Đang tải... (xem toàn văn)
sang vò trí khaùc, trong khoaûng thôøi gian voâ cuøng beùù (chuyeån ñoäng töùc thôøi), coù theå ñöôïc thöïc hieän nhôø chuyeån ñoäng tònh tieán, töông öùng vôùi chuyeån dòch cuûa moät ñi[r]
(1)CƠ HỌC LÝ THUYẾT
(Tóm tắt lý thuyết & Bài tập mẫu) Trịnh Anh Ngọc
(2)i
Lời khuyên
We are what we repeatedly Excellence, then, is not an act, but a habit
Aristotle Không hy vọng học bơi mà khơng bị ướt Cũng khơng có hy vọng học bơi mà nhờ đọc sách hay nhìn người khác bơi Bơi lội học mà thực hành Chỉ có cách học tự "ném" xuống nước tập luyện hàng tuần, chí hàng tháng, tập luyện trở thành phản xạ nhẹ nhàng Tương tự vậy, học học cách thụ động Không giải nhiều tốn có tính thách thức, người sinh viên khơng có cách khác để kiểm tra lực hiểu biết mơn học Đây nơi sinh viên gặt hái tự tin, cảm giác thỏa mãn lôi nảy sinh nhờ hiểu biết xác thực nguyên lý ẩn tàng Khả giải toán chứng minh tốt nắm vững môn học Như bơi lội, bạn giải nhiều toán, bạn sắc xảo, nắm bắt nhanh kỹ giải toán Để thu lợi đầy đủ từ thí dụ tập giải tài liệu (cũng sách tập mà bạn có), tránh tham khảo lời giải q sớm Nếu bạn khơng thể giải tốn sau nổ lực ban đầu, thử cố gắng lần nữa! Nếu bạn tìm đọc lời giải sau nhiều lần nổ lực, giữ lại trí bạn thời gian dài Cịn bạn tìm lời giải riêng cho tốn, nên so sánh với lời giải sách Bạn tìm thấy lời giải gọn hơn, cách tiếp cận thông minh
Tài liệu ôn tập thay cho sách lý thuyết sách tập học Nó có tác dụng giúp bạn ơn tập có chủ điểm số vấn đề quan trọng chương trình mơn học lý thuyết Một điều quan trọng: sách tập nói chung thường chứa đựng nhiều, nhiều thí dụ tập, bạn tuyệt đối nên tránh cố gắng nhớ nhiều kỹ thuật lời giải nó; thay thế, bạn nên tập trung vào hiểu biết khái niệm tảng mà hàm chứa Hãy bắt đầu HỌC TẬP
(3)Muïc luïc
1 ĐỘNG HỌC
1 Phương pháp mô tả chuyển động
1.1 Hệ tọa độ
1.2 Luật chuyển động - Vận tốc - Gia tốc
1.3 Vài chuyển động quan trọng
2 Chuyển động cố thể
2.1 Trường vận tốc cố thể
2.2 Hợp chuyển động
2 ĐỘNG LỰC HỌC Các định luật Newton
1.1 Lực
1.2 Hai toán động lực học
1.3 Các định lý tổng quát động lực học 10
3 CƠ HỌC GIẢI TÍCH 15 Các khái niệm 15
2 Phương trình Lagrange 16
2.1 Phương trình tổng quát động lực học 16
2.2 Phương trình Lagrange loại hai 16
2.3 Trường hợp hệ bảo toàn 17
2.4 Thủ tục thiết lập phương trình Lagrange loại hai 18
BÀI TẬP 19
(4)MỤC LỤC iii
LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP 33
A Đề thi mẫu 52
B Đề thi môn Cơ học lý thuyết 60
(5)Chương 1
ĐỘNG HỌC
Để hiều biết cách giải toán học sinh viên thiết phải nắm vững lý thuyết học Phần lý thuyết tóm lược điểm chính, sinh viên nên học lại phần lý thuyết tương ứng sách lý thuyết
