TÀI LIỆU MÔN HỌC LÝ THUYẾT MẠCH

Nội dung chính Những khái niệm cơ bản về mạch điện Mạch tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa Các phương pháp phân tích mạch tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa Mạng hai cửa Mạch điện ba pha Quá trình quá độ trong hệ thống và mạch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

KHOA CƠ HỌC KỸ THUẬT VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

BỘ MÔN CƠ ĐIỆN TỬ

TÀI LIỆU MÔN HỌC

LÝ THUYẾT MẠCH

(Tài liệu dùng cho sinh viên lớp QH-2005-I/CQ-H)

Hà Nội, 2008

Chương 1: Những khái niệm cơ bản về mạch điện

1.1 Graph Kirchoff

1.1.1 Định nghĩa Graph Kirchoff

Xây dựng mô hình mạch điện Kirchoff để mô tả sự phân bố năng lượng, tín hiệu (u(t), i(t)) điện từ trong thiết bị điện, điện tử Từ mô hình thu được, xây dựng các phương pháp phân tích, tính toán để đánh giá (định tính, định lượng) năng lượng, tín hiệu điện

) trên

đó gắn với dòng điện i(t) và điện áp u(t), ứng với công suất p(t)=u(t)i(t) Sự chắp nối các cung giống như sự chắp nối các vùng năng lượng trong thiết bị điện Hình được thành lập theo qui ước đó được gọi là mô hình mạch Kirchoff (hay Graph Kirchoff)

1.1.2 Một số khái niệm trên Graph Kirchoff

 Nhánh: là các cung định chiều

 Đỉnh (nút): là chỗ gặp nhau của các cành

 Graph: là một tập d điểm gọi là đỉnh (nút) và một tập n nhánh nối (liên thông) giữa các đỉnh đó

 Cây: là một tập nhánh với đầy đủ các đỉnh nhưng không tạo thành vòng

 Cành: là các nhánh tạo thành cây, số cành của cây c=d-1, với d là số đỉnh của cây

 Bù cây: là tập nhánh khi lắp vào cây thì tạo thành Graph

 Bù cành: là các nhánh của bù cây

 Vòng (tập kín): là tập nhánh khép thành một vòng kín

 Đường: Một đường giữa 2 đỉnh là một tập nhánh liên thông 2 đỉnh đó, và thường qui ước thêm chúng không làm thành một tập kín nào

 Tập cắt: Trên Graph (ví dụ) khoanh một mặt kín S1 tách ra một số nhánh và đỉnh hoàn toàn nằm trong S1 (ví dụ nhánh 5 và đỉnh 3, 4) Sẽ có một số nhánh (ví dụ 1, 2,

3, 4) chui qua S1 Chúng có tính chất liên thông những đỉnh nằm ngoài với những đỉnh trong S1, do đó nếu ngắt bỏ chúng đi sẽ cắt rời ra một bộ phận graph bao trong S1, tức là làm tăng thêm số liên thông Ta gọi một tập nhánh như vậy là một tập cắt Gắn với mỗi đỉnh là một tập cắt đơn giản nhất, khi ngắt bỏ chúng đi sẽ cắt rời đỉnh

ấy khỏi phần Graph còn lại Ví dụ gắn với đỉnh 1 có tập cắt 1, 2, 6 chui qua mặt kín S2

1.1.3 Các luật trên Graph Kirchoff

a) Luật Kirchoff 1

Khi thiết bị điện thỏa mãn những điều kiện mạch hóa để có thể xây dựng sơ đồ mạch

Kirchoff, ta coi ở mỗi thời điểm t dòng dẫn i k (t)có giá trị như nhau dọc theo vật dẫn thứ

k Do đó ở mọi điểm trên mỗi vật dẫn không đâu có ứ đọng dòng dẫn, nó chảy liên tục

một cách tức thời dọc các vật dẫn Với một mặt kín S ứng với một tập cắt bất kỳ, trường hợp đơn giản nhất là tập cắt đỉnh Do dòng dẫn không ứ đọng ở mọi điểm trên nhánh kể

cả đỉnh nhánh, nên ở mọi thời điểm tổng các dòng dẫn chảy vào S phải bằng tổng các dòng chảy ra khỏi S Định luật Kirchoff 1 cho các tập cắt phát biểu như sau:

Tổng đại số dòng dẫn trên một tập cắt trượt tiêu, hoặc trường hợp đơn giản nhất: Tổng đại số dòng điện chảy vào (hoặc ra) một đỉnh trượt tiêu

Tổng đại số các điện áp trên một vòng (hay một tập kín) trượt tiêu

1u u 

u

c) Ví dụ

Cho một Graph Kirchoff như hình 1.3 trên đó đã định chiều dương cho các biến dòng

áp Hãy viết phương trình cân bằng dòng cho các tập cắt đỉnh, và phương trình cân bằng

áp cho các mắt lưới (các vòng)

Giải: Qui ước chiều dương dòng là chiều hướng vào các đỉnh, ứng với các tập cắt dính với các đỉnh 1, 2, 3, 4 lần lượt ta có các phương trình sau:

