PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, các dạng lý thuyết về phương trình lượng giác, các bài tập về phương trình lượng giác, các dạng toán về lượng giác, các bài tập cơ bản về lượng giác, giáo án bài giảng về lượng giác và phương trình lượng giác
Nguyễn Đức Lợi Đại số 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = sinα x = α + k2π (k ∈ Z) a sin x = sinα ⇔ x = π − α + k2π sin x = a Điề u kiệ n: − ≤ a ≤ b sin x = a ⇔ x = arcsina + k2π x = π − arcsina + k2π (k ∈ Z) c sinu = − sinv ⇔ sinu = sin(− v) π d sinu = cosv ⇔ sinu = sin − v÷ 2 π sinu = − cosv ⇔ sinu = sin v − ÷ 2 Các trường hợp đặc biệt sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) e sin x = ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z) sin x = − ⇔ x = − sin x = ± ⇔ sin2 x = ⇔ cos2 x = ⇔ cos x = ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z) π + kπ (k ∈ Z) 2 Phương trình cosx = cosα a cos x = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z) b cos x = a Điề u kiệ n : − ≤ a ≤ cos x = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k ∈ Z) c cosu = − cosv ⇔ cosu = cos(π − v) π d cosu = sinv ⇔ cosu = cos − v÷ 2 π e cosu= − sinv ⇔ cosu = cos + v÷ 2 Các trường hợp đặc biệt π + kπ (k ∈ Z) cos x = ⇔ x = k2π (k ∈ Z) cos x = ⇔ x = cos x = − ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z) cos x = ± ⇔ cos2 x = ⇔ sin2 x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) Phương trình tanx = tanα a tan x = tanα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z) b tan x = a ⇔ x = arctana + kπ (k ∈ Z) c tanu = − tanv ⇔ tanu = tan(−v) π d tanu = cot v ⇔ tanu = tan − v÷ 2 Trang Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi π e tanu= − cot v ⇔ tanu = tan + v÷ 2 Các trường hợp đặc biệt tan x = ⇔ x = kπ (k ∈ Z) tan x = ± ⇔ x = ± π + kπ (k ∈ Z) 4 Phương trình cotx = cotα cot x = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z) cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ (k ∈ Z) Các trường hợp đặc biệt π π + kπ (k∈ Z) cot x = ± ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z) Một số điều cần ý a Khi giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh π * Phương trình chứa tanx điều kiện x ≠ + kπ (k ∈ Z) * Phương trình chứa cotx điều kiện x ≠ kπ (k ∈ Z) cot x = ⇔ x = * Phương trình chứa tanx cotx điều kiện x ≠ k * Phương trình có mẫu số sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z) • π (k ∈ Z) π + kπ (k ∈ Z) π • tan x ≠ ⇔ x ≠ k (k ∈ Z) π • cot x ≠ ⇔ x ≠ k (k ∈ Z) b Khi tìm nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trò x vào biểu thức điều kiện Dùng đường tròn lượng giác Giải phương trình vô đònh • cos x ≠ ⇔ x ≠ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Giải phương trình sau: π a )sin x = sin d ) sin x = b) sin x = − sin 360 c) sin x = 12 π 11π + k 2π ( k ∈ ¢ ) b) x = −180 + k1800 , x = 1080 + k1800 ( k ∈ ¢ ) ĐS a ) x = + k 2π , x = 12 12 π 2π 5π 2π 2 c) x = + k ,x = +k ( k ∈ ¢ ) d ) x = arcsin + k 2π , x = π − arcsin + k 2π 18 18 3 Ví dụ Giải phương trình sau: Trang Nguyễn Đức Lợi Đại số 11 a ) cos x = cos π ( ) b) cos x + 450 = 2 ; c)cos4 x = − 2 d ) cos x = π b) x = k 3600 , x = −900 + k 3600 ( k ∈ ¢ ) + k 2π ( k ∈ ¢ ) 3π π c) x = ± + k ,( k ∈ ¢) d ) x = ± arccos + k 2π , k ∈ ¢ 16 Ví dụ Giải phương trình sau: π a ) tan x = tan b) tan x = − c) tan x − = d ) tan ( x − 20 ) = 3 π π 1 b) x = arctan − ÷+ k , ( k ∈ ¢ ) ĐS: a ) x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) 4 3 π π d ) x = 200 + k 450 , ( k ∈ ¢ ) c) x = + k , ( k ∈ ¢ ) 18 Ví dụ Giải phương trình sau: π 3π b) cot x = −3 c) cot x − ÷ = a ) cot x = cot 6 π π π π π ĐS: a ) x = + k , ( k ∈ ¢ ) b) x = arccot ( −3) + k , ( k ∈ ¢ ) c ) x = + k , ( k ∈ ¢ ) 4 BÀI TẬP TỰ LUẬN ĐS: a ) x = ± Giải phương trình sau Bài π π 1) sin ( x − 1) = sin ( x + 1) 2) cos x − ÷ = cos x + ÷ 4 2 ( ) 4) cot 450 − x = 3 7) sin3x = sin x ( ) tan x + 150 = 5) sin2x = 3) tan ( x + 3) = tan ( ) 6) cos 2x + 250 = 8) cot( 4x + 2) = − π − 2 9) 3 ( ) 10) sin x + 60 + sin x = 11) cos x = − cos x − 300 ( π 13) tan x = cot − x ÷ 14) sin2x = cos3x 4 2π sin x − ÷ = cos2x 3 16) sin4x = − cos x 17) sin5x = − sin2x 2 sin 2x = sin 3x 19) tan( 3x + 2) + cot2x = 20) sin4x + cos5x = 2sin x + 2sin2x = 22) sin2 2x + cos2 3x = 24) cos x − 2sin2 x =0 tan5x.tan3x = π 27) sin cos x÷ = 4 ) 12) sin x − cos x = 15) 18) 21) 23) sin5x.cos3x = sin6x.cos2x π 25) tan 3x + ÷cot ( 5x − π ) = 26) 2 π 28) tan ( sin x + 1) = 4 Trang ( ) 29) cos x + 30 + 2cos 15 = Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi Giải phương trình: π a) cot(5 x − ) = b) cos x + cos x = c) sin x − cos x = d) sin x + sin x + cos x = e) sin x + sin x + cos2 x = ĐS: π 5π kπ a) x = π + b) x = + kπ , x = ± + k 2π , k ∈ ¢ 2π k 2π + c) x = d) x = kπ , x = arctan + kπ Bài Giải phương trình: 3π π kπ a) tan(3 x + ) = (ĐS: x = − + ) 5 π π 7π + k 2π , k ∈ ¢ ) b) 2sin x − sin x −1 = (ĐS: x = + k 2π , x = − + k 2π , x = 6 3π k 2π c) sin x + cos x = − (ĐS: x = − + ) 20 Bài d) 3sin x + sin x + cos x = (ĐS x = π π + k 2π , x = + kπ ) π π 5π + k 2π , x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ ¢ ) 6 f) cos x − 3cos x + = (ĐS: x = k 2π , x = ± arccos(− ) + k 2π , k ∈ ¢ ) 2 g) 2sin x + 3sin x cos x − 5cos x = ⇔ 2ta n x + 3ta n x − = π ĐS: x = + kπ , x = arctan(− ) + kπ , k ∈ ¢ Bài Giải phương trình e) cos x + 3sin x − = (ĐS: x = π 1) cos 2x + ÷ = 6 π 4) sin 3x + ÷ = 3 7) sin( 3x+ 1) = π 2) cos 4x − ÷ = 3 x π 5) sin − ÷ = 4 ( ) 8) cos x− 150 = π 3) cos − x÷ = −1 5 π 6) sin + 2x÷ = −1 6 x π 9) sin − ÷ = − 3 2 π 10) cos − 2x÷ = − 11) tan( 2x− 1) = 6 π π 13) tan 3x + ÷ = −1 14) cot 2x − ÷ = 6 3 Bài Giải phương trình ( ) 12) cot 3x+ 100 = 3 15) cos(2x + 250) = − 1) sin( 3x + 1) = sin( x − 2) π π 2) cos x − ÷ = cos 2x + ÷ 3 6 3) cos3x = sin2x 4) sin x − 120 + cos2x = π π 5) cos 2x + ÷+ cos x − ÷ = 3 3 π x 6) sin3x + sin − ÷ = 2 ( Trang ) 2 Nguyễn Đức Lợi Đại số 11 π π 7) tan 3x − ÷ = tan x + ÷ 4 6 π π 8) cot 2x − ÷ = cot x + ÷ 4 3 9) tan( 2x + 1) + cot x = 10) sinx.cos xc os2x.cos4x = sin12x 12) cosx-cos3x = sin2x 14) sin2 x = π 2 16) sin x − ÷ = cos x 11) sin3x + sin5x = sin4x 13) cot2 x = 15) cos x = BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Giá trị đặc biệt sau π π A cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ B cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ 2 π π C cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k 2π D cos x ≠ ⇔ x ≠ + k 2π 2 Câu Phương trình lượng giác: cos 3x = cos12 có nghiệm là: π π k 2π −π k 2π π k 2π + + A x = ± + k 2π B x = ± + C x = D x = 15 45 45 45 Câu Tập nghiệm phương trình sin x = : π π A + kπ , k ∈ Z B + 2kπ , k ∈ Z C { kπ , k ∈ Z } 4 4 π D + 2kπ , k ∈ Z 2 Câu Tập nghiệm phương trình cos x = −1 : −π −π 0 + 2kπ , k ∈ Z C + kπ , k ∈ Z A { 90 + k180 , k ∈ Z } B Câu Phương trình lượng giác: 3cot x − = có nghiệm là: π π π A x = + kπ B x = + kπ C x = + k 2π 3 Câu Phương trình lượng giác: 3.tan x − = có nghiệm là: π π π A x = + kπ B x = − + k 2π C x = + kπ 3 Câu Phương trình lượng giác: cot x − = có nghiệm là: π x = + k 2π π A B x = arc cot + kπ C x = + kπ x = −π + k 2π Câu Phương trình lượng giác: cos x + = có nghiệm là: π 3π 5π x = + k π x = + k π x = + k 2π 4 A B C D x = 3π + k 2π x = −3π + k 2π x = −5π + k 2π 4 2x − 600 ÷ = có nhghiệm là: Câu Phương trình: sin Trang D { − kπ , k ∈ Z } D Vơ nghiệm D x = − D x = π x = + k 2π x = −π + k 2π π + kπ π + kπ Đại số 11 A x = ± Nguyễn Đức Lợi 5π k 3π + 2 B x = kπ C x = π + kπ D x = π k 3π + 2 Câu 10 Tìm nghiệm phương trình sin( x + 75 ) = sin 15 ? x = −60 + k 360 'k ∈ Z A 0 x = 90 + k 360 x = 60 + k 360 'k ∈ Z B 0 x = −90 + k 360 x = −60 + k180 'k ∈ Z C 0 x = 90 + k180 x = −60 + k 360 'k ∈ Z D 0 x = −90 + k 360 Câu 11 Nghiệm phương trình cos x = − A x = ± C x = 5π + kπ , k ∈ Z 12 là: π + kπ , k ∈ Z 12 π x Câu 12 Nghiệm phương trình tan − ÷ = −1 , là: 2 A π + k 2π B −π + kπ 5π + kπ , k ∈ Z π D x = − + kπ , k ∈ Z 12 B x = ± C π + k 2π D − π + k 2π ; k ∈ ¢ Câu 13 Với k ∈ ¢ , cơng thức nghiệm phương trình tan x = A x = arctan + kπ B x = arctan + k 2π C x = + kπ ( D x = π + kπ ) o Câu 14 Với k ∈ ¢ , cơng thức nghiệm phương trình sin x + 10 = −1 A x = −100o + k 360o B x = −80o + k180o Câu 15 Số nghiệm phương trình sin x = A B C x = 100o + k 360o D x = −100o + k180o khoảng (0;3π ) C D Câu 16 Phương trình cos x = m + có nghiệm A −1 ≤ m ≤ B m ≤ C m ≥ −2 D −2 ≤ m ≤ π Câu 17 Với k ∈ ¢ , cơng thức nghiệm phương trình cot x + ÷ = 4 π π π π A x = + kπ B x = + kπ C x = − + kπ D x = + kπ 12 12 Câu 18 Với giá trị m phương trình sin x − m = có nghiệm là: A ≤ m ≤ B m ≤ C m ≥ D −2 ≤ m ≤ Câu 19 Phương trình: cos x − m = vơ nghiệm m là: m < −1 A B m > C −1 ≤ m ≤ D m < −1 m > π Câu 20 Số nghiệm phương trình: sin x + ÷ = với π ≤ x ≤ 5π là: 4 A B C Câu 21 Phương trình sau vơ nghiệm: Trang D Nguyễn Đức Lợi A tan x = −1 Đại số 11 B cos2 x = tan(2017 x − π ) = −90 C sin(2 + x) = −2016 2017 D Câu 22 Tập nghiệm phương trình tan x.cot x = : π kπ π ,k ∈Z A + kπ , + B ∅ 4 kπ π kπ ,k ∈Z ,k ∈Z C kπ , D + 6 là: B x = 300 ; x = −1050 D x = 300 ; x = 450 ; x = 750 Câu 23 Với −1200 < x < 900 nghiệm phương trình sin ( x − 150 ) = A x = 300 ; x = 750 ; x = −1050 C x = 600 ; x = 900 ; x = −1050 π π Câu 24 Tìm số nghiệm phương trình sin 2x = 0, x ∈ − ; ? 2 A B C −1 Câu 25 Phương trình: sin 2x = có nghiệm thỏa: < x < π A B C −π π ≤ x ≤ là: Câu 26 Phương trình: sin x = có nghiệm thỏa 2 5π π π + k 2π A x = B x = C x = + k 2π 6 Câu 27 Giải phương trình: tan x = có nghiệm là: π π A x = − + kπ B x = ± + kπ C vơ nghiệm 3 ( D D D x = π D x = π + kπ ) Câu 28 Nghiệm phương trình: sin x cos x − = là: x = kπ A x = ± π + k 2π x = kπ B x = ± π + kπ Câu 29 Nghiệm đặc biệt sau sai π A sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π C sin x = ⇔ x = k 2π x = k 2π C x = ± π + k 2π D x = ± π + k 2π B sin x = ⇔ x = kπ D sin x = ⇔ x = π + k 2π Câu 30 Phương trình lượng giác: 3.tan x + = có nghiệm là: π π π π A x = + kπ B x = − + k 2π C x = + kπ D x = − + kπ 3 Câu 31 Giải phương trình sin2x = 3.sinx π π 5π + k2π A x = kπ , x = ± + k2π B x = kπ , x = + k2π , x = 6 π π 2π + k2π C x = kπ , x = ± + k2π D x = k2π , x = + k2π , x = 3 Trang Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi là: B x = 300 ; x = −1050 Câu 32.Với −1200 < x < 900 nghiệm phương trình sin ( x − 150 ) = A x = 300 ; x = 750 ; x = −1050 C x = 600 ; x = 900 ; x = −1050 D x = 300 ; x = 450 ; x = 750 π Câu 33 Phương trình sin x = có nghiệm khoảng ; π ÷ là: 2 π 5π 2π 3π A B C D 6 Câu 34 Nghiệm dương nhỏ nhất phương trình cos x = − là: π 2π π π A B C D 3 π π Câu 35 Số nghiệm phương trình sin x = cos x đoạn − ; là: 2 A.1 B C D Câu 36 Nghiệm phương trình lượng giác: cos x − cos x = thỏa điều kiện < x < π là: π −π A x = B x = C x = π D x = 2 π Câu 37 Số nghiệm phương trình: cos x + ÷ = với ≤ x ≤ 2π là: 3 A B C D Câu 38 Tìm nghiệm phương trình sin 2 x + cos x = ? 