Một số tính chất của không gian các dãy và không gian co

1 MỤC LỤC Mở đầu Không gian Banach dãy 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Không gian dãy Không gian C0 19 2.1 Sự biễu diễn hữu hạn C[0;1] C0 19 2.2 Cơ sở Schauder C0 24 2.3 Một số tính chất ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị xác định C0 28 2.4 Không gian C0 với thứ tự phận 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Không gian Banach đối tượng nghiên cứu giải tích hàm, có nhiều ứng dụng giải tích nhiều ngành khác tốn học Khơng gian dãy số lp , l∞ , C0 không gian Banach đặc biệt, chúng thường lấy làm ví dụ minh họa cho nhiều khái niệm tính chất khơng gian Banach Vì khơng gian chuyên gia giải tích hàm quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Năm 1999, Godefroy Indumathi nghiên cứu tính xấp xỉ khơng gian C0 Năm 2000, Godefroy Kalton nghiên cứu không gian C0 (N ) Sau đó, năm 2001, Godefroy [3] nghiên cứu cách toàn diện vế C0 Để tập dượt nghiên cứu khoa học, để có hiểu biết khơng gian Banach, chúng tơi tìm hiểu số tính chất không gian dãy, đặc biệt không gian C0 Với mục đích luận văn trình bày thành hai chương Chương Khơng gian Banach dãy Phần đầu chương dành cho việc hệ thống lại số kiến thức cần dùng luận văn không gian định chuẩn, không gian Banach, ánh xạ tuyến tính liên tục, khơng gian liên hợp, Sau đó, chúng tơi xây dựng khơng gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn lp , C0 , l∞ chứng minh số tính chất chúng Chương Khơng gian C0 Đầu tiên, chúng tơi trình bày khái niệm khoảng cách Banach-Mazur, biểu diễn hữu hạn không gian Bacach chứng minh C[0;1] biểu diễn hữu hạn C0 Sau đó, chúng tơi trình bày tồn sở Schauder không gian C0 Xây dựng dạng tổng quát ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị xác định C0 mở rộng tuyến tính liên tục ánh xạ từ không gian Banach khả ly vào C0 Phần cuối chương dành cho việc trang bị thứ tự phận không gian C0 dãy số thực hội tụ tới không chứng minh C0 với thứ tự phận dàn Banach Các kết trình bày luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo Chúng tơi tổng hợp, trình bày lại, chứng minh chi tiết số kết tài liệu chứng minh vắn tắt như: Định lý (2.1.7), Định lý (2.3.5) Định lý (2.3.6) Chứng minh kêt mà tài liệu không chứng minh Mệnh đề (1.2.1), Mệnh đề (1.2.2), Mệnh đề (1.2.3), Mệnh đề (1.2.6), Mệnh đề (2.1.2), Bổ đề (2.3.2) Bổ đề (2.3.3) Bên cạnh đưa chứng minh số kết Mệnh đề (1.2.5), Mệnh đề (1.2.8), Bổ đề (2.1.6), Định lý (2.2.6), Định lý (2.3.4) Định lý (2.4.4) Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hồng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa sau đại học - Trường Đại học Vinh bạn bè, đồng nghiệp, gia đình quan tâm giúp đỡ bảo suốt thơi gian học tập nghiên cứu Mặc dù tác giả cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý bảo thầy giáo, cô giáo, bạn bè đồng nghiệp để từ bổ sung, sửa chữa hoàn thành luận văn tốt Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN BANACH CÁC DÃY Trong chương trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Banach dãy mà cần dùng chương 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử E K-không gian vectơ Một chuẩn E hàm x → x từ E vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y thuộc E, λ thuộc K (1) x ≥ 0, x = x = 0; (2) λx = |λ| x ; (3) x + y ≤ x + y (ii) Khơng gian tuyến tính E với chuẩn gọi khơng gian định chuẩn 1.1.