Giải toán 12 - Phương pháp tọa độ không gian

giai toan 12 toa do khong gian

Trang 1

TRAN ĐỨC HUYỆN (Chủ biên) - NGUYÊN DUY HIẾU NGUYEN LE THUY HOA - NGUYEN ANH TRƯỜNG

Trang 3

Lời Nói ĐẦU

Grong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, trường Trung học phổ (hông chuyên Lê Hong Phong TP: Hé Chi Minh đã biên soạn bộ sách “Giải toán

đành cho học sinh lớp chuyên” theo định hướng bám sát sách giáo khoa, bổ sung các chủ đề nâng cao theo trình độ trường

chuyên và các nội dung thi đại học Bộ sách đã được đông đảo học sinh và giáo viên các trường chuyên sử dụng và tin cậỵ

Trong quá trình đổi mới giáo dục, đáp ứng yêu cầu mới

của sách giáo khoa chuyên ban, xây dựng phương pháp kiểm

tra kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan, chúng

tôi biên soạn lại bộ sách Giải toán đành cho học sinh các

trường chuyên và học sinh khá giỏi ở các trường Trung học

phổ thơng trên tồn quốc Bộ sách “Giải toán lớp 12” được

biên soạn nhằm đáp ứng tốt nhất cho các kì thi Tốt nghiệp THPT và đặc biệt là kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng

Bộ sách này gồm năm quyển:

— Giải toán 12 - Hàm số mũ - lôgarit và số phức;

Giải toán 12 ~ Phương pháp toạ độ rong không gian; ~ Giải toán 12 - Khảo sát hàm số;

~ Giải toán 12 ~ Khối đa diện và khối trön xoay;

- Giải toán 12 ~ Tích phân - nguyên hàm

Nội dung quyển “Giải toán 12 — Phường pháp toạ độ trong không gian” bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Hình học

12 (Nâng cao) và được trình bày theo bốn chương như sau: + Chương I: Hệ toạ độ trong không gian;

s Chương II: Mặt phẳng trong không gian; s Chương II: Đường thẳng trong không gian;

Trang 4

Trong mỗi bài học, chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện dựa theo các vấn để cụ thể, một số bài tập là các đề

thi đại học để bạn đọc tham khảọ Chúng tôi có cung, cấp đáp

án và hướng dẫn giải sơ lược của một số bài tập tiêu biểu

nhằm giúp các bạn đọc ôn tập, nâng cao kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán

Hi vọng quyển sách sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong

quá trình học tập, rèn luyện nâng cao bộ mơn Tốn lớp 12, chủ động và tự tin bước vào kì thi Đại học - Cao dang dé dat được kết quả tốt nhất; quyển sách này cũng là tài liệu hỗ trợ

cho giáo viên Toán các trường Trung học phổ thông trong

công tác đào tạo học sinh giỏị ˆ

Mọi ý kiến đóng góp xin được gửi về địa chỉ sau:

® trưởng trung học phổ thông chuyên Lê Tổng Phong 235 Nguyễn

Van Gk, Quin 5, TP Hé Chi Minh

a Man biểu tập sách Coán - Cin, Cong ty EP Dich vu xuat ban gido ‘duc Gia

2jnh - Nhà xuất ban Gido due Viet Nam, 237 Nouyén Var Ci, Quan 5

Tp Hé Chi Minh

Trân trọng cảm on !

Trang 5

§1 DIEM VA VECTO TRONG KHONG GIAN

Ạ TOM TAT GIAO KHOA

1 Hệ trục toạ độ trong không gian

= Hệ gồm ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau được gọi là hé

trục toa độ vuông góc trong không gian

= Ta thường gọi các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i, j và K,

= Diém O goi 1a gốc tog dé, trục Ox gọi là rực hoành, trục Oy gọi là trục tung

va truc Oz goi 1a true caọ

" Các mặt phẳng chứa hai trục toạ độ được gọi là mặt phẳng toạ độ, ta kí hiệu chúng lân lượt 14 (Oxy), (Oyz) va (Ozx)

- +2 ¬2 = =>

Chú ý: 1i =j =k =1, ij=jk= ki= 0

1Ị Toạ độ của vectơ

= Với mọi a, tồn tại duy nhất bộ ba số (ay:2a:2a) sao cho 2=aii+asj+asK,

Ta gọi bộ ba số (ay;aa;a;) là toạ độ của veclơ a (theo thứ tự là hoành độ,

tung độ, cao độ) Kí hiệụ a=(a)3a93a5) hay 8(a,3a,583)

Vay a=(Ai;aa;aa) ©2(Ay;aa:8) eS anaita,jragk

Trang 6

XỊ Các tính chất và phép toán „ Cho hai vectơ a=(ay;az:a) va b= (bu;ba;b;) và số thực k tuỳ Ý, ta có: ai =bị " BE UW be a, =b, a, =b Sa Ht b=(a tbj:a,+b,3a, +bạ) ka =(kayska,ska,) (keR) = abs aịbị tay bạ taỵbạ = a = ae 1? tab + b, sae # cos(a, 6) = tl 2 2 38 3 #33 với iaz0,bz0 2 tah +a lu nộ xaLBe©œzb=0©a,bi+asby +ay by =0

1V Toạ độ của điểm

= Voi mọi điểm M, tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; 2) sao cho

OM = xiryj+zẸ Ta gọi bộ ba sé (x; y; z) là toa độ của điểm M Kí hiệu

1a M(x; y; z) hay M = (x; y; z)

Vay M=(x;y;z) OM=xityj+zk

Nếu điểm M có toa 49 Ja (xs y; 2) thi x goi Ia hoanh 46, y goi 1a tung dé, z

-' gọi là cao độ của diém M

Chú ý: Me Ox © M(x;0;0);

