¢ 2 12 Phương trình  sin2 2x  cos2 2x  cos 3x  cos 4x   cos 3x  cos    3x    2  x    3x  k 2 x k    7   x    3x  k 2  x    k 2 Phương trình  1 sin 5x  sin x   sin11x  sin x   2  sin 5x  sin11x  x  k    x  k 16 Phương trình  (sin x  sin 3x)  sin 2x  (cos x  cos 3x)  cos 2x  2sin 2x cos x  sin 2x  2cos 2x cos x  cos 2x Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn) XOẠN TIN NHẮN: “TƠI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU ĐỀ THI FILE WORD” RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0969.912.851  2  x  k 2  cos x      (2cos x  1)(sin 2x  cos 2x)       x k sin x  cos x  Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: Phương trình   cos x  cos x  cos10 x  cos12 x    2 2  cos6x  cos8x  cos10x  cos12x    x   k cos x   cos7 x cos x  cos11x cos x    x  k  ; x  k  cos11x  cos7 x  Phương trình  (1  cos6x)cos 2x   cos 2x   cos6x.cos 2x    cos8x  cos 4x    cos2 x  cos x    cos x   x  k Nhận xét:  * Ở cos6x.cos 2x   ta sử dụng công thức nhân ba, thay cos6x  4cos3 2x  3cos 2x chuyển phương trình trùng phương hàm số lượng giác cos 2x * Ta sử dụng cơng thức nhân từ đầu, chuyển phương trình cho phương trình chứa cosx đặt t  cos2 x Tuy nhiên cách trình bày đẹp sử dụng cơng thức hạ bậc cơng thức biến đổi tích thành tổng Ví dụ Giải phương trình sau: sin 2x  cos x  1 sin x  cos x  sin 3x  cos 3x  cos x  sin x  sin x  cos x  3(sin x  cos x) sin 3x  cos 3x  sin x sin x  cos x sin 2x  cos 3x  2(cos x  sin x) Lời giải: Phương trình  3sin x  4 cos x  tan x    4  x  arctan     k  3    Phương trình  sin(2 x  )   sin(2 x  )   sin 3   2x    2x         k 2 x    k  12  , k ¢ 5    k 2 x   k  Ta có 22   5   52  phương trình vơ nghiệm Phương trình  cos x  sin x  x   cos( x  )  3   arccos  k 2 , k ¢ Phương trình  sin7 x  cos7 x  sin 2x  cos 2x        x   36  k 7 x   x   k     cos(7 x  )  cos( x  )    , k ¢ x    k  7 x     x    k    16   3x   x  k 2   Phương trình  sin(3x  )  sin x    3x      x  k 2   x   x     k 2 , k ¢ 4 2 k 15 Phương trình  3 sin x  sin 3x  cos 3x  cos x  sin x  sin 3x 2 2   x    k 2    sin 3x  cos 3x  cos 4x  cos(3 x  )  cos x    x    k 2  42 Ví dụ Giải phương trình sau:   tan   sin x  1  4  cos( sin x)  cos(3 sin x) Lời giải: sin x  k  3 sin x   sin x  k 2 Phương trình    sin x  n  sin x   sin x  n     Xét phương trình sin x  k Do k ¢ 1  sin x  nên ta có giá trị k : 1,0,1 Từ ta có nghiệm: x  m, x   Xét phương trình sin x    m, m  ¢ n Ta có giá trị n là: n  2, n  1, n  Từ ta tìm nghiệm là: x     l, x  l, x    l, l  ¢ Vậy nghiệm phương trình cho là: x  m, x     m, x    m m  ¢ Phương trình    sin x  1   k  4  sin x    4k  sin x  4k  sin x   x  m , m¢ Ví dụ Giải phương trình sau:    sin x     cos x  2 sin x 3sin2 x  5cos2 x  2cos 2x  4sin 2x  x  x sin    tan x  cos2  2 4 5sin x   1  sin x  tan x Lời giải: Phương trình  sin x  cos x  cos x  sin x  2 sin 2x   7  sin( x  )  cos( x  )  sin x  sin( x  )  sin x 6 12  7  7  x  12  k 2  x  x  12  k 2    x  5  k   x    x    k 2   36 12 Phương trình cho tương đương với 3sin2 x  5cos2 x  2(cos2 x  sin2 x)  sin x cos x  5sin2 x  8sin x cos x  3cos2 x   5tan2 x  tan x    tan x  tan x  x   k x  arctan  k Điều kiện : cos x   x    k Phương trình  5sin x   3(1  sin x)  5sin x   3(1  sin x)  5sin x   sin x cos2 x sin x  sin x sin x  (5sin x  2)(1  sin x)  3sin x  sin x ... Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn) XOẠN TIN NHẮN: “TƠI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU ĐỀ THI FILE WORD? ?? RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0969.912.851  (1)  sin x.cos   cos x.sin   c a  b2 ... Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn) XOẠN TIN NHẮN: “TƠI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU ĐỀ THI FILE WORD? ?? RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0969.912.851  2  x  k 2  cos x      (2cos x ... Hướng dẫn đăng ký tài liệu(số lượng có hạn) XOẠN TIN NHẮN: “TƠI MUỐN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU ĐỀ THI FILE WORD? ?? RỒI GỬI ĐẾN SỐ ĐIỆN THOẠI: 0969.912.851    sin x Phương trình  1  cos( x  )  (1