BẤT ĐĂNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH QUY về bậc HAI (lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải) file word image marked

http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI  DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta cần khử dấu GTTĐ Sau số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ + Sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ + Đặt ẩn phụ biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ Các ví dụ minh họa Loại 1: Sử dụng định nghĩa tính chất dấu giá trị tuyệt đối *Lưu ý: Sau số loại tốn phương trình, bất phương trình thức phép biến đổi tương đương ì g( x) ³ ï ï ï ï  f ( x) = g( x) Û íé f ( x) = g( x) ê ï ï ê ï ï ỵë f ( x) = -g( x) é f ( x) = g( x)  f ( x) = g( x) Û ê ê f ( x) = -g( x) ë ì ï g( x) >  f ( x) < g( x) Û ï í ï ï î-g( x) < f ( x) < g( x) éì ï g( x) < êï êí ï ï f ( x) có nghĩa êỵ êì f ( x) > g( x) Û êï  ï g( x) ³ êï êï íéê f ( x) < -g( x) êï ê êï ï ỵë f ( x) > g( x) ëï Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) x - x - = -x + x + c) x - x + - x + = x + x b) x - x + = x - x + d) x - x + + x - = 12 ( x - 3) Lời giải: ïìï-x + x + ³ ïìïx - 2x - £ ï ï a) Ta có phương trình Û ïíé x - x - = -x + x + Û ïíé x - x - = ïïê ïê ïïêê x - x - = -(-x + x + 1) ïïïêê x - x = ỵë îë http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word ì ï 1- £ x £ + ï éx = ï ï ê éx = ï ï ê ê ï êx = - ï ê ï Ûí Ûê êx = ê ï ê ï ê x = ê ï ï ê êx = ï êx = ï ê ë ï êx = ï ë ï ỵ ì 1ü ï ï Vậy nghiệm phương trình x Ỵ ï í0;1; 2; - ù ý ù 3ù ù ù ợ ỵ b) Với £ x £ Þ x - x + ³ ta có Phương trình Û -( x - x + 4) = x - x + Û x + x - x + = Áp dụng BĐT cơsi ta có x + + ³ 3 x = x , x + ³ 2 x ( ) Suy x + x - x + ³ x + 2 x - x = 2 - x > Do phương trình vơ nghiệm éx > Với ê Þ x - x + > ta có êx , ta có phương trình Û x - x + - ( x + 1) = x + x Û x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = (loại) ì x³3 ï d) Ta có phương trình ï í ï x - x + + x - = 12 ( x - 3) ï ï ỵ ì ì x³3 ï x³3 ï Ûï Ûï í í ï x - x + + x - = 12 ( x - 3) ï ï ï ỵx - 14 x + 36 = ỵ ïì x ³ Û ïí Û x = ± 13 ïïx = ± 13 ỵ Vậy phương trình có nghiệm x = ± 13 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau a) x - x - ³ x - c) x - + - x £ ( x - 2) b) -x + x + < x - x + d) x - x + - x - > x - Lời giải: a) Với x < ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình nghiệm với x < Với x ³ ta có bất phương trình tương đương với x ³1 ïìï ïìï x ³ ïï ï íéê x - x - ³ x - Û ïíéê x - x ³ ïï ï ïïêêë x - x - £ - x ïïïêêë x - £ ỵ ỵ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word x ³1 ïìï ìï x ³ ïï ïï é éx ³ x ³ ïïê Û íê Û ïíéê x ³ Û êê x£0 ïïê ïïê ëê1 £ x £ ïïê ïïêë x £ ïïỵêë- £ x £ ỵ Vậy nghiệm bất phương trỡnh l x ẻ (-Ơ; 2] ẩ [2; +Ơ) b) Với x - x + < Û < x < ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình vơ nghiệm éx ³ Với ta có x - x + ³ Û ê êx £1 ë Bất phương trình tương đương với -( x - x + 2) < -x + x + < x - x + éx > Û 2x2 - 6x > Û ê êx < ë éx ³ Đối chiếu với điều kiện ê suy nghiệm bất phương trình êx £1 ë éx > ê êx < ë Vậy bất phương trình có nghiệm x Î (-¥; 0) È (3; +¥) c) Nếu x - < VT ³ 0, VP < suy bất phương trình vơ nghiệm ì ï x2 - ³ ï Do bất phương trình Û í ï x - + x - £ ( x - 2) ï ï ỵ ì ï ìx ³ é x ³ x2 ³ ï ï Ûí Ûï Û êê í 2 ï ï x + x £ x x ³ ( ) ïỵ êë x £ - ï ï ỵ Vậy nghiệm bt phng trỡnh l x ẻ (-Ơ; - ] È [ ; +¥) d) x - x + - x - > x - Với x < ta có VT ³ 0, VP < suy bất phương trình nghiệm với x < http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Với x ³ ta có x - x + = ( x - 1)(2 x - 3) > suy bất phương trình tương đương với x - x + - ( x - 1) > x - Û x - x + > x - Û x - x + > x - (vì x ³ Þ x - x + = ( x - 1) (2 x - 4) ³ ) éx> ê Û 2x - x + > Û ê êx < êë 2 Đối chiếu với điều kiện x ³ ta có nghiệm bất phương trình x > Vậy bất phương trình có nghiệm x Ỵ  \{2} Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt -x - x + = x + m Lời giải: Ta có -x - x + = x + m Û -x - x + - x = m Xét hàm số f ( x) = -x - x + - x ì ï-x - x + x Ỵ éë-3; 2ùû Ta có f ( x) = ï í ï ï ỵ x - x - x ẻ (-Ơ; -3) ẩ (2; +Ơ) Bng bin thiên x f ( x) -¥ -3 - 2 +¥ +¥ +¥ 99 12 -4 Từ bảng biến thiên ta có Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt đồ thị hàm số f cắt đường thẳng y = m bốn điểm phân biệt Û 12 < m < 99 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 99 giá trị cần tìm Nhận xét: Nghiệm phương trình f ( x) = g (m) hồnh độ giao điểm đồ thị Vậy 12 < m < hàm số y = f ( x) đường thẳng y = g (m) Từ suy  Phương trình f ( x) = g (m) có nghiệm Û đường thẳng y = g (m) cắt đồ thị hàm số y = f ( x)  Số nghiệm phương trình f ( x) = g (m) Û số giao điểm đường thẳng y = g (m) đồ thị hàm số y = f ( x) Do gặp tốn liên quan đến phương trình f ( x , m) = mà ta lập m ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x - x + ³ x + x + 3m + 5m Lời giải: Bất phương trình Û x - x + - x - x ³ 3m2 + 5m Xét hàm số f ( x) = x - x + - x - x ìï-2 x - x + x Ỵ (-;1] È [2; + Ta có f ( x) = ïí ïï-4 x - x - x ẻ (1; 2) ợ Bảng biến thiên x f ( x) -¥ -2 - +¥ 10 -8 -22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word -¥ -¥ Từ ta có: max f ( x) = f (-2) = 10 Do bất phương trình cho có nghiệm Û 10 ³ 3m2 + 5m Û 3m2 + 5m - 10 £ Û Vậy -5 - 145 -5 + 145 £m£ 6 -5 - 145 -5 + 145 £m£ giá trị cần tìm 6 Nhận xét Cho hàm số y = f ( x) xác định D  Bất phương trình f ( x) ³ k ( f ( x) £ k ) có nghiệm D Û max f ( x) ³ k ( f ( x) £ k ) D D với điều kiện tồn max f ( x) ( f ( x) ) D D  Bất phương trình f ( x) ³ k ( f ( x) £ k ) nghiệm với x  D Û f ( x) ³ k ( max f ( x) £ k ) với điều kiện tồn max f ( x) ( f ( x) ) D D D D Loại 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 5: Giải phương trình bất phương trình sau (x b) a) ( x - x) - x - > 12 c) x - x + x - (2 x + 5) x - + = + 1) x £3 x+ -2 x Lời giải a) Đặt t = x - , t ³ Þ t = x - x + Bất phương trình trở thành (t - 4) - t > 12 é t>3 ê Û 3t - t - 24 > Û ê êt < - êë Kết hợp điều kiện t ³ ta có t > suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word é x-2 > é x>5 x-2 > Û ê Ûê ê x - < -3 ê x < -1 ë ë Vậy bt phng trỡnh cú nghim l x ẻ (-Ơ; -1) ẩ (5; +Ơ) b) KX: x Bt phương trình Û x + Đặt t = x + 1 +4£3 x+ x x 1 Þ t = x2 + + x x Ta có t = x + 1 = x + ³2 x =2Þt³2 x x x Bất phương trình trở thành t + £ 3t Û t - 3t + £ Û £ t £ Kết hợp với t ³ suy t = é x2 + = 2x Do = x + Þ x = x + Û êê Û x = ±1 (thỏa mãn) x êë x + = -2 x Vậy bất phương trình có nghiệm x = ±1 c) Phương trình Û ( x - 1) - (2 x + 5) x - + x + = Đặt t = x - , t ³ Phương trình trở thành t - (2 x + 5) t + x + = ét = x + Û (t - x - 3)(t - 2) = Û ê ê t=2 ë ì 2x + ³ ï ï ï 2 Với t = x + ta có x + = x - Û ï íx - = x + ï ï ï ï ỵ x - = -2 x - ì 2x + ³ ï ì ï ï ï x ³ ï ï Ûï Û x = 1± íéê x - x - = Û í ï ï ï ï ê ï ï ỵx = ± ï ỵëê x + x + = ï é x2 - = Với t = ta có = x - Û êê Û x2 = Û x = ± êë x - = -2 { } Vậy phương trình có nghiệm x Î - 3;1 - 5;1 + 5; Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x - x + m = x - có nghiệm Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương trình tương đương với 2 ì ì ï ï x - x + m) = ( x - 1) x - x) + m ( x - x) + m = x - x + ï ï ( ( ï ï Ûí í ï ï ï ï x ³ x ³1 ï ï ỵ ỵ ì ï x x + (2 m - 1)( x - x) + m2 - = (*) ï ( ) ï Ûí ï ï x ³1 ï ỵ Đặt t = x - x , x ³ Þ t = ( x - 1) - ³ -1 Phương trình (*) trở thành t - (2 m - 1) t + m2 - = (**) Phương trình ban đầu có nghiệm phương trình (**) có nghiệm t ³ -1 Û Đồ thị hàm số f (t ) = t - (2 m - 1) t + m2 - [ - 1; +¥) cắt trục hồnh Ta có - b 2m - = 2a + TH1: Nếu 2m - 1 > -1 Û m > - ta có 2 Bảng biến thiên x -¥ -1 m- +¥ f (-1) +¥ f ( x) ỉ m - 1ửữ f ỗỗ ữ ốỗ ữứ Suy phương trình cho có nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word mi nht * Vi x ị - x + ¹ Nhận lượng liên hợp VT Bpt ta x (1 - x + 1)2 (1 + x + 1) (1 - x + 1) 2 > x - Û (1 - x + 1)2 > x - Û x + < Û x < Vậy nghiệm Bpt cho là: T = [ - 1; 8) c) Bất phương trình Û x( x + 3) - ( x + 3) x + + £ Û ( x + 3)( x - x + 1) + ( x + 1)2 - x £ Û ( Do x2 + - x )( ) x2 + - £ (*) x2 + - x > x2 - x = x - x ³ Þ (*) Û x + £ Û x £ Û -2 £ x £ 2 Vậy -2 £ x £ 2 nghiệm bất phương trình cho Bài 4.122: Giải bpt sau : a) x - £ - x b) x - x + - x + > c ) -x + x - > - x d) e) x + - x +1 < x f) x + ³ 2x - + - x ’ (3 - 2x2 + 2x ) < x + 21 Lời giải: ì x£8 ï ì ï ï x ³ ï ï ï ï 1 Bài 4.122: a) bpt Û ï Û ïíx ³ Û £x£5 í2 x - ³ ï ï 2 ï ï ï ï 2 x £ (8 x ) ï ï ỵ ï ỵx - 18 x + 65 ³ ïìx - < b) bpt Û x - x + > x - Û ïí ïï2 x - x + ³ ỵ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải 39 http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word ì ï ïx - ³ ï í 2 ï x - x + 1) > ( x - 2) ( ï ï ỵ c) ĐS: < x £ ìx < ï ï ï ï é x>3 é ï 3- ì ê x ³ ê ï ï x£ ï ê Û Ûï í íê 2 êx £ - ê ï ï x x > ï ï ỵ ê ê ï ë ï êx ³ + ï ê ï ïë ỵ ïìïx + ³ ï d) ĐKXĐ: ïí2 x - ³ Û £ x £ ïï ïïỵ7 - x ³ bpt Û x + ³ Û 2³ ( 2x - + - x ) Û ³ -1 + (2 x - 8)(7 - x) Û ³ -2 x2 + 22 x - 56 (2 x - 8)(7 - x) éx £ Û x - 11x + 30 ³ Û ê êx ³ ë é4 £ x £ Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt ê ê6 £ x £ ë ìx + ³ ï ï ï e) ĐKXĐ : ï íx + ³ Û x ³ ï ï ï ï ỵx ³ bpt Û x + < x + + x Û x + < x + + ( x + 1)x ì1 - x ³ ï ìï1 - x < ï í Û - x < ( x + 1)x Û ïí ï ïïỵx ³ - x) < x( x + 1) ï ï ỵ( é êx < - + ê Ûê ê -3 + ê -3 + 3 ìï ìï9 + x ³ ïïx ³ - ï Ûí f) ĐKXĐ : í ïï3 - + x ùù ợ ùợx bpt Û ( 2x2 + + 2x 4x ) < x + 21 Û + x < Û x < ìï ïï- £ x < Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt í 2 ïï x ¹ ïỵ Bài 4.123: Giải bất phương trình sau : a) -3 x + x + + í 2 ï ï ï-3 x + x + < (2 x - 2) ï ỵ7 x - x > ï ỵ Suy nghiệm bất phương trình 2, x < b) m <  DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Phương pháp giải Để giải phương trình, bất phương trình chứa... nghiệm bất phương trình +) Với x > : ta có Bất phương trình Û x - £ x + Û x - £ ( x + 3) Û x ³ 13 Kết hợp với điều kiện x > ta có tập nghiệm bất phương trình S = (3; +¥) +) Với x < Bất phương trình