Giáo trình môn học cơ học lý thuyết

Còn các lực không phải là lực liên kết gọi là lực hoạt động - đó là các lực cho trớc tác dụng lên vật rắn và không bị biến mất cùng với liên kết.. Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn tự

Lời nói đầu

Cơ học lý thuyết là môn khoa học cơ học cơ sở nghiêm cứu chuyển động cơ học của vật rắn và thiết lập các quy luật tổng quát các chuyển động đó

Nội dung tài liệu này gồm có ba phần :

Nội dung tài liệu là một phần của chơng trình cơ học lý thuyết đợc giảng dạy trong các trờng đại học kỹ thuật Do đó việc nắm vững nộ dung tài liệu này sẽ tạo điều kiện cho ngời học nghiên cứu tiếp chơng trình đại học một cách thuận lợi

Trong quá trình biên soạn có thể còn nhiều thiếu sót cả về nội dung lẫn hình thức.Tác giả rất mong độc giả góp ý kiến phê bình để giáo trình ngày càng hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn!

Các tác giả

Phần mộtTĩnh học Vật rắn

Tĩnh học vật rắn là phần nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dới tác

Hai vấn đề chính đợc nghiên cứu trong phần này:

- Thu gọn hệ lực về dạng đơn giản tơng đơng với nó

- Thiết lập điều kiện cân bằng của hệ lực

Để giải quyết hai vấn đề này ngời ta sử dụng phơng pháp tiên đề (phơng pháp dựa trên các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề) và phơng pháp mô hình hoá

Chơng I các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề của tĩnh học

1.1 Các khái niệm cơ bản và một số định nghĩa

1.1.1.1 Vật thể.

Mô hình của vât thể gồm:

 Chất điểm ( vật điểm ): là điểm hình học có mang khối lợng, là mô

hình của các vật thể mà kích thớc của nó có thể bỏ qua do nhỏ so với các vật thể khác hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát

 Cơ hệ: là tập hợp vô hạn hoặc hữu hạn các chất điểm có quan hệ lẫn

nhau

o Cơ hệ tự do: là cơ hệ có thể thực hiện đợc mọi di chuyển vô

cùng bé từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận của nó

o Cơ hệ không tự do ( hay cơ hệ chịu liên kết): là cơ hệ mà trong

chuyển động của chúng có một hay một số di chuyển bị cản trở bởi những vật khác

 Vật rắn tuyệt đối: là hệ các chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất

điểm bất kì của nó không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động Nhthế, dới tác dụng của lực vật rắn tuyệt đối không bị biến dạng - đây là một

sự lý tởng hoá vật rắn

- Quy ớc gọi tắt vật rắn tuyệt đối là vật rắn hoặc cố thể.

- Vật rắn đợc gọi là cân bằng khi vị trí của nó không thay đổi so với vị trí của một vật nào đó đợc chọ làm mốc để theo dõi chuyển động (hay cân bằng là sự đứng yên của vật so với hệ quy chiếu đã chọn)

- Trong tĩnh học, hệ quy chiếu đợc chọn là hệ quy chiếu quán tính

Thực nghiệm chứng minh rằng lực đợc đặc trng bởi ba yếu tố:

♦ Điểm đặt của lực: Là điểm mà vật đợc truyền tác dụng tơng hỗ cơ học

từ vật khác

♦ Phơng, chiều của lực: là phơng chiều chuyển động từ trạng thái yên

nghỉ của chất điểm chịu tác dụng của lực

♦ Cờng độ của lực: là số đo tác dụng mạnh yếu của lực so với lực đợc

- Hệ lực tơng đơng

hai hệ lực (F1,F2, ,Fn) và (P1,P2, ,Pn) đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tác dụng cơ học đối với một vật rắn (nghĩa là nếu đem hai hệ lực tác dụng lần lợt lên một vật rắn thì trạng thái cơ học của vật trong hai trờng hợp sẽ y nh nhau).

Ký hiệu hai hệ lực tơng đơng là:

), ,

ký hiệu: (F1,F2, ,Fn) ~ 0.

- Hệ vật rắn cân bằng

Hệ vật rắn đợc gọi là cân bằng nếu mỗi vật thuộc vật rắn cân bằng.

- Hệ lực không gian là hệ lực có đờng tác dụng nằm bất kỳ trong không gian.