1 Phương pháp mô tả chuyển động
Kiến thức cần biết: (1) đại số vectơ (2) giải tích vectơ (xem Ch 0, [1]) Làm tập từ đến
1.1 Hệ tọa độ
Hình 1: Vectơ sở địa phương
(6)CHƯƠNG ĐỘNG HỌC + Hệ tọa độ Descartes:
M(x, y, z) ⇔ r=xi+yj+zk (1.1)
⇒ dr= (dx)i+ (dy)j+ (dz)k (1.2) + Hệ tọa độ trụ:
M(r, ϕ, z) ⇔ r=rer+zez (1.3)
⇒ dr= (dr)er+ (rdϕ)eϕ+ (dz)ez (1.4)
trong er,eϕ,ez vectơ sở địa phương tọa độ trụ M
+ Hệ tọa độ cầu:
M(r, ϕ, θ) ⇔ r=rer (1.5)
⇒ dr= (dr)er+ (rdϕ)eϕ+ (rdθ)eθ (1.6)
trong er,eϕ,eθ vectơ sở địa phương tọa độ cầu M
Hệ tọa độ Quan hệ với tọa độ Vectơ sở địa phương Descartes
Truï x =rcosϕ er= cosϕi+ sinϕj
(r, ϕ, z) y=rsinϕ eϕ=−sinϕi+ cosϕj
z =z ez =k
Caàu x =rsinθcosϕ er= sinθ(cosϕi+ sinϕj) + cosθk
(r, ϕ, θ) y=rsinθsinϕ eϕ= sinθ(−sinϕi+ cosϕj)
z =rcosθ eθ = cosθ(cosϕi+ sinϕj)−sinθk
Hình 2: Vectơ sở địa phương tọa độ tự nhiên
Trên đường cong C, chọn điểm M0 chiều dương C Hoành
độ cong điểmM C số đại sốs có trị tuyệt đối chiều dài cung
_
M0M lấy dấu cộng chiều từ M0 đến M chiều dương, dấu trừ
(7)CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Hình thể vectơ sở địa phương hệ tọa độ tự nhiên (hoành độ cong s) đường cong có phương trình tham số r=r(s)
Vectơ tiếp tuyến đơn vị t:
t= dr
ds (1.7)
Vectơ pháp tuyến đơn vịn xác định cho
dt
ds =kn=
1
ρn, (1.8)
trong k = 1/ρ độ cong, ρ bán kính cong (của đường cong) M Chú
ý, vectơ pháp tuyến đơn vị n hướng bề lõm đường cong C
Vectơ lưỡng pháp tuyến đơn vị:
b=t×n (1.9)
+ Tọa độ tự nhiên:
M(s) ⇔ r=r(s) (1.10)
⇒ dr= (ds)dr
ds = (ds)t (1.11)
1.2 Luật chuyển động - Vận tốc - Gia tốc
Phương pháp Luật chuyển động Vận tốc Gia tốc
Vectụ r=f(t) r ăr
Descartes {i,j,k}
x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
( x,y, z) (ăx,y,ă ză)
Truï {er,eϕ,k}
r = f(t)
ϕ = g(t)
z = h(t)
( r, r, z) (ărr2,2 r +r,ă ăz)
Cc {er,e}
r = f(t)
ϕ = g(t) ( r, r) (ărr
2,2 r+ră)
T nhiờn
{t,n,b} s=f(t) (v,0), v = ˙s
(8)CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Tốc độv =|v|
Trong tọa độ tự nhiên, tốc độ v = ˙s, gia tốc tiếp wt = ˙v, gia tốc pháp
wn=v2/ρ
Cơng thức tính bán kính cong (ký hiệu w=|w|):
ρ= v
2
p
w2−w2
t
(1.12)
Tích vơ hướng v·w vận tốc gia tốc thể nhanh chậm chuyển động
v·w=vv˙
>0 nhanh daàn
<0 chậm dần =
(1.13)
1.3 Vài chuyển động quan trọng
? Chuyển động tròn Điểm chuyển động tròn trongOxy quanhO Ký hiệu: r
- vectơ định vị điểm, ϕ - góc quay, ω = ˙ϕ - vận tốc góc, ~ω = ωk - vectơ vận
tốc góc Vận tốc điểm
v=~ω×r (1.14)
Gia tốc điểm
w=~×r
| {z }
wt
−ω2r
| {z }
wn
, (1.15)
trong đó~=d~ω/dt (=dω/dt) vectơ gia tốc góc
Nếu chuyển động v = ωR (ω = const) gia tốc hướng tâm w=ω2R (R - bán kính quỹ đạo)