MeOy<>M(0,y;0); MeOz>M(0;0;z)

V Liên hệ giữa toa độ của vectơ và toạ độ của hai điểm mút

Trang 7

° AB=(xp—XuiYp—YA¡Zp —ZA)i

“ AB= (xa—xa) +(vạ—va } +(zg=za } -

VỊ, Tích có hướng của hai vectơ

“ Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a=(ay;aa:as) và ÿ=(b,;bạ;b;)

VIIỊ Nhimg tmg dung ciia tich cé huéng

= Xét su đồng phẳng cia ba vecto: a,b,c ding phang <> 5 ble c=0

8ˆ Tính diện tích hình bình hinh ABCD: S pcp -[aãm] » Tính diện tích tam giác: Sanc, =- | AB, AC |

= Tinh thé tích hình hộp: Vạpcpạxcp: =|| AB.ÄD | AỊ

Trang 8

B PHUONG PHAP GIA! TGAN % Van dé t Tìm toạ độ của một điểm hay toạ độ của một vectơ ỊPHƯƠNG PHÁP

# Để tìm toạ độ của một vectơ.x (hay điểm M) 1s cần xác định một hệ thức

vectơ liên hệ giữa vectơ a (hay điểm M) với các vectơ hay các điểm đã biết

Từ đó ta xác định được một hệ phương trình chứa các toạ độ của veetơ a

(hay điểm M) Giai hệ này ta tìm duce toa dé vecto a (hay diém MỊ cần tìm Chú ý: mMeOxc>M(x; 0; 0); M € Oy = M(G; y; 0); M € Oz & M(0; 0; z) = M € (Oxy) <> M(x; y; 0); Me (Oyz© M(O; y;z); M © (Ozx) => M(x; 0; z) 1 CÁC Vi DU ,

Vi du 1 Trong không gian Oxyz, cho bà vectơ +=Œ 7;2), b=(3; 0:4),

Trang 9

{n, = 5a, 6b, + 4c, -3i, =5.546.3+44(-6)—-3=16

> 4 ny =52q + 6b, + 40 ~3iy =5.746.044.1=39 In =5a5-+6b, +4¢,—3i, =3.24+6.444.(-1) =26

Vậy n = (16; 39; 26)

Suy ra [al =fn? +n} +n} =Vi6? +39? + 26? = 2453

Vi du 2 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm Ă1; 0; -2), B(2; 1; -1) và

C(1; —2; 2) Tim toa độ điểm M sao cho AM =2AB+38C—~ÔM - —— ~ Ta có: AB =(1;1; 1), BỂ =(-1;~3; 3) Goi toa độ điểm M là M(x; y; 2), ta có: _ AM=@-lsy;z+2) 2AB =(2;2; 2) và 3BC = (-3; -9 ; 9) Đ 2AB+3BC—OM =(1-x;-7-y; 11-2) x-l =-l-X x=0 Do đó: AM=2AB+3BC-OM œ{y = =-7-yo ye> z+2 sll-z 9 z=— 2 — N VM[G TỔ | 2”2) % đụ 3 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm Ă_—2; 3; 1), BC; 0; 1), C(2; 0; 1) -

a) Chimg minh A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm toạ độ hình chiếu B” ota B trén AC

Trang 10

giả

9

a) Ta có: AB =(Ễ:~8:0) AC =(4;~3; 0) Vì ‡x nên AB, AC không

cùng phương = A, B, C.không thẳng hàng

b) Goi toa d6 cha B’ là B’(x; y; z) Ta có:

Trang 11

UỤ BAI TAP

1,

3

Trong không gian Oxyz, cho 2 =(1,-3;4)

a) Tim y, z dé vecto b= (2:y:z) cùng phương với ạ

b) Tìm € biết ¢ nguge hudng v6i b va l|=sE+8

Cho a =(15251),b =(-3;5;2} va ¢=(0;4;3)

Tìm toạ độ và độ đài vectơ mụn biết:

a) m=2a-3b+4e+5];

b) n=a+b—26-3k

Cho diém M(x93¥9325) Hay tim toa d6 cia các điểm:

a) Mi, Mo, Mg lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng t toa

a6 (Oxy), (Oyz), (Oxz)

b) M’, M” ln lwot 18 cde điểm đối xứng của M qua O va qua trục Oỵ

Cho ba điểm ĂI; 1; 1), BC1; —1; 0) và CG; 1;—1)

a) Tìm điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm B, C

b) Tìm điểm N thuộc (Oxy) cách đều A,B,C * - the

c) Tim điểm P thuộc (Oxy) sao cho PA + PC ngắn nhất

Cho hai điểm Ă1; 1; 2) và B1; 3; —9)

a) Tìm điểm M trên trục Oy sao cho tam giác ABM vuông tại M

b) Gọi N là giao điểm của đường thang AB voi mat phẳng (Oyz) Hỏi N chia đoạn AB theo tỉ số nàỏ Tìm toạ độ điểm N

©) Gọi a, B, y là các góc tạo bởi đường thẳng AB và các trục toạ độ Hãy tính 2

giá trị của biểu thức P = cos Œ+cos? + cos? ỵ

Trang 12

% Van dé 2 Tim toa độ các điểm đặc biệt trong tam giác, trong tứ điện L PHƯƠNG PHÁP 12 Xét tam giác ABC, ta có các điểm đặc biệt sau: _ Xa #Xp+Xe XG 3 š i — — — — +V„+ = Gla trong tam AABC © 9đ~; (GA+Ư5+0€) e vụ =ŸA “J8 ~TC 2A +Zp+2eˆ Z = S 3 AH1BC = Hla tc tim AABC > {BH LAC | AH, AB,AC đồng phẳng AÁLBể "Á là chân đường cao củaAABC©4 _ _, BÁ=kBC co