- Hệ lực phẳng là hệ lực có đờng tác dụng nằm bất kỳ trong mặt phẳng

- Hệ lực song song là hệ lực có các đờng tác dụng song song với nhau

- Hệ lực đồng quy là hệ lực có các đờng tác dụng đi qua một điểm

- Hệ ngẫu lực là hệ lực có từng cặp lực song song , ngợc chiều và cùng cờng độ

1.1.3. Liên kết và phản lực liên kết.

Vật rắn có thể thực hiện đợc mọi di chuyển vô cùng bé từ vị trí đang xét sang

vị trí lân cận của nó gọi là vật rắn tự do.

Ngợc lại nếu một hay mốt số di chuyển của vật bị cản trở bởi những vật khác thì vật đó gọi là vật rắn không tự do.

Vật không tự do còn gọi là vật chịu liên kết, còn các vật khác cản trở vật đợc khảo sát gọi là vật gây liên kết

Những điều kiện cản trở di chuyển của vật khảo sát đợc gọi là liên kết đặt lên vật ấy Trong tĩnh học, ta chỉ nghiên cứu loại liên kết đợc thực hiện bằng sự tiếp xúc hình học giữa vật thể đợc khảo sát với vật thể khác, đó là những liên kết hình học

- Những lực đặc trng cho tác dụng tơng hỗ giữa các vật có liên kết với nhau qua chỗ tiếp xúc hình học gọi là lực liên kết Còn các lực không phải là lực liên kết gọi là lực hoạt động - đó là các lực cho trớc tác dụng lên vật rắn và không bị biến mất cùng với liên kết.

- Lực liên kết gồm có: áp lực và phản lực liên kết

+Phản lực liên kết: là lực liên kết do các vật gây liên kết tác dụng lên các vật

chịu liên kết, tức đóng vai trò ngoại lực nên ảnh hởng rất lớn đến vật khảo sát

Khi đó phản lực liên kết có phơng vuông góc với mặt tựa (hoặc đờng tựa)

đặt lên vật khảo sát và có chiếu hớng vào vật khảo sát Tên gọi là phản lực pháp

b Liên kết dây mềm, thẳng, không giãn

Phản lực liên kết đặt vào chỗ buộc dây, hớng dọc theo dây, có chiều hớng ra

ngoài vật khảo sát Tên gọi là sức căng của dây, ký hiệu là: T

Nếu một sợi dây đợc vắt qua vật (ròng rọc) thì phản lực của dây hớng dọc theo dây và có chiều hớng ra đối với mặt cắt của dây

- Gối đỡ bản lề di động:

Phản lực liên kết chỉ có 1 thành phần vuông góc với điểm tựa và đặt tại tâm bản lề

Gối đỡ bản lề di động cũng là một dạng của liên kết tựa

- Liên kết gối cầu:

Nếu bỏ qua trọng lợng của thanh và lực tác

dụng đặt ở hai đầu thì phản lực liên kết nằm dọc

theo thanh đối với thanh thẳng (hoặc có phơng

trùng với đờng nối hai đầu thanh đối với thanh

cong)

Trong trờng hợp này thanh chỉ chịu kéo hoặc chịu nén Nếu thanh chịu kéo thì phản lực hớng ra khỏi vật khảo sát (mặt cắt của thanh) và ngợc lại nếu thanh chịu nén thì phản lực hớng vào vật khảo sát Tên gọi là ứng lực

Nếu là ngàm không gian thì R0 đợc xác định bởi 3 thành phần X0, Y0, Z0

theo 3 trục tọa độ và véctơ mômen m0 cũng đợc phân tích làm 3 thành phần m , x

1.2 Hệ tiên đề của tĩnh học

1.2.1 Tiên đề 1 (Tiên đề về hai lực cân bằng).

Điều kiện cần và đủ để cho vật rắn tự do cân bằng dới tác dụng của hai lực

là hai lực này có cùng đờng tác dụng, ngợc chiều và cùng cờng độ.

ý nghĩa: Tiên đề 1 đa ra một tiêu chuẩn về cân bằng Để biết một hệ lực đã

cho có cân bằng hay không ta chỉ cần chứng minh hệ lực ấy tơng đơng với hai lực cân bằng

1.2.2 Tiên đề 2 (Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng).

Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn tự do không thay đổi nếu thêm hoặc bớt hai lực cân bằng

ý nghĩa: Tiên đề hai quy định một phép biến đổi tơng tơng cơ bản về lực.