06 4

1i i 

i

05 4

2i i 

i

06 5

3 i i 

i

1u u 

u

05 3

2 u u 

u

06 5

Một Graph định chiều hữu hạn được hoàn toàn xác định nếu ta chỉ rõ tập d đỉnh đánh

số, tập n nhánh đánh số và chỉ rõ mỗi nhánh định chiều nối liền cặp đỉnh nào Có thể mô

tả những điều ấy bằng bảng số nhánh - đỉnh A như sau:

Lập một bảng chữ nhật có d cột đánh số mô tả các đỉnh, n hàng đánh số mô tả các nhánh Nếu một nhánh định chiều thứ k nối từ đỉnh p tới đỉnh q, thì trên hàng k ta sẽ ghi

số 1 vào ô thuộc cột p và số -1 vào ô thuộc cột q Trên các ô còn lại ghi số 0

Hình 1.4

Bảng số nhánh - đỉnh có các tính chất sau:

 Theo định nghĩa, cặp số 1, -1 trên mỗi hàng của một nhánh định chiều chỉ rõ nhánh

ấy nối từ đỉnh nào đến đỉnh nào Đối với Graph Kirchoff nó còn nói rõ chiều dương của dòng trên nhánh ấy chảy từ đỉnh nào tới đỉnh nào, và điện áp nhánh ấy bằng hiệu số thế của cặp đỉnh nào Ví dụ từ bảng 1.1, hàng 5 cho ta biết sơ đồ nhánh 5 như hình 1.5 và u5  3 4

 Những số 1, -1 trên cột một đỉnh chỉ rõ nhánh nào rời khỏi đỉnh (số 1) và nhánh nào

đi tới đỉnh (số -1) Ví dụ cột 3 trên bảng 1.1 chỉ rõ sơ đồ đỉnh như hình 1.6

Đối với Graph Kirchoff mỗi cột nói rõ trong các nhánh nối với đỉnh đang xét, dòng nhánh nào có chiều dương rời khỏi đỉnh (theo qui ước ở đây là số 1), dòng nhánh

nào có chiều dương chảy tới đỉnh (số -1) Vậy mỗi cột cho ta các hệ số của phép

tổng đại số các dòng nhánh rời khỏi một đỉnh

Ví dụ cột 3 trong bảng 1.1 cho ta sơ đồ đỉnh 3 như hình 1.6 và phương trình cân bằng các dòng nhánh rời khỏi đỉnh đó: i1i3i5 0

 Vì mỗi hàng đều có đủ một cặp số 1, -1 nên trong d cột của bảng số A thừa ra một cột Có thể tuỳ ý bỏ đi một cột mà bảng số với d-1 cột vẫn mang đủ tin tức về cấu trúc của Graph, vì có thể khôi phục dễ dàng cột đã bỏ

Để tiện tính áp nhánh và viết phương trình cân bằng dòng ta thường bỏ đi cột ứng

với đỉnh mốc được chọn có thế bằng 0 Ta gọi bảng như vậy là bảng số nhánh - đỉnh

Đối với Graph Kirchoff, sẽ phát huy được tác dụng của bảng số A nếu coi nó là ma trận

và áp dụng những phép đại số thích hợp trên ma trận Cùng với ma trận A, ta qui ước biểu diễn vectơ dòng, áp nhánh và thế đỉnh thứ tự bằng các ma trận cột inh, unh, d:

nhi

i i i i i i

nhu

u u u u u u

4 3

4 2

3 2

4 1

3 1

4 3 2 1

d

6 5 4 3 2 1

nh

0011

1100

1010

0110

1001

0101

Au

00

11010

010101

101100

100011i

A

5 4 2

5 3 1

6 4 3

6 2 1

6 5 4 3 2 1

i i i

i i i

i i i

i i i i i i

b) Bảng số nhánh – vòng C

Ta có thể mô tả kết cấu của một Graph bằng cách chỉ rõ tập n nhánh đánh số định chiều, tập b bù cành ứng với các vòng khép kín qua một cây, và chỉ rõ mỗi vòng gồm những nhánh nào Có thể mô tả những điều ấy bằng bảng số nhánh – vòng C như sau:

Định một cây Lập một bảng chữ nhật có b cột đánh số để mô tả các bù cành cùng những vòng của chúng, và n hàng đánh số để mô tả các nhánh Nếu một bù cành thứ l khép vào cây một vòng kín gồm chính nhánh l và những nhánh khác (ví dụ p, q, r, s…) thì ta sẽ ghi số 1 trên ô giao nhau của cột l với hàng l và với những hàng của các nhánh khác (p, q, r, s…) thuận chiều vòng với l, và ghi số -1 trên ô giao với những hàng của các nhánh khác (p, q, r, s…) ngược chiều vòng với l

 Các số 1, -1 trên mỗi hàng ứng với một nhánh định chiều, chỉ rõ nhánh ấy tham gia với chiều thuận hay ngược vào những vòng của bù cành nào Ví dụ nhánh 2 khép ngược chiều các vòng 3, 5 và khép thuận chiều với vòng 6

Đối với Graph Kirchoff điều ấy còn nói rõ dòng của nhánh đang xét bằng tổng những dòng bù cành nào Ví dụ hàng 2 cho ta quan hệ: i2 i3 i5i6