" Dla chan dudng phan gide trong của góc A của AABC œ DB= "SGDC

= Elà chân đường phân giác ngoài của góc A của AABC œ EB= =i

Trang 13

IỊ CAC Vi DU

Vidal Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có Ă1; 0; 2), BC2; l; 3)

va C(3; 2; 4)

a) Tim toa d6 trong tam G của AABC

b) Tim toạ độ trực tâm H của AABC

Trang 14

[S(x-1)+1(y)+ (2-2) =0 © 42(x+2)+2(y—D+2-—3) =0 lần Sung oh =0 5 x= > (Sxty+z=7 | - © $x+y+z=2 © “hy —y+z=2 11 Jz=— L8 vụn(2- 47 878 c) Go 1a trọng tâm tứ điện ABCD x _ Xa t*p fXc TXp _1-2‡316 _„ Go 4 4 Y,t¥gtỵt elỵ =A Ye tye Yp 0414249 _ 3 `9 4 7 4 2 =a T?p te tp _24344-5 _) % 4 4

Vậy trọng tâm của tứ diện ABCD là Go(2; 3; 1)

Vi dy 2 Trong không gian Oxyz cho ba điểm Ă1; ~l; 0), B(2; 2; 1) và

C(13; 3; 4) ,

a) Ching minh A, B, C 14 ba dinh của một tam giác

b) Tìm toạ độ điểm E là chân đường phân giác trong của góc Ạ của tam giác ABC

c) Tim toa độ chân đường cao H vẽ từ D của tứ điện ABCD với D(1; 1; 1)

2) Tacs: AB = (1; 3; 1y AC =(12; 4 4) Vi " 2h nên AB, AC không cùng phương

_ Suy ra ba điểm A, B, C không thing hàng nên A, B, € là ba đỉnh của một tam giác b) Ta có: AB = vil; AC = 4411 E là chân đường phân giác trong góc A

Trang 15

1 1 : uc no op t5 5 5 4 4 y aly 2443

mm ABr¬ i LÊ léo 4711

Trang 16

IỊ BÀI TẬP

1 Tinh độ dài đường phân giác trong của góc A của AABC, biết:

a) Ă1; -2; 2), B-5; 6; 4) và C(0; TL -2) b) AQ; -1; 3), B(4; 0; 1) và C(-10; 5; 3)

CHo bốn điểm Ă-1; 2; 4), B(2; 1; 3), C(O; 0; 5) va D(3; 0; 2)

a) Chứng minh ABCD là một tứ diện Tính thể tích của tứ điện và độ dai

đường cao của tứ điện vẽ từ D

b) Xét hình hộp ABCD”.ÁB'C'D, tìm toạ độ của các định A’, B’, C* va D’

của hình hộp đó

c) Tim toa độ của điểm 1 là chân đường phân giác trong của góc Á của AADE trong đó E(1; 3; 7)

d) Tìm toạ độ điểm K nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ABCK vuông tại

B va AACK vuéng tai Ạ - $ Vấn đê 3 Các ứng dụng của tích có hướng Ị PHƯƠNG PHÁP 16 Ta sử dụng tính chất của tích có hướng dé giải một số dạng toán sau: w Xét sự đồng phẳng của ba vectơ: 2,b,¢ đồng phẳng > [2 b "= Tinh diện tích hình bình bành ABCD: S,pep = ma]

= Tỉnh diện tích tem giác: Sane = 2Ì ac]

= Tinh thé tich hinh hOp: Vegcpa-prcp’ =| 48, Ap]AAl ;

Trang 17

IỊ CÁC VÍ DỤ %⁄† đụ 1 Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a,b,c sau: 2 =Q;3; 1); b =(4,-3;~2) và c = (-1; 4; 2) Giải z Ta có a,b] =(-3; 10;—18) i = [ ;b|e =-3.C1)+10.4~182=70

Suyra a,b,c không đồng phẳng

Vi dy 2 Cho bên điểm AQ; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; —1) a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tính thể tích của tứ điện ABCD và độ đài đường cao của tứ điện xuất phát từ A, Giải a) Ta cé: BC =(0;-1; 1), BD =(-2;.0;-1) = [ben] =(;-2; —2) Ngoai ra, BA =(1;-1;0) > [BC,BD |.BA =11-2C0-2.0=3#0 = BC,BD,BA không đồng phẳng => A, B, C, D là bến đình của một tứ điện 5 =1[B€BBIBAI|=is=L

b) Tả có: Vancp c|PẹBP ]BA|= 5355:

Trang 18

OL BAITAP 1 18 Xét sự đẳng phẳng của ba vectơ a,b,c trong các trường hợp sau: a) a=(1;-L1), 6 =(0:1,2), e=(42;3); b) a=(4;3;4), B=(2;-1,2), o= (15251); cas (4;2;5), b =(3;1;3), e=(2;0;1); d) a= (-3:1;-2), b= (19), c= (2:11)

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm Ă1; 0; 2), B(2; 1; —1) và C(1; —2; 2) a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM =2AB—5BC

b) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Tìm chu vi và điện tích AABC

©) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC d) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Cho bồn điểm Ă; 2; 3), B(0; 1; 4), C(0; 2; 1) và D; 1; 1) a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đình của một tứ điện

b) Tính thể tích ABCD và độ đài đường cao của tứ điện xuất phát từ Ạ

Cho bốn điểm Ă0; 0; 1), B(1; 4; 0), C(Q; 15; 1) va D2; 75 3)

a) Chứng minh ABCD là hình thang

b) Tính thể tích của hình chóp SABCD với S(1; 2; 3) ©) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Cho bến điểm không đồng phẳng A@; 0; 4), B(3; 6; 2); C(O; 4; -1); D(O; -2; 1) a) Tinh thé tich hinh chóp OABCD và độ dài đường caọOH vẽ từ O của hình chóp OABCD

b) Tìm điểm M sao cho MC vudng géc (BCD) va MC = V211

Cho hình hộp ADCB.ÁB'C?D' có đỉnh là Ă1; 0; pe B(2; 3; 5), CG; 2; 7),

D’(3;-3; 5)

a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

Trang 19

% Văn đề 4

Chứng minh bất đẳng thức đại số

1 PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng các bất đẳng thức sau, ta có thể chứng minh một số bắt đẳng thức đại

sô đưới đây:

~¬

” =+E+d<l+|+|4 (dấu đẳng thức xảy rạ©> a,b,c cùng hướng)

" fai < fl P| (dau ding thức xây ra ©> a, being phuong) 1 CÁC VÍ DỤ Vitel Ghúngrnhhrdngxỗi hội g3 <R,tacó: ^|x2+4ỷ+z2~6x~10z+34+¬|x2+4y2+z2+2x+12y+14z+59 > 13.1) giả Ta có:

(No ¥a- 3)? +4y7 +(z~ 5)? ty(xt1? +(2y+3)) +(z+7)? z13

Với mỗi cặp (x; y; 2), ta xét các VeCtƠ Sau: -

a =(x-3; -2y,5-2),b =(=x-L 2y+3; z+7) va dab = = (+4; 3; 12)

Trang 20

Xét hai vecto @ =(x-1;1;2) va b =(Vx;xl20—5; V16+4x) Tacé: ạb=(x—1wvx +1.V20-5x +2V16+4x =(Œ%-IDNx+1A20-5x+44+x 7 và E|iBl=vd&—n2+1+2: Qa}+ol20-5)2+(6r2z7 =6\x?-2x+6 Mặt khác, ta có ‘ab ‹E< lal a {P| => (x -DVx +¥20—5x 44V44x < 6V x? -2x +6 TH BÀI TẬP 1, w 20 Chứng minh rằng: Vx e R, ta có:

a) fx? +ỷ 442? —4x —4y— 2424.44 +x? + y2 +4z2—12x—2y+8z +41 >9;

b) fx? +4ỷ +27 44x —24y +40 +4/x? +4ỷ +27 —4x 4+ 16y—82+48 2 2/38

Chứng minh bất đẳng thức BCS bằng phương pháp toạ độ:

Jax + by + cz|< 4@? +b?+ c?⁄x2 + ỷ + z2) +

Trang 21

§2 MAT CAU

Ạ TOM TAT GIAG KHOA

™ Trong khéng gian Oxyz, mit odu S(I; R) véi tim I(x93¥93zq) va ban kinh

R có phương trình là:

3 2 2

(x-x9} +(y-¥o) +(z-z9) =R2

= Phương trình x +ỷ+z?—2axS—2by—2cz+d=0 là phương trình của mặt

cầu khi và chỉ khi a2+b2+c? >.d Khi đó mặt cầu nhận l(a; b; c) làm tâm và R=vả+b2 +c?—đ là độ đài của bán kính

B PHUGNG PHAP GIAI TOAN

Í $ Vấn đề 1

| Điều kiện để phương trình dang x" +y +z?~2ax— 2by—2cz+d=0

| là phương trình của một mặt câu

Ị PHUONG PHAP

m Xác định a, b, eva d

« Phuong trinh x? +ỷ +z? —2ax -2by—2cz+d= “0 Biphuong trình của mặt

cAu khi va chi khi a7 +b? +07 >d

m Khi đó mặt cầu nhận I(a; b; c) làm tâm và R =xjả+b” +ẻ ~d là độ dài

của bán kính

II CÁC Vi DU

%X ấy 1 Mỗi phương trình sau đây có phải là phương trình mặt cầu hay

không? Nếu phải thì hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đó

a) x2+ty2+z2+2x~4y+]I=0 qa)

b) 3x? +3ỷ +327 -2x =0 Q)

Trang 22

©) 2x2 42ỷ =(xty)?-2? 42x~1 3) d) (x+y)? =2xy-27 41 4) giải a) Ta có: -2a = 2, ~2b = ~4, c = 0 và đ=0 => a=-1,b=2,c=0vad=1 =ả+bf+c?2-d=4>0 Vậy phương trình (1) là phương trình của mặt cầu có tam 1A 1-1; 2; 0) va bán kínhR=2 - b) Ta cốt (2) © xỶ + y +2? —2x=0=5-2a= ~5,-2b=0,e=0 và đ=0 = a= 2;b0,6=0 và đ= 0s” +b + c” cổ 2 >0, Vậy phương trình (2) là phương trình của mặt cầu có tâm là 1G 0; 0) va ban kính R = —

c) Ta có: (3) ©x)+y°+z~ 2xy ~2x + 1= 0 Suy ra phương trình (3)

không là phương trình của mặt câụ

đ) Ta có: (4) €> x” + +2” = 1 Suy ra phương trình (4) là phương trình của

mặt cầu có tâm 14 O(0; 0; 0) và bán kính R = 1

Trang 23

Khí đó mặt cầu có tâm là lớn, 2 — m, m + 3) và bán kính là R = ^3m? —6m ~24 b) Ta có Qer +y +z?~ 4mx— 6(m + 3)y + 2(2m- 3)z+ 18m” - 32m + 5=0 Suy ra: a = 2m, b= 3(m + 3), c=2m —3 và d= 18m” —32m +5 (2) là phương trình mặt cầu «> á” + bỂ + cˆ— đ> 0 (2m) + 9(m + 3} + (2m ~ 3)ˆ ~ 18m2 + 32m — 5 > 0 <>—m? + 84m + 85 >0 o-1<m<85, Khi đó mặt cầu có tâm I(2m; 3m + 9; 2m— 3) và bán kính là R = ym? +84m+85 1M BÀI TẬP