2π ;k ∈ Z A x = k 2π ; k ∈ Z B x = k π C x = π + kπ ; k ∈ Z D x = kπ ∪ x = k ; k ∈ Z Câu 39 Tập nghiệm phương trình −2π + kπ , k ∈ Z A π tan( x + ) + = : −7π + kπ , k ∈ Z B 2π D + kπ , k ∈ Z x Câu 40 Giải phương trình lượng giác: cos + = có nghiệm là: 5π 5π + k 2π + k 2π A x = ± B x = ± 5π 5π + k 4π + k 4π C x = ± D x = ± −2π + kπ , k ∈ Z C Trang Nguyễn Đức Lợi Đại số 11 II PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2, BẬC ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng asin2x + bsin x + c = Đặt t = sinx Điều kiện −1≤ t ≤ a cos2 x + bcos x + c = t = cosx −1≤ t ≤ atan2 x + btan x + c = t = tanx x≠ acot2 x + bcot x + c = t = cotx π + kπ (k ∈ Z) x ≠ kπ (k ∈ Z) Nếu đặt t = sin2 x hoặ c t = sin x điề u kiệ n : ≤ t ≤ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Giải phương trình sau: 1) 2cos2x - 3cosx + = 2=0 3) 9cos2x -5sin2x – 5cosx + = cos2x = 5) tan2 x + ( − 1) tan x − = 1=0 7) cos2x - 3cosx +1 =0 ĐS: 1) x = k2π , x = ± 3) x = ± 5) x = π + l 2π 2) x = 4) x = 6) x = π + k2π = 3cot x + 6) cos2x + sin2x + 2cosx + 8) cos x + 3sin x − = −π 7π + k2π ; x = + k2π 6 −1 7) x = k2π ; x = ± arccos ÷+ k2π 4 Ví dụ Giải phương trình sau 1) 4sin4x + 12cos2x = 3) 4) 5sinx(sinx – 1) – π 1 + k2π ; x = arcsin( ) + k2π ; x = π − arcsin( ) + k2π 3 −1 π + k2π ; x = ± arccos ÷+ k2π 7 π π + kπ ; x = − + kπ 2) 2sin2x – cos2x - 4sinx + 2) 6sin23x + cos12x = 14 4) 1− (2 + 2)sinx + sin2 x π π ĐS: 1) x = + k 2) vơ nghiệm π 3π π 5π 4) x = + k2π ; x = + k2π ; x = + k2π ; x = 4 6 Ví dụ Giải phương trình sau 1) 4sin3x – 8sin2x+sinx + = + 10 = 3) 4(sin3x-cos2x) = 5(sinx – 1) Trang 2 =0 1+ cot2 x π π 3) x = + kπ ; x = + kπ + k2π 2) 2tan3x + tan2x – 23tanx 4) cos3x + 3cos2x = 2(1+cosx) Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi (ĐHNNHN2000) cosx 6) 4cos3 x + 2sin2x = 8cos x 7) 1+ cosx+cos2x+cos3x=0 π −π 7π ĐS: 1) x = + k2π ; x = + k2π ; x = + k2π 6 1 2) x = arctan(2) + kπ ; x = arctan ÷+ kπ ; x = arctan( −5) + kπ 2 5) 2cos2x – 8cosx +7 = 3) x = −1 −1 π + k2π ; x = arcsin ÷+ k2π ; x = π − arcsin ÷+ k2π , k ∈ ¢ 4 4 −5+ ÷+ k2π , k ∈ ¢ 4) x = k2π ; x = ± arccos ÷ π 5) x = k2π ; x = ± + k2π 6) pt ⇔ cosx=0∨ sinx = 7) pt ⇔ cosx=0∨ cosx = −1∨ cosx= BÀI TẬP Bài Giải phương trình sau 1) 2sin2x + 5cosx + = 2) 4sin2x – 4cosx – = 5 3) 4cos x.sinx – 4sin x.cosx = sin 4x 4) tan2 x + ( 1− 3) tan x − = 5) 4sin2 x − 2( + 1) sin x + = 6) 4cos3 x + 2sin2x = 8cos x 7) tan2x + cot2x = 8) cot22x – 4cot2x + = 9) sin2 2x + 5cos2x + 1= 10) cos2x-sinx + = 11) cos2x-cosx-2 = 12) 2tan x − 3cot x + 1= x 13) cosx+sin + 1= 14) cos2x+cosx+1=0 15) sin2 2x − 2cos2 x + = 16) cos2x+sin2x + sinx = 4 17) 1− 5sin x + 2cos2 x = 18) cos2x+sin2x + 2cosx+1=0 Bài Giải phương trình sau 1) 4sin 3x + 2( + 1) cos3x − = 2) cos2x + 9cosx + = 2 3) 4cos (2 – 6x) + 16cos (1 – 3x) = 13 4) cos2 x − ( 3+ 3) tan x − 3+ = + tan2x = cosx = cotx + 8) + 3cot2x = cos x tanx = 5) 11) cos2 x − 4tan x − = 6) – 13cosx + 1+ tan2 x 9) cos2x – 3cosx = 4cos2 12) sin2 x Trang 10 =0 x − 3cot x − = 7) sin2 x 10) 2cos2x + Nguyễn Đức Lợi Đại số 11 13) tan2 x − + =0 cosx Bài Giải phương trình sau x 1) cos2x − 3cosx = 4cos 6sin 3x − cos12x = cos x = cos3 x + 4sin 2x 6) 14) 1− (2 + 2)sinx = 2 1+ cot2 x 2) 6sin x − 2sin 2x = 3) 4 4) ( + cos x ) = + s in x − cos x 5) + t anx = cos x 7) cos 2x + sin x − cos x + = 2tan3 x − 2tan2 x + 3tan x − = 11) cos3x + 5sin2 x + 7cos x − = 8) cosx + 3cos x + = 9) 10) 4sin3 x − 10sin2 x + 6sin x − 1= 12) 2sin3 x − cosx − sin x = 13) 3sin3 x − 3cos2x + 7sin x − cos2x+1= 14) 5cos3x − 3sin2 x + 8cos x − 1= sin3x + cos3x 3+ cos2x Bài Cho phương trình Tìm sin x + ÷= 1+ 2sin2x nghiệm phương trình thuộc ( ; 2π ) (HD: GPT x = ± π + k 2π ) Cho phương trình cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + Tìm nghiệm phương trình thuộc ( −π ; π ) Bài Bài π π Giải phương trình sin4 x + sin4 x + ÷+ sin4 x − ÷ = 4 4 Trang 11 Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX DẠNG a sinx + b cosx = c (1) Cách • Chia hai vế phương trình cho (1) ⇔ • Đặt sinα = a 2 a +b a a2 + b2 a2 + b2 ta b sin x + a2 + b2 b , cosα = 2 a +b cos x = a2 + b2 ( α ∈ 0, 2π ) phương trình trở thành sinα sin x + cosα cos x = ⇔ cos(x − α ) = • c c a2 + b2 c = cosβ (2) a2 + b2 Điều kiện để phương trình có nghiệm c • (2) ⇔ x = α ± β + k2π Cách 2 a +b (k ∈ Z) ≤ ⇔ a2 + b2 ≥ c2 x π = + kπ có nghiệm hay không? 2 x b Xét x ≠ π + k2π ⇔ cos ≠ a Xét x = π + k2π ⇔ x 2t 1− t2 Đặt t = tan , thay sin x = , cos x = , ta phương trình bậc hai 1+ t2 1+ t2 theo t (b + c)t2 − 2at + c − b = (3) Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm ∆ ' = a2 − (c2 − b2) ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Giải (3), với nghiệm t0, ta có phương trình tan x =t Ghi Cách thường dùng để giải biện luận Cho dù cách hay cách điều kiện để phương trình có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Bất đẳng thức B.C.S y = a.sin x + b.cos x ≤ a2 + b2 sin2 x + cos2 x = a2 + b2 Trang 12 Nguyễn Đức Lợi Đại số 11 ⇔ y = − a2 + b2 vàmax y= a2 + b2 ⇔ sin x cos x a = ⇔ tan x = a b b CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ Giải phương trình sau 1) sin x + cos x = 2) 3) cos x − sin x = − sin x − cos x = 4) sin5x + 3cos5x=2sin7x 5) 3sin x − cos x = + 4sin 3 x 6) 7) sin4 x − cos4x = 1+ 3sinxcos x 8) cos7x-sin5x= 3(cos5x-sin7x) x 2cos2 + 3sinx − 2sin3x − 1= 9) cos7x.cos5x- 2sin2x = 1− sin7x.sin5x π 5π 5π 2π π 2π x = 12 + k 2π x = 12 + k 2π x= +k x= +k 84 18 ĐS: 1) 2) 11π 3) 5) 7π x= + k 2π x= + k 2π x = 11π + k 2π x = 7π + k 2π 12 12 84 54 π x = 12 + kπ 6) x = π + k π 24 π π −π x = + kπ x = 12 + kπ x= + kπ 7) 8) 9) x = − π + kπ x = 5π + k π x = kπ 24 BÀI TẬP Bài Giải phương trình sau 1) cos x + 3sin x = 3cos3x + sin3x = 4) sin x + cos x = 2sin5x 2) sin x + cos x = 5) ( 3) − 1) sin x − ( + 1) cos x + − 1= π 3sin2x + sin + 2x÷ = 7) ( sinx + cosx) + 3cos2x=2 2 π 8) cos2x − 3sin2x = 1+ sin2 x 9) sin − x÷+ 3sin(π − x) = 2 6) 10) 2cos13x=sinx + cosx 11) 3sin5x − cos5x = 2sin3x π 12) sin3x − 3cos3x = 2sin2x 13) cos + 2x÷− 3cos(π -2x)=1 2 Bài Giải phương trình sau 1) 2sin x + 3sin2x = 2) sin8x − cos6x = 3( sin6x + cos8x) π 4) cosx – 3sin x = 2cos − x÷ + 3 sin x cos x 5) sin5x + cos5x = cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6) + = – 3(3cosx – 4sinx – 6) Bài Giải phương trình sau 1) 3sinx – 2cosx = 2) cosx + 4sinx – = 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = Bài Giải phương trình sau 3) 8cos x = Trang 13 Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi π π 1) 2sin x + ÷ + sin x − ÷ = 2) 4 4 π 3cos2x + sin2x + 2sin 2x − ÷ = 2 6 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 1) (m + 2)sinx + mcosx = 22)msinx + (m - 1)cosx = 2m + Bài Tìm m để phương trình (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – vô nghiệm Bài Tìm max, hàm số + cosx sinx + 2cos x + sinx a) y = b) y = c) y = sinx + cosx-2 sinx + cosx+2 cosx+2 −5− 19 −5+ 19 ĐS: a) y = ; maxy = 2 IV PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách • Kiểm tra cosx = có thoả mãn hay không? Lưu ý cosx = ⇔ x = • π + kπ ⇔ sin2 x = ⇔ sin x = ± Khi cos x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ ta a.tan2 x + b.tan x + c = d(1+ tan2 x) • Đặt t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t (a − d)t2 + bt + c− d = Cách Dùng công thức hạ bậc 1− cos2x sin2x 1+ cos2x + b + c = d 2 ⇔ b.sin2x + (c − a).cos2x = 2d − a − c (1) ⇔ a (đây phương trình bậc sin2x cos2x) CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ Giải phương trình sau: 1) sin2 x + sin xcosx+3cos2 x − = 2) 2sin2 x + 3sin xcosx+3cos2 x − = 3) sin2 x − 3sin xcosx+2cos2 x = 4) 3sin2 x − 3sin xcosx+2cos2 x − = 5) sin2 x − 3sin xcosx+1= 6) 3sin2 x + (1− 3)sin xcosx-cos2 x + 1− = 1 ĐS: 1) x = kπ ; x = arctan ÷+ kπ 2 3) x = arctan2 + kπ ; x = π + kπ 1 π 2) x = arctan ÷+ kπ ; x = + kπ 3 1 π 5) x = arctan ÷+ kπ ; x = + kπ 2 Trang 14 Nguyễn Đức Lợi 6) x = Đại số 11 π π + kπ ; x = − + kπ Ví dụ Giải phương trình sau: 1) 3sin x + cosx = (ĐHAN98) cosx 2) 4sin x + 6cosx = π ĐS: 1) x = kπ ; x = + kπ cosx π x = arctan5+ kπ ; x = − + kπ sin x + cosx = cosx 3) 3) Ví dụ Giải phương trình sau: 1) 4sin3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin2xcosx = 2) cos3x + sin x − 3sin2 xcosx=0 3) sin3 x − 3cos3 x = sinxcos2x- 3sin2 xc osx(B2009) 4) cos3x − sin3 x = sin x − cosx 5) cos3x − 4sin3 x − 3cosxsin2x+sinx = 6) 2cos3 x = sin3x 7) sinx.sin2x + sin3x = 6cos3 x 8) 1+ 3sin2x = 2tan x ĐS:1) x = 2) x = π π + kπ ; x = ± + kπ 2) x = arctan(1± 2) + kπ ; x = π π + kπ ; x = − + kπ 6) x = arctan(−2) + kπ ; x = 8) x = arctan( 4) x = π + kπ π + kπ 5) x = − 7) x = arctan2 + kπ ; x = ± 3± 17 π ) + kπ ; x = − + kπ 4 BÀI TẬP Bài Giải phương trình sau 1) 2sin2 x + ( 1− 3) sin x.cos x + ( 1− 3) cos2 x = 2) 3sin2 x + 8sin x.cos x + ( − 9) cos2 x = 3) 4sin2 x + 3sin x.cos x − 2cos2 x = 4) sin2 x + sin2x − 2cos2 x = 5) 2sin2 x + ( 3+ 3) sin x.cos x + ( − 1) cos2 x = −1 6) 5sin2 x + 3sin x.cos x + 3cos2 x = 7) 3sin2 x + 8sin x.cos x + 4cos2 x = ( 9) ( 8) − 1) sin2 x + sin2x + ( + 1) cos2 x = + 1) sin2 x − 3sin x.cos x + ( − 1) cos2 x = 10) 3cos4 x − 4sin2 x cos2 x + sin4 x = 11) cos2x + 3sin2x + sinx.cosx – = 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = Bài Giải phương trình sau: Trang 15 π + kπ π π + kπ ; x = ± + kπ π + kπ Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi 1) 4cos3 x + 2sin3 x − 3sin x = 2) cos3 x − 4sin2 x − 3sin2 xc osx+sinx = 3) cos3 x − sin3 x = sin x + cosx 4) 2cos3 x = sin3x 6) tanx+cotx=2(sin2x+cos2x) π 3 7) sin x − ÷ = 2sinx 4 5) 2cos3 x = sin x Giải phương trình sau Bài −1 2 Tìm m để phương trình (m + 1)sin x – sin2x + 2cos x = có 1) sin3x + 2sin2x.cosx – 3cos3x = Bài 2) 3sin x.cos x − sin2 x = nghiệm Tìm m để phương trình (3m – 2)sin 2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos x = vô nghiệm Bài V PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = • • π Đặt t = cos x ± sin x = 2.cos x m ÷; t ≤ 4 ⇒ t2 = 1± 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t2 − 1) Thay vào phương trình cho, ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa t ≤ Suy x Lưu ý dấu • π π cos x + sin x = 2cos x − ÷ = 2sin x + ÷ 4 4 • π π cos x − sin x = 2cos x + ÷ = − 2sin x − ÷ 4 4 Dạng a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = • • π Đặt t = cos x ± sin x = cos x m ÷ ; Đk : ≤ t ≤ 4 ⇒ sin x.cos x = ± (t2 − 1) Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối Bài Giải phương trình 1) 2sin2x − 3( sin x + cos x) + = 2) 2( sin x + cos x) + 3sin2x = 3) 3( sin x + cos x) + 2sin2x = −3 4) ( 1− 2) ( 1+ sin x + cos x) = sin2x 5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – = 6) ( 1+ 2) ( sin x + cos x) − sin2x = 1+ Trang 16 Nguyễn Đức Lợi Bài Đại số 11 Giải phương trình 1) sin2x − 4( cos x − sin x) = 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 3) ( 1− 2) ( 1+ sin x − cos x) = sin2x 4) cosx – sinx + 3sin2x – = 5) sin2x + Bài π 2sin x − ÷ = 6) ( sin x − cos x) − ( + 1) (sin x − cos x) + = 4 Giải phương trình 1) sin3x + cos3x = + ( − 2) sinx.cosx 2) 2sin2x – sin x + cos x + = Bài VI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Giải phương trình sau 1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3) cos2x + cos22x + cos23x = cos24x = 4) cos2x + cos22x + cos23x 4) sin23x - sin22x - sin2x = 5) sin2x = cos22x + cos23x 7) sin23x - cos24x = sin25x -cos26x (B2002) + cos24x = 9) sin2x - sin23x = cos22x -cos24x sin22x + sin23x Bài 8) cos2x + cos22x + cos23x 10) cos2x + cos22x + cos23x =sin2x + Giải phương trình sau 1) sin6x + cos6x = 2) sin8x + cos8x = 3) cos4x + 2sin6x = cos2x –1=0 4sin2 2x Bài + 4) sin4x + cos4x – cos2x + Giải phương trình sau 1) + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 3) sin3x + cos3x = cos2x 2) sinx(sinx – cosx) – = 4) sin2x = + cosx + cos2x 5) sinx(1 + cosx) = + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = – 4cos2x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sinx + sin2x + sin3x = Bài (cosx + cos2x + cos3x) Giải phương trình sau 1) 2cosx.cos2x = + cos2x + cos3x sinx = 2) 2sinx.cos2x + + 2cos2x + 3) 3cosx + cos2x – cos3x + = 2sinx.sin2x Trang 17 Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + Bài Giải phương trình sau 1) sinx + sin3x + sin5x = 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx Bài Giải phương trình sau 1) sin3x + cos3x + π sin2x.sin x + ÷ = cosx + sin3x 4 2) + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x Trang 18 Nguyễn Đức Lợi Đại số 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 - 2015 Bài (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) phương trình : cos 3x + sin 3x π 5π sin x + ĐS: x = ; x = ÷ = cos x + + 2sin x 3 Bài (ĐH B2002) Giải phương trình : kπ kπ ;x = ĐS: x = (k ∈Z ) sin x − cos x = sin x − cos x Bài (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đũng phương trình : π 3π 5π 7π ;x = ;x = cos3x − 4cos2x + 3cosx − = ĐS: x = ; x = 2 2 Bài (ĐH A2003) Giải bất phương trình : π cos x cot x − = + sin x − sin x ĐS: x = + kπ ( k ∈ Z ) + tan x Bài (ĐH B2003) Giải bất phương trình : π cot x − tan x + sin x = ĐS: x = ± + kπ ( k ∈ Z ) sin x Bài (ĐH D2003) Giải phương trình: x x π ĐS: x = π + k 2π ; x = − π + kπ ( k ∈ Z ) sin − ÷tan x − cot = 2 4 Bài (ĐH A2004) Cho tam giác ABC khơng tù, thỏa mãn điều kiện cos2 A + 2 cos B + 2 cos C = Tính ba góc tam giác ABC ĐS: A = 900 ; B = C = 450 Bài (ĐH B2004) Giải phương trình: π 5π ĐS: x = + k 2π ; x = + k 2π ( 5sin x − = 3(1 − s inx) tan x 6 k ∈Z ) Bài (ĐH D2004) Giải phương trình: ĐS: x = ± π + k 2π ; x = − π + kπ ( k ∈ Z ) (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin x − s inx Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình: kπ ĐS: x = (k ∈Z ) cos 3x cos x − cos x = Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình: 2π π ĐS: x = ± + k 2π ; x = − + kπ ( k ∈ Z ) + sin x + cos x + sin x + cos2 x = Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình: π π π ĐS: x = + kπ ( k ∈ Z ) cos x + sin x + cos x − ÷sin x − ÷− = 4 4 Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình: 2(cos x + sin x) − sin x cos x 5π =0 + k 2π ( k ∈ Z ) ĐS: x = − 2sin x Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình: x cot x + s inx 1 + tan x tan ÷ = 2 π 5π ĐS: ( ) x = + kπ ; x = + kπ k ∈ Z 12 12 Trang 19 Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình: ĐS: x = kπ ; x = ± cos3x + cos2 x − cos x − = 2π + k 2π ( k ∈ Z ) Bài 16 (ĐH A2007) Giải hệ phương trình: ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin x 2 ĐS: x = k 2π ; x = Bài 17 (ĐH B2007) Giải hệ phương trình sin 2 x + sin x − = sin x ĐS: x = π π + k 2π ; x = − + kπ ( k ∈ Z ) π kπ π k 2π 5π k 2π + ;x = + ;x = + (k ∈Z ) 18 18 Bài 18 (ĐH D2007) Giải hệ phương trình : x x sin + cos ÷ + cos x = ĐS: x = Bài 19 (ĐH A2008) Giải hệ phương trình: 1 7π + = 4sin( − x) π sin x sim( x − ) ĐS: x = − π π + k 2π ; x = − + k 2π ( k ∈ Z ) π π 5π + kπ ; x = − + kπ ; x = + kπ ( k ∈ Z ) 8 Bài 20 (ĐH B2008) Giải hệ phương trình: sin x − 3cos3 x = sin x cos x − sin x cos x ĐS: x = π kπ π + ; x = − + kπ ( k ∈ Z ) ĐS: x = ± 2π π + k 2π ; x = + kπ ( k ∈ Z ) Bài 21 (ĐH D2008) Giải hệ phương trình: 2sinx ( + cos2x ) + sin2x = + 2cosx Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình: ( − sin x ) cos x ( + sin x ) ( − sin x ) ĐS: x = − = π k 2π + (k ∈Z ) 18 Bài 23 (ĐH B2009)Giải phương trình: sin x + cos x sin x + cos x = ( cos x + sin x ) ĐS: x = − π π k 2π + k 2π ; x = + (k ∈Z ) 42 Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình : cos5x − 2sin 3x cos 2x − sin x = ĐS: x = π kπ π kπ + ;x = − + (k ∈Z ) 18 Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình : (1 + sinx + cos x) s in( x + + t anx π ) = cos x ĐS: x = − π 7π + k 2π ; x = + k 2π ( k ∈ Z ) 6 Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình: (sin x + cos2x) cos x + cos2 x − sinx=0 Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình: Trang 20 ĐS: x = π kπ + (k ∈Z ) Nguyễn Đức Lợi Đại số 11 sin2x − cos x + 3sin x − cos x − = ĐS: x = π 5π + k 2π ; x = + k 2π ( k ∈ Z ) 6 Bài 28 (ĐH A2011) Giải phương trình: + sin x + cos2 x π π = sin x sin x ĐS: x = + kπ ; x = + k 2π ( k ∈ Z ) + cot x Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình: s in2x cos x +sinxcosx=cos2x+sinx + cos x π π k 2π ĐS: x = + k 2π ; x = + (k ∈Z ) 3 Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình : sin2x + 2cos x − s in x − =0 + t anx ĐS: x = Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình : s in2x+cos2x=2cosx-1 ĐS: x = π + k 2π ( k ∈ Z ) π 2π + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π ( k ∈ Z ) Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình: 2(cos x + sin x) cos x = cos x − sin x + 2π k 2π + k 2π ; x = ĐS : x = (k ∈Z ) 3 Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình: sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x π kπ 7π π ;x = + k 2π ; x = − + k 2π ( k ∈ Z ) ĐS: x = + 12 12 Bài 34 (ĐH A2013) Giải phương trình: π π π + tan x = 2 sin x + ÷ ĐS: x = − + kπ ; x = ± + k 2π ( k ∈ Z ) 4 Bài 35 (ĐH B2013) Giải phương trình: π k 2π π k 2π ;x = − + ĐS: x = − + (k ∈Z ) sin 5x + cos x = 14 Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình π kπ π 7π ; x = − + k 2π ; x = + k 2π ( k ∈ Z ) sin 3x + cos 2x − s inx = ĐS: x = + 6 Bài 37 (ĐH A2014) Giải phương trình sin x + cos x = + sin 2x Bài 38 (ĐH B2014) Giải phương trình (sin x – 2cos x) = – sin 2x Bài 39 (THPT QG2015) Tính giá trị biểu thức P = ( − cos 2α )( + cos 2α ) biết sin α = 5x 3x Bài 40 (CĐ2010) Giải phương trình: cos cos + 2(8sin x − 1) cos x = 2 ĐS: x = π.12 + kπ x = 5π.12 + kπ (k thuộc Z) Bài 41 (CĐ2011) Giải phương trình cos 4x + 12sin² x – = ĐS: x = kπ (k thuộc Z) Bài 42 (CĐ2012) Giải phương trình: 2cos2x + sin x = sin 3x ĐS: x = π.4 + kπ.2 (k thuộc Z); x = π.2 + n2π Bài 43 (CĐ2013) Giải phương trình: cos (π.2 – x) + sin 2x = ĐS: x = k2π.3 x = π + k2π Bài 44 (THPTQG2016) Giải phương trình: Trang 21 Đại số 11 Nguyễn Đức Lợi 11-08-2016 Trang 22 ... giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh π * Phương trình chứa tanx điều kiện x ≠ + kπ (k ∈ Z) * Phương trình. .. = + kπ B x = + kπ C x = + k 2π 3 Câu Phương trình lượng giác: 3.tan x − = có nghiệm là: π π π A x = + kπ B x = − + k 2π C x = + kπ 3 Câu Phương trình lượng giác: cot x − = có nghiệm là: π ... nhỏ nhất phương trình cos x = − là: π 2π π π A B C D 3 π π Câu 35 Số nghiệm phương trình sin x = cos x đoạn − ; là: 2 A.1 B C D Câu 36 Nghiệm phương trình lượng giác: cos