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dãy Cauchy E hội tụ 1.1.3 Định lý ([2]) Nếu E khơng gian định chuẩn 1) Ánh xạ chuẩn x → x liên tục E 2) Phép cộng (x, y) → x + y phép nhân với vô hướng (λ, x) → λx ánh xạ liên tục E × E K × E 1.1.4 Định lý ([1]) Nếu f ánh xạ tuyến tính từ khơng gian định chuẩn E vào khơng gian định chuẩn F mệnh đề sau tương đương (a) f liên tục đều; (b) f liên tục; (c) f liên tục điểm ∈ E ; (d) f bị chặn,tức tồn số k cho f(x) k x với x ∈ E Giả sử E F không gian định chuẩn trường K Kí hiệu L(E, F ) khơng gian ánh xạ tuyến tính từ E vào F.L(E, F ) không gian vectơ K -không gian vectơ L(E, F ) tất ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với f ∈ L(E, F ), đặt f = inf {k : f (x) ≤ k x với x ∈ E} (1.1) 1.1.5 Bổ đề ([1]) 1) Nếu f ∈ L(E, F ) f = sup x∈E x=0 f (x) = sup x x∈E f (x) = sup ||x||≤1 f (x) x∈E ||x||=1 2) Công thức (1.1) xác định chuẩn L(E, F ) 1.1.6 Chú ý (i) Từ (1.1) suy với f ∈ L(E, F ) có f (x) ≤ f x , ∀ ∈ E (ii) Nếu f ánh xạ tuyến tính từ E vào F k số thỏa mãn f (x) ≤ k x , ∀ ∈ E f liên tục f ≤ k Kí hiệu E ∗ = L(E, F ) 1.1.7 Định lý ([1]) Nếu F khơng gian Banach khơng gian L(E, F ) Banach 1.1.8 Hệ ([1]) Nếu E khơng gian định chuẩn E ∗ khơng gian Banach 1.1.9 Định lý ([1]) Giả sử E, F, G không gian định chuẩn, f ∈ L(E, F ) g ∈ L(F, G) Khi g.f ≤ g f 1.1.10 Định nghĩa ([1]) Giả sử E, F hai không gian định chuẩn f : E→F Ánh xạ f gọi đẳng cấu f song ánh, tuyến tính liên tục hai chiều (f f −1 liên tục ) Ánh xạ f gọi đẳng cự f ∈ L(E, F ) f (x) = x với x ∈ E Hai không gian định chuẩn gọi đẳng cấu (đẳng cự) với chúng tồn ánh xạ đẳng cấu (đẳng cự - tương ứng) Hai chuẩn P1 , P2 khơng gian tuyến tính E gọi tương đương ánh xạ đồng i : (E, P1 ) → (E, P2 ) đẳng cấu 1.1.11 Mệnh đề ([2]) Hai chuẩn P1 , P2 tương đương tồn số dương a b cho aP1 (x) ≤ P2 (x) ≤ bP1 (x) với x ∈ E 1.1.12 Định lý (Định lí Hahn- Banach)([1]) Giả sử E không gian vectơ phức, p nửa chuẩn xác định E Nếu f phiếm hàm tuyến tính xác định không gian F E thỏa mãn |f (x)| ≤ p(x) với x ∈ F tồn phiếm hàm tuyến tính f xác định E cho f F = f |f (x)| ≤ p(x) với x ∈ E 1.1.13 Hệ (của Định lí Hahn- Banach)([1]) Nếu F khơng gian không gian định chuẩn E f ∈ F ∗ tồn f ∈ E ∗ cho f F = f f = f 1.1.14 Hệ (của Định lí Hahn- Banach)([1]) Với vectơ v không gian định chuẩn E , v = 0, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f E cho f = f (v) = v 1.1.15 Định lý (ánh xạ mở)([1]) Mọi tồn ánh tuyến tính liên tục f từ không gian Banach E lên không gian Banach F mở, tức tập mở U ⊂ E, f (U ) tập mở F 1.1.16 Hệ ([2]) Nếu E không gian Banach chuẩn