Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN PHAN THỊ THÚY TÔPÔ YẾU VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn kh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHAN THỊ THÚY

TÔPÔ YẾU VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2012

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến các thầy cô trong tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội

2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khoá luận Đặc biệt em xin

chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trực tiếp hướng dẫn

em, tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khoáluận tốt nghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoahọc nên những vấn đề trình bày trong khoá luận không tránh khỏi những thiếusót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô vàcác bạn sinh viên Một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc

và lời chúc sức khoẻ đến các thầy cô và toàn thể các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Phan Thị Thuý

LỜI CAM ĐOAN

Qua quá trình nghiên cứu khoá luận “Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn” đã giúp em tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích.

Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoahọc

Em xin cam đoan khoá luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực tìm

hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của TS Trần Văn Bằng cũng như các thầy cô trong tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại

học sư phạm Hà Nội 2 Đây là đề tài không trùng với đề tài của các tác giảkhác

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng bạn bè đểkhoá luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 06 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Phan Thị Thuý

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Không gian Tôpô 2

1.2 Ánh xạ liên tục 5

1.3 Không gian Banach 6

1.4 Toán tử tuyến tính 7

Chương 2 Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn 8 2.1 Tôpô yếu 8

2.2 Tôpô yếu* σ (E∗, E) 13

2.3 Không gian phản xạ 19

2.4 Không gian tách được 25

2.5 Không gian lồi đều 30

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành Toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầuthế kỷ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành Toán học cổđiển Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát

từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình

vi phân

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được một

số nội dung hết sức phong phú Những phương pháp và kết quả rất mẫu mựccủa giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành Toán học có liên quan và

có sử dụng đến những công cụ của giải tích và không gian vectơ Ngoài ra nócòn có những ứng dụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật.Khi học bộ môn giải tích hàm, chúng ta sẽ được nhắc đến khái niệm: Khônggian tôpô Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về Không giantôpô cũng như bộ môn giải tích hàm em đã chọn đề tài: “Tôpô yếu và một sốtính chất của không gian định chuẩn” Nghiên cứu đề tài này chúng ta có cơhội tìm hiểu sâu hơn về tôpô, một nội dung khá quen thuộc và bao hàm nhiềutính chất đặc trưng và tổng quát của giải tích hàm

2 Cấu trúc khóa luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luậngồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Tôpô

Định nghĩa 1.1 Cho tập X bất kỳ Ta nói một họ τ những tập con của X là

một tôpô trên X , nếu nó thoả mãn các tính chất sau:

Định nghĩa 1.2 Một tập X cùng với tôpô τ trên X , gọi là không gian tôpô

(X , τ) ( hay không gian tôpô X )

Các tập thuộc họ τ gọi là tập mở Như vậy, cho một tôpô trên một tập X , cónghĩa là qui định rõ những tập con nào đó của X được coi là tập mở và việc quiđịnh nó phải chú ý sao cho: X và /0 đều là mở và giao của một số hữu hạn hoặc

hợp của một số bất kỳ tập mở cũng là tập mở Vì họ tất cả các tập mở trongkhông gian Metric (gồm cả không gian định chuẩn và không gian Hilbert) đều

là không gian tôpô

Định nghĩa 1.3 [So sánh Tôpô]

Khi có hai không gian tôpô τ, τ0 trên X ta nói tôpô τ yếu hơn tôpô τ0 (haytôpô τ0 mạnh hơn tôpô τ) nếu τ ⊂ τ0; nghĩa là mọi tập mở trong tôpô τ đều làtập mở trong tôpô τ0

Trong tất cả các tôpô trên X , tôpô thô là tôpô yếu nhất, tôpô rời rạc là tôpômạnh nhất

Định nghĩa 1.4 [Cơ sở và tiền cơ sở tôpô] Cho τ là một tôpô trên X Một

họ con β của τ gọi là cơ sở của τ nếu mọi tập thuộc τ đều bằng hợp của một

họ thuộc β Nói cách khác, họ con β của τ là cơ sở của τ nếu ∀G ∈ τ, ∀x ∈

Định nghĩa 1.5 [Lân cận] Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X Tập con

V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho

x∈ G ⊂ V Nếu lân cận V của x là tập mở thì V được gọi là lân cận của x.Mọi lân cận của x đều chứa một lân cận mở

Định nghĩa 1.6 Cho không gian tôpô X , tập con A và điểm x ⊂ X

• Điểm x gọi là điểm trong của A nếu có một lân cận V sao cho V ⊂ A

• Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu có một lân cận V sao cho

Cho X là một không gian tôpô và tập con A của X

• Ta gọi phần trong của A là hợp tất cả các tập mở chứa trong A

1.2 Ánh xạ liên tục

Cho X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y , ánh xạ f gọi làliên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận V của f (x) trong Y đều tồn tại lân cận Ucủa x trong X sao cho f (U ) ⊂ V , hay f−1(V ) là một lân cận của x

