PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN CỰC HAY

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 Phơng pháp toạ độ trong không gian Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y z 2 (d) : 1 2 1 + = = và điểm I(0; 0; 3). Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm I và cắt (d) tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán đợc chuyển về việc tìm bán kính R của mặt cầu (S). Ta có: Kết hợp với để IAB vuông tại I, suy ra: R IA 2IH= = , với H là hình chiếu vông góc của I trên (d). Nh vậy, cần có đợc toạ độ điểm H. Công việc này đợc thực hiện: Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số theo t để có đợc biểu diễn toạ độ của điểm H theo t. Bớc 2: Sử dụng điều kiện : IH AB uur uuur IH.AB 0 = uur uuur Giá trị của t Toạ độ H. lời giải chi tiết: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (d), suy ra H là trung điểm của AB. Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số: x 1 t (d) : y 2t , t z 2 t = + = = + Ă H(t 1; 2t; t + 2). Sử dụng điều kiện IH vuông góc với AB, ta đợc: IH AB uur uuur IH.AB 0 = uur uuur t 1 + 4t + t 1 = 0 1 t 3 = 2 2 7 H ; ; . 3 3 3 ữ Sử dụng điều kiện IAB vuông tại I, ta đợc: R IA 2IH= = 2 6 . 3 = Từ đó, suy ra: 2 2 2 8 (S) : x y (z 3) . 3 + + = Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y z 2 (d) : 2 1 1 + = = , mặt phẳng (P): x + y 2z + 5 = 0 và điểm A(1; 1; 2). 2 Viết phơng trình đờng thẳng () cắt (d) và (P) lần lợt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ thấy phơng trình đờng thẳng () đợc xác định khi biết đợc toạ độ của M hoặc N bởi: Qua A ( ) : . Qua M Bài toán đợc chuyển về dạng "Tìm điểm thuộc đờng thẳng thoả mãn điều kiện K", ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số theo t để có đợc biểu diễn toạ độ của điểm M theo t. Suy ra toạ độ của N theo t. Bớc 2: Sử dụng điều kiện: N (P) Giá trị của t Toạ độ của M. lời giải chi tiết: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số: x 1 2t (d) : y t , t z 2 t = + = = + Ă M(2t 1; t; t + 2). Sử dụng điều kiện A là trung điểm MN, ta đợc N(2t + 3 ; t 2; t + 2) và: N (P) 2t + 3 t 2 2(t + 2) + 5 = 0 t = 2 M(3; 2; 4). Phơng trình đờng thẳng () đợc cho bởi: Qua A(1; 1; 2) ( ) : Qua M(3; 2; 4) x 1 y 1 z 2 ( ) : . 2 3 2 + = = Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y z (d) : 2 1 2 = = và hai điểm A(2; 1; 0), B(2; 3; 2). Viết phơng trình mặt cầu đi qua A, B và tâm thuộc đờng thẳng (d). Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán thuộc dạng đơn giản khi chỉ cần thực hiện: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số theo t để có đợc toạ độ của tâm I của mặt cầu (S) cần tìm theo t, cụ thể I(1 + 2t; t; 2t). Sử dụng điều kiện: R = IA = IB Giá trị t Toạ độ tâm I và bán kính R Phơng trình chính tắc của mặt cầu (S). lời giải chi tiết: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số: 3 x 1 2t (d) : y t , t . z 2t = + = = Ă Ta lần lợt: I thuộc (d) suy ra I(1 + 2t; t; 2t). A, B thuộc (S) suy ra: IA = IB IA 2 = IB 2 (2t 1) 2 + (t 1) 2 + (2t) 2 = (3 + 2t) 2 + (t 3) 2 + (2t 2) 2 t = 1 I(1; 1; 2). R 2 = IA 2 = 17. Vậy, mặt cầu (S) có phơng trình (x + 1) 2 + (y + 1) 2 + (z 2) 2 = 17. Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 0; 3), M(1; 2; 0). Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A và cắt Ox, Oy lần lợt tại B, C sao cho ABC có trọng tâm thuộc AM. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với mặt phẳng (P) qua A Oz và cắt các trục Ox, Oy tại B, C ta nghĩ ngay tới việc sử dụng "Phơng trình mặt phẳng chắn", từ đó: Giả sử B(b; 0; 0) và C(0; c; 0) rồi suy ra toạ độ trọng tâm G. Lập phơng trình đờng thẳng (AM). Vì G thuộc (AM) ta nhận đợc giá trị của b, c. Từ đó, có đợc toạ độ của B, C. Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, B, C theo "Phơng trình mặt phẳng chắn". lời giải chi tiết: Từ giả thiết ta giả sử B(b; 0; 0) và C(0; c; 0), suy ra ABC có trọng tâm b c G ; ; 1 . 3 3 ữ Phơng trình đờng thẳng (AM) đợc cho bởi: Qua A (AM) : vtcp AM(1; 2; 3) uuuur x y z 3 (AM) : . 1 2 3 = = Vì G thuộc (AM) nên: b c 2 3 6 3 = = b 2 c 4 = = B(2; 0; 0) . C(0; 4; 0) Từ đó, bằng việc sử dụng phơng trình mặt phẳng chắn ta đợc: x y z (P) : 1 2 4 3 + + = (P): 6x + 3y + 4z 12 = 0. Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y 2z + 10 = 0 và điểm I(2; 1; 3). Viết phơng trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đờng tròn có bán kính bằng 4. 4 Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán thuộc dạng đơn giản khi chỉ cần thực hiện: Với H là hình chiếu vông góc của I trên (P), suy ra: IH = d(I, (P)). Gọi R là bán kính của mặt cầu, suy ra: R 2 = IH 2 + r 2 . lời giải chi tiết: Gọi H là hình chiếu vông góc của I trên (P), ta có: IH = d(I, (P)) 2 2 2 2.2 1 2.3 10 2 1 ( 2) + + = + + = 3. Gọi R là bán kính của mặt cầu, suy ra: R 2 = IH 2 + r 2 = 3 2 + 4 2 = 25. Vậy, mặt cầu (S) có phơng trình (x 2) 2 + (y 1) 2 + (z 3) 2 = 25. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y 1 z (d) : 2 1 1 + = = và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 1; 0). Xác định điểm M thuộc (d) sao cho tam giác AMB vuông tại M. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Sử dụng phơng trình tham số của đờng thẳng (d) để có đợc toạ độ điểm I(1 + 2t; 1 t; t). Với điều kiện AMB vuông tại M, suy ra: AM BM uuuur uuur AM.BM 0 = uuuur uuur Giá trị tham số t Toạ độ M. lời giải chi tiết: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d) về dạng tham số: x 1 2t (d) : y 1 t, t . z t = + = = Ă Điểm M thuộc (d) nên M(1 + 2t; 1 t; t). Với giải thiết AMB vuông tại M, suy ra: AM BM uuuur uuur AM.BM 0 = uuuur uuur 2t(1 + 2t) + t 2 + t(t 2) = 0 6t 2 4t = 0 t 0 2 t 3 = = 1 2 M (1; 1; 0) . 7 5 3 M ; ; 3 3 3 ữ Vậy, tồn tại hai điểm M 1 và M 2 thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; 2; 3) và mặt phẳng (P): 2x y z + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. 