E làm cho E trở thành không gian Banach mà so sánh với chuẩn xuất phát tương đương với 1.1.17 Định lý (Nguyên lý bị chặn đều)([1]) Cho E không gian Banach, F không gian định chuẩn {fα }α∈Λ họ ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi với x ∈ F , sup fα (x) < ∞ α∈Λ sup fα < ∞ α∈Λ 1.1.18 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn trường K Ta gọi E ∗ = L(E, K) không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu (thứ nhất) E Ta gọi (E ∗ )∗ không gian liên hợp hay đối ngẫu thứ hai E 1.1.19 Định lý ([1]) Ánh xạ tắc ϕ : E → (E ∗ )∗ với ϕ(x)(f ) = f (x), f ∈ E ∗ tuyến tính thỏa mãn ϕ(x) = x với x ∈ E Do ϕ phép nhúng đẳng cự E vào (E ∗ )∗ ta đồng E với không gian E ∗∗ 1.1.20 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn Ta gọi tôpô yếu nhât tất tôpô E mà chúng ánh xạ f ∈ E ∗ liên tục tôpô yếu E kí hiệu σ(E, E ∗ ) Nếu {xn } dãy E , hội tụ tới x ∈ E theo tơpơ yếu ta nói {xn } w hội tụ yếu tới x kí hiệu xn − → x 1.1.21 Mệnh đề ([1]) Dãy {xn } không gian định chuẩn E hội tụ yếu tới x ∈ E f (xn ) → f (x) với f ∈ E ∗ 1.1.22 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn Ta gọi tôpô yếu tất tôpô E ∗ mà chúng x ∈ E ≡ ϕ(E) ⊂ E ∗∗ liên tục tôpô yếu * E ∗ (ϕ ánh xạ tắc nói Định lý (1.1.19)) Từ Định nghĩa (1.1.20) Định nghĩa (1.1.22) suy tơpơ yếu * E ∗ tơpơ yếu σ(E ∗ , E) Nếu {fn } dãy E ∗ , hội tụ tới f ∈ E ∗ theo tơpơ u * ta viết w∗ fn −→ f 1.1.23 Định lý (Banach- Alauglu)([1]) Nếu E khơng gian định chuẩn hình cầu đơn vị B ∗ = {f ∈ E ∗ , f ≤ 1} compact theo tôpô yếu * 1.1.24 Định nghĩa ([1]) Chuỗi hội tụ chuỗi Giả sử {un } dãy không gian định chuẩn E Khi tổng hình thức ∞ u1 + u2 + + un + := un (1.2) n=1 gọi chuỗi không gian định chuẩn E Phần tử un gọi phần tử tổng quát (1.2) Với n ≤ đặt sn = u1 + u2 + + un sn gọi tổng riêng thứ n (1.2) Chuỗi (1.2) gọi hội tụ dãy tổng riêng hội tụ Giới hạn s dãy tổng riêng gọi ∞ tổng chuỗi ta viết un = s n=1 Nếu dãy tổng riêng khơng hội tụ chuỗi gội phân kì ∞ un = s rn = s − sn gọi phần dư thứ n chuỗi Rõ Nếu n=1 ∞ un+k = s Theo định nghĩa, chuỗi hội tụ rn → ràng rn = k=1 ∞ 1.1.25 Mệnh đề ([2]) Nếu chuỗi un hội tụ lim un = n=1 n→∞ ∞ ∞ 1.1.26 Định lý ([2]) Nếu chuỗi ∞ ứng s t chuỗi hội tụ có tổng tương n=1 (un + ) hội tụ có tổng s + t, với n=1 ∞ λ ∈ K chuỗi số un n=1 λun hội tụ có tổng λs n=1 ∞ 1.1.27 Định nghĩa Chuỗi ∞ dương un gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi số n=1 un hội tụ n=1 ∞ 1.1.28 Định lý ([2]) Nếu E không gian Banach chuỗi ∞ ∞ n=1 ∞ un ≤ un hội tụ chuỗi hội tụ tuyệt đối E chuỗi un n=1 n=1 un n=1 1.1.29 Định lý ([5]) Giả sử {xn } dãy không gian Banach X Khi điều kiện sau tương đương ∞ (i) Chuỗi xπ(n) hội tụ với hoán vị π tập số tự nhiên; n=1 ∞ xni hội tụ với cách chọn n1 < n2 < n3 < ; (ii) Chuỗi n=1 ∞ θn xn hội tụ với cách chọn dấu θn (θn = ±1); (iii) Chuỗi số n=1 (iv) ∀ε > 0, ∃n ∈ N cho xi < ε với tập hữu hạn σ ⊂ N thỏa i∈σ mãn min(i ∈ σ) > n ∞ Một chuỗi un thỏa mãn điều kiện gọi hội n=1 tụ không điều kiện 1.2 Không gian