1 Mỗi phương trình sau phải là phương trình của mặt cầu không? Nếu phải, tìm tâm và bán kính của các mặt cau dé a) x? +ỷ +z? +8§x—2y+l=0 b) x?+y2+z? —4x-8y+2z-4=0 c) 3x? +3ỷ +327 +6x +12y—18z-51=0 Ox ty +2? + 2mx + (2m ~ 4)y + 4mz + 3m + 7 = 0 Định m dé các phương trình sau là phương trình mặt cầụ a) x? +ỷ +27 +2mx +4my—8mz+28m—7=0 b) x2 +ỷ-42? +2(m—I)x-2(m+)y—(2m-1z+4m?+10=0 e) 2x2+2ỷ ~2(m +1)z” —4mx ¢6mz+2m-1=0 % Van dé 2 Lập phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính của nó Ị PHƯƠNG PHÁP

m Dựa vào giả thiết bài toán tìm toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu từ đó áp dụng định lí sau đề suy ra phương trinh mat cần

Trang 24

= Dinh lí: Trong không gian Oxyz, mat cdu 8G R) với tâm l(a; b; c) và bán kính R có phương trình là: (- ay +(y-— by +(z- ø? =R?,

IỊ VÍ ĐỤ

Lập phương trình mặt cầu (S) biết:

3) (S) có tâm là I(1; 3; 6) và đi qua điểm Ă3; 2; 8)

b) (S) có tâm nằm trên mặt cầu (S”): (œ&~ĐW +ớ- ay +2 = 13 va qua ba điểm M(0; 0; 1), N(1; 0; 0) và P(0; 1; 0) Giải a) Vì (S) có tâm I va di qua A nên (S) có bán kính là: 1A = |ŒXA —xg)Ê+(yA —yg)” tứ —z)Ê = VÍ22 +12 +22 =3 Vậy (S): &—1)”+(ỹ3)”+ø— 6ˆ=9,

b) Gọi J(a; b; c) là tâm của (S) Ta có:

Trang 25

b) (S) có tâm 1Q; 4; 12) và đi qua gốc toạ độ

c) (S) qua Ă2; 3; -4) và có tâm I(1; =2; 3)

d) (S) qua ba điểm Ă1; 2; 4); B(1; -3; —1); CÓ; 2; —3) và có tâm nằm trên (Oxy)

2, Cho hình tứ điện đều ABCD có Ă1; 4; 5), BC— 3; ~2; 4) và tâm m đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCD là 1(2; 3; 5) Hãy lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp

của tứ điện ABCD

3 Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với (ABC), tam mác ABC vuông tại B,

biết toạ độ các điểm SQ; 4; 7) và C3; 2; 5) Hãy viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện

4 Cho hình chớp đều SABCD có tất cả các cạnh bằng nhaụ ,Đấy là hình vuông -

ABCD có tâm là I(3; ~4; 6) và độ dài cạnh AB = 5 Hãy viết phương trình mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp = % Vấn đẻ 3 Lập phương trình mặt câu di qua bấn điểm không đồng phẳng t Ị PHƯƠNG PHÁP

m Phương trình mặt cầu (S): x ah y +z?—2ax— 2bỹ 2cz + d= 0 # (S) qua bến điểm A, B, C, D nên ta có hệ phương trình:

XÃ +y2 +Z2— 2ax, —2by, ~2ez, +d=0

Trang 26

> (S) qua bén diém A, B, C, D nên ta có hệ phương trình: 1? +07 +2?-2a-0b-4c+d=0 —2a—Ob—4e+d =~5 27417 +07 +4a-2b-Oc+d=0 ¿| 4ã2b~0e+d=~5 02+32+42~0a+6b~8e+d=0 | 0a+6b-§e+d=~25 12+22+52~2ã4b~10c+d=0 — L2ã#b-l0etd=-30 _ 60 ~2a—Ob-4erd=-§ = |? “53 ~ốa+2b—4c=0 , ©ib=_ =d=— 5 135 —2a—6b+4e= 20 23 23 4b+6e=25 go 46

Vay (S): x2 +y2 422 4 420, 19 y 18S 2135 so, 23° 23 23 23

%# đụ 2 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm Ă-2; 3; 3), B(-1; 1; 2),

C(4; 2; 2) và có tâm thuộc (Oyz) Giải Vĩ (S) có tâm I thuộc (Oyz) nên I(0; b; c) Ta có: AlÊ =BI2 ° (0+2)? +(6—3)? +(c-3)? = (041)? +(b—1)? +(e-2)? AP =crP — |[(0+2)? +(b-3)" +(c-3)? = (0-4)? +(-2)? +(¢-2)7 4b+2c=l6 b=9 <- > 2b+2c=-2 c=-I0 Khi đó R”= AỈ =2 + 6” + 137 = 209 Suy ra (S): X” + (y— 8) + (z + 10)” = 209 IỊ BÀI TẬP

1 Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) (S) qua 4 điểm Ẵ1; 0; 2), B(0; 4; 0), C3; 1; 0), D(; 1; 1)

Trang 27

2

3

Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) (S) qua 3 điểm Ă1; 3; 2), BG; 4; 4), C(-3; 2; 0) và có tâm nằm trên (Oxy) b) (S) qua 2 điểm Ă1; 3; 1), B(~2; ~2; 4) và có tâm nằm trên trục Ox Cho Ă1; 0; 1), BC]; 1; 2), CC1; 1; 0) và D@; —1; =2)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ điện

b) Tính đường cao của ABCD kẻ từ D

e) Tỉnh góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD

4) Tính thể tích tử diện ABCD và độ đài đường cao của tử điện vẽ từ Ạ

._ 9) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ điện ABCD Š$ Vấn đê 4 Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với một mặt phẳng, một đường thẳng Ị PHƯƠNG PHÁP Xét mặt cầu (S) tâm I và bán kính R E (S) tiếp xúc với (Oxy) <> R = |zị| # (S) tiếp xúc với (Oyz) © R = |xị # (S) tiếp xúc với (Ozx) © R.= fỵ