5 Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán thuộc dạng "Tìm điểm thuộc mặt phẳng thoả mãn điều kiện K" nên ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Giả sử M(x; y; z) thuộc (P) thì 2x y z + 4 = 0. Bớc 2: Từ giả thiết tạo lập một hệ phơng trình với ba ẩn x, y, z rồi giải nó. Bớc 3: Kết luận về toạ độ của điểm M. lời giải chi tiết: Giả sử M(x; y; z) thuộc (P) thì 2x y z + 4 = 0. Kết hợp với giả thiết MA = MB = 3 ta có đợc hệ phơng trình: 2 2 2 2 2 2 2x y z 4 0 (x 2) y (z 1) 9 x (y 2) (z 3) 9 + = + + = + + + = 2 2 2 2x y z 4 0 x y z 2 0 (x 2) y (z 1) 9 + = + + = + + = 2 2 2 x 2y 2 z 3y (2y 2 2) y (3y 1) 9 = = + + = 2 x 2y 2 z 3y 7y 11y 4 0 = = + = y 1 x 0, z 3 . 4 6 12 y x , z 7 7 7 = = = = = = Vậy, tồn tại hai điểm M 1 (0; 1; 3) và 2 6 4 12 M ; ; 7 7 7 ữ thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 4x 4y 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phơng trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Nhiều em học sinh sẽ định hớng đây thuộc dạng toán "Tìm điểm thuộc mặt cầu thoả mãn điều kiện K" bởi nghĩ rằng muốn có phơng trình mặt phẳng (OAB) cần tìm thêm toạ độ điểm B dựa theo giả thiết OAB đều và khi đó các bớc thực hiện sẽ là: Bớc 1: Giả sử B(x; y; z). Bớc 2: Từ giả thiết ta có hệ điều kiện: B (S) OA AB OB = = 2 2 2 2 B (S) AB OA AB OB = = 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z 4x 4y 4z 0 (x 4) (y 4) z 4 4 . (x 4) (y 4) z x y z + + = + + = + + + = + + (I) Giải hệ (I) để nhận đợc x, y, z. Bớc 3: Lập phơng trình mặt phẳng (OAB). Cách giải trên không sai nhng đã bỏ qua các tính chất đặc biệt của giả thiết đó là các điểm O, A đều thuộc mặt cầu (S). Do đó, bài toán này sẽ đợc giải tối u nh sau: Bớc 1: Xác định thuộc tính của mặt cầu (S) với tâm I(2; 2; 2) và bán kính R 2 3.= Bớc 2: Nhận thấy rằng các điểm O, A thuộc (S) và với giả thiết OAB đều nên nó có bán kính đờng tròn ngoại tiếp OA r . 3 = Bớc 3: Từ giả thiết: (OAB) đi qua O nên có dạng: (OAB): ax + by + cz = 0, a 2 + b 2 + c 2 > 0. (*) (OAB) đi qua A nên: 4a + 4b = 0 b = a. (1) Bớc 4: Khi đó, khoảng cách từ I tới (OAB) đợc cho bởi: 2 2 2 2 2 2a 2b 2c R r a b c + + = + + c = ka. (2) Bớc 5: Thay (1), (2) vào (*) ta nhận đợc phơng trình mặt phẳng (OAB). lời giải chi tiết: Mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; 2) và bán kính R 2 3.= Nhận thấy rằng các điểm O, A thuộc (S) và với giả thiết OAB đều nên nó có bán kính đờng tròn ngoại tiếp r đợc cho bởi: OA 4 2 4 6 r . 3 3 3 = = = Từ giả thiết: (OAB) đi qua O nên có dạng ax + by + cz = 0, a 2 + b 2 + c 2 > 0. (*) (OAB) đi qua A nên 4a + 4b = 0 b = a. Khi đó, khoảng cách từ I tới (OAB) đợc cho bởi: 2 2 2 2 2 2a 2b 2c R r a b c + + = + + 2 2 2c 2 3 2a c = + 2 2 3 c 2a c = + 3c 2 = 2a 2 + c 2 c = a. Ta lần lợt: Với c = a thì mặt phẳng (OAB) có dạng: (OAB): ax ay + az = 0 (OAB): x y + z = 0. Với c = a thì mặt phẳng (OAB) có dạng: (OAB): ax ay az = 0 (OAB): x y z = 0. Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (OAB) thoả mãn điều kiện đầu bài. 7 Ví dụ 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 2 y 1 z ( ) : 1 2 1 + = = và mặt phẳng (P): x + y + z 3 = 0. Gọi I là giao điểm của () và (P). Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với () và MI 4 14.= Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán thuộc dạng "Tìm điểm thuộc mặt phẳng thoả mãn điều kiện K" nên ta thực hiện theo các bớc: Bớc 4: Tìm toạ độ giao điểm I của đờng thẳng () với mặt phẳng (P). Giả sử M(x; y; z) thuộc (P) thì 2x y 2 = 0. (1) Bớc 5: Ta lần lợt sử dụng giả thiết: IM () IM.a 0. = uuur uur (2) MI 4 14= MI 2 = 224. (3) Giải hệ tạo bới (1), (2), (3) để nhận đợc x, y, z. Bớc 6: Kết luận về toạ độ của điểm M. lời giải chi tiết: Giả sử M(x; y; z) thuộc (P) và đờng thẳng () có vtcp a (1; 2; 1). uur Toạ độ giao điểm I của đờng thẳng () với mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ: x y z 3 0 x 2 y 1 z 1 2 1 + + = + = = x y z 3 2x y 3 y 2z 1 + + = + = = x = y = z = 1 I(1; 1; 1). Ta có giả thiết: M (P) IM ( ) IM 4 14 = M (P) IM.a 0 IM 224 = = uuur uur 2 2 2 2x y 2 0 1.(x 1) 2(y 1) 1.(z 1) 0 (x 1) (y 1) (z 1) 224 = = + + = 2 2 2 2x y 2 0 x 2y z 2 0 (x 1) (y 1) (z 1) 224 = + = + + = 2 2 2 y 2x 2 z 4 3x (x 1) (2x 2 1) (4 3x 1) 224 = = + + = 2 y 2x 2 z 4 3x x 2x 15 0 = = = x 3, y 7, z 13 . x 5, y 9, z 11 = = = = = = 8 Vậy, tồn tại hai điểm M 1 ( 3; 7; 13) và M 2 (5; 9; 11) thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 2 y 1 z 5 ( ) : 1 3 2 + + = = và hai điểm A( 2; 1; 1), B( 3; 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng đờng thẳng () sao cho MAB có diện tích bằng 3 5. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Với dạng toán "Tìm điểm thuộc đờng thẳng thoả mãn điều kiện K" các bớc thực hiện sẽ là: Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số theo t để có đợc biểu diễn toạ độ của điểm M theo t. Bớc 2: Từ giả thiết MAB có diện tích bằng 3 5 , suy ra: 1 AM; AB 3 5 2 = uuuur uuur Giá trị của t Toạ độ M. Bớc 3: Kết luận về toạ độ của điểm M. lời giải chi tiết: Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số: x t 2 ( ) : y 3t 1 , (t ) z 2t 5 = = + = Ă M(t 2; 3t + 1; 2t 5) (). Từ giả thiết MAB có diện tích bằng 3 5 , suy ra: 1 AM; AB 3 5 2 = uuuur uuur 1 ( t 12; t 6; t) 3 5 2 + = 2 2 2 1 ( t 12) (t 6) t 3 5 2 + + + = 2 2 2 (t 12) (t 6) t 180 + + + + = t 2 + 12t = 0 t 0 t 12 = = 1 2 M ( 2;1; 5) . M ( 14; 35;19) Vậy, tồn tại hai điểm M 1 , M 2 thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y z 3 (d) : 2 1 2 + = = và điểm A(1; 2; 3). Viết phơng trình đờng thẳng () đi qua điểm A, vuông góc với đờng thẳng (d) và cắt trục Ox. Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán thuộc dạng cơ bản trong sgk với các bớc thực hiện là: Bớc 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với (d). Bớc 2: Tìm toạ độ giao điểm B của (P) với Ox. Bớc 3: Lập phơng trình đờng thẳng () đợc cho bởi: 9 Qua A ( ) : . vtpt AB uuur lời giải chi tiết: : Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) thì: d Qua A(1; 2; 3) (P) : vtpt a (2;1; 2) uur (P): 2x + y 2z + 2 = 0. Gọi B là giao điểm của (P) với Ox thì toạ độ của B thoả mãn hệ: 2x y 2z 2 0 y 0 z 0 + + = = = x 1 y 0 z 0 = = = B(1; 0; 0). Khi đó, phơng trình đờng thẳng () đợc cho bởi: Qua A(1; 2; 3) ( ) : vtpt BA(2; 2; 3) uuur x 1 2t ( ) : y 2 2t, t . z 3 3t = + = + = + Ă Ví dụ 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y 3 z ( ) : 2 4 1 = = và mặt phẳng (P): 2x y + 2z = 0. Viết phơng trình mặt cầu có tâm thuộc đờng thẳng (), bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Giải Đánh giá và định hớng thực hiện: Bài toán đợc chuyển về việc tìm điểm I thuộc () sao cho d(I, (P)) = 1 nên ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số theo t để có đợc biểu diễn toạ độ của điểm I theo t. Bớc 2: Từ điều kiện tiếp xúc của mặt cầu (S) với (P), suy ra: d(I, (P)) = 1 Giá trị của t Toạ độ tâm I Phơng trình mặt cầu (S). lời giải chi tiết: Gọi I là tâm của mặt cầu. Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số: x 2t 1 ( ) : y 4t 3, (t ) z t = + = + = Ă I(2t + 1; 4t + 3; t) (). Mặt cầu tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi: d(I, (P)) = R 2 2 2 2(2t 1) (4t 3) 2t 1 2 ( 1) 2t + + + = + + t 2 t 2 = 0 t 1 . t 2 = = Ta lần lợt: 10 [...]... với bài toán trên (tam giác trong không gian) các em học sinh có thể ôn tập đợc hầu hết kiến thức trong bài học "Hệ tọa độ trong không gian" , và trong đó với các câu f), g): ở cách 1, chúng ta nhận đợc phơng pháp chung để thực các yêu cầu của bài toán ở cách 2, bằng việc đánh giá đợc dạng đặc biệt của ABC chúng ta nhận đợc lời giải đơn giản hơn rất nhiều Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(5; 3;... 2 = 2 D = 2 2 2 Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (R 1 ) : x z + 2 2 = 0, (R 2 ) : x z 2 2 = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài Ví dụ 18: Trong không gian tọa độ Oxy, cho hai đờng thẳng: x = t + 3 x 2 y 1 z = = ( 1 ) : y = t , t Ă và ( 2 ) : 2 1 2 z = t Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 bằng 1 Giải 15 Đánh giá và định h ớng thực hiện : Với yêu cầu đợc tổng quát là "Tìm... thẳng (d) là giao điểm của (d) và (P) Từ việc xác định đợc toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d), chúng ta thực hiện đợc việc: Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho độ dài AM ngắn nhất Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua (d), cụ thể ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d) Bớc 2: Suy ra toạ độ điểm A1 từ điều kiện M là trung điểm của AA1 Tuy nhiên,... tích của ABC c Tìm toạ độ điểm D ur ABCD là hình bình hành và tính côsin để u u uu ur góc giữa hai vectơ AC và BD d Tính độ dài đờng cao hA của ABC kẻ từ A e Tính các góc của ABC f Xác định toạ độ trực tâm H của ABC g Xác định toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC Giải a Ta có: uu ur uu ur uu ur uu ur AB (2; 3; 1) và AC (2; 2; 2) AB và AC không cùng phơng Vậy, ba điểm A, B, C không thẳng hàng b Ta lần... bẳng nên: 3 1 1 = 1 1 2 1 1 3 1+ 2 + 2 = 3 2 + 2 = 8 2 = 8 1 1 1+ 2 + 2 b c b b c b c 1 b . cho bởi: 2 1 2 2 MA, u d d(M, ( )) u = = uuuur 2 29t 88 t 68. = + Khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) đợc cho bởi: 2 2 2 2 t 1 2t 12t 18 1 11t 20 d d(M, (P)) . 3 1 ( 2) 2 + = = = + + 20 . Nội Email: nhomcumon 68@ gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546 689 1 Phơng pháp toạ độ trong không gian Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y z 2 (d) : 1 2. c = + + 2 2 1 1 1 3 b c + + = 2 2 1 1 8 b c + = 2 2 8 b = 2 1 b 4 = b 0 1 b . 2 < = Vậy, với 1 b c 2 = = thoả mãn điều kiện đầu bài. 11 Ví dụ 14: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đờng