 Theo định nghĩa trên mỗi cột ứng với một vòng bù cành nêu rõ vòng đó gồm những nhánh nào, với chiều thuận hay ngược Ví dụ cột 3 cho biết về vòng 3 như hình 1.7 Với Graph Kirchoff nó còn nói rõ trong các nhánh thuộc vòng đang xét, áp nhánh nào

có chiều dương thuận (số 1) với vòng, áp nhánh nào có chiều dương ngược chiều (số -1) với vòng Vậy mỗi cột cho ta các hệ số của phép tổng các áp nhánh lấy theo một vòng

bù cành Ví dụ cột 3 cho ta phương trình cân bằng áp: u1u2u3u4 0

 Vì bù cành chỉ tham gia vào vòng của nó, nên trên các hàng bù cành chỉ có một số 1,

ví dụ như hàng 3, 5, 6 Vậy bảng C cho ta phân biệt rõ cây và bù cây đã chọn

Ma trận C:

Giống như ma trận A, đối với Graph Kirchoff ta sẽ phát huy tác dụng của bảng số C nếu coi nó là ma trận

Ngoài các ký hiệu inh, unh ta thêm vào các ma trận cột dòng vòng iv hay dòng bù cây ib,

áp vòng uv(uv 0) Với những ký hiệu đó có thể viết quan hệ giữa inh với iv, và viết hệ phương trình theo luật Kirchoff 2 cho các vòng như sau:

b v

nh Ci Ci

0uu

6 3 3

6 5 3

5 3

6 5 3

b

6 5 4 3 2 1

nh

100

010

101

001

111

011

Cii

i i

i i i

i i i

i i

i i i

i i i i i i

1.2 Các hiện tượng cơ bản của quá trình điện từ và các phần tử đặc trưng 1.2.1 Toán tử và phương trình trạng thái vùng năng lượng

a) Toán tử

Cho 2 tập biến x (t) và y (t), ta gọi toán tử T định nghĩa trên 2 tập biến ấy là một phép

tác động lên một phần tử x (t) để cho một phần tử y (t) hoặc một phép chỉ ra một phần

Về vật lý các luật Kirchoff không mô tả quan hệ giữa dòng và áp trên các vùng năng

lượng, do đó không mô tả được qui luật quá trình năng lượng, tín hiệu điện từ, tức là

hành vi mỗi vùng

Ta có thể mô tả hành vi mỗi vùng bằng một phương trình riêng gọi là phương trình trạng thái liên hệ áp u (t) với dòng i (t), trong đó có thể coi một biến là kích thích và biến kia là đáp ứng

Như vậy mỗi phương trình trạng thái mô tả hành vi vùng năng lượng, và ngược lại mỗi

vùng năng lượng đặc trưng bởi một toán tử hành vi T và một phương trình nhất định

Trong kỹ thuật điện người ta gọi toán tử tác động lên biến i (t) cho biến u (t) là toán tử

tổng trở ký hiệu  , và toán tử tác động lên biến u (t) cho biến i (t) là toán tử tổng dẫn

Đối với mô hình mạch phép T có thể hoặc là phép nhân một số hoặc hàm, hoặc những

phép đạo hàm, tích phân theo thời gian, hoặc tổ hợp của các phép đó

1.2.2 Hiện tượng tiêu tán, điện trở, điện dẫn

Khi có dòng điện i chảy trong vật dẫn thì sẽ có hiện tượng tiêu tán trên vật dẫn, biến

năng lượng điện từ thành nhiệt năng Xét một vùng coi là thuần tiêu tán, công suất điện

từ tiếp nhận phải không âm:

0



 ui

p r

Nghĩa là đối với vùng ấy dòng và áp luôn cùng chiều, tức là có thể viết phương trình

trạng thái dưới dạng một quan hệ hàm với hệ số dương giữa u và i :

(1.10) chính là luật Ohm quen biết

Ta gọi các hệ số đặc trưng r, g thứ tự là điện trở và điện dẫn của vật dẫn Chúng có

những ý nghĩa như sau:

 Đó chính là những toán tử trở và toán tử dẫn của vùng thuần tiêu tán:

i

Như vậy điện trở r là một thông số đo khả năng tiêu tán của vật dẫn, theo (1.12)

nó bằng lượng tăng công suất tiêu tán khi tăng kích thích dòng 2 2

Trong mô hình mạch Kirchoff ta ký hiệu vùng tiêu tán và toán tử r, g bằng một ô chữ

nhật như hình 1.8, gọi nó là phần tử điện trở hoặc phần tử điện dẫn của nhánh

Hình 1.8

1.2.3 Hiện tượng kho điện, điện dung

Nếu hai vật dẫn ngăn cách nhau bởi chân không hoặc điện môi, được đặt tương đối gần

nhau với những mặt đối nhau tương đối rộng, khi đặt lên chúng một điện áp u thì trong

lân cận cặp vật dẫn sẽ tập trung một điện trường với năng lượng w , hình thành một E

ui dt

du u

q u dt

dq u dt

q i





)

Phương trình trạng thái kho điện được viết lại như sau:

dt

du C

Điện dung C là thông số đặc trưng của kho điện Nó có những ý nghĩa sau:

 Nó là hệ số của phương trình trạng thái và toán tử dẫn của kho điện

 Tùy theo quan hệ (1.19) là tuyến tính (C  const hay C  C (t)), hay phi tuyến

)