dãy Trong [1], ta biết rằng, không gian ∞ lp = |xn |p < ∞ , {xn } ⊂ K : n=1 C0 = {{xn } ⊂ K : xn → 0}} , 10 l∞ = {{xn } ⊂: supn |xn |} không gian Banach với chuẩn p ∞ x p |xn |p = , x = {xn } ∈ lp , p ≥ 1; n=1 x x = sup |xn | , x = {xn } ∈ C0 ; ∞ = sup |xn | , x = {xn } ∈ l∞ n n Bây giờ, cách thay dãy K bới dãy không gian định chuẩn E bất kì, ta xây dựng khơng gian tương tự lp , C0 , l∞ xét tính chất mối quan hệ chúng Trước hết ta xây dựng không gian lp (E) Giả sử E không gian định chuẩn trường K(K = R hay C), p ≥ Đặt ∞ lp (E) = {xn } ⊂ E : p xn < ∞} n=1 1.2.1 Mệnh đề lp (E) khơng gian tuyến tính với phép toán: x + y = {xn + yn } αx = {αxn }, x = {xn }, y = {yn } ∈ lp (E), α ∈ K ∞ Chứng minh Từ {xn } ∈ lp (E) (nghĩa xn p < ∞) suy n=1 ∞ ∞ p λxn = n=1 ∞ λ p xn p p = |λ| n=1 xn p < ∞ n=1 Do λx ∈ lp Để chứng minh từ x y ∈ lp (E) suy x + y ∈ lp (E) ta dùng bất đẳng thức Schwartz: p ∞ |an + bn |p n=1 p ∞ |an |p ≤ n=1 p ∞ |bn |p + n=1 ∀{an }, {bn } ∈ lp 25 Rõ ràng x Nếu x 1 ≥ với x ∈ X x = x = = tồn khác khơng, từ tính (an ) suy x = Hiển nhiên αx = |α| x tính Pn suy x + y với α ∈ K , với x ∈ K Từ tính tuyến ≤ x 1 + y với x, y ∈ X Vậy chuẩn X Bây giờ, ta chứng minh (X, ) không gian Banach Giả sử (xk )k dãy Cauchy (X, ) với xk = ∞ n=1 akn xn Khi với ε > tồn nε ∈ N cho với k, l ≥ nε ta có n xk − xl (aki − ali )xi < ε = sup i=1 Do với n = 1, 2, với k, l ≥ nε ta có n (akn − aln )xn n−1 (aki = − ali )xi i=1 i=1 n n−1 (aki ≤ (aki − ali )xi − − ali )xi i=1 (aki − ali )xi ≤ 2ε + i=1 Từ bất đẳng thức từ xn = với n suy vỡi n = 1, 2, (akn )k dãy Cauchy K Vì K đầy đủ nên tồn lim akn := an ∈ K; n = 1, 2, k→∞ Do đó, bất đẳng thức n (aki − ali )xi < ε, với k, l ≥ nε ; n = 1, 2, i=1 cố định k ≥ nε , cho l → ∞ ta n (aki − )xi ≤ ε với k ≥ nε ; n = 1, 2, i=1 (2.2) 26 Từ ta có n+l n+l (ai − aki )xi i=n+1 n (ai − aki )xi = (ai − aki )xi ≤ 2ε − i=1 i=1 với k ≥ nε ; n, l = 1, 2, Điều chứng tỏ n+l n+l aki xi xi ≤ 2ε + i=n+1 i=n+1 ∞ Vì i=1 aki xi với k ≥ nε ; n, l = 1, 2, m hội tụ với k nên từ bất đẳng thức suy ( ∞ Cauchy X Từ X không gian Banach suy ( xi )m dãy i=1 xi ) hội tụ X i=1 theo chuẩn Đặt ∞ xi = x ∈ X n=1 Mặt khác từ (2.2) suy n n n aki xi ≤ ε với k ≥ nε xi − sup i=1 i=1 tức x − xk Từ suy x − xk 1 ≤ ε với k ≥ nε → k → ∞ Vậy (X, ) không gian Banach Mặt khác theo công thức xác định x = lim Pn (x) ≤ x n→∞ với x ∈ X Do theo hệ Định lý ánh xạ mở (Hệ (1.1.15)) tương đương vói Vì theo Mệnh đề (1.1.11) tồn số c cho x ≤ c với x ∈ X, tức sup Pn (x) ≥ c x với x ∈ X n Từ suy Pn liên tục với n Pn ≤ c với n Do sup Pn ≤ n c 27 2.2.4 Định nghĩa Giả sử {xn }∞ n=1 sở không gian Banach X (Pn ) phép chiếu tự nhiên liên kết với {xn }∞ n=1 Ta gọi supn Pn số sở {xn }∞ n=1 2.2.5 Định nghĩa Cơ sở {xn }∞ n=1 không gian Banach X gọi ∞ sở không điều kiện với x ∈ X , chuỗi an xn = x hội tụ không điều n=1 kiện 2.2.6 Định lý Khơng gian C0 có sở không điều kiện với số sở Chứng minh Chúng ta nhớ lại, C0 không gian dãy hội tụ tới không với chuẩn x = sup |xn | ∈ C0 n