Vì mọi lân cận đều chứa một lân cận mở nên trong định nghĩa trên ta cóthể thay lân cận là lân cận mở

Ánh xạ là liên tục trên X nếu nó liên tục tại ∀x ∈ X

Định lý 1.1 Mọi ánh xạ f : X → Y , các điều kiện sau tương đương:

a) f liên tục,

b) f−1(G) mở trong X với mọi tập mở trong Y ,

c) f−1(F) đóng trong X với mọi tập F đóng trong Y ,

d) f A
⊂ f (A) với mọi A ⊂ X.¯

Hệ quả 1.1 Hợp thành của các ánh xạ liên tục là ánh xạ liên tục.

Cho ánh xạ f : X → Y , ánh xạ f gọi là mở nếu mọi tập mở G trong X , f (G)

mở trong Y ; gọi là đóng nếu mọi tập đóng F trong X , f (F) là đóng trong Y Một song ánh f : X → Y gọi là một phép đồng phôi nếu f và f−1 đều làánh xạ liên tục

Nếu có một phép đồng phôi f : X → Y thì các không gian X và Y gọi làđồng phôi với nhau

Rõ ràng f là phép đồng phôi thì f−1 cũng là một phép đồng phôi

Hợp thành của các phép đồng phôi là một phếp đồng phôi

Định lý 1.2 Cho f : X → Y là một song ánh, liên tục Khi đó, các điều kiện

sau là tươnng đương:

⇔ f (G) là mở với mọi G trong X

⇔ f là ánh xạ mở

Vậy a) ⇒b)

Tương tự ta có a) ⇒c)

Giả sử X là một tập hợp, {Ys, ξs}s∈Slà một họ không gian tôpô, { fs: X → Ys}s∈S

là một họ ánh xạ fs từ X vào Ys Trong họ các tôpô trên X sao cho tất cả cácánh xạ fs đều liên tục, tồn tại một tôpô yếu nhất Họ ℑ tất cả các tập hợp códạng

ξ được gọi là tôpô đầu xác định bởi họ ánh xạ { fs}s∈S.

Giả sử {(Xs, ξ )}s∈Slà một họ không gian tôpô, Y là một tập hợp, { fs}s∈S làmột họ ánh xạ fs: Xs→ Y Trong tất cả các ánh xạ fs đều liên tục, tồn tại mộttôpô ξ mạnh nhất Với ∀V ⊂ Y,V ∈ ξ khi và chỉ khi với mỗi s ∈ S, fs−1(V ) ∈ ξs

ξ gọi là tôpô cuối xác định bởi họ ánh xạ { fs}s∈S

1.3 Không gian Banach

Định nghĩa 1.7 Không gian vectơ X được gọi là không gian tuyến tính định

chuẩn ( không gian định chuẩn) nếu với mỗi x ∈ X , tồn tại số thực kxk, gọi làchuẩn của x, thoả mãn:

a) kxk > 0

b) kxk = 0 ⇔ x = 0

c) kcxk = |c| kxk , mọi vô hướng c ,∀x ∈ X

d) kx + yk 6 kxk + kyk , ∀x, y ∈ X

Nếu chỉ có tính chất a)c) và d) thì k·k được gọi là một nửa chuẩn

Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn

a) Một dãy các vectơ {xn} trong X hội tụ tới x ∈ X nếu

lim

n→∞kxn− xk = 0,

c) Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không gian định chuẩn đều là dãy Cauchy Tuynhiên, điều ngược lại không đúng.

Ta nói X là không gian đầy nếu nó thoả mãn: mọi dãy Cauchy đều hội tụ.Không gian tuyến tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.9 Dãy {xn} trong không gian Banach X là:

a) Bị chặn dưới nếu in f kxnk > 0,

b) Bị chặn trên nêú sup kxnk < ∞,

c) Chuẩn hoá nếu kxk = 1, ∀n

1.4 Toán tử tuyến tính

Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P (P = K Y C) Ánh xạ

A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thoả mãncác điều kiện:

1) (∀x, x0 ∈ X) , A(x + x0) = Ax + Ax0,

2) (∀x ∈ X ) (∀α ∈ P) , A(αx) = αAx

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính

Khi A chỉ thoả mãn điều kiện 1) thì ta nói A là toán tử cộng tính

Khi A chỉ thoả mãn tính chất 2) thì ta nói A là toán tử thần nhất

Khi Y = P thì toán tử A gọi là phiếm hàm tuyến tính

Chương 2

Tôpô yếu và một số tính chất của không gian định chuẩn

Mệnh đề 2.1 Tôpô yếu σ (E, E∗) là Hausdorff.