? Chuyển động có gia tốc xuyên tâm
gia tốc xuyên tâm ⇔ r×v=c (const)⇒ Quỹ đạo phẳng
⇔ vận tốc diện tích d~σ dt =
1
2r×v=
(9)CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Công thức Binet:
mc2
r2
d2
dϕ2
1
r
+1
r
=−F (1.16)
◦ Phân loại toán động học điểm
Bài toán thứ nhất: Tìm phương trình chuyển động (luật chuyển động), phương trình quỹ đạo, vận tốc, gia tốc, gia tốc tiếp, gia tốc pháp, bán kính cong quỹ đạo
Bài toán thứ hai: Khảo sát chuyển động nhanh dần đều, chậm dần
2 Chuyển động cố thể
Cố thể hệ mà khoảng cách điểm khơng thay đổi q trình chuyển động Vị trí cố thể xác định ba điểm không thẳng hàng
2.1 Trường vận tốc cố thể
Định lý Trường vận tốc cố thể (S) trường đẳng chiếu
v(M)·
-MN=v(N)·
-MN ∀M, N ∈(S) (1.17) ? Chuyển động tịnh tiến
Cố thể (S) chuyển động tịnh tiến vectơ nối hai điểm
nó ln ln phương với
Trường vận tốc, gia tốc chuyển động tịnh tiến trường Chuyển động (S) dẫn chuyển động điểm thuộc (S)
? Chuyển động quay quanh trục cố định
Cố thể (S) chuyển động quay quanh trục cố định có hai điểm
cố định Trục quay đường thẳng qua hai điểm cố định Các điểm nằm ngồi trục quay chuyển động trịn với tâm nằm trục quay
(10)CHƯƠNG ĐỘNG HỌC Phương trình chuyển động: ϕ =ϕ(t)
Trường vận tốc:
v(M) =~ω×r, (1.18)
trong ~ω = ˙ϕk vectơ vận tốc góc Trường gia tốc:
w(M) =~ìr+~ì(~ìr), (1.19)
trong ú ~= ăk l vectơ gia tốc góc Gia tốc tiếp wt =~×r, gia tốc pháp
wn =~ω×(~ω×r)
? Chuyển động tổng quát Chuyển dịch cố thể từ vị trí
sang vị trí khác, khoảng thời gian vơ béù (chuyển động tức thời), thực nhờ chuyển động tịnh tiến, tương ứng với chuyển dịch điểm, chuyển động quay quanh trục qua điểm
Trường vận tốc cố thể chuyển động tổng quát (công thức Euler):
v(M) =v(C) +ω(t)×
-CM (1.20)
? Chuyển động song phẳng
Cố thể (S)chuyển động song phẳng có ba điểm khơng thẳng hàng
luôn chuyển động mặt phẳng (π) cố định Khi khảo sát chuyển
động song phẳng ta cần xét chuyển động tiết diện (phần giao cố thể với (π)) Chuyển động tức thời cố thể gồm: chuyển
động chuyển động quay quanh trục vng góc với (π), chuyển động
tịnh tiến xác định chuyển động giao điểm trục quay tức thời với mặt phẳng (π)gọi tâm vận tốc tức thời
◦ Phân loại toán động học cố thể
Bài toán thứ nhất: Khảo sát chuyển động quay cố thể quanh trục cố định Vấn đề: tìm ϕ, ω, cố thể; vận tốc, gia tốc điểm
trên cố thể
Bài tốn thứ hai: Bài toán chuyền động
Bài toán thứ ba: Kết hợp với chuyển động quay với chuyển động tịnh tiến
2.2 Hợp chuyển động
• Hệ quy chiếu cố định (T) =Oxyz, chuyển động củaM (T)gọi
(11)CHƯƠNG ĐỘNG HỌC gọi vận tốc, gia tốc tuyệt đối M
• Hệ quy chiếu động (T1) = O1x1y1z1 ((T1) chuyển động (T)),
chuyển động M đối với(T1)gọi chuyển động tương đối vr, wr