Ta biết với chuẩn C0 không gian Banach Đặt en = (0, , 0, 1, 0, ), vị trí thứ n ; n = 1, 2, Khi {en } sở C0 Thật với x = {xn } ∈ C0 ta có n x− = sup |xi | → n → ∞, xi ei i=1 i>n ∞ ∞ tức x = n=1 ∞ xn en Giả sử tồn {xn } ⊂ K cho x = (xn − xn )en = 0, tức có n=1 n (xi − xi )ei → n → ∞ i=1 hay n sup xi − xi = i≤n (xi − xi )ei → i=1 Do |xi − xi | = với i, tức xn = xn với n Vậy {en } sở C0 n=1 xn en Khi đó, ta 28 Tiếp theo ta chứng minh sở {en } Với n = 1, 2, ta có n xi ei = sup |xi | ≤ x , với x ∈ C0 Pn (x) = i=1 i≤n Do Pn ≤ Mặt khác Pn (e1 ) = nên Pn = Vì sup Pn = n Bây ta chứng minh {en } sở không điều kiện Thật vậy, giả sử ∞ xn en ∈ C0 Khi với ε > tồn n0 ∈ N cho x= n=1 sup |xj | < ε với n ≥ n0 j≥n Giả sử G tập hữu hạn N cho min{i : i ∈ G} ≥ n0 ta có xn en ≤ n∈G xn en = sup |xn | < ε n≥n0 n≥n0 ∞ Do theo Định lý (1.1.29) chuỗi xn en hội tụ không điều kiện Theo n=1 Định nghĩa (2.2.5) {en } sở khơng điều kiện C0 2.3 Một số tính chất ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị xác định C0 Trong mục này, ta trình bày dạng tổng quát ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị xác định C0 mở rộng tuyến tính liên tục ánh xạ từ không gian Banach khả li vào C0 2.3.1 Định nghĩa Giả sử E, F hai không gian định chuẩn T ∈ L(E, F ) Khi đó, ánh xạ T ∗ : F ∗ → E ∗ xác định (T ∗ (y ∗ ))(x) = y ∗ (T (x)) với y ∗ ∈ F ∗ , x ∈ E gọi ánh xạ đối ngẫu T Để Định nghĩa hợp lý ta cần Bổ đề sau 2.3.2 Bổ đề Nếu E, F hai không gian định chuẩn T ∈ L(E, F ) T ∗ ∈ L(E ∗ , F ∗ ) T ∗ = T 29 Chứng minh Với y ∗ ∈ F ∗ , dễ thấy T ∗ (y ∗ ) ánh xạ tuyến tính từ E vào K Mặt khác ta có (T ∗ (y ∗ ))(x) = y ∗ (T (x)) ≤ y ∗ T (x) ≤ y ∗ T x với x ∈ X Do T ∗ (y ∗ ) liên tục, tức T ∗ (y ∗ ) ∈ E ∗ Như T ∗ : F ∗ → E ∗ Giả sử y1∗ , y2∗ ∈ F α, β ∈ K ta có (T ∗ (αy1∗ + βy2∗ )) (x) = (αy1∗ + βy2∗ ) (T (x)) = = αy1∗ (T (x)) + βy2∗ (T (x)) = α (T ∗ (y1∗ )) (x) + β (T ∗ (y2∗ )) (x) = = (αT ∗ (y1∗ ) + βT ∗ (y2∗ )) (x) với x ∈ X Do T ∗ (αy1∗ + βy2∗ ) = αT ∗ (y1∗ ) + βT ∗ (y2∗ ), tức T ∗ ánh xạ tuyến tính Với y ∗ ∈ F ∗ , T ∗ (y ∗ ) ∈ E nên T ∗ (y ∗ ) = sup (T ∗ (y ∗ ))(x) = x =1 = sup y∗ (T (x)) ≤ y ∗ x =1 ∗ sup T (x) x =1 = y T Do T ∗ liên tục T ∗ ≤ T Bây giờ, ta gọi T ∗∗ ánh xạ đỗi ngẫu T ∗ đó, T ∗∗ : E ∗∗ → F ∗∗ với (T ∗∗ (x∗∗ )) (y ∗ ) = x∗∗ (T ∗ (y ∗ )) , x∗∗ ∈ E ∗∗ , y ∗ ∈ F ∗∗ Mặt khác, từ Định lý (1.1.19) suy với x ∈ E đồng với x∗∗ ∈ E ∗∗ x(f ) = f (x) với f ∈ E ∗ Từ suy rằng, với x ∈ E ta có (T ∗∗ (x)) (y ∗ ) = x(T ∗ (y ∗ )) = T ∗ (y ∗ )(x) = y ∗ (T (x)) = (T (x))(y ∗ ), với y ∗ ∈ F ∗ Điều chứng tỏ T ∗∗ E = T Do áp dụng kết chứng minh ta có T = T ∗∗ E ≤ T ∗∗ ≤ T ∗ 30 Vậy T = T ∗ 2.3.3 Bổ đề Nếu E khơng gian định chuẩn dãy hội tụ yếu E bị chặn theo chuẩn w Chứng minh Giả sử {xn } ⊂ E xn − → x ∈ E Khi đó, theo Định lý (1.1.19), E không gian E ∗∗ nên xem {xn } dãy ánh xạ tuyến w tính liên tục từ E ∗ vào K Vì xn − → x nên theo Định nghĩa (1.1.20) vỡi x∗ ∈ E ta có xn (x∗ ) → x(x∗ ) Do {xn (x∗ )} dãy bị chặn Như dãy {xn } bị chặn Do đó, theo nguyên lý