Chứng minh. Cho x1, x2 ∈ E, x1 6= x2 Ta chứng tỏ rằng có hai tập mở O1 và

O2 đối với tôpô yếu σ (E, E∗) : x1 ∈ O1 , x2∈ O2 và O1∩ O2 = /0

Theo Định lý Hahn - Banach, tồn tại một siêu phẳng đóng tách ngặt {x1}, {x2}

Do vậy, ∃ f ∈ E∗ và sao cho:

Ta có V là một lân cận của x0 đối với tôpô σ (E, E∗).

Hơn nữa, ta có một cơ sở lân cận của x0 đối với σ (E, E∗) bằng cách cho ε, k

Ta nói dãy (xn) trong E hội tụ về x theo tôpô yếu σ (E, E∗), và viết là : xn* x

Để tránh nhầm lẫn, đôi khi ta nói: “xn * x yếu theo σ (E, E∗)

Để thật rõ ràng, ta sẽ nhấn mạnh sự hội tụ mạnh bằng cách nói xn → x mạnh ,nghĩa là: kxn− xk → 0

Mệnh đề 2.3 Cho dãy (xn) ⊂ E Khi đó:

(i) [xn* x yếu theo σ (E, E∗)] ⇔ [h f , xni → h f , xi ∀ f ∈ E∗]

(ii) Nếu xn → x mạnh, thì xn* x yếu theo σ (E, E∗)

(iii) Nếu xn* x yếu theo σ (E, E∗), thì (kxnk) là bị chặn và kxk ≤ lim infkxnk

(iv) Nếu xn* x yếu theo σ (E, E∗) và nếu fn→ f mạnh trong E∗(k fn− f kE∗ → 0),

|h f , xi| ≤ k f klim infkxnk

Mệnh đề 2.4 Khi E là hữu hạn chiều, tôpô yếu σ (E, E∗) và tôpô thường

trùng nhau Đặc biệt, một dãy (xn) hội tụ yếu nếu và chỉ nếu nó hội tụ mạnh.

Chứng minh. Vì tôpô yếu luôn có số tập mở ít hơn tôpô mạnh, nên ta chỉcần chứng tỏ mỗi tập mở trong tôpô mạnh đều là mở trong tôpô yếu Giả sử

x0∈ E, U là một lân cận của x0 theo tôpô mạnh

Ta phải tìm một lân cận V của x0 theo tôpô yếu σ (E, E∗) sao cho V ⊂ U Nóicách khác ta phải tìm f1, f2, , fk ∈ E∗, ε>0 sao cho :

V = {x ∈ E : |h fi, x − xoi| < ε, ∀i = 1, 2, , k} ⊂ U+) Lấy r > 0 cố định sao cho B (x0, r) ⊂ U Chọn một cơ sở e1, e2, , ek trong

E sao cho: keik = 1, ∀i

k, ta được V ⊂ U

Nhận xét 2.1 Tập mở (tập đóng) đối với tôpô yếu σ (E, E∗) luôn luôn mở

(đóng) đối với tôpô mạnh Trong không gian vô hạn chiều bất kỳ tôpô yếu thực

sự thô hơn tôpô mạnh, tức là tồn tại tập mở theo tôpô mạnh mà không mở theo tôpô yếu Ta có hai ví dụ:

Theo Mệnh đề 2.2, ta luôn có thể giả thiết V có dạng:

Để hoàn thành chứng minh (1), ta chỉ cần chứng tỏ BE-đóng theo

σ (E, E∗) Điều này dễ thấy vì:

với E là không gian vô hạn chiều, không là tập mở theo tôpô yếu

σ (E, E∗) Giả sử, ngược lại, U là mở yếu thì phần bù

UC= {x ∈ E; kxk ≥ 1}

là đóng yếu

⇒ S = BE∩UC cũng đóng yếu ( mâu thuẫn VD1)

Nhận xét 2.2 Trong không gian vô hạn chiều, tôpô yếu là không thể metric

hoá được, tức là không có một metric nào trong E sinh ra tôpô yếu σ (E, E∗).

Tuy nhiên, nếu E∗ là tách được thì ta có thể định nghĩa một chuẩn trong E mà cảm sinh trên các tập hợp bị chặn của E, tôpô yếu σ (E, E∗).

Nhận xét 2.3 Nói chung, trong không gian vô hạn chiều, luôn tồn tại dãy

hội tụ yếu và không hội tụ mạnh Chẳng hạn, nếu E∗ tách được hoặc nếu E là không gian phản xạ thì ta có thể xây dựng một dãy (xn) ⊂ E sao cho:

kxnk = 1 và xn * 0 yếu

Tuy nhiên,cũng có các không gian vô hạn chiều với tính chất mọi dãy hội tụ yếu là hội tụ mạnh Chẳng hạn:

l1 có tính chất đặc biệt , các không gian như vậy là rất hiếm.

Điều này không mâu thuẫn với nhận xét 2.2, ở đó khẳng định rằng trong không gian vô hạn chiều, tôpô yếu và tôpô mạnh luôn phân biệt: Tôpô yếu thực sự thô hơn tôpô mạnh.

Cần nhớ rằng hai không gian metric (hoặc khả metric) với cùng sự hội tụ của các dãy thì có tôpô trùng nhau Tuy nhiên, nếu hai không gian tôpô có cùng sự hội tụ của các dãy thì chưa chắc các tôpô đã trùng nhau.

2.2 Tôpô yếu* σ (E ∗ , E)

Cho tới giờ, ta có hai tôpô trong E∗:

(a) Tôpô thường (mạnh) sinh bởi chuẩn của E∗

(b) Tôpô yếu σ (E∗, E∗∗)

Bây giờ ta định nghĩa một tôpô thứ ba trên E∗, được gọi là tôpô yếu* và kíhiệu: σ (E∗, E)

(* để chỉ tôpô trên không gian đối ngẫu)

Với mỗi x ∈ E, xét phiếm hàm tuyến tính: ϕx : E∗ → R;

f 7→ ϕx( f ) = h f , xi

Khi x chạy khắp trong E ta có họ (ϕx)x∈E các ánh xạ từ E∗ vào R

Định nghĩa 2.2 Tôpô yếu*,σ (E∗, E), là tôpô thô nhất trên E∗sinh bởi họ ánh

xạ ϕ(x)x∈E.

Vì E ⊂ E∗∗ nên tôpô σ (E∗, E) là thô hơn tôpô σ (E∗, E∗∗), tức là tôpô

σ (E∗, E) có ít tập mở hơn tôpô σ (E∗, E∗∗) ⇒ σ (E∗, E) có ít tập mở hơn

tôpô mạnh.

Nhận xét 2.4 Nguyên nhân phải nghiên cứu tôpô yếu* là vì: “ một tôpô thô

hơn sẽ có nhiều tập compact hơn” Chẳng hạn;

Hình cầu đơn vị đóng: BE∗ trong E∗không là tập compact theo tôpô mạnh (trừ khi dimE< ∞), nhưng là tập compact theo tôpô yếu* σ (E∗, E).

Mệnh đề 2.5 Tôpô yếu* σ (E∗, E) là Hausdorff.

Chứng minh. Giả sử f1, f2 ∈ E∗, f1 6= f2 Khi đó, ∃x ∈ E : h f1, xi 6= h f2, xi(không cần tới Định lý Hahn-Banach, mà do f16= f2)

Giả sử rằng: h f1, xi < h f2, xi và chọn α : h f1, xi<α<h f2, xi

Đặt

O1 = { f ∈ E∗; h f , xi < α} = ϕx−1((−∞, α))

O2 = { f ∈ E∗; h f , xi > α} = ϕx−1((α, +∞))Khi đó O1 và O2 là các tập mở trong σ (E∗, E): f1∈ O1, f2 ∈ O2 và

O1∩ O2= /0

Mệnh đề 2.6 Cho f0 ∈ E∗, một tập hữu hạn {x1, x2, , xk} trong E và ε>0,

xét

V = V (x1, x2, , xk; ε) = { f ∈ E∗; |h f − foi| < ε, ∀i = 1, 2, , k}

Khi đó : V là một lân cận của f0 đối với tôpô σ (E∗, E)

Hơn nữa, ta sẽ nhận được một cơ sở lân cận của f0 đối với σ (E∗, E) bằng

cách cho ε, k và các xi trong E thay đổi.

Kí hiệu: Nếu ( fn) ⊂ E∗, fn → f theo σ (E∗, E) thì ta viết : fn * f

Để tránh nhầm lẫn, đôi khi ta nhấn mạnh :” fn * f theo σ (E∗, E)”,

“ fn * f theo σ (E∗, E∗∗)” và “ fn → f mạnh”

Mệnh đề 2.7 Cho ( fn) là một dãy trong E∗ Khi đó:

(i) [ fn * f theo σ (E∗, E) ⇔ [h fn, xi → h f , xi , ∀x ∈ E]

(ii) Nếu fn → f mạnh thì