ăS) tiếp xúc với ba mặt toạ độ và đi qua A thì XqX > 0, yay, > 0 va zz, > 0

= (S) tiép xtc voi mat phing (a) <= đ, (a) = R

* (S) tiếp xúc trục đường thẳng A <> d(I, A) =R

1 CÁC VÍ DỤ

%# đụ 1 Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với các mặt phẳng toạ

độ và (5)

a) di qua điểm Ă1; -3; 2)

Trang 28

28

Do d6 (8): (x-a)* + (y tay +a =a,

Mà (S) qua A nên ta có: (1 — a)? + (-3 + a)” + (2— a}? = a2

cœả°-6a+7=0œa=3+ 4/2

Vậy ): &-3- V2) + +3 +2) +(œ~3-2)Ì= + v2

hoặc (8): (x~3 +2} + @+3—2)2+@g—3+V42)ˆ=@— V53”, b) (S) tiếp xúc (Oxy) tại B(2; 2; 0) nên (8) có tâm 12; 2; c):

Mặt khác we) tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên

= bad = byl = bại © |e|=2=R ©c=2 =R hay R =2 = ~c

Vậy (S>œ&~2)'+(—2)Ï+œ~2J”=4 hoặc (8): (x — 2}” + (y— ay +ự+2Ÿ =4

Trang 29

Suy ra H(4; 2; 10)

Ta c6: R°= AH’ = (4-1) + (2 + 2)? + (10+ 4)" =25 + 196 = 221,

Vay (S)(x— 1) + (y +27 + (+4 = 221

ị BAL TAP

1 Lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng:

a) (S) qua Ă1; —1; 4) và tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ

b) (§) qua B(1; 3; 9) và tiếp xúc với (Oxy) tại M; 4; 0) 2 Lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng:

a) (S) tiếp xúc trục Ox và có tâm là I(3; -4; 2)

b) (S) qua Ă1; 2; 2), B(-2; 1; 3), C(3; 1; 2) và tiếp xúc Oỵ

©) (S) qua Ă%; 1; 6), tiếp xúc với trục Ox tại điểm M(4; 0; 0) và tiếp xúc trục

Oy tại điểm N(0; 4; 0)

3 Trong không gian Oxyz cho bốn điễm Ă0; 0; 3), B(; 1; 5), C(-3; 0; 0) và

D(0; -4; 0)

a) Chimg minh rang bén diém A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

Tìm toạ độ tiếp điểm

4 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm Ă1; 0; 0), B(0; 3; 0), C(O; 0; 6) va ĐÓ; 4; 8)

a) Chimg minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện Tính thê tích của tứ

điện ABCD

b) Tính độ dài đường cao của tứ điện vẽ từ D

e) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ điện ABCD Xác định toạ độ

tâm I va ban kink của (S)

đ) Viết phương trình mit cdu (S’) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc Oz tại C và

di qua Ạ :

Trang 30

§1 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

_Ạ TOM TAT GIÁO KHOA

Ị Phương trình mặt phẳng

= Vecto 140 được gọi là vectơ pháp tuyên (vtpt) của mặt phẳng (œ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (a) Chó ý: " Nếu n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ơ) thì kin cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (œ) " Một mặt, phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyên của nó, | " Mặt phẳng (œ) qua MÍ%g:Yg:Zq) nhận n= (A;B;C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: , Ăx~xạ)+B(ỹyạ)}+€(z~zaÌ= 0

# Phuong trình tổng quát của mặt phẳng (œ) có pháp vectơ ñ=(A;B;C) là:

Ax+By+Cz+D=0 với A}+B2+C2 >0

11 Các trường hợp riêng

30

* Cho mặt phẳng (œ): Ax + By + Cz+D=0 Tacé:

b) (ơ) song song hay chứa trục Ox <> A =0

Trang 31

Ghi chú: Nếu mặt phẳng (œ) cất ba trục toạ độ tại Ăa; 0; 0), B(0; b; 0),

C(O; 0; c) thi phương trình (ơ) là:

n2

abe

Phương trình này được gọi là phương trành mặt phẳng theo đoạn chắn

IỊ Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

w Cho hai mặt phẳng (œ): Ax +By+Cz+D =0 và (B):Áx+B'y+C'z+D'=0, a) (œ), (B) cắt nhau © A:B:Cz+Á:B':C! Á BC D b ) (a), (B) song song ©e—=—=—x— Á B' CD - A_B_C_D + tring nhau = —=— = — = — 9) (2), Œ) trừng nhau © T= op (với Á,B',C?,D' z0) B PHUONG PHAP GIAI TOAN $ Vấn đề 1

Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và có vectơ pháp

tuyến n hay vuông góc với đường thẳng d

1 PHƯƠNG PHÁP

" Chọn vectơ pháp tuyến (vipt) của mặt phẳng (œ) là n =(A;B;C) (nếu (a)

vuông góc với đ thì n là vectơ chỉ phương 2 của đường thẳng d);

qua ĂXp:Yo:Z2}

® Phương trình mặt phẳng (œ) 2 có dạng:

nhận n=(A; B; Cc) lam vtpt

Trang 32

IỊ CÁC VÍ DỤ Vi dy 1 Viết phương trình mặt phẳng (œ) di qua Ă3;-2; 5) và có vectơ pháp tuyến là n =(4;~3;2) Giả Vi (a) qua AQ; -2; 5) và nhận n=(4~3,2) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng (œ) có dạng: (œ): 4(x—3)—3(y+2)+2(z-5)=0 < 4x~3y+2z—28=0 Vi du 2 Viét phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB với ACL; 3; -4) va B( -1; 2; 2) Ta có:

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(0; > 3-1), AB =(-2;-16)

Mặt phẳng trưng trực (œ) của đoạn AB đi qua I và nhận AE làm vectơ pháp

tuyến nên phương trình của (œ) có dạng:

(a): -2(x-0)-(y-3} +-0(241)= 0 <> 4x4 2y-12z-17=0

Vi du 3 Viet phương trình mặt phẳng (di) qua M(2; - 5; 3) và vuông góc với đường thẳng OM

giải

Ta có: OM =(2;~5;3) Mặt phẳng (œ) đi qua M2; -5; 3) và nhận na =OMÍ

làm vectơ pháp tuyến => (œ): 2(x—2)—5(y+5)+3(z~3) =0

©2x-5y+3z-38=0

IỊ BÀI TẬP

1

32

Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

3) (œ) đi qua Ă4; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến là n =(3;~4;1)

Trang 33

2, Viết phương trinh mat phiing (a) biét:

a) (a) qua M(1; 4; 3) và vuông góc với Oỵ `

B) (4) qua MÔ; 0; 1) và vuông góc với AB với Ă0; 2; -3), B(1; —4; 1)

3 Trong không gian Oxyz cho ba điểm AC 1; 1; 2); BG; -1; 0); CÓ; 1; 1) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC ˆ

4, Viết phương trình niặt phẳng trùng trực của đoạn AB với: a) Ă1; —4; 2) và B(7; 1; ~5) :

b) AC3; 2; 1) va BO; 4; 3)

5 Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

a) (œ) chứa diém AQ; 1;- 1) va vuông góc với đường thẳng di qua hai diém B(-]; 0; 4) và Œ(0; ~2; —1) b) (œ) chứa điểm M(I; ố; -2 ) và vuông góc với đường thẳng d di qua hai điểm Ă2; — 5; 6) và B(- l; — 3; 2) ©) (œ) chứa điểm MỢ; — 3; 1 ) và vuông góc với đường thắng ở di qua hai diém AG; — 4; 5) va B(- 1; 2; 6) % Van dé 2 Viết phương trình mặt phẳng (o) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng ` 1 PHƯƠNG PHÁP

m Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (oœ) là n= [AB aC] =(a;b;0)

Trang 34

Tacó: AB=(;3;4), AC=G;09, [ AB,AC| =@;11;—9) quaAQ; 11) Mặt phí ently ADG) 1k -[ 48, ac|= (1-9) lam vipt =.phương trình (œ) có dạng: 3(x—1)+11(ỹ1)-9(z—1)=0 ©3x+1ly—9z—5=0 IH BÀI TẬP

1 Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:,

a) (œ) đi qua ba điểm Ă1; ~ 1; 2), B(0; 3; 0) và C(2; 1; 0)

b) (œ) đi qua ba điểm Ă2; 0; 3), B(4; — 3; 2) và C(0; 2; 5)

c) (a): di qua ba diém AQ; 1; 3), B-1; -2; 4) va C(4; 2; 1)

Viết phương trình mặt phẳng (ơ) biết:

- 8) (œ) đi qua ba điểm Ă1; 1;— 1), B(— 2; — 2; 2) và C(; — 1; 2)

34

b) (œ) đi qua ba điểm AQ; 4; 1), B(—1; — 2; 5) và ca; 731)

c) (a) đi qua ba điểm Ă1; — 2; 4), B(3; 2; —1) và C(—2; 1; —3)

Cho tứ diện ABCD với ĂC7; 9; 1), B(2; -3; 2), C@; 0; 4) và D(6; 2; 5) Gọi

G là trong tâm của tứ điện và I là điêm cách đêu các đỉnh Lập phương trinh

mat phang qua ba diém B, G, Ị

Trang 35

% Vấn dé 3

Viết phương trình mặt phẳng (œ) đi qua điểm A và đường thing d

không chứa điểm Ạ

1 PHƯƠNG PHÁP

= Giả sử đường thẳng d đi qua B và có vectơ chỉ phương là ä

w Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (o) là n= [AB, al = (ny; nạ;na) + qua A (Xo:yq;Zq} w Mặt phẳng (œ) nên phương trình có đạng: nhận ne (a ;n,;n, Ì 1am vipt 1, (x-x9) + (y-yq) +3 (2-2) =0 1, VÍ DỤ - Viết phương trình mặt phẳng đi qua E(— 4; 3; ~2 ) và chứa trục ýOỵ giải Taed: OE =(~4:3;-2), ]=(0;1;0)= [o7] =(2;0;—4)

Mặt phẳng (œ) đi qua E(— 4; 3; ~2 ) và chứa trục Oy

=> (a) 1a mat phẳng qua E và có vectơ pháp tuyến là [oi] =(230;-4)

Trang 36

Te

|S Van dé 4

Viết phương trình mặt phẳng (œ) đi qua hai điểm A, B và song song

với đường thắng d không chứa điểm A và B |

|

L PHUONG PHAP

w Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là ạ

= Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (œ) là n = [ AB.a] =(a;b;c) quăx,:¥9329) (có thể chọn điểm B) / # Mặt phẳng (G) ^ nhận n= (z;b;c]làm vtpt nên phương trỉnh có dạng: ăx-x9)+b(y-yq)+0(z-zp) =0 1 VÍ DỤ

Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm E(1; 3; - 5), F(- 2; — 1; 1) và

song song với trục x'Ox

Ta có: EF=(-3;~%6); ï=(I;0;0)= [EE7]=(064)

+ `

Mặt phẳng (œ) đi qua hai điểm E(; 3; -9); F(-2; -1; 1) va song song với trục x’Ox nén (a) qua E và nhận [mi] =(0;6;4)=2(0; 3; 2) làm vectơ pháp tuyển Phương trình (œ) có dạng: `