bị chặn tồn số C cho xn ≤ C với n, tức {xn } dãy bị chặn theo chuẩn Với n = 1, 2, , ta xác định ánh xạ e∗n : C0 → K e∗n ((tk )) = tn , với (tk ) ∈ C0 , ta viết (tk ) thay cho {tk } Hiển nhiên e∗n ánh xạ tuyến tính Mặt khác |e∗n ((tn ))| = |tn | ≤ sup |tn | = (tk ) với (tk ) ∈ C0 , k∈N nên e∗n liên tục Như e∗n ∈ C0∗ Định lý sau đưa đặc trưng ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach vào C0 2.3.4 Định lý Giả sử X không gian Banach T : X → C0 Khi T w∗ tuyến tính liên tục tồn dãy x∗n ⊂ X ∗ cho x∗n −→ ∈ X T (x) = (x∗n (x)) với x ∈ X Hơn T = sup x∗n n 31 Chứng minh Điều kiện cần Giả sử T ∈ L(X, C0 ) Khi kí hiệu T ∗ : C0∗ → X ∗ ánh xạ đối ngẫu T Nếu đặt T ∗ (e∗n ) = x∗n ; n = 1, 2, ta có{x∗n } ⊂ X ∗ Với x ∈ X , đặt T (x) = (tk ) Vì (tk ) ∈ C0 nên tk → Theo định nghĩa ánh xạ đỗi ngẫu, với x ∈ X ta có x∗n (x) = T ∗ (e∗n )(x) = e∗n (T (x)) = e∗n (tk ) = tn → n → ∞ w∗ Điều chứng tỏ x∗n −→ ∈ X ∗ T (x) = (x∗n (x)) với x ∈ X w∗ Điều kiện đủ Giả sử tồn dãy {x∗n } ⊂ X ∗ cho x∗n −→ ∈ X ∗ T (x) = (x∗n (x)) với x ∈ X Khi từ tính tuyến tính x∗n với n suy T ánh xạ tuyến tính Mặt khác, tơpơ * yếu X ∗ tôpô yếu {x∗n } dãy hội tụ yếu nên theo Bổ đề (2.3.3), {xn } dãy bị chặn theo chuẩn, tức tồn α ∈ R cho x∗n ≤ α với n Do với x ∈ X ta có T (x) = sup |x∗n (x)| ≤ sup x∗n x ≤ α x n n Bất đẳng thức chứng tỏ T liên tục T ≤ sup x∗n n Theo điều kiện cần ta có x∗n = T ∗ (e∗n ) ≤ T ∗ e∗n = T với n Do T = sup x∗n n Giả sử E, F hai không gian Banach, D không gian E f ∈ L(D, F ) Một vấn đề đặt cách tự nhiên mở rộng tuyến tính, liên tục f lên E hay khơng? Tức có tồn f ∈ L(E, F ) cho f D = f Hệ Định lý Hahn- Banach (Hệ (1.1.13)) giải vấn đề trường hợp F = K Nếu D khơng gian trù mật E ánh xạ f tồn ([1] (1.1.13))và f = f Bây giờ, ta giải vấn đề trường hợp F = C0 32 2.3.5 Định lý ([3]) Giả sử X không gian Banach khả li Y không gian X Khi T ∈ L(Y, C0 ) tồn T ∈ L(X, C0 cho (i) T Y = T, (ii) T ≤ T Chứng minh Đặt T ∗ (e∗n ) = yn∗ ; n = 1, 2, ; T ∗ ánh xạ đỗi ngẫu T Theo Định lý (2.3.4) ta có T (y) = (yn∗ (y)), y ∈ Y T = supn yn∗ Vì yn∗ ∈ Y ∗ với n = 1, 2, nên theo Hệ Định lý Hahn- Banach (Hệ (1.1.13)) tồn x∗n ∈ X ∗ cho x∗n Y = yn∗ , x∗n = yn∗ ≤ T với n = 1, 2, Đặt K = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ ≤ T } L = K ∩ Y ⊥ , Y ⊥ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ Y = 0} Như x∗n ∈ K với n = 1, 2, Ta kí hiệu ω ∗ tơpơ yếu * X ∗ Vì X khả li theo Định lý Banach- Alauglu, K compact theo tôpô yếu * nên K mêtric compact Giả sử d mêtric mà sinh tơpơ yếu * K Theo w∗ Định lý 2.3.4 yn −→ Do với y ∈ Y ta có lim x∗ (y) n→∞ n = lim yn∗ (y) = n→∞ Từ {xn } ⊂ K tính compact mêtric K suy tồn dãy {xnj } w∗ {xn } cho xnj −→ x∗ ∈ K Do đó, với y ∈ Y ta có x∗ (y) = lim x∗nj (y) = lim x∗n (y) = 0, nj n→∞ tức x∗ ∈ K ∩ Y ⊥ = L Từ compact K suy d(x∗n , L) dần tới không n → ∞ Do tồn dãy {t∗n } ⊂ L cho w∗ x∗n − t∗n −→ Ta xác định ánh xạ T : X → C0 công thức T (x) = ((x∗n − t∗n )(x)), x ∈ X 33 Từ tính tuyến tính x∗n t∗n suy T ánh xạ tuyến tính