- vận tốc, gia tốc M (T1), gọi vận tốc, gia tốc tương đối
cuûa M
• Chuyển động (T1) (T) gọi chuyển động theo Chuyển
động điểmP, gắn với(T1)trùng với M thời điểm xét, đối
với (T)gọi chuyển động theo M ve, we - vận tốc, gia tốc củaP
đối với (T), gọi vận tốc, gia tốc theo M ? Công thức cộng vận tốc:
va =vr+ve (1.21)
? Công thức cộng gia tốc:
wa =wr+we+wc, (1.22)
trong
wc = 2~ω×vr (1.23)
là gia tốc Coriolis sinh chuyển động quay (T1) đối với(T)
◦ Phân loại toán hợp chuyển động
Bài toán thứ nhất: Bài toán tổng hợp chuyển động
Bài toán thứ hai: Bài tốn phân tích chuyển động
? Chuyển động song phẳng chuyển động cố thể có ba điểm
không thẳng hàng thuộc cố thể luôn chuyển động mặt phẳng cố định Chuyển động song phẳng xét cách khảo sát chuyển động hình phẳng S thuộc cố thể nằm mặt phẳng cố định Giao điểm
của trục quay tức thời cố thể với mặt phẳng cố định gọi tâm quay hay tâm vận tốc tức thời
◦ Phân loại toán chuyển động song phẳng
Tính vận tốc góc hình phẳng, tính vận tốc điểm hình phẳng
Tính gia tốc góc hình phẳng, tính gia tốc điểm hình phẳng
(12)Chương 2
ĐỘNG LỰC HỌC
1 Các định luật Newton
Nội dung định luật, xem Muïc 1.2, [1]
1.1 Lực
Quan hệ lực chuyển động nội dung định luật thứ hai
F=mw (2.1)
? Lực hấp dẫn Hai vật khối lượng m1, m2 hút lực có phương
là đường nối khối tâm chúng độ lớn
F =Gm1m2
d2 , (2.2)
trong dlà khoảng cách hai khối tâm vàG≈6,67×10−11
m3/s2kg là hằng
số hấp dẫn
Trọng lượng vật môđun lực hút trái đất tác dụng lên vật
? Lực ma sát Lực ma sát nằm mặt phẳng tiếp xúc vật,
ngược hướng với chiều chuyển động vật hay chiều lực tác dụng vào vật Về độ lớn lực ma sát tỉ lệ với phản lực pháp tuyến
Fms =ηRn, (2.3)
(13)CHƯƠNG ĐỘNG LỰC HỌC η hệ số ma sát
?Lực cản môi trường Vật chuyển động môi trường không
khí, nước, ln ln chịu sức cản có hướng ngược với hướng chuyển động có độ lớn tỉ lệ với lũy thừa vận tốc
F =µvα (2.4)
Hệ số tỉ lệ µ phụ thuộc chất mơi trường, kích thước hình dáng
của vật; α số phụ thuộc vào chuyển động Trong chuyển động
với vận tốc lớn không vượt vận tốc âm, thực nghiệm cho thấy, lực cản môi trường tỉ lệ với bình phương vận tốc (α = 2)
Nếu vật rơi tự khơng khí lực cản F tăng dần từ 0cùng
với gia tăng vận tốc Cuối F trọng lực mg vật
Sau vận tốc vật không tăng lên khơng có gia tốc Vận tốc khơng đổi này, gọi vận tốc giới hạn (xác định từ phương trình F =mg)
?Lực đàn hồi Khi lò xo bị kéo dãn ∆x=x−x0 tác dụng lên vật
gây lực kéo lực Fđh tỉ lệ với độ giãn ∆x, ngược với hướng lực kéo
Fñh =−k∆x (2.5)
Hệ số tỉ lệ k gọi độ cứng lị xo
1.2 Hai tốn động lực học Các bước cần thực phân tích tốn học:
+ Chọn hệ quy chiếu hệ tọa độ gắn với hệ quy chiếu + Chọn đối tượng khảo sát (một hay nhiều vật)
