Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
1,37 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN PHẦN I: CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vng góc với trục Oy O, trục Oz vng góc với mặt phẳng (Oxy) O Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz rr r i, j, k I TỌA ĐỘ ĐIỂM Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: uuuu r r r r M ( x M ; y M ; z M ) ⇔ OM = x M i + y M j + z M k Cho A ( x A ; y A ; z A ) B ( x B ; y B ; z B ) uuur Ta có: AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) AB = ( xB − xA ) + ( yB − yA ) + ( z B − z A ) x + x B y A + yB z A + z B ; ; M trung điểm AB M A ÷ 2 II TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz r r r r r a = ( a1 ;a ;a ) ⇔ a = a1 i + a j + a k r r Cho a = ( a1 ;a ;a ) b = ( b1 ; b ; b3 ) ta có: a1 = b1 r r a = b ⇔ a = b a = b r r a ± b = ( a1 ± b1 ;a ± b ;a ± b3 ) rr r r r r a.b = a b cos a, b = a1b1 + a b + a 3b3 ( ) r a = a12 + a 22 + a 32 r r cos ϕ = cos a, b = ( ) a1.b1 + a b + a b3 r r r r (với a ≠ 0, b ≠ ) a +a +a b +b +b rr r r a b vng góc ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a b + a b3 = III 2 2 2 2 TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG r r Tích có hướng a = ( a1 ;a ;a ) b = ( b1 ; b ; b3 ) là: Trang 2 r r a a a a1 a1 a, b = ; ; b b b b b1 3 r r a b phương ÷ = ( a b − a 3b ;a 3b1 − a 1b ;a 1b − a 2b1 ) Tính chất r r r r r r a, b ⊥ a, a, b ⊥ b r r r r r r a, b = a b sin a, b r r r r r a b phương ⇔ a, b = r r r r r r a, b, c đồng phẳng ⇔ a, b c = Các ứng dụng tích có hướng: uuur uuur Diện tích tam giác: SABC = AB, AC a2 b2 a1 = kb1 r r ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb ⇔ a = kb2 a = kb ( ) Thể tích tứ diện VABCD = uuur uuur uuur AB, AC AD 6 Thể tích khối hộp: uuur uuur uuuur VABCD.A 'B'C'D ' = AB, AD AA ' IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình là: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 2 Phương trình: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b + c − d > phương trình mặt cầu tâm I ( a; b;c ) , bán kính R = A + B2 + C − D Vị trí tương đối mặt phẳng ( α ) mặt cầu (S): d ( I, ( α ) ) > R ( α ) không cắt mặt cầu (S) d ( I, ( α ) ) = R ( α ) tiếp xúc mặt cầu (S) d ( I, ( α ) ) < R ( α ) cắt mặt cầu (S) (giao tuyến đường tròn) (H1) V ĐIỀU KIỆN KHÁC: (Kiến thức bổ sung) uuuu r uuur Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA = kMB ta có: ( xM = ) x A − kx B y − ky B z − kz B ; yM = A ; zM = A với k ≠ 1− k 1− k 1− k G trọng tâm tam giác ABC Trang xA + xB + xC y + y B + yC z + zB + zC ; yG = A ; zG = A 3 uuur uuur uuur uuur r G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = ⇔ xG = VI MẶT PHẲNG Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A + B2 + C > gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Phương trình mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = với A + B2 + C > Có vectơ pháp r tuyến n = ( A; B;C ) r r r Mặt phẳng (P) qua điểm M ( x ; y ; z ) nhận vectơ n = ( A; B;C ) , n ≠ làm véctơ pháp tuyến có dạng ( P ) : A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = r r Nếu (P) có cặp vectơ a = ( a1 ;a ;a ) , b = ( b1 ; b ; b3 ) khơng phương, có giá song r r r song nằm (P) Thì véctơ pháp tuyến (P) xác định n = a, b Các trường hợp riêng mặt phẳng: Trong không gian Oxyz cho mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = , với A + B2 + C > Khi đó: D = ( α ) qua gốc tọa độ A = 0; B ≠ 0;C ≠ 0; D ≠ ( α ) song song với trục Ox A = 0; B = 0;C ≠ 0; D ≠ ( α ) song song mp(Oxy) A, B, C, D ≠ Đặt a = − D D D x y z , b = − , c = − Khi ( α ) : + + = A B C a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α ') : A ' x + B' y + C ' z + D ' = ( α) cắt ( α ') ⇔ A : B : C ≠ A ' : B' : C ' ( α ) / / ( α ') ⇔ A : A ' = B : B' = C : C ' = D : D ' ( α ) ≡ ( α ') ⇔ A : B : C : D = A ' : B' : C ' : D ' uu r uur Đặc biệt: ( α ) ⊥ ( α ') ⇔ n1.n = ⇔ A.A '+ B.B'+ C.C ' = VII ĐƯỜNG THẲNG Trang Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M ( x ; y ; z ) có r r r véctơ phương a = ( a1 ;a ;a ) , a ≠ x = x + a1t y = y0 + a t ( t ∈ ¡ z = z + a t ) Nếu a1, a2, a3 khác khơng Phương trình đường thẳng ∆ viết dạng tắc sau: x − x y − y0 z − z = = a1 a2 a3 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Chương trình 1) Vị trí tương đối hai đường thẳng Chương trình nâng cao 1) Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng x = x '0 + a1' t ' x = x '0 + a1' t ' x = x + a1t x = x + a1t d : y = y0 + a t d ' : y = y 0' + a '2 t ' d : y = y0 + a t d ' : y = y '0 + a 2' t ' z = z + a t z = z + a t ' ' ' ' 3 z = z + a t ' z = z + a t ' r uu r r uu r d có vtcp u qua M0 d' có vtcp u ' qua d có vtcp u qua M0 d' có vtcp u ' qua M0 ' M0 ' r uu r u, u ' phương r uu r u, u ' = ( d ) / / ( d ') ⇔ M ∉ d ' r uu r u = ku ' d / /d ' ⇔ M ∉ d ' r uu r u = ku ' d ≡ d' ⇔ M ∈ d ' r uu r u, u ' không phương x + a1t = x 0' + a1' t ' ' ' y + a t = y0 + a t ' (1) ' ' z + a t = z0 + a t ' d chéo d' ⇔ Hệ phương trình (1) vơ nghiệm d cắt d' ⇔ Hệ phương trình (1) có nghiệm Trang r uu r u, u ' = ( d ) ≡ ( d ') ⇔ M ∈ d ' r uu r u, u ' ≠ (d) cắt (d') ⇔ r uu r uuuuuur' u, u ' M M = r uu r uuuuuur (d) chéo (d') ⇔ u, u ' M M 0' ≠ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz cho Phương pháp Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d r qua M ( x ; y ; z ) có vtcp a = ( a1 ;a ;a ) ( α ) : Ax + By + Cz + D = x = x + a1 t d : y = y + a t z = z + a t ( α ) : Ax + By+ Cz + D = có vtpt r n = ( A; B;C ) Phương trình A ( x + a1t ) + B ( y + a t ) + C ( z + a 3t ) + D = ( 1) PT(1) vơ nghiệm d / / ( α ) PT(1) có nghiệm d cắt ( α ) PT(1) có vơ số nghiệm d thuộc ( α ) r r Đặc biệt: ( d ) ⊥ ( α ) ⇔ a, n phương rr (d) cắt ( α ) ⇔ a.n ≠ rr a.n = ( d) / / ( α) ⇔ M ∉ ( α ) rr a.n = (d) nằm mp ( α ) ⇔ M ∈ ( α ) Khoảng cách: Khoảng cách từ M ( x ; y ; z ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = cho công thức d ( M0 , α ) = Ax + By + Cz + D Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) Phương pháp 1: Lập phương trình mp ( α ) qua M vng góc với d Tìm tọa độ giao điểm H mp ( α ) d d ( M, d ) = MH Khoảng cách hai đường chéo Phương pháp 1: r d qua M ( x ; y ; z ) ; có vtcp a = ( a1 ;a ;a ) ur d' qua M ' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) ; vtcp a ' = ( a '1 ;a '2 ;a '3 ) Lập phương trình mp ( α ) chứa d song song với d' Trang A + B2 + C Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) Phương pháp 2: r (d qua M0 có vtcp u ) uuuuur r M M, u d ( M, ∆ ) = r u Khoảng cách hai đường chéo Phương pháp 2: r d qua M ( x ; y ; z ) ; có vtcp a = ( a1 ;a ;a ) ur d' qua M ' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) ; vtcp a ' = ( a '1 ;a '2 ;a '3 ) r ur uuuuur a, a ' MM ' d ( ∆, ∆ ' ) = r ur a, a ' d ( d, d ' ) = d ( M ', ( α ) ) Kiến thức bổ sung 0 Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( ≤ ϕ ≤ 90 ) ( P ) : Ax + By+ Cz + D = ( Q ) : A ' x + B'y+ C'z + D' = uur uur n P n Q uur uur A.A '+ B.B'+ C.C ' cos ϕ = cos n P , n Q = uur uur = nP nQ A + B2 + C A '2 + B'2 + C '2 ( ) Góc hai đường thẳng r qua M ( x ; y ; z ) ; có vtcp a = ( a1 ;a ;a ) ur ( ∆ ') qua M ' ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) ; vtcp a ' = ( a '1;a '2 ;a '3 ) ( ∆) r ur a.a ' r ur a1.a '1 + a a '2 + a a '3 cos ϕ = cos a, a ' = r ur = a a' a12 + a 22 + a 32 a '12 + a '22 + a '32 ( ) Góc đường thẳng mặt phẳng r r ( ∆ ) qua M có VTCP a, mp ( α ) có VTPT n = ( A; B;C ) r r ϕ sin ϕ = cos a, n = ∆ mp α ( ): Gọi góc hợp ( ) ( ) Aa1 + Ba + Ca A + B2 + C a12 + a 22 + a 32 PHẦN II: BÀI TẬP Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z −1 = hai điểm A ( 1; −3;0 ) , B ( 5; −1; −2 ) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA − MB đạt giá trị lớn ? A M ( −2; −3;3) B M ( −2; −3; ) C M ( −2; −3;6 ) Lời giải Kiểm tra thấy A B nằm khác phía so với mặt phẳng (P): ( x A + yA − z A − 1) ( x B + y B − z B − 1) < Gọi B ' ( x; y; z ) điểm đối xứng với B ( 5; −1; −2 ) Suy B ' ( −1; −3; ) Lại có MA − MB = MA − MB' ≤ AB ' = const Trang D M ( −2; −3;0 ) Vậy MA − MB đạt giá trị lớn M, A, B' thẳng hàng hay M giao điểm đường thẳng AB' với mặt phẳng (P) x = + t AB' có phương trình y = −3 z = −2t x = + t t = −3 y = −3 x = −2 ⇔ Tọa độ M ( x; y; z ) nghiệm hệ z = −2t y = −3 x + y + z − = z = Vậy điểm M ( −2; −3;6 ) Chọn đáp án C Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( 0; 2; ) , C ( 4; 2;1) Tìm tọa độ điểm D trục Ox cho AD = BC A D ( 0;0;0 ) D ( −6;0;0 ) B D ( 0;0;0 ) D ( 6;0;0 ) C D ( 0;0; ) D ( 6;0;0 ) D D ( 0;0;1) D ( 6;0;0 ) Lời giải Tìm tọa độ điểm D trục Ox cho AD = BC Gọi D ( x;0;0 ) Ta có AD = BC ⇔ ( x − 3) + 42 + 02 = 42 + 02 + 32 Vậy: D ( 0;0;0 ) D ( 6;0;0 ) Chọn đáp án B Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( 0; 2; ) , C ( 4; 2;1) Tính diện tích tam giác ABC? A 491 B 490 C Lời giải uuur uuur Tính diện tích tam giác ABC AB; AC = ( −18;7; −24 ) S= 494 182 + + 242 = 2 Chọn đáp án C Trang 494 D 394 Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A ( 1;1;1; ) , B ( 1; 2;1) , C ( 1;1; ) A ' ( 2; 2;1) Tìm tọa độ đỉnh B' ? A B ' ( 2;3; ) B B' ( 2;3;0 ) C B' ( 2;3;1) D B' ( 2;3; −1) Lời giải uuuu r uuuur Do ABC.A'B'C' hình lăng trụ nên BB' = AA ' ⇒ B' ( 2;3;1) Chọn đáp án C Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A ( 1;1;1; ) , B ( 1; 2;1) , C ( 1;1; ) A ' ( 2; 2;1) Tìm tọa độ đỉnh C' ? A C ' ( 2; 2; ) B C ' ( 2; 2; −2 ) C C ' ( 2; −2; ) D C ' ( −2; 2; ) Lời giải uuuu r uuuur CC ' = AA ' ⇒ C ' ( 2; 2; ) Chọn đáp án A Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có A ( 1;1;1; ) , B ( 1; 2;1) , C ( 1;1; ) A ' ( 2; 2;1) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, A'? A x + y + z − 3x − 3y + 3z + = B x + y + z + 3x − 3y − 3z + = C x + y + z − 3x − 3y − 3z + = D x + y + z − 3x − 3y − 3z − = Lời giải Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm dạng x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, a + b + c − d > Do A, B, C A' thuộc mặt cầu (S) nên: 2a + 2b + 2c + d = −3 2a + 4b + 2c + d = −6 a = b = c = − ⇔ 2a + 2b + 4c + d = − d = 4a + 4b + 2c + d = −9 2 Do phương trình mặt cầu ( S) : x + y + z − 3x − 3y − 3z + = Chọn đáp án C Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I ( 2;3; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x − 2y − 2z − = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P)? A ( x − ) + ( y + 3) + ( z + ) = Trang 2 B ( x − ) + ( y − 3) + ( z + ) = 2 C ( x − ) + ( y − 3) + ( z − ) = 2 D ( x + ) + ( y − 3) + ( z + ) = 2 2 Lời giải Ta có bán kính r = d ( I, ( P ) ) = − 2.3 − ( −2 ) − 12 + ( −2 ) + ( −2 ) =3 Phương trình mặt cầu (S) ( x − ) + ( y − 3) + ( z + ) = 2 Chọn đáp án B Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm I ( 