0(x~1)+3(ỹ3)+2(z+5) =0 <3y+2z+1=0

IỊ BÀI TẬP

1 Cho tứ diện ABCD với các đỉnh Ă5; 1; 3), Bq; 6; 2), C@; 0; 4) và D(4; 0; 6)

a) Tim phương trình mặt phẳng (ABC)

b) Tìm phương trình của mặt phẳng qua AB va song song với CD,

a) (a) di qua hai diém Ă4; ~1; 1), B(3; 1; -1) va song song voi truc Ox

Trang 37

b) (a) di qua hai diém.C(3; -2; 4), D(1; 3; 6) va song song với trục Oỵ

3 Cho tứ diện ABCD c6 Ă3; 1 5), B(2; 6; 1), C(4; 0; 5) va D(6; 0; 4)

a) Viết phương trình các mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b) Viết phương trình mặt phẳng (œ) qua AB và song song với CD

e) Viết phương trình mặt phẳng () qua trọng tâm-G của tứ điện và nhận Œ

làm hình chiếu của A trên (B): 9 Vấn đề 5 Viết phương trình mặt phẳng (œ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (B) 1.PHƯƠNG PHÁP m Mặt phẳng (B) có veotơ pháp tuyến là ng : m Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (œ) là a= [AB.n, | = (a b; c) (vi ()L@)) , quaĂXu;ya;Zg) (có thể chọn điểm B) ™ Mt phang (a) 3 nhậnn= (a: b;c} lầm vtpt

nên phương trình có dạng: ăx~xg}+b(y=ya}+e(z~Za} =0

Chú ý: Nếu AB cùng phưởng với ng thì bài toán sẽ có vô số nghiệm ‘TL ViDU

Viết phương trình mặt phẳng (a) di qua hai điểm MG; ~2; 5), N1; —1; :3 và vuông góc với mặt phẳng (B):x—3y+2z+4=0

giả ~

Tacó: MN=(-2;1;2), (§): x~3y+2z+4=0 nên (B) nhận nạ =(;~3:2)

Trang 38

Mặt phẳng (œ) đi qua hai điểm M(3; -2; 5) và N(1; —1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (B) quaM(3;—2; 5) Bt phi s > mat phang (0) | anus [Mss]= C429 sm vạt = phương trình (œ) có đạng: —4(x-3)+2(y+2)+5(z—5)=0 © 4x~2y—5z+9 =0 IỊ BÀI TẬP

2) (œ) chứa A2; —1; 4), BG; 2; —I)

và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + 2z— 3 = 0 b) (œ) chứa Ă2; 1; L), BG; 2; 2)

và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y— 5z— 3 = 0 c) (a) chita Ă1; -2; 2), B(-3; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (R): 2x + y ~ z +6=0 2 Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết: a) (a) chira M(2; -4; 1), N(3; —2; —4) và vuông góc với (P):3x+4y—2z—5=0 b) (g) chứa AQ; —1; 2), B(-2; 5; 1) và vuông góc với (Q):2x— 3y—z+6=0 % Van dé 6

Viết phương trình mặt phẳng (œ) đi qua điểm M và vuông gốc với

hai mặt phẳng không song song (P), (Q),

1 PHƯƠNG PHÁP

™ Gia sit hai mặt phẳng (P) và (Q) có vecto pháp tuyển lần lượt là np và nọ

w Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là n= [ng 9 |= (A;B;C) @ì

(œ).L(P), (œ).L(Q)) \

Trang 39

qua (x,:¥93%) " Mặt phẳng (œ) : nhận n =(A;:B;C)làm vtpt ˆ niên phương trình có dạng: Ăx-xạ)+B(ỹya}+C(s—zg) =0 Ị Vi DU

Viét phuong trình mặt phẳng (œ) biết (œ) qua M(3; —1; —5) và vuông góc với

hai mặt phẳng (P):3x—2y +2z+7 <0, (Q):5x—4y+3z+1=0

Giải

Tacó: (P):3x—2y+2z+7 =0 = (P) nhận np =(3;~2;2) làm vipt; (Q):5x—4y+3z+1=0 = (Q) nhận no = (5;—43) làm vớt

Ta có: [mpg | =(Œ;I;—4) Vì (œ) vuông góc với hai mat phang(P) va (Q)

sển (dealin n=| my ng ]=(21;—9 Tim voẻ Ngôi ve, Gs qua Mona

phương trình mặt phẳng (œ) có dạng:

2(x-3)+(y+1)—4(z~5) =0 <9 2x+y—4z-15=0

WỊ BAI TAP

1 'Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

a) (œ) qua M(1;.0; -2) và vuông góc với hai mặt phẳng: (P):2x-+y-z-2=0, (Q):x—ỹz—3=0 b) (0) qua M(_2; 3; 1) và vuông góc với bai mặt phẳng: (P):3x+2y—z—1=0, (Q):2x—5y+4z—7=0, - : ¢) (a) qua M(1; ~2; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng: (P):2y—-z—3=0, (Q):x—3y+z+5=0

Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

a) (œ) qua MQ; ~4; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng: '

{P):x-2y+3z—1=0, (Q):3x+y—2z+5 =0,

Trang 40

b) (a) qua E(~4; 1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng: (P):2x—-3y+5z—4=0, (Q):x+4y-2z+3=0 % van dé 7 Viết phương trình mặt phẳng (œ) đi qua điểm M và song song với| mặt phẳng (B) Ị PHƯƠNG PHÁP

™ Giả sử mặt phăng (B) có vectơ pháp tuyến là n =(A;B;C)

# Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ơ) là n (vi (a)//(B))

quaM{x,;y,3z

= ping (| (oa) |nhận n=(A;B;C) làm vtpt

Định dạng
Số trang	194
Dung lượng	32,48 MB