(u

C

C  , nó quyết định phương trình trạng thái là tuyến tính hay phi tuyến

 Theo (1.16) nó là thông số đo dung tích nạp điện của kho điện dưới tác dụng

của điện áp ( C bằng q nạp được dưới điện áp 1 V)

 Về mặt năng lượng ta có:

2

2

du C uCdu du

u

q u udq

Tức là nó đo dung tích nạp năng lượng của kho dưới tác dụng của u2

(C 2dw E khi tăng du2 thêm một đơn vị)

Trong hệ SI đơn vị của điện dung là Farad, ký hiệu là F Trong sơ đồ mạch Kirchoff ta

ký hiệu kho điện như hình 1.9 trên đó ghi chữ C

Hình 1.9

1.2.4 Hiện tượng kho từ, điện cảm, hỗ cảm

Khi trong một dây dẫn hoặc cuộn dây có dòng điện i , thì trong vùng lân cận (kho từ)

của vật dẫn thường tập trung một từ trường với năng lượng w M Nó liên quan với dòng

điện i theo qui luật vật lý: khi do nguyên nhân nào đó nạp thêm vào cuộn dây một

lượng tăng từ thông d , chiều dương của  lấy phù hợp với của i theo qui tắc vặn

nút chai thuận, thì kho từ sẽ được nạp thêm một năng lượng:

d i dt

dw

Cân bằng 2 vế của phương trình (1.20 ) ta thu được biểu thức mô tả quan hệ giữa điện

áp cảm ứng u k trong cuộn dây thứ k với từ thông nạp vào nó:

di i dt

di i

m

k l l

k k k

k

Trong phương trình (1.23) số hạng đầu chỉ sự phụ thuộc vào biến thiên dòng trong cuộn

k, gọi là điện áp tự cảm u kL Những số hạng còn lại phụ thuộc vào dòng của những cuộn

khác, gọi là điện áp hỗ cảm u kM trong cuộn k

k

i i L







)

Khi đó phương trình trạng thái gắn với điện áp tự cảm sẽ có dạng:

dt

di L

Điện cảm L là thông số của kho từ, nó có những ý nghĩa sau:

 Nó là hệ số của phương trình trạng thái và của toán tử trở kho từ Phương trình

trạng thái (1.25) sẽ là tuyến tính hay phi tuyến tùy thuộc vào L là tuyến tính

(L  const hay L  L (t)) hay phi tuyến (L  L (i))

 Theo (1.24), L đo dung tích nạp từ thông của kho từ dưới kích thích của dòng i k

 Về mặt năng lượng ta có:

2

2

k k k k k k k

k k k k L

di L di L i di i i d i

Tức là L đo dung tích nạp năng lượng của kho từ dưới kích thích i k2

Đơn vị của điện cảm trong hệ SI là Henry, ký hiệu là H Trong sơ đồ mạch Kirchoff ta

ký hiệu kho từ tự cảm như hình 1.10, trên đó ghi chữ L Chiều dương của u L và i L chọn như nhau với hệ số L >0

M kl(l)



Hệ số hỗ cảm M kl giữa 2 cuộn dây có những ý nghĩa sau:

 Nó là hệ số của toán tử hỗ trở (1.29), và của phương trình trạng thái (1.28) Nó quyết định tính chất tuyến tính hay phi tuyến của phương trình (1.28)

 Theo (1.27) nó đo dung tích nạp từ thông của kho từ k bởi dòng kích thích trong cuộn thứ l

u Mk  l ;

dt

di M

Khi đó năng lượng nạp thêm vào cả 2 kho từ sẽ là:

l k k

l l

Ml k

dt

di M dt i dt

di M dt i u dt i u

Suy ra:

)(l i k d

dw

M  Như vậy M là thông số đo dung tích nạp năng lượng vào một cặp kho từ dưới tác

dụng của kích thích l i k

Đơn vị của hỗ cảm M cũng là Henry

Cực tính cuộn dây và dấu của hệ số M:

Khi viết phương trình trạng thái (1.28) liên hệ áp dòng của một cặp cuộn dây, cần xác

định dấu của M theo chiều dương của các biến đã chọn cho mỗi cuộn dây

Chiều dương của  được chọn phù hợp với chiều dương của k i theo qui tắc vặn nút k

chai thuận Vì vậy nếu 2 cuộn dây sắp đặt trong không gian sao cho khi di l 0 sẽ nạp

thêm vào cuộn k một lượng dk 0, tức là cùng chiều như khi tăng di k 0, thì với chiều dương u Mk và i k đã chọn trùng nhau trong cuộn k sẽ có u Mk 0 và do đó trong phương trình (1.28) ta sẽ có M 0

Nếu ngược lại lượng từ thông nạp thêm dk 0, tức là u Mk 0, ta phải lấy M 0

Ta thường ký hiệu quan hệ hỗ cảm giữa 2 cuộn dây bằng chữ M và mũi tên hai chiều

như hình 1.11, và thường dùng cách đánh dấu vào một cực cuộn dây để dễ xác định dấu phương trình (1.28) Ta qui ước khi các dòng i l, i k cùng đi vào (hoặc cùng đi ra khỏi) những cực đánh dấu ấy, mà từ thông do 2 dòng đó nạp vào mỗi cuộn dây cùng chiều nhau, nghĩa là đều phù hợp với chiều dòng điện mỗi cuộn theo qui tắc vặn nút chai

thuận, thì 2 cực như vậy được gọi là cùng cực tính

Như vậy nếu chiều dương dòng (ví dụ i ) và áp hỗ cảm ( l u Mk) chọn giống nhau đối với hai cực cùng tính ta có:

dt

di M

u Mk  l ;

dt

di M

Mk  ;

dt

di M

Hình 1.11

1.2.5 Hiện tượng nguồn

a) Nguồn áp u(t), nguồn sức điện động e(t)