Với y ∈ Y , t∗n ∈ L nên t∗n (y) = với n Do đó, với y ∈ Y ta có T (y) = ((x∗n − t∗n )(y)) = (x∗n (y) − t∗n (y)) = = (x∗n (y)) = yn∗ (y) = T (y), tức T Y = T Mặt khác, với x ∈ X ta có T (x) = sup |(x∗n − t∗n )(x)| ≤ sup x∗n − t∗n x n x∗n ≤ x sup( n + t∗n n )≤2 T x Do T liên tục T ≤ T Định lý sau đây, cho ta dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục C0 2.3.6 Định lý ([3]) Không gian C0∗ đẳng cấu, đẳng cự với l1 Chứng minh Đầu tiên, với u = {un } ∈ l1 ta xác định hàm fn : C0 → K công thức ∞ fn ({xn }) = un xn , {xn } ∈ C0 (2.3) n=1 ∞ |un | < ∞ Ta có n=1 |un |.|xn | ≤ |un | sup |xn | = |un | x n với n = 1, 2, x = {xn } ∈ C0 Do chuỗi vế phải (2.3) hội tụ tuyệt đối Như fn xác định ta thấy ánh xạ tuyến tính Mặt khác ta có ∞ |fn ({xn })| ≤ x |un | = x u n với x = {xn } ∈ C0 n=1 Do fn liên tục fn ≤ u Như fn ∈ C0∗ 34 ∞ Vì u n = = lim n→∞ j=1 n=1 |uj | nên với ε > tồn n0 ∈ N cho n0 |uj | > u − ε Đặt b = {bn } với j=1 |un | un với n ≤ n0 un = 0 trường hợp cịn lại bn = Khi đó, b ∈ C0 , b n = n0 |un | > u fn (b) = − ε n=1 Do fn = sup |fn (t)| ≥ u − ε t =1 Vì ε > nên fn ≥ u Do fn = u Bây giờ, ta xác định ánh xạ T : l1 → C0∗ bới T (u) = fn , u ∈ l1 Khi với u, t ∈ l1 (u = {un }, t = {tn }) ta có ∞ (un + tn )xn T (u + t)(x) = fu+t (x) = n=1 ∞ ∞ = un xn + n=1 tn xn = fn (x) + ft (x) n=1 = (T (u) + T (t))(x) với x = {xn } ∈ C0 Do T (u + t) = T (u) + T (x) Tương tự ta có T (αu) = αT (u) với α ∈ K, u ∈ l1 Như T ánh xạ tuyến tính Theo chứng minh T (u) = u với u ∈ l1 T ánh xạ đẳng cự Do để hồn thành chứng minh định lý, ta cần chứng minh T toàn ánh Giả sử f ∈ C0∗ Đặt e∗n = (0, , 0, 1, 0, 0, ); n = 1, 2, ; n 35 un = f (e∗n ); n = 1, 2, u = {un } ∞ Khi đó, với x = {xn } ∈ C0 ta có x = xn en Từ tính liên tục tuyến n=1 tính f ta có ∞ f (x) = ∞ xn f (en ) = n=1 xn un n=1 Với m = 1, 2, ta xác định bm = {bm,n } với |un | un với un = n = 1, m trường hợp lại bm,n = Khi bm ∈ C0 với m = 1, 2, m |un | = |f (bm )| ≤ f bm = f với m = 1, 2, n=1 m |un | ≤ f , tức u = {un } ∈ l1 Mặt khác T (u) = f Do n=1 ∞ xn un = f (x) với x = {xn } ∈ C0 T (u)(x) = n=1 Như T toàn ánh 2.4 Không gian C0 với thứ tự phận Trong mục này, ta trang bị thứ tự phận không gian C0 dãy số thực hội tụ tới không chứng minh C0 với thứ tự phận dàn Banach 2.4.1 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi thứ tự phận X 1) x ≤ x với x ∈ X (tính phản xạ); 2) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = x; x, y, ∈ X (tính đối xứng); 3) Từ x ≤ y y ≤ z suy x ≤ z; x, y, z ∈ X (tính chất bắc cầu) Đơi ta viết x ≥ y thay cho y ≤ x 36 2.4.2 Định nghĩa Giả sử ≤ thứ tự phận X A ⊂ X Phần tử a ∈ X gọi cận hay chặn A x ≤ a với x ∈ X Tập A gọi bị chặn có cận Phần tử a ∈ X gọi cận bé hay cận A a cận A b cân A a ≤ b Tương tự ta định nghĩa cho khái niệm cận dưới, cận A Giả sử x, y ∈ X ta kí hiệu x∨y, x∧y cận đúng, cận tập A = {x, y} Nếu A = {xα : α ∈ I} ⊂ X ta kí hiệu xα , α∈I xα α∈I cận A 2.4.3 Định nghĩa Giả sử X không gian Banach thực X có thứ tự phận kí hiệu ≤ Khi đó, X