+ Phân tích lực tác dụng lên đối tượng khảo sát (vẽ sơ đồ lực) + Áp dụng định luật Newton thiết lập phương trình hay hệ phương trình xác định đại lượng cần tìm
Các tốn động lực học thuộc hai dạng:
Bài toán thuận Cho chuyển động chất điểm tìm lực tác dụng lên chất điểm
(14)CHƯƠNG ĐỘNG LỰC HỌC 10 1.3 Các định lý tổng quát động lực học
Nội dung định lý, xem Mục 1.5, 2.1, 2.2 2.3, [1] Lưu ý số khái niệm công thức cần thiết
? Khối tâm hệ điểm hình học C xác định
rC =
1
M
X
mkrk, (2.6)
trong rk vectơ định vị chất điểm thứ k, M = P
mk khối lượng
toàn hệ
? Động lượng hệ
P=Xmkvk =MvC
Định lý (Định lý động lượng hệ)
˙
P =XF(ke) (2.7)
Định lý (nh lý chuyn ng tõm)
MărC = X
F(ke) (2.8)
? Mơmen qn tính hệ điểm O:
JO= X
mkr2k, (2.9)
trong rk khoảng cách từ chất điểm thứk đến O
? Mơmen qn tính hệ trục ∆:
J∆=
X
(15)CHƯƠNG ĐỘNG LỰC HỌC 11 dk khoảng cách từ chất điểm thứ k đến ∆
? Tenxơ quán tính ma trận
J=
Jx −Jxy −Jxz
−Jyx Jy −Jyz
−Jzx −Jzy Jz
, (2.11)
trong Jx, Jy, Jz mơmen qn tính hệ trục Ox, Oy, Oz;
Jxy, Jxz, mômen quán tính ly tâm hệ
Jxy =Jyx = X
mkxkyk, Jyz =Jzx = X
mkykzk, Jzx =Jxz = X
mkzkxk.(2.12)
Nếu n= [cosα,cosβ,cosγ]T vectơ đơn vị trục∆thì J
∆=nTJn Định lý (Định lý Huygens)
J∆=JC +Md2, (2.13)
trong d khoảng cách hai trục
? Công thức tính mơmen qn tính cần nhớ
1 Thanh mảnh đồng chất chiều dàil, khối lượngM trục qua khối
tâm vng góc với
JC =
1 12Ml
2. (2.14)
2 Vòng đồng chất bán kính R, khối lượng M trục qua tâm
vng góc với mặt phẳng chứa vòng
JC =MR2 (2.15)
3 Đĩa tròn đồng chất bán kính R, khối lượng M trục qua tâm
vng góc với đĩa
JC =
1 2MR
(16)CHƯƠNG ĐỘNG LỰC HỌC 12 Hình trụ trịn đồng chất bán kính R, khối lượng M trục hình
trụ1
JC =MR2 (2.17)
? Mơmen động lượng hệ
L=Xrk×mkvk =rC×MvC+ X
r0
k×mkv
0
k (2.18)
Đặc biệt, chuyển động quay ~ω,
L=J~ω (2.19)
Chieáu xuống trục quay ∆
L∆=J∆ω (2.20)
Định lý (Định lý mômen động lượng hệ)
˙
L=Xrk×F(ke) (2.21)
? Động
T =
X
mkvk2 =
1 2Mv
2
C + X
mkvk02
Trường hợp đặc biệt:
(1) Chuyển động tịnh tiến
T =
2Mv
2
C (2.22)
(2) Chuyển động quay quanh trục∆
T = 2J∆ω
2. (2.23)
1Đây công thức tính mơmen qn tính cho ống trụ Trường hợp khối trụ (đặc) J
C=
(17)CHƯƠNG ĐỘNG LỰC HỌC 13
? Công
Cơng phân tố lực F làm chất điểm thực chuyển dịch vô bé dr, ký hiệu δW,
δW =F·dr (2.24)
Cơng (tồn phần) làm chất điểm chuyển dịch từ điểmAđến điểm B, ký
hieäu W,
W =
Z C(A,B)
F·dr, (tích phân đường loại 2) (2.25)
trong C(A, B)là đường cong định hướng từ A đến B
Lực F gọi lực bảo toàn tồn hàm V(x, y, z) (chỉ phụ thuộc vị
trí) cho
F=− 5V (2.26)
Hàm V gọi hàm thếhay HàmU =−V gọi hàm lực ? Vài cơng thức tính cơng lực hàm
1 Công trọng lực (trụcz thẳng đứng hướng lên):
δW =mg·dr=−mgdz (2.27)
Cơng tồn phần (từ A đếnB)
W =mg(zA−zB) (2.28)
Hàm trọng lực: V =mgz+C
2 Công lực đàn hồi gây lò xo độ cứng k có độ giãn x (lị xo nằm
ngang theo phương x, gốc tọa độ chọn vị trí cân bằng)
δW =−kxdx (2.29)
Cơng tồn phần (từ A đếnB)
W = k
2(x
2
A−x2B) (2.30)
Hàm lực đàn hồi: V = k
(18)CHƯƠNG ĐỘNG LỰC HỌC 14 Công lực ma sát
δW =−ηRndx (2.31)
Công lực ma sát ln ln âm (cơng cản) Lực ma sát khơng Công lực chuyển động quay quanh trục
δW =ωM∆(F)dt, (2.32)
trong M∆(F) chiếu mơmen lực F xuống trục ∆, cịn gọi
mômen lực trục ∆
Định lý (Định lý động hệ)
dT =XF(ke)·δrk+ X
F(ki)·δrk (2.33)
◦ Phân loại toán áp dụng định lý tổng quát
Bài tốn thứ nhất: Dùng định lý bảo tồn động lượng định lý bảo tồn mơmen động lượng để tìm chuyển dịch vài phân tồn hệ
Bài toán thứ hai: Dùng định lý động lượng để xác định phản lực liên kết
(19)Chương 3
CƠ HỌC GIẢI TÍCH
1 Các khái niệm bản
Cơ hệ gồm N chất điểm
M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), , MN(xN, yN, zN)
khối lượng m1, m2, , mN Vị trí hệ xác định biết 3N tọa độ
x1, y1, z1;x2, y2, z2; .;xN, yN, zN Một vị trí hệ gọi cấu hình
hệ Giả sử hệ chịu r ràng buộc độc lập (hạn chế xét trường hợp hệ chịu
liên kết hình học)
fα(xk, yk, zk) = (α = 1,2, , r) (3.1)
• Nếu cấu hình hệ xác định giá trị biến độc lập q1, q2, , qd, {q1, q2, , qd} gọi tập tọa độ
suy rộng hệ Số tọa độ suy rộng gọi bậc tự docủa hệ Trường hợp hệ chịu r liên kết hình học số tọa độ suy rộng d= 3N −r
• Đạo hàm theo thời gian tọa độ suy rộng gọi vận tốc suy rộng hệ
˙
q1,q˙2, ,q˙d
• Ở cấu hình cho trước hệ xk, yk, zk (k = 1,2, , N), giả sử
chất điểm thực chuyển dịch ∆xk,∆yk,∆zk đến cấu hình xk +
∆xk, yk+ ∆yk, zk+ ∆zk thỏa ràng buộc (3.1),
∂fα
∂t ∆t+
X k
∂fα
∂xk
∆xk+
∂fα
∂yk
∆yk+
∂fα
∂zk
∆zk
= (3.2)
(20)CHƯƠNG CƠ HỌC GIẢI TÍCH 16 Ta gọi chuyển dịch ∆xk,∆yk,∆zk thỏa (3.2) chuyển dịch khả dó
(chuyển dịch xảy tác dụng lực cho trước - chuyển dịch thực - số chuyển dịch khả dĩ)
• Hiệu hai chuyển dịch khả dó gọi chuyển dịch ảo, ký hiệu δxk, δyk, δzk, chúng thỏa điều kiện
X k
∂fα
∂xk
δxk+ ∂fα
∂yk
δyk+∂fα
∂zk
δzk
= (3.3)
2 Phương trình Lagrange
Các phương trình Lagrange rút từ ngun lý cơng ảo, cịn gọi ngun lý chuyển dịch ảo
2.1 Phương trình tổng quát động lực học
Định lý 7(Nguyên lý công ảo) Trong trường hợp liên kết đặt lên hệ lý tưởng, tổng công phân tố lực chủ động lực quán tính tác dụng lên hệ chuyển dịch ảo không thời điểm
X k
[(Fxkmkxăk)xk+ (Fykmkyăk)yk+ (Fzkmkzăk)zk] = (3.4)
Phương trình (3.4) gọi phương trình tổng quát động lực học
2.2 Phương trình Lagrange loại hai
d dt
∂T ∂q˙s −
∂T ∂qs
=Qs (s= 1,2, , d), (3.5)