Định nghĩa:

Nguồn áp hay nguồn sức điện động là một phần tử sơ đồ mạch Kirchoff có đặc tính duy trì trên các cực một hàm áp, còn thường gọi là sức điện động e(t), xác định trong thời gian, không phụ thuộc vào dòng chảy qua nó

Theo luật Ohm nó có phương trình trạng thái:

)()

Chú ý:

 Toán tử trở của nguồn sđđ bằng 0

 Một hàm e(t) không phụ thuộc vào dòng i(t)

Nếu nguồn e(t) bơm qua nó một dòng i(t) với chiều dương trùng với chiều sđđ thì công

suất tiếp nhận sẽ bằng:

ei ui

tức là công suất phát ra sẽ bằng:

ei p

Như vậy e là thông số đo khả năng phát của nguồn, nó bằng công suất phát ra khi nguồn

bơm qua nó một dòng 1A

Trong sơ đồ mạch ta ký hiệu nó bằng một vòng tròn với mũi tên kép chỉ rõ chiều dương dòng điện bơm qua nó như hình 1.14:

Hình 1.14

Chú ý:

 Toán tử dẫn của nguồn dòng bằng 0, tức là điện trở trong vô cùng lớn

 Một hàm j(t) không phụ thuộc vào áp u(t) trên cực

Khi chiều dương của u, j trùng nhau, thì công suất nguồn dòng phát ra là

uj

1.2.6 Các phương trình biến nhánh của mạch Kirchoff

a) Hệ phương trình mạch kích thích bởi nguồn e(t)

Hình 1.15

Xét một sơ đồ mạch Kirchoff có d đỉnh, n nhánh thụ động với 2n biến dòng, áp nhánh

và kích thích thuần nguồn sđđ nối tiếp trong các nhánh Ta có hệ phương trình sau:

k k

C

dt dt

d L

b) Hệ phương trình mạch kích thích bởi nguồn j(t)

Vẫn sơ đồ mạch Kirchoff với các số d, n, nhưng giả sử kích thích bởi những nguồn

dòng j k (t) ghép song song vào nhánh thụ động có toán tử dẫn k, lập thành những cặp như hình 1.16 Gọi i k là dòng chảy qua n phần tử dẫn k Ta có hệ phương trình sau:



k k

dt

k k

Xét sơ đồ mạch Kirchoff với d đỉnh,và n nhánh thụ động, nếu coi hệ kích thích hỗn hợp

bởi các nguồn sđđ nối tiếp vào một số nhánh thụ động và các nguồn dòng ghép song song vào một số nhánh ấy Giả thiết mỗi nhánh thụ động ứng với một toán tử  hoặc k

Chương 2: Mạch tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa

2.1 Khái niệm mạch tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa

2.1.1 Một số khái niệm

Mạch điện tuyến tính:

 Là mạch điện có mô tả toán học là hệ phương trình (vi phân hoặc đại số) tuyến tính

 Về cấu trúc mạch điện tuyến tính chỉ chứa các phần tử tuyến tính r, L, C

Tính chất của mạch điện tuyến tính:

 Quan hệ dòng-áp ở mọi nhánh, bộ phận là tuyến tính

 Mạch tuyến tính thỏa mãn nguyên lý xếp chồng

 Khi tác động là nguồn hình sin, tần số , thì đáp ứng dòng ở áp mọi nhánh cũng

là hình sin, cùng tần số , và chỉ khác pha

Chế độ xác lập:

 Chế độ xác lập trong mạch điện là trạng thái dòng áp chỉ phụ thuộc vào nguồn

và cấu trúc mạch, mà không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu (t=0)

2.1.2 Biến trạng thái điều hòa và các thông số đặc trưng

Biến trạng thái điều hòa có dạng:

)sin(

)(t I  t

i m hay i(t)I mcos( t)

)sin(

)(t U  t

u m hay u(t)U mcos( t)

a) Đặc trưng của biến điều hòa

Ta thấy rằng những đặc trưng của một biến điều hòa là biên độ I m, U m, E m v.v , ký

hiệu bằng chữ in hoa với chỉ số m hay max) và góc pha (  t ) Trong đó góc pha là

sự kết hợp của hai đại lượng đặc trưng là tần số góc  (đơn vị là rad/s), và góc pha ban

đầu  (đơn vị là rađian) khi t0

Mỗi lượng nêu rõ một khía cạnh của hàm điều hòa Biên độ I , m U , m E là giá trị cực m

đại của biến điều hòa, nói nên cường độ của quá trình Lượng (  t ) đo bằng rađian

là một góc xác định trạng thái (pha) của biến điều hòa ở mọi thời điểm t , do đó gọi là

góc pha

Trong biểu thức góc pha, tần số  đo tốc độ biến thiên của hàm điều hòa và góc pha đầu  nói rõ trạng thái đầu ở khởi điểm thời gian khi t0, ví dụ i(0)I msin