gọi dàn Banach thỏa mãn 1) x ≤ y kéo theo x + y ≤ y + z với x, y, z ∈ X ; 2) ax ≥ với x ≥ X với a ∈ R, a ≥ 0, ta viết y ≥ x thay cho x ≤ y với x y ∈ X ; 3)Với x, y ∈ X tồn cận nhỏ {x, y}, kí hiệu x ∨ y ; 4)||x|| ≤ ||y|| |x| ≤ |y|, giá trị tuyệt đối |x| x ∈ X xác định |x| = x ∨ (−x) 2.4.4 Định lý Không gian C0 dãy số thực hội tụ tới không dàn Banach Chứng minh Đầu tiên, ta định nghĩa thứ tự phận C0 x ≤ y ⇔ xn ≤ yn với n = 1, 2, x = {xn } y = {yn } phần tử C0 Ta dễ dàng kiểm tra quan hệ vừa định nghĩa thứ tự phận C0 Bây giờ, ta chứng tỏ C0 dàn Banach thỏa mãn Định nghĩa (2.4.3) 37 Giả sử x = {xn }, y = {yn }, z = {zn } phần tử C0 Khi đó, x ≤ y xn ≤ yn với n Do xn + zn ≤ yn + yn , tức x + y ≤ y + z Nếu x ≥ xn ≥ với n Do với a ∈ R mà a ≥ ta có axn với n, tức ax ≥ Đặt tn = max(xn , yn ); n = 1, 2, t = {tn } Khi ≤ |tn | = | max(xn , yn )| ≤ |xn | + |yn | → n → ∞ Do tn → n → ∞, tức t ∈ C0 Hiển nhiên x ≤ t y ≥ t Giả sử u = {un } cho x ≤ u y ≤ u Khi đó, xn ≤ un , yn ≤ un với n = 1, 2, Do đo tn = max(xn , yn ) ≤ un với n = 1, 2, , tức t ≤ u Như u = x ∨ y 38 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau - Tìm đọc tài liệu tham khảo trình bày lại cách có hệ thống việc xây dựng không gian dãy số tính chất chúng Nghiên cứu biểu diễn hữu hạn C[0;1] C0 , tồn sở Schauder C0 , số tính chất ánh xạ tuyến tính liên tục nhận giá trị xác định C0 cuối xây dựng không gian C0 với thứ tự phận thành dàn Banach - Chứng minh cách chi tiết kết mà tài liệu chứng minh cịn vắn tắt là: Định lý (2.1.7), Định lý (2.3.5) Định lý (2.3.6) - Chứng minh kết mà tài liệu không chứng minh là: Mệnh đề (1.2.1), Mệnh đề (1.2.2), Mệnh đề (1.2.3), Mệnh đề (1.2.6), Mệnh đề (2.1.2), Bổ đề (2.3.2) Bổ đề (2.3.3) - Đưa chứng minh số kết mới, là: Mệnh đề (1.2.5), Mệnh đề (1.2.8), Bổ đề (2.1.6), Định lý (2.2.6), Định lý (2.3.4) Định lý (2.4.4) 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tich hàm, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm Giải tich hàm, Nhà xuất Giáo dục [3] Gilles Godefroy(2001), The Banach space C0 , Extracta Mathematicae Vol.16, Núm 1, 1-25 [4] V M Kadets and M L Kadets (1991), Rearrangements of Series in Banach Spaces, American Mathematical Socicty Providence, Rhode Island, Volume86 [5] Joram Lindenstrauss- Lior Tzafriri (1977), Classical Banach spaces I II, Springer- Verlag Berlin Heidelberg New York ... CHƯƠNG KHÔNG GIAN BANACH CÁC DÃY Trong chương trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Banach dãy mà cần dùng chương 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử E K -không gian. .. giờ, cách thay dãy K bới dãy không gian định chuẩn E bất kì, ta xây dựng khơng gian tương tự lp , C0 , l∞ xét tính chất mối quan hệ chúng Trước hết ta xây dựng không gian lp (E) Giả sử E không gian. .. Giả sử E F không gian định chuẩn trường K Kí hiệu L(E, F ) khơng gian ánh xạ tuyến tính từ E vào F.L(E, F ) không gian vectơ K -không gian vectơ L(E, F ) tất ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với f