2;3; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x − 2y − 2z − = Phương trình mặt cầu (S) ( x − ) + ( y − 3) + ( z + ) = Viết phương trình mặt 2 phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ? A x − 2y − 2z + = B x − 2y + 2z + = C x + 2y − 2z + = D x − 2y − 2z − = Lời giải Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: x − 2y − 2z + D = ( D ≠ −9 ) Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với ( S) ⇒ d ( I, ( Q ) ) = r ⇔ − 2.3 − ( −2 ) + D 12 + ( −2 ) + ( −2 ) 2 = ⇔ D = ⇔ D = ( D ≠ −9 ) Phương trình mp(Q) x − 2y − 2z + = Chọn đáp án A x = − t Ví dụ 9: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình là: y = + 2t z = −3 điểm A ( −2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng (D) ? A − x + 2y − = B − x + 2y − = C − x − 2y − = D − x + 2y − = Lời giải r Do (P) vng góc với (D) nên (P) có vtpt n ( −1; 2;0 ) , (P) qua A ( −2;0;1) (P) có phương trình: − x + 2y − = Chọn đáp án A Trang x = − t Ví dụ 10: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (D) có phương trình là: y = + 2t z = −3 điểm A ( −2;0;1) (P) có phương trình: − x + 2y − = Tìm tọa độ giao điểm mặt phẳng (P) đường thẳng (d) A N ( 4;3;3) B N ( 4;3;0 ) C N ( 4; −3; −3) D N ( 4;3; −3) Lời giải Tọa độ giao điểm mặt phẳng (P) đường thẳng (d) nghiệm hệ phương trình: x = − t x = − t x = y = + 2t y = + 2t ⇔ ⇔ y = z = −3 z = −3 z = −3 − x + 2y − = t = Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) điểm N ( 4;3; −3) Chọn đáp án D Ví dụ 11: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d : x − y −1 z = = điểm A ( −1; 2;7 ) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A d? A H ( 3; −3;1) B H ( −3;3;1) C H ( 3;3;1) D H ( 3;3; −1) Lời giải r d có vectơ phương u = ( 1; 2;1) ; gọi H ( + t;1 + 2t; t ) uuur AH = ( + t; −1 + 2t; t − ) uuur r Ta có: AH.u = ⇔ 1( + t ) + ( −1 + 2t ) + 1( t − ) = ⇔ 6t − = ⇔ t = Vậy H ( 3;3;1) Chọn đáp án C Ví dụ 12: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d : x − y −1 z = = điểm A ( −1; 2;7 ) Viết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép đối xứng tâm A x = −5 + t A y = + 2t z = 13 + t x = −5 + t B y = + 2t z = −13 + t x = −5 + t C y = −1 + 2t z = 13 + t Lời giải Trang 10 x = −5 + t D y = + 2t z = 13 − t Gọi H hình chiếu vng góc A d ⇒ H ( + t;1 + 2t; t ) uuur AH = ( + t; −1 + 2t; t − ) uuur r Ta có: AH.u = ⇔ 1( + t ) + ( −1 + 2t ) + 1( t − ) = ⇔ 6t − = ⇔ t = Vậy H ( 3;3;1) Gọi H' điểm đối xứng với H qua A ⇒ H ' ( −5;1;13) x = −5 + t r Phương trình d' qua H' có vectơ phương u = ( 1; 2;1) : y = + 2t z = 13 + t Chọn đáp án A x = + t Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình y = −3 − t điểm z = − t A ( 1;3;5 ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng d? A x − y − z − = B x − y + z + = C x − y − z + = D x + y − z + = Lời giải r u = ( 1; −1; −1) vectơ phương đường thẳng d r Vì ( P ) ⊥ d nên n = ( 1; −1; −1) vectơ pháp tuyến (P) r Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A có vectơ pháp tuyến n = ( 1; −1; −1) có dạng x − − ( y − 3) − ( z − ) = ⇔ x − y − z + = Chọn đáp án C Ví dụ 14: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A ( 2;0;1) mặt phẳng ( P ) : 2x − 2y + z + = đường thẳng d : x −1 y z − = = Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) ? A ( x − ) + y + ( z − 1) = B ( x − ) + y + ( z − ) = C ( x − ) + y + ( z + 1) = D ( x + ) + y + ( z − 1) = 2 2 2 Lời giải Lập phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Trang 11 2 Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính R (S) khoảng cách từ tâm A (S) đến − +1+1 mp(P) R = + ( −2 ) + 2 =2 Phương trình mặt