Do vậy cặp biên độ - pha, ví dụ ( I m,(  t )), làm thành một cặp thông số đặc trưng

m I i

Chu kỳ T là khoảng thời gian ngắn nhất để hàm lặp lại trạng thái cũ, hay nói cách khác

chu kỳ là khoảng thời gian để pha biến thiên một lượng 2 , tức là:

c) Các biến điều hòa cùng tần số

Khi các biến điều hòa có cùng một tần số, chúng chỉ phân biệt nhau về biên độ và góc

pha đầu Vậy mỗi hàm điều hòa khi đó được đặc trưng bởi một cặp số biên độ-pha đầu

như (I m,  i), (U m,  u)

Trong trường hợp này để so sánh hai hàm điều hòa, ví dụ điện áp và dòng điện trên một nhánh Kirchoff, chỉ cần biết rõ biên độ của chúng gấp bao nhiêu lần nhau, góc pha của hàm này lớn hơn (sớm hơn) hay bé hơn (chậm hơn) của hàm kia bao nhiêu

Khi đó góc lệch pha giữa hai hàm sẽ là hiệu số góc pha đầu Ví dụ góc lệch pha giữa

)sin(

)

u    và i(t)I msin( t i) sẽ là:

i u i

 , ta nói điện áp chậm pha hơn dòng điện

d) Trị hiệu dụng của hàm điều hòa

Xét một dòng chu kỳ i (t) chảy qua một nhánh đặc trưng về tiêu tán bởi thông số r với công suất tiêu tán p(t)ri2(t) Năng lượng tiêu tán trong một chu kỳ là:





T

dt t ri A

0

Nếu cũng trên nhánh đó, bây giờ cho chảy qua dòng không đổi I , năng lượng tiêu tán

trong thời gian T sẽ là rI2T

Với dòng chu kỳ i (t) đã cho, có thể tìm được một dòng không đổi I tương đương về

mặt tiêu tán, sao cho năng lượng tiêu tán trong một chu kỳ bằng nhau:





T

dt t ri T rI

0

2)(

0

2)(

0

2)(

)

I t I

2.1.3 Biểu diễn các biến điều hòa bằng đồ thị vectơ

Trên mặt phẳng pha ta biểu diễn một hàm điều hòa bằng một đoạn thẳng có độ dài bằng trị hiệu dụng và làm với trục ngang một góc (  t ) Đó là những vectơ quay quanh gốc với tần số góc  Ta gọi vectơ biểu diễn ấy là đồ thị vectơ của hàm điều hòa

HÌNH 2.3 Đồ thị vectơ của hàm điều hòa

Đối với các hàm điều hòa có cùng một tần số , ta biểu diễn các hàm đó trên mặt

phẳng pha bằng những vectơ có độ dài bằng trị hiệu dụng I,U,E và làm với trục ngang một góc bằng góc pha ban đầu 

Với cách biểu diễn trên thì mỗi điểm cố định trên mặt phẳng pha ứng với một vectơ

phẳng, sẽ biểu diễn một hàm điều hòa (sin hoặc cos tùy theo cách qui ước) với trị hiệu dụng chạy từ 0 đến  và góc pha đầu từ 0 đến 2 dạng:

),(I i



 2Icossin( t i)

6/



 2

I

0

 1

I

3/

Ví dụ: )

3,3(1



3sin(

321





6sin(

222



 

Phương pháp biểu diễn các biến điều hòa bằng đồ thị vectơ có các đặc điểm sau:

 Cách biểu diễn rất gọn và rõ, nêu được rõ giá trị hiệu dụng, góc pha và góc lệch pha của hàm điều hòa

 Rất tiện lợi cho việc cộng trừ các hàm điều hòa cùng tần số

Ví dụ để cộng trừ hai biến: i1 2I1sin( t1)  I1(I1,1)

I

0

 1

Gọi trị hiệu dụng của áp là U , ta có: r

t U

Và hiệu dụng của áp gấp r lần hiệu dụng của dòng:

r u



t T

HÌNH 2.6 Quan hệ áp dòng trong nhánh thuần trở với kích thích điều hòa

Quá trình năng lượng:

Vì u và r i cùng pha nên luôn cùng chiều nhau, do đó công suất tiếp nhận không âm, r

năng lượng điện từ luôn đưa từ nguồn đến và biến đổi hết thành nhiệt:

0)2cos1(sin

L Giả sử i L  2I Lsin t, ta có:

)2sin(

2cos

HÌNH 2.7 Quan hệ áp dòng trong nhánh thuần cảm với kích thích điều hòa

Quá trình năng lượng:

t I U i u

p L  L L 2 L Lsin cos tU L I Lsin2 t

Công suất này dao động với tần số 2 , với giá trị trung bình  P L 0

Công suất dao động năng lượng có biên độ bằng U L I L, ký hiệu là Q : L

2

L L L L

2.2.3 Phản ứng của nhành thuần dung

Phương trình trạng thái của nhánh thuần cảm có dạng:

dt

du C

dt

di C

u C 1 CGiả sử i C  2I Csin t, ta có:

)2sin(

12cos

I C

Gọi hiệu dụng của điện áp là U C, ta có:

)sin(

Ta thấy điện áp trên nhánh thuần dung chậm pha hơn dòng điện một góc:

2



 C 

HÌNH 2.8 Quan hệ áp dòng trong nhánh thuần dung với kích thích điều hòa

Quá trình năng lượng:

Giống như trường hợp kho từ, có sự nạp phóng năng lượng điện từ giữa kho điện và

phần mạch ngoài, với công suất tiêu tán trung bình P C 0

Công suất dao động theo hàm:

t I

U t I

t I

C i

u

12

Chú ý rằng khi dòng điện qua L và C bằng nhau (khi chúng nối tiếp nhau), điện áp và

do đó công suất dao động trên điện cảm và điện dung luôn trái dấu nhau, khi p L 0(điện cảm nạp năng lượng) thì p C 0 (điện dung phóng năng lượng)

2.2.4 Phản ứng của nhánh nối tiếp r-L-C

Xét một nhánh nối tiếp r-L-C như hình 2.9a Gọi điện áp trên nhánh là u , trên mỗi phần

tử r , L , C thứ tự là u , r u , L u Áp dụng luật Kirchoff 2 ta có: C

C L

t I

i 2 sin

Ta sẽ có:

)2sin(

2)2sin(

2sin

2)sin(

C L

U U

HÌNH 2.9 Quan hệ áp dòng trong nhánh r-L-C với kích thích điều hòa

Chú ý đến quan hệ về pha giữa dòng điện i và các áp thành phần, ta minh họa phương

trình (2.31) bằng đồ thị vectơ như hình 2.9b Các vectơ



U , U r

, U L

, U C

 làm thành một tam giác vuông, trong đó U r

 cùng pha với



I Theo quy tắc Pytagor ta có:

2 2 2

2 2

2 2

2

)(

)(

)()

C

I L r

C

I LI rI

U U U

2 2

)(

)

C

I L r

1)

(

11

x r C

I L r

x x U

U U

 Khi x  L x C mạch có tính chất cảm, tg 0 và do đó   u  i 0, điện áp sớm pha so với dòng điện

 Khi x  L x C mạch có tính chất dung, tg0 và do đó   u  i 0, điện áp chậm pha so với dòng điện

 Khi x  L x C, tg 0,  0, điện áp và dòng điện trùng pha giống như trường hợp mạch thuần trở

2.3.1 Tam giác tổng trở

Quan hệ giữa r , x ,  có thể được biểu diễn bằng một tam giác vuông có các cạnh

vuông là r và x , cạnh huyền là  , góc nhọn kề cạnh r là  Tam giác này được gọi là tam giác tổng trở

Z

x x r

Thay r  Zcos vào công thức của P ta có:



cos2

UI I



cos được gọi là hệ số công suất của nhánh

b) Công suất phản kháng Q

Biên độ công suất dao động năng lượng được tính theo công thức 2

xI

Q  Ta gọi nó là công suất phản kháng của nhánh Nó đo cường độ quá trình dao động năng lượng Đơn

vị của công suất phản kháng là VAr

Thay xsin vào công thức của Q ta có:

c) Công suất biểu kiến S

Trong kỹ thuật dòng xoay chiều còn dùng một khái niệm nữa là công suất biểu kiến, ký

hiệu là S , được xác định như sau:

UI

Đơn vị của S là VA Nó đo độ lớn của trạng thái áp và dòng U , I dưới dạng tích số

d) Quan hệ giữa các công suất P, Q, S

S Q

Từ (2.45) ta thấy P , Q , S cũng có thể biểu diễn bằng một tam giác vuông có góc nhọn

, nghĩa là đồng dạng với tam giác r, x,  với các cạnh thứ tự tỷ lệ nhau

Hình 2.12a là sơ đồ truyền tải đơn giản từ nguồn đến một tải tiêu thụ một công suất tác dụng P t Giả sử hệ số công suất tải là cos Để truyền công suất  P t trên đường dây

phải chảy một dòng điện:

Từ công thức (2.46) ta có thể thấy rằng cos càng nhỏ thì dòng I càng lớn gây tổn hao 

năng lượng Jul, và tụt áp dọc đường dây càng nhiều Mặt khác khi cos thấp, nguồn 

phát cung cấp một dòng I lớn mà vẫn không phát ra được nhiều công suất tác dụng,

đường dây phải truyền tải một dòng lớn mà công suất truyền tải không lớn

P,cos

t i C i

 l

Hiện tượng cos của tải thấp là có hại về kinh tế và kỹ thuật, vì vậy phải nâng cao hệ 

số công suất của tải Phương pháp nâng cao hệ số công suất đơn giản nhất là ghép song song với tải (thường có tính chất cảm) những tụ điện chuyên dụng gọi là tụ bù (hình 2.12b)

Khi chưa có tụ bù dòng điện I 1

 trên đường dây bằng dòng điện tải I t

 chậm pha sau điện áp một góc 1 ứng với hệ số cos1 thấp Khi ghép song song thêm một tụ, đường dây sẽ đưa thêm vào tụ một dòng I C

 vượt trước điện áp một góc 900 Do vậy, vectơ biểu diễn dòng điện tổng trên đường dây I 2

)(

cos)