Tác dụng của lực không thay đổi khi trợt lực trên đờng tác dụng của nó

Chứng minh: Giả sử F Atác dụng lên vật rắn tại điểm A Trên đờng tác dụng của

A

F Thêm bớt tại B hai lực cân bằng FB =−FB, =FA

Ta có FA ~ ( , ,, )

B B

2

1 F F

F=  + 

ý nghĩa: Tiên đề 3 cho phép biến đổi tơng đơng về hợp hai lực đồng quy và

phân tích một lực thành hai lực theo quy tắc hình bình hành lực Nhờ tiên đề này ngời ta đa phép cộng vectơ vào phép tính lực

1.2.4 Tiên đề 4 (Tiên đề tác dụng và phản tác dụng)

Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật có cùng đờng tác dụng, hớng ngợc chiều nhau và có cùng cờng độ.

Chú ý: Hệ lực (F,F,) không phải là hệ lực cân bằng vì chúng tác dụng vào hai vật rắn khác nhau

ý nghĩa: Tiên đề 4 là cơ sở để mở rộng các kết quả khảo sát đối với một vật

sang khảo sát hệ vật

1.2.5 Tiên đề 5 (Tiên đề hoá rắn).

Một vật biến dạng đã cân bằng dới tác dụng của một hệ lực thì khi hoá rắn lại nó vẫn cân bằng.

→

'

F F→

ý nghĩa: Tiên đề 5 quy định điều kiện cần để vật thể biến dạng ở trạng thái cân

bằng: đó là hệ lực tác dụng lên nó phải thoả mãn các điều kiện cân bằng của vật rắn tuyệt đối Nhờ tiên đề này ta có thể sử dụng kết quả dã nghiên cứu cho vật rắn cân bằng cho trờng hợp vật biến dạng cân bằng Tuy nhiên các kết quả đó cha đủ để giải quyết bài toán cân bằng của vật biến dạng mà phải thêm các giả thiết khác về biến dạng

1.2.6 Tiên đề 6 (Tiên đề giải phóng liên kết).

Vật rắn không tự do ( tức vật chịu liên kết) cân bằng có thể đợc xem là vật rắn tự do cân bằng nếu giải phóng các liên kết, thay thế tác dụng của các liên kết đợc giải phóng bằng các phản lực liên kết tơng ứng.

ý nghĩa: Nhờ tiên đề 6, các tiên đề phát biểu cho vật rắn tự do vẫn đúng cho vật

rắn chịu liên kết khi xem nó là vật rắn tự do chịu tác dụng của hệ lực gồm : các lực hoạt động tác dụng lên nó và các phản lực liên kết tơng ứng với các liên kết

đợc giải phóng

1.3 Các khái niệm về mômen lực

1.3.1 Mô men của lực đối với một điểm

Mô men của lực F đối với điểm 0, kí hiệu m0(F), là một vectơ vuông góc

với mặt phẳng chứa điểm 0 và lực F sao cho khi nhìn từ đầu mút của nó nhìn

xuống thấy lực F vòng quanh 0 theo chiều ngợc chiều kim đồng hồ

Trị số : m_0(F→) = F.d = 2dt∆ΟΑΒ

Vật rắn chịu liên kết

Vật rắn gây liên kết

Vật rắn tự do

X 

Y 

m 

Trong đó: d là khoảng cách vuông góc từ tâm

mômen O đến đờng tác dụng của lực, đợc gọi

là tay đòn của lực Fđối với tâm mômen O

)(

0

d

F F

m







* ý nghĩa : Đặc trng cho tác dụng quay của lực Fquanh điểm O

Nếu các lực cùng nằm trong mặt phẳng với điểm O thì các vectơ mômen của các lực đối với điểm O sẽ song song với nhau Trong trờng hợp đó ngời ta đ-

a ra khái niệm mômen đại số Kí hiệu: m O (F)

m0(F)=±F.d

Dấu “ + ” khi lực F vòng quanh O theo chiều ngợc chiều kim đồng hồ Dấu “ -

” trong trờng hợp ngợc lại

1.3.2 Mô men của lực đối với một trục.

) (

m  khi F =0hoặc lực và trục đồng phẳng.

1.3.3 Định lý liên hệ giữa mô men của lực đối với một điểm và mô men của lực đối với một trục.

địNH Lý: Mô men của lực F đối với trục ∆ bằng hình chiếu lên trục ấy của vectơ mô men của lực →

F đối với điểm 0 nằm trên trục.

F

m0() =2 ∆

, ,

2)(F dt OA B

Gọi α là góc giữa m0(F) với trục ∆ ,ta có:

α

cos

, ,B dt OAB OA

suy ra:

α

cos 2

2dt∆OA,B, = dt∆OAB

Vậy:

[ ( )]

cos.)()

(F m0 F hch m0 F

m∆  =   α = ∆   (đpcm)

1.3.4 Ngẫu lực

a Định nghĩa : Ngẫu lực là hệ gồm hai lực song

song ngợc chiều, cùng cờng độ và không cùng

- Cờng độ tác dụng: phụ thuộc vào lực tác dụng và cánh tay đòn, trong đó

cánh tay đòn là khoảng cách giữa hai đờng tác dụng của hai lực thành phần Cờng độ tác dụng của ngẫu lực có trị số F.d

Để biểu diễn nó ngời ta dùng vectơ mô men ngẫu lực, kí hiệu M , có gốc tại mặt phẳng ngẫu, có phơng vuông góc với mặt phẳng ngẫu và có hớng sao cho khi nhìn từ đầu mút của vectơ ấy xuống mặt phẳng ngẫu ta thấy ngẫu lực quay ngợc chiều kim đồng hồ và có môđun bằng mô men ngẫu lực

d F

Chú ý: Vectơ mômen của ngẫu lực là vectơ tự do về điểm đặt.

c Định lí liên hệ giữa vectơ mô men ngẫu lực và mô men của lực đối với một

M F

m F

m ()+  (,)= 

0 0

Vectơ mô men ngẫu lực bằng mô men của một lực thành phần đối với

điểm nằm trên đờng tác dụng của lực thành phần kia.

k kn

F F

F R

1 2

Từ tiên đề 3 ta có vectơ hợp lực R là vectơ khép kín của đa giác OABCD, các cạnh là các vectơ đợc biểu diễn bằng các lực thành phần Đa giác OABCD đ-

ợc gọi là đa giác lực Còn đa giác O’A’B’C’D’ gọi là đa giác vectơ

Vậy hợp lực của hệ lực đồng quy đợc biểu diễn bằng vectơ khép kín của đa giác vectơ đặt tại điểm đồng quy.

⋅⋅

⋅ + +

k ky ny

y y

R

1 2

1

∑

=

= +

⋅⋅

⋅ + +

k kz nz

z z

R

1 2

1

Vậy hợp lực của hệ lực là:

2 2

2

z y

x R R

R

Gọi α , β , γ là góc tạo bởi →

R với các trục ox, oy, oz thì

R

R x

= α

cos ;

R

R y

= β

cos ;

R

R z

= γ

cos

1.4.2 Một số định lý tơng đơng của ngẫu lực.

a Định lý 1.

Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều quay và cùng trị

số mômen thì tơng đơng với nhau:

F theo gi¶ thuyÕt cã m=m1

d F

m=

1 1

1 F d

dêi hÖ ( , ')

1 1

' 2 2 ' '

1 1 '

, , ,

,

,

F F F

F P P F

F F

F

→

' 1

2 2

Π) Thêm hai lực cân bằng ( , ')

1 1

→

→

P

P tại tâm hình chữ nhật ABA1B1 Sao cho

→

P F

Mặt khác theo định lý 1 ta có:

) , ( ) , , , ( ) , ( ) ,

' 1 1

' 1 1 ' '

1 1

P

F

P F

P

F

Vậy ngẫu lực ( , ')

1 1

Hợp hai ngẫu lực đợc một ngẫu lực có vectơ mômen bằng tổng vectơ mômen

của hai ngẫu lực đã cho

2 1 2

F

A B

P

1

Chứng minh:

Giả sử ta có 2 ngẫu lực là(F1,F1') ( và F2,F2'), ngẫu lực (F1,F1') có véctơ

mômen là m1 và ngẫu lực (F2,F2') có véctơ mômen là m2.

Hai ngẫu lực này nằm trong 2 mặt phẳng giao nhau theo giao tuyến OO1 Giả

sử các véctơ mômen m1 và m2có điểm đặt tại O.

Biến đổi 2 ngẫu lực (F1,F1') ( và F2,F2') thành 2 ngẫu lực ( ) (F,P và F,'P') Hai ngẫu lực này có các lực thành phần nằm trên giao tuyến OO1 ngợc chiều nhau và

có cùng trị số

Tức là:

2

2 1

1

''

d

m d

m P F P F

d Định lý dời lực song song.

Lực F đặt tại A tơng đơng với lực → F→' song song cùng chiều, cùng cờng độ với lực F nhng đặt tại O và một ngẫu lực có mômen bằng mômen của lực → F đối →với điểm O

Chứng minh:

Đặt tại O hai lực cân bằng ( , ')

1 1

1, ),

D Eq uat ion 3

2 F

F vµ ngÉu lùc m→2 =m→0(F→2)

Vậy (F→1,F→2,⋅ ⋅⋅,F→n)≡ hệ lực đồng quy tại O ( , ', , ')

2

' 1

F và hệ ngẫu lực

),

,

(m→1 m→2 m→n

Nh đã biết hệ lực đồng quy tại một điểm O tơng đơng với một lực đợc biểu diễn bằng vectơ chính của hệ lực đặt tại điểm đồng quy ta có

Hệ ngẫu lực (m→1,m→2, ,m→n) tơng đơng với một ngẫu lực, có vectơ mômen m→

F R

+ R→' không phụ thuộc vào tâm thu gọn ( vì luôn bằng tổng hình học các lực đã cho ) Véctơ chính đợc xác định qua hai hình chiếu R→'{R’X , R’y }

R’X = ∑ Xk ; R’y = ∑ Yk

Trị số và phơng chiều của R→'đợc tính theo công thức :

( ) ( )2 2

' '

' R X RY

Cos α = R' xR' ; Sin α = R' yR'

+ M→0 nói chung phục thuộc vào tâm thu gọn, vì nếu thu gọn về O đợc ( R→', Muuu0

), còn thu gon về O1 sẽ đợc (R→1,Muuuu01), mà theo định lý dời lực song song thì R→1 ≡

[ R, m→0(R→1)] Kết quả là

[ R, M0] ≡ [R→1, M01] ≡ [R, M01, m→0(R→1)] → M0 ≡ [ M01, m0(R→1)] lợng biến thiên mômen chính bằng m0(R→1):

M0 = M01+m0(R→1)

Mômen chính đợc xác định theo công thức : M0 = ∑ mk

2.1.3 Các dạng chuẩn

Trong trờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm đợc một lực

và một ngẫu lực Tuy nhiên tuỳ thuộc vào sự tồn tại của R→' và M0 , có thể xảy ra các trờng hợp sau đây:

a) R→'= 0 và M0= 0 , → (F→1,F→2,⋅ ⋅⋅,F→n)≡0 : Hệ lực đã cho cân bằng

b) R→' = 0 và M0 ≠ 0 , → (F→1,F→2,⋅ ⋅⋅,F→n)≡ M0 : Hệ lực đã cho tơng đơng với một ngẫu lực.Trong trờng hợp này M0 không phụ thuộc vào tâm thu gọn O

c) R→'≠ 0 và M0= 0 : Hệ lực đã cho tơng đơng với một hợp lực R→' đặt tại tâm thu gọn

d) R→' ≠ 0 và M0≠ 0 thì theo định lý dời lực song song, ta biến đổi (R→' , M0) ≡ (R→'

Trong trờng hợp hệ lực phẳng có hợp lực thì mômen của hợp lực đối với

điểm O bất kì bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với cùng điểm ấy.

m

1 0

0 01

Theo định nghĩa m01 =0 (Mômen chính của hệ lực lấy đối với tâm thu gọn nằm trên đờng tác dụng của hợp lực).

1 0

n k

2.2 Điều kiện cân bằng và các phơng trình cân bằng của hệ lực

2.2.1 Điều kiện cân bằng tổng quát

Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là véctơ chính và mô men chính của hệ lực đối với một điểm bất kì phải đồng thời triệt tiêu.

k

n k k n

F m Mo

F R

F F

F

1 0 1 ' 2

1

0 ) (

0 0

) , , ,

- Điều kiện cần: Theo các dạng chuẩn của hệ lực phẳng ta thấy nếu điều kiện

trên không thoả mãn thì hệ lực phẳng sẽ tơng đơng với 1 ngẫu lực hoặc 1 hợp lực, tức là không thỏa mãn tiên đề 1, vậy hệ lực đã cho không cân bằng

- Điều kiện đủ: Vì véctơ chính của hệ lực R'=0, nên khi thu gọn hệ lực về một điểm bất kỳ ta đợc một ngẫu lực thu gọn bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn, tức là bằng 0 Vậy ngẫu lực thu gọn là 2 lực cân bằng Vậy theo tiên đề 1 hệ lực đã cho cân bằng

1 0

0)( 

∑

=

=

n k

Nh vậy để hệ lực cân bằng thì các phơng trình sau phải thoả mãn:

0)()

0)( 

- Điều kiện cần: Giả sử các điều kiện trên không thỏa mãn thì theo các dạng

chuẩn của hệ lực ta thấy hệ lực phẳng hoặc tơng đơng với 1 ngẫu lực hoặc có hợp lực, tức là không thỏa mãn tiên đề 1 Do vậy hệ lực không cân bằng

- Điều kiện đủ: Giả sử 2 phơng trình đầu của (*) thỏa mãn thì khi thu gọn hệ

lực về 1 hợp lực R (nếu có) phải đi qua 2 điểm A và B Mặt khác trục x không vuông góc với AB nên phơng trình thứ 3 của (*) chỉ thỏa mãn khi R=0 Nh vậy

là hệ lực sẽ cân bằng (đpcm)

c)Dạng 3:

Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng các mô men của các lực

đối với ba điểm A,B,C không thẳng hàng đều bằng không

1

0)(

1

0)(

1

0)( 

Chứng minh:

- Điều kiện cần: Điều kiện cần là hiển nhiên bởi vì chỉ cần một trong các

điều kiện trên không thỏa mãn, chẳng hạn nh phơng trình đầu:

- Điều kiện đủ: Giả sử các điều kiện trên đều thỏa mãn thì các ngẫu lực thu

gọn tại A, B và C đều bằng 0 Vậy hợp lực của hệ lực (nếu có) phải có đờng tác dụng đi qua 3 điểm A, B, C, tức là 3 điểm A, B, C không thẳng hàng phải nằm trên đờng tác dụng của hợp lực, điều này là vô lý Vậy hợp lực của hệ lực phải bằng 0

Do R'=0 nên khi thu gọn hệ lực về một điểm O bất kỳ thì ngẫu lực thu gọn

0

0 =m A =

m (theo định lý biến thiên mômen chính).

Vậy ngẫu lực thu gọn m0 là 2 lực cân bằng Do vậy theo tiên đề 1, hệ lực đã

Hay chiếu lên hệ trục toạ độ vuông góc có:

Dạng 1:

Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng các hình chiếu của các lực trên một trục không vuông góc với đờng tác dụng các lực và tổng mômen của các lực đối với một điểm đồng thời triệt tiêu.

0)(

1

0)(

với điều kiện AB không song song với các lực

1

0)

1

0)

Ví dụ 1: Hai thanh AC và BC không trọng lợng nối với nhau và với tờng các

bản lề A, B và C Tại C có treo vật nặng P Tìm lực của thanh AC và BC tác dụng vào bản lề C

Ví dụ 2 : Cho thanh AB đồng chất nặng Q = 200N liên kết với nền đất bằng

bản lề A và gối di động C Trên thanh có tác dụng ngẫu lực với mômen M = 50Nm và tại B có tác dụng lực

P =50 2 nghiêng với phơng ngang một góc α = 450 Xác định phản lực bản

lề và gối di động C Biết AC=2BC = 40 cm

Khảo sát cân bằng thanh AB Giải phóng liên kết tại A và C , thay bằng các phản lực liên kết X A , Y A , Y C Các lực hoạt động lên thanh gồm : Trọng lợng Q

đặt giữa thanh , ngẫu lực có mômen M và lực P đặt tại B

Để thanh AB cân bằng, các lực tác dụng lên thanh phải ở trạng thái cân bằng : ( Q,P,X A , Y A , Y C ) ∼ 0 từ đó ta thành lập đợc ba phơng trình cân bằng sau:

3.1 Bài toán đòn và vật lật

3.1.1 Bài toán đòn

Đòn là một vật rắn quay đợc quanh một trục cố định và chịu tác dụng của

hệ lực hoạt động nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục quay của đòn.

Bài toán của đòn là tìm điều kiện của hệ lực hoạt động để đòn cân bằng Ta

X F

k kx x

∑ =∑ + =

=

0

0 1

Y F

k ky y

∑ =∑ =

=

0)()

(

1 00

n k

F m F

Ta nhận thấy hai phơng trình đầu luôn luôn thoả mãn nhờ phản lực X0,Y0 sinh ra tại O Vậy đòn cân bằng chỉ cần xét phơng trình thứ (3)

Định lý: Điều kiện cần và đủ để đòn cân bằng là tổng mômen của các lực hoạt

động đối với trục quay của nó phải triệt tiêu.

Khảo sát vật rắn phẳng (S) chịu tác dụng của các lực F1,F2, Fn và chịu liên kết không giữ với mặt tựa cố định tại hai điểm A, B (hình vẽ) Các phản lực liên kết tại hai điểm tựa là NA và NB.

Khi vật rắn S cân bằng, ta có hệ lực phẳng cân bằng (F1,F2, Fn,NA,NB)≡0 Khi các lực F1,F2, Fn thay đổi, có thể xảy ra sự mất liên kết tại một trong hai

điểm tựa A và B Giả sử hệ có thể bị mất liên kết tại điểm B Khi đó vật có thể bị lật quanh A Do đặc điểm và vị trí đặt lực, ta phân các lực F1,F2, Fn thành hai tập:

Tập các lực có khả năng làm vật rắn lật quanh A gọi là các lực lật và tập các lực giữ có mô men đối với A ngợc chiều vật bị lật Ta gọi tổng mômen của các lực lật đối với điểm A là Mlật, tổng mômen của các lực giữ đối với điểm A là Mgiữ

Nh vậy điều kiện để vật rắn không bị lật quanh điểm A là nó vẫn còn cân bằng và liên kết tại B vẫn còn hoạt động Cụ thể:

∑m A(F)=m A(NB)+ M lat −M giu =0

m A(NB)≥0

Từ đó ta có: M lat ≤ M giu

Định lý: Điều kiện cần và đủ để vật không bị lật là mômen lật không lớn hơn

mômen chống lật: M lat ≤M giu

3.2.2 Phân loại ma sát:

a Ma sát tĩnh và ma sát động:

- Lực ma sát xuất hiện khi giữa hai vật mới chỉ có xu hớng chuyển động tơng

đối nhng vẫn ở trạng thái cân bằng tơng đối đợc gọi là lực ma sát tĩnh

- Lực ma sát xuất hiện khi giữa hai vật đã chuyển động tơng đối với nhau đợc gọi là lực ma sát động

- Ma sát khô xuất hiện khi hai vật tiếp xúc trực tiếp với nhau

- ma sát nhớt xuất hiện khi chúng tiếp xúc với nhau qua một màng chất lỏng

3.2.3 Giải thích đợc sự xuất hiện của lực và ngẫu lực ma sát.

Do hai vật tiếp xúc với nhau không phải tại một điểm mà là trên một diện tích nào đó nên không phải xuất hiện một phản lực liên kết mà là một hệ phản lực liên kết

Nếu xem đó là một hệ lực phẳng thì kết quả thu gọn cho một phản lực R và một ngẫu lực m Phân tích phản lực R ra hai thành phần pháp tuyến và tiếp

tuyến chúng ta đợc phản lực pháp N và lực ma sát Fms vuông góc với nhau Còn ngẫu lực m chính là ngẫu lực ma sát lăn cản trở sự lăn của vật

Bản chất của hiện tợng ma sát rất phức tạp Đến nay bài toán ma sát mới chỉ

đợc giải quyết một cách gần đúng trên cơ sở các kết quả thực nghiệm.Sau đây ta

đi khảo sát ma sát trợt và ma sát lăn trong trờng hợp tĩnh, khô

3.2.4 Định luật ma sát trợt

a Thí nghiệm

Cho vật rắn A đặt trên mặt tựa nằm ngang có độ nhám , A chịu lực

ép Q(kể cả trọng lực) thẳng góc với mặt bàn và chịu lực kéo P theo mặt bàn

Hiện tợng xẩy ra:

- Khi ta kéo vật A với lực kéo P có giá trị nhỏ thì vật A vẫn đứng yên

- Tăng giá trị của P cho tới khi bằng giá trị P0, vật A bắt đầu chuyển

ms

F 

với lực kéo P, ta gọi đó là lực ma sát, kí hiệu là F ms Lực ma sát ngợc chiều với lực kéo nên cản trở xu hớng trợt.Trong trờng hợp này, giá trị lực

ma sát trợt tĩnh F ms =P và nếu P tăng thì F ms tăng

- Khi P=P0: Vật A bắt đầu chuyển động Khi đó F ms =P= P0, P0: đợc gọi

là lực tới hạn thực nghiêm cho thấy P0 tỉ lệ với giá trị của lực ép Q, tức

là tỉ lệ với phản lực pháp Nvới hệ số tỉ lệ f :P0 = f.Q= f.N , f phụ thuộc vào tính chất vật liệu tạo nên vật và trạng thái bề mặt tiếp xúc của hai vật, không phụ thuộc vào diện tích bề mặt tiếp xúc

- Khi P > P0: Vật A tiếp tục chuyển động, nhng F ms không tăng lên nữa

mà F ms =P0 tức là giá trị của lực ma sát không thể lớn tuỳ ý mà bị chặn:

P

F ms ≤ .Giá trị cực đại của nó tỉ lệ với giá trị của lực ép Q, tức là tỉ lệ với

giá trị của lực pháp tuyến N :

N f fQ P

Fms ≤ (3.1)

 Định luật ma sát trên còn đợc pháp biểu dới dạng hình học:

Gọi góc ϕ xác định bởi công thức tgϕ = f hayϕ =arctgf là góc ma

sát (hình vẽ) Từ đó ta nhận đợc nón ma sát là phần giới hạn bởi hai nửa ờng thẳng xuất pháp từ điểm tiếp xúc của hai vật và nghiêng với pháp tuyến một góc bằng góc ma sát ϕ.Nếu ϕ =arctgf theo mọi hớng thì trong không

đ-gian có non ma sát tròn xoay

Kí hiệu α là góc giữa phản lực toàn phần R=N+Fms với pháp tuyến của mặt tựa tại điểm tiếp xúc Từ hình vẽ ta có:

Định luật: Điều kiện để vật rắn cân bằng là phản lực toàn phần của

liên kết tựa có ma sát trợt nằm trong nón ma sát.

Chú ý:

- Lực ma sát trợt tĩnh là một dạng của phản lực liên kết Tuy nhiên giữa

phản lực liên kết N và Fms có sự khác nhau N là phản lực liên kết sinh ra

do liên kết hình học, còn Fms là phản lực liên kết sinh ra do liên kết vật lý

Do đó N luôn thẳng góc với mặt bàn và hớng vào vật khảo sát, còn hớng của lực Fms phụ thuộc vào xu hớng chuyển động trợt của vật trên mặt bàn nằm ngang

- Sử dụng định luật ma sát trợt ta giải đợc các bài toán cân bằng của vật rắn trong trờng hợp có ma sát trợt nhng đối với các bài toán này không phải chỉ tồn tại một vị trí cân bằng mà là một miền cân bằng Do đó, các thông số xác định trạng thái cân bằng của vật có thể lấy một miền giá trị chứ không phải là một giá trị duy nhất nh bài toán cân bằng của vật rắn không có ma sát đã gặp trớc đây

3.2.5 Định luật ma sát lăn

Quan sát hiện tợng xảy ra đối với bánh xe (A) có bán kính R đặt trên mặt nằm ngang (B), chịu lực nén thẳng đứng Q( kể cả trọng lực ) và lực kéo nằm ngang P cùng đặt tại tâm O của bánh xe

Ta nhận thấy rằng: nếu lực kéo Pcó giá trị :P< P0thì vật vẫn ở trạng thái

cân bằng.Thực nghiệm cho thấy P0 =k1.Q=k1.N .

Theo quy tắc dời lực song song P ~ (P, ,m) với m=P.R Lực P, gây trợt,

và ngẫu lực m gây lăn

Nh vậy:

1. Để bánh xe không bị trợt P, có giá trị không vợt quá giá trị cực đại

có thể đạt đợc của masát trợt, nghĩa là: P≤ f.Q= f.N .

2. Để bánh xe không bị lăn, thì tại điểm tiếp xúc xuất hiện một ngẫu lực ma sát lăn ngợc chiều với xu hớng lăn:M l =m.Thực nghiệm cho thấy

hiện tợng lăn không xuất hiện nếu m<m0, với m0 =P0.R=k.Q=k.N

( k gọi là hệ số ma sát lăn,phụ thuộc vào vật liệu tạo thành của hai vật

tiếp xúc và trạng thái bề mặt tiếp xúc, k có thứ nguyên độ dài )

Định luật ma sát lăn phát biểu nh sau:

Vậy định luật ma sát lăn còn đợc phát biểu nh sau:

Khi có ma sát lăn, phản lực pháp tuyến N nằm ở phía vật có xu ớng lăn đến và cách pháp tuyến một đoạn: d ≤k

h-Ví dụ: Trên mặt nằm ngang có bánh xe đồng chất tâm O bán kính R, trọng

lợng P chịu tác dụng ngẫu lực m và lực Q nh hình vẽ Biết hệ số ma sát trợt f,

hệ số ma sát lăn k xác định trị số của mô men m vàcủa lực Q để bánh xe có thể lăn không trợt

Bài giải: Khảo sát con lăn đang cân bằng và sắp sửa lăn Hệ lực tác dụng lên

con lăn gồm ngẫu lực m, trọng lợng P, lực Q, phản lực pháp tuyến N, lực ma sát trợt Fms, ngẫu lực ma sát lăn Do con lăn cân bằng (P,Q,m,Fms,m1)≡0

)(

00

m R Q F

m

P N F

Q F F