cầu ( S) : ( x − ) + y + ( z − 1) = 2 Chọn đáp án A Ví dụ 15: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A ( 2;0;1) mặt phẳng ( P ) : 2x − 2y + z + = đường thẳng d : x −1 y z − = = Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng (d) x = − t A y = , t ∈ ¡ z = + t x = − t B y = , t ∈ ¡ z = + t x = − t C y = , t ∈ ¡ z = + t x = − t D y = , t ∈ ¡ z = + t Lời giải Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng (d) cắt đường thẳng r (d) M Vì M ∈ ( d ) nên M ( + m; 2m; + m ) , m ∈ ¡ u vectơ phương (d) r uuuu r Vì d ⊥ ∆ nên u.AM = ⇔ 4m = ⇔ m = uuuu r Do vectơ phương ∆ AM = ( −1;0;1) Phương trình đường thẳng ∆ cần x = − t tìm là: y = , t ∈ ¡ z = + t Chọn đáp án C Ví dụ 16: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I ( 7; 4;6 ) mặt phẳng ( P ) : x + 2y − 2z + = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) A ( x − ) + ( y − ) + ( z + ) = B ( x − ) + ( y + ) + ( z − ) = C ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = D ( x + ) + ( y − ) + ( z − ) = 2 2 2 2 Lời giải Có R = d ( I, ( P ) ) = Trang 12 1.7 + 2.4 − 2.6 + + + ( −2 ) 2 =2 2 2 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = 2 Chọn đáp án C Ví dụ 17: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I ( 7; 4;6 ) mặt phẳng ( P ) : x + 2y − 2z + = ( S) : ( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = , d đường thẳng qua I ⊥ ( P ) Tìm tọa độ tiếp 2 điểm (d) (S) ? 19 22 A H ; ; ÷ 3 19 23 B H ; ; ÷ 3 19 25 C H ; ; ÷ 3 19 17 22 D H ; ; ÷ 3 Lời giải Gọi d đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng (P) uur uur Khi vectơ phương đường thẳng d u d = n p = ( 1; 2; −2 ) x = + t Vậy phương trình đường thẳng d y = + 2t , t ∈ ¡ z = − 2t Gọi H tiếp điểm cần tìm, H giao điểm d (P) Do H ( + t; + 2t;6 − 2t ) ∈ d Mặt khác H ∈ ( P ) nên ( + t ) + ( + 2t ) − ( − 2t ) + = ⇔ t = − 19 22 Vậy H ; ; ÷ điểm cần tìm 3 Chọn đáp án A Ví dụ 18: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z+1=0 hai điểm A ( 1; −2;3) , B ( 3; 2; −1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B vng góc với (P) A 2x − 2y + 3z − = B 2x+2y + 3z − = C 2x+2y + 3z + = D 2x − 2y − 3z − = Lời giải uuur uur Ta có: AB = ( 2; 4; −4 ) , mp(P) có VTPT n p = ( 2;1; −2 ) uur uuur uur Mp(Q) có vtpt n Q = AB; n p = ( −4; −4; −6 ) ⇒ ( Q ) : 2x + 2y + 3z − = Chọn đáp án B Trang 13 Ví dụ 19: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng A ( 1; −2;3) , B ( 3; 2; −1) , ( Q ) : 2x+2y + 3z − = ( P ) : 2x + y − 2z+1=0 hai điểm Tìm điểm M trục hồnh cho khoảng cách từ M đến (Q) 17 ? A M ( 12;0;0 ) M ( −5;0;0 ) B M ( −12;0;0 ) M ( −5;0;0 ) C M ( −12;0;0 ) M ( 5;0;0 ) D M ( 12;0;0 ) M ( 5;0;0 ) Lời giải M ∈ Ox ⇔ M ( m;0;0 ) , d ( M; ( Q ) ) = 17 ⇔ 2m − 17 = 17 ( *) Giải (*) tìm m = 12; m = −5 Vậy M ( 12;0;0 ) M ( −5;0;0 ) Chọn đáp án A 20: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 1;7;3) Ví dụ đường thẳng ( d) : x − y +1 z + = = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với −3 −2 đường thẳng (d) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho AM = 30 ? A 3x + 2y − z − 14 = B 3x + 2y − z + = C 3x + 2y − z − = D 3x + 2y − z − = Lời giải r uur r VTPT mặt phẳng (P) n = ( −3; −2;1) ⇒ u d = n = ( −3; −2;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) : 3x + 2y − z − 14 = Chọn đáp án A 21: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 1;7;3) Ví dụ đường ( d) : x − y +1 z + = = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) cho AM = 30 −3 −2 51 17 A M ; − ; − ÷; M ( 3; −3;0 ) 7 7 51 17 B M ; − ; ÷; M ( 3; −3;1) 7 7 51 17 C M ; − ; − ÷; M ( 3; −3;1) 7 7 51 17 D M ; − ; − ÷; M ( 3;3;1) 7 7 Lời giải M ∈ d ⇒ M ( − 3t; −1 − 2t; −2 + t ) Trang 14 thẳng AM = 30 ⇔ AM = 120 ⇔ 14t − 8t − = M ( 3; −3;1) t = ⇔ ⇒ 51 17 t = − M ;− ;− ÷ 7 Chọn đáp án C Ví dụ 22: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 1;1; ) , đường thẳng ( d ) : x y −1 z − = = 2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với đường thẳng (d) A 2x + y + 2z − = B 2x + y + 2z − = C 2x + y + 2z − = D 2x + y + 2z − = Lời giải r VTPT mp(P) : n = ( 2;1; ) Phương trình ( P ) : 2x + y + 2z − = Chọn đáp án C Ví dụ 23: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 2;1; −3) , B ( 4;3; −2 ) , C ( 6; −4; −1) Viết phương trình mặt cầu tâm A qua trọng tâm G tam giác ABC ? A ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 3) = B ( x − ) + ( y − 1) + ( z + ) = C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 3) = D ( x − ) + ( y + 1) + ( z + ) = 2 2 2 2 2 2 Lời giải Vì G trọng tâm tam giác ABC nên G ( 4;0; ) Ta có: AG = Mặt cầu cần tìm có tâm A bán kính AG = nên có phương trình: ( x − 2) + ( y − 1) + ( z + ) = 2 Chọn đáp án B Ví dụ 24: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A ( 2;1; −1) , B ( 1;3;1) , C ( 1; 2;0 ) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc vsơi đường thẳng BC H tính diện tích tam giác ABH? A x − y − z − = B x − y − z + = C x − y − z + = Lời giải D x − y − z − = uuur Gọi (P) qua A vng góc vsơi đường thẳng BC suy (P) nhận BC ( 1; −1; −1) làm VTPT Vậy ( P ) : x − y − z − = Trang 15 Chọn đáp án D Ví dụ 25: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A ( 2;1; −1) , B ( 1;3;1) , C ( 1; 2;0 ) Phương trình mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = qua A vuông góc với đường thẳng BC H Tính diện tích tam giác ABH ? A S∆ABH = B S∆ABH = 5 C S∆ABH = 3 D S∆ABH = Lời giải Với BH = d ( B, ( P ) ) = 3 Mà AB = , suy ra: S∆ABH = Chọn đáp án D Ví dụ 26: Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A ( −1;3; −2 ) ; B ( −3;7; −18 ) mặt phẳng (P) có phương trình 2x − y + z + = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, B tìm giao điểm cảu đường thẳng d với mặt phẳng (P) x = −1 − t A d : y = + 2t z = −2 + 8t x = −1 − t B d : y = + 2t z = −2 − 8t uuur AB = ( −2; 4; −16 ) = ( −1; 2; −8 ) x = − t C d : y = + 2t z = −2 − 8t x = −1 − t D d : y = + 2t z = − 8t Lời giải Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A có vectơ phương x = −1 − t r u = ( −1; 2; −8 ) Phương trình d : y = + 2t z = −2 − 8t Chọn đáp án B Ví dụ 27: Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A ( −1;3; −2 ) ; B ( −3;7; −18 ) mặt phẳng (P) x = −1 − t có phương trình 2x − y + z + = , phương trình d : y = + 2t Tìm giao điểm đường z = −2 − 8t thẳng d với mặt phẳng (P)? Trang 16 A M − ; 2;1÷ B M − ; 2;0 ÷ C M − ; 2; ÷ D M − ;1; ÷ Lời giải Gọi M ( x; y; z ) giao điểm đường thẳng d với mp(P) Tọa độ điểm M nghiệm hệ x = −1 − t y = + 2t phương trình: z = −2 − 8t 2x − y + z + = ⇒ ( −1 − t ) − ( + 2t ) + ( −2 − 8t ) + = ⇔ t = − Vậy M − ; 2; ÷ Chọn đáp án C Ví dụ 28: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) đường thẳng d : x +1 y z − = = −2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với đường thẳng d? A 2x + y − 2z + = B 2x + y − 2z + = C 2x + y − 2z − = D 2x + y + 2z + = Lời giải uur Mặt phẳng (P) qua điểm A nhận vectơ phương u d = ( 2;1; −2 ) làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng ( P ) : 2x + y − 2z + = Chọn đáp án B Ví dụ 29: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) đường thẳng d : x +1 y z − = = −2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc với đường thẳng d cắt trục Ox x = − 2t A ( ∆ ) : y = − 2t z = + 3t x = −2t B ( ∆ ) : y = − 2t z = − 3t x = − 2t C ( ∆ ) : y = − 2t z = − 3t x = − 2t D ( ∆ ) : y = + 2t z = − 3t Lời giải Gọi B ( x;0;0 ) giao điểm đường thẳng ∆ với trục Ox Khi đó, đường thẳng ∆ nhận uuur vectơ AB = ( x − 1; −2; −3) làm vectơ pháp tuyến Vì đường thẳng ∆ vng góc với đường Trang 17 uuur uur thẳng d nên AB.u d = ⇔ ( x − 1) − + = ⇔ x = −1 đường thẳng ∆ nhận vectơ x = − 2t uuur AB = ( −2; −2; −3) làm vectơ pháp tuyến có phương trình: ( ∆ ) : y = − 2t z = − 3t Chọn đáp án C Ví dụ 30: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B ( 1;1;0 ) , D ( 1; −1;0 ) Tìm tọa độ A', biết đỉnh A' có cao độ dương ( A A ' 0;0; ) ( B A ' 0;0; ) ( C A ' 0;0; ) ( D A ' 0;0; ) Lời giải uuuur uuur AA '.AB = uuuur uuur Gọi A ' ( a; b;c ) Ta có: AA '.AD = uuuur uuur AA ' = AB = ( ⇒ A ' 0;0; ) Chọn đáp án D Ví dụ 31: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng d: ( P ) : x − y+ 2z − = , đường thẳng x −1 y − z = = điểm I ( 2;1; −1) Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt −3 phẳng (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho IM = 11 M ( 1; −5;7 ) A M ;6;9 ÷ M ( 3;0; ) M ( 1;5;7 ) B 66 −10 C M ; ; M ;6;9 ÷ 17 17 17 ÷ 7 M ( 1; −5;7 ) D M ;6; ÷ Lời giải − 2.1 + ( −1) − Khoảng cách từ I tới (P) là: d ( I, ( P ) ) = 12 + ( −2 ) + 2 = =1 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) có bán kính R = d ( I, ( P ) ) = có phương trình ( x − 2) + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 x = + 2t Từ giả thiết ta có: d : y = − 3t , ( t ∈ ¡ z = 2t Trang 18 ) uuu r ⇒ IM = ( 2t − 1; − 3t; 2t + 1) Từ giả thiết IM = 11 ⇔ ( 2t − 1) + ( − 3t ) + ( 2t + 1) = 11 2 ⇔ ( 4t − 4t + 1) + ( − 12t + 9t ) + ( 4t + 4t + 1) = 11 ⇔ 17t − 12t − = t = ⇔ t = − 17 Với t1 = ⇒ M ( 3;0; ) Với t = − 66 10 ⇒ M ; ;− ÷ 17 17 17 17 66 10 Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán là: M ( 3;0; ) M ; ; − ÷ 17 17 17 Chọn đáp án B 32: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 4;0;1) Ví dụ đường ( d) : x − y +1 z − = = Tìm tọa độ điểm M thuộc d cách A khoảng −1 17 −1 A M ( 1; 2; ) M ; ; ÷ 7 7 17 30 B M ( 1; 2; ) M ; ; ÷ 7 7 17 C M ( 1; 2; ) M ; ; ÷ 7 7 17 D M ( 1; 2; ) M ; ; ÷ 7 7 Lời giải Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( − t; −1 + 3t; + 2t ) uuuu r Ta có: AM = ( −2 − t; −1 + t;1 + t ) AM = ⇔ AM = 22 ⇔ ( −2 − t ) + ( −1 + 3t ) + ( + 2t ) = 22 2 ⇔ 14t + 2t − 16 = t = ⇒ M ( 1; 2; ) ⇔ 17 30 t = ⇒ M ; ; ÷ 7 7 Trang 19 22 thẳng Chọn đáp án B 10 11 Ví dụ 33: Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A ( 3; 2;1) , B − ; − ; ÷ mặt cầu 3 ( S) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = Viết phương trình mặt phẳng ( α ) mặt phẳng trung 2 trực đoạn thẳng AB? A ( α ) : 2x + 2y − z = B ( α ) : 2x + 2y − z + = C ( α ) : 2x + 2y − z + = D ( α ) : 2x + 2y − z + = Lời giải 1 7 Do ( α ) mặt phẳng trung trực đoạn AB nên ( α ) qua trung điểm I ; − ; ÷ 3 3 uuur 16 16 AB nhận véctơ AB = − ; − ; ÷ = − ( 2; 2; −1) làm VTPT 3 Suy phương trình ( α ) : 2x + 2y − z + = Chọn đáp án D Ví dụ 34: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng ( S) : ( x − 3) ( P ) : x + y− z − = mặt cầu + ( y − ) + ( z − 1) = 25 Tìm tọa độ tâm đường tròn giao tuyến mặt 2 phẳng (P) mặt cầu (S) 3 1 A H ; ; ÷ 7 7 3 3 B H ; ; ÷ 7 7 3 8 C H ; ; ÷ 7 7 13 D H ; ; ÷ 7 7 Lời giải Tâm đường tròn giao tuyến H hình chiếu vng góc I lên (P) Đường thẳng d qua I x = + 6t vng góc với (P) có phương trình y = + 3t z = − 2t Do H ∈ d nên H ( + 6t; + 3t;1 − 2t ) 13 Ta có H ∈ ( P ) nên t = − Vậy H ; ; ÷ 7 7 Chọn đáp án D Trang 20 Ví dụ 35: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A ( 2;1;0 ) , B ( 0;3; ) C ( 5;6;7 ) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB A B C D Lời giải Gọi M trung điểm AB, ta có M ( 1; 2; ) Mặt phẳng (P) vuống góc với AB M mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Do uuur AB ⊥ ( P ) nên AB = ( −2; 2; ) VTPT (P) Suy phương trình ( P ) : −2 ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = ⇔ x − y − 2z + = Vậy d ( C, ( P ) ) = − − 2.7 + 12 + ( −1) + ( −2 ) 2 = Chọn đáp án D Ví dụ 36: Trong khơng gian Oxyz, cho A ( −4;1;3) đường thẳng ( d ) : x + y −1 z + = = −2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với d? A −2x + y + 3z − = B −2x + y + 3z − = C −2x + y + 3z − 11 = D −2x + y + 3z − 18 = Lời giải r VTCP d u = ( −2;1;3) r Mp(P) qua A nhận u = ( −2;1;3) làm vtpt Khi phương trình (P) A ( x − x ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ⇔ −2 ( x + ) + 1( y − 1) + ( z − 3) = ⇔ −2x + y + 3z − 18 = Chọn đáp án D Ví dụ 37: Trong khơng gian Oxyz, cho A ( −4;1;3) đường thẳng ( d ) : x + y −1 z + = = −2 Tìm điểm B thuộc d cho AB = 27 13 10 12 A B ( −7; 4;5 ) B − ; ; − ÷ 7 7 13 10 12 B B ( −7; 4; ) B − ; ; − ÷ 7 7 13 10 12 C B ( −7; 4;1) B − ; ; − ÷ 7 7 13 10 12 D B ( −7; 4;6 ) B − ; ; − ÷ 7 7 Trang 21 Lời giải Vì B ∈ d nên B ( −1 − 2t;1 + t; −3 + 3t ) Ta có: AB = 27 ⇔ ( − 2t ) + t + ( 3t − ) = 27 2 t = ⇔ 14t − 48t + 18 = ⇔ t = 13 10 12 Vậy B ( −7; 4;6 ) B − ; ; − ÷ 7 7 Chọn đáp án D Ví dụ 38: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 5y − z − = đường thẳng d: x − 12 y − z − = = Tìm tọa độ giao điểm d (P) ? A M ( 0;0; −1) B M ( 0;0; −3) C M ( 0;0; −4 ) D M ( 0;0; −2 ) Lời giải * Gọi M giao điểm d (P) ⇒ M ( 12 + 4t;9 + 3t;1 + t ) * M ∈ ( P ) ⇒ ( 12 + 4t ) + ( + 3t ) − ( + t ) − = * Suy t = −3 Do M ( 0;0; −2 ) Chọn đáp án D Ví dụ 39: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 5y − z − = đường thẳng d: x − 12 y − z − = = Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), qua giao điểm d (P), đồng thời vng góc với d ? A ∆ : x y z+2 = = 11 B ∆ : x y z+2 = = −7 11 C ∆ : x y z+2 = = −8 −7 11 D ∆ : x y z+2 = = −7 −11 Lời giải * Gọi M giao điểm d (P) ⇒ M ( 12 + 4t;9 + 3t;1 + t ) * M ∈ ( P ) ⇒ ( 12 + 4t ) + ( + 3t ) − ( + t ) − = * Suy t = −3 Do M ( 0;0; −2 ) Trang 22 r r * d có VTCP u = ( 4;3;1) , (P) có VTPT n = ( 3;5; −1) ⇒ đường thẳng ∆ cần tìm có VTCP r r r v = n, u = ( 8; −7; −11) ∆: x y z+2 = = −7 −11 Chọn đáp án D Ví dụ 40: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 1;0; ) , B ( −1; 2; −2 ) đường thẳng x = + t d : y = + 2t Tìm tạo độ điểm H hình chiếu vng góc A d? z = −2 − t A H ( 0; −2; −1) B H ( 1; −1; −1) uur * d có VTCP u d = ( 1; 2; −1) C H ( 0; −1; −2 ) Lời giải * H ∈ d ⇒ H ( + t;1 + 2t; −2 − t ) uuur AH = ( t;1 + 2t; −4 − t ) uuur uur uuur uur Do H hình chiếu A d nên AH ⊥ u d ⇔ AH.u d = ⇔ t + + 4t + + t = ⇔ t = −1 ⇒ H ( 0; −1; −1) Chọn đáp án D Trang 23 D H ( 0; −1; −1) ... a ''3 cos ϕ = cos a, a '' = r ur = a a'' a12 + a 22 + a 32 a ''12 + a ''22 + a ''32 ( ) Góc đường thẳng mặt phẳng r r ( ∆ ) qua M có VTCP a, mp ( α ) có VTPT n = ( A; B;C ) r r ϕ sin ϕ = cos a,... '' M M 0'' ≠ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz cho Phương pháp Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d r qua M ( x ; y ; z ) có vtcp a = ( a1 ;a ;a ) (... Ax + By+ Cz + D = ( Q ) : A '' x + B''y+ C''z + D'' = uur uur n P n Q uur uur A.A ''+ B.B''+ C.C '' cos ϕ = cos n P , n Q = uur uur = nP nQ A + B2 + C A ''2 + B''2 + C ''2 ( ) Góc hai đường thẳng r qua