(tg 1 tg 2 I 1 tg 1 tg 2Ol

ml nl nm C

U I



 nên ta có:

cos

2 1

Chương 3: Các phương pháp phân tích mạch tuyến tính ở

modul V và argument  góc hợp với trục thực) Đơn vị của  là radian, nhưng trong

kỹ thuật điện đơn vị thường dùng là độ

jb

a V

a

b arctg

Cặp số phức liên hợp:

Hai số phức được gọi là liên hợp nếu chúng có cùng phần thực và phần ảo trái dấu nhau

Ký hiệu số phức liên hợp của

e V

e Ve

3.1.2 Biểu diễn các biến trạng thái điều hòa bằng số phức

Các biến trạng thái điều hòa cùng tần số đặc trưng bởi cặp thông số hiệu dụng–góc pha

đầu Do đó ta sẽ biểu diễn chúng bằng những số phức gọi là ảnh phức của hàm điều

hòa, có mô đun bằng hiệu dụng và argument bằng góc pha đầu của biến điều hòa

.

sin cos

Ta sẽ biểu diễn cặp số phản ứng ( , )z  bằng một số phức gọi là tổng trở phức của nhánh

đối với dòng điều hòa, ký hiệu là chữ Z với mô đun bằng tổng trở z và argumen bằng

Tương tự ta biểu diễn cặp số phản ứng ( ,y ) bằng một số phức gọi là tổng dẫn phức

của nhánh đối với dòng điều hòa, ký hiệu là chữ Y với mô đun bằng tổng dẫn y và

 g và b không phải là nghịch đảo của r và x Điều này chỉ đúng khi nhánh

là thuần trở hoặc thuần kháng

 Tổng dẫn phức là nghịch đảo của tổng trở phức: Y 1

Z



3.1.4 Biểu diễn quan hệ giữa áp và dòng của một nhánh

Ở chế độ xác lập điều hòa, trong một nhánh tuyến tính quan hệ giữa u và i như sau:

3.1.5 Biểu diễn các trạng thái công suất trong một nhánh

Đối với dòng điều hòa ta đã có 2 khái niệm công suất tác dụng P và công suất phản kháng Q có bản chất khác nhau Ta sẽ biểu diễn cặp số (P, Q) bằng một số phức có phần thực P và phần ảo Q:

HÌNH 3.3 Tam giác công suất P, Q, S

Theo (3.24) và dựa vào tam giác công suất ta có:

3.1.6 Biểu diễn phép vi tích phân hàm điều hòa bằng số phức

 Nếu biểu diễn một hàm điều hòa bằng ảnh phức, kết quả của phép đạo hàm theo thời gian đối với hàm sẽ là phép nhân ảnh phức với j , tức là:

U I E J các toán tử đạo hàm được thay

bằng j , các toán tử tích phân được thay bằng 1

j Trên sơ đồ mạch Kirchoff những

phần tử điện cảm, hỗ cảm thứ tự ghi kèm theo các điện kháng phức jx L j L  ,

k

I 

.0

Luật Kirchoff đối với ảnh phức:

 Tổng đại số các ảnh phức dòng điện ở một nút hoặc tập cắt trượt tiêu

 Tổng đại số các ảnh phức điện áp lấy theo một vòng kín trượt tiêu

Với sơ đồ phức và các luật phức ta viết thẳng được phương trình mạch dạng đại số cho các ảnh phức Giải hệ đại số tìm được các ẩn phức ta chuyển được dễ dàng về các ẩn điều hòa

Đây là phương pháp cơ bản nhất để lập hệ phương trình mô tả và khảo sát mạch Kirchoff tuyến tính ở chế độ xác lập điều hòa Phương pháp này dùng trực tiếp hai luật Kirchoff cho các nút và các vòng kín, với ẩn lấy trực tiếp là ảnh phức các dòng nhánh

Xét một mạch có n nhánh và d đỉnh Nội dung của phương pháp như sau:

 Đặt ẩn là n ảnh phức dòng nhánh I.1,,I.n đã định chiều dương trên mỗi nhánh

 Lập hệ phương trình độc lập theo các luật Kirchoff cho các ảnh phức Trong đó có

I

2

I

3

I

4

I

5

I

4

E

5

Thay số ta có hệ phương trình:

.

1 2 3

4 5

00

E

1

I

2

I

3

I

3

E

2

I II

1

E

1

I

2

I

3

I

3

E

2

6

E

4

I

5

I

6

I III

Theo mô hình mạch Kirchoff quá trình trong thiết bị điện có tính chất thế Vì vậy có thể

đo quá trình bằng d 1 thế đỉnh  1, 2,, d1 so với một thế đỉnh tùy ý được chọn làm mốc zero Qua những biến này có thể tính dễ dàng các biến áp, dòng hoặc công suất nhánh

Để lập d 1 phương trình cho d 1 biến là thế đỉnh ta dựa vào luật Kirchoff 1 Xét

đỉnh thứ k như hình 3.7, trên đó có nguồn dòng j k bơm vào, các dòng i k1,i k2 chảy

ra Ở chế độ xác lập điều hòa, dùng ảnh phức ta có phương trình sau:

.2

Gọi Y kl là tổng dẫn các nhánh nối giữa hai đỉnh k, l, theo luật Om dòng chảy theo chiều

từ đỉnh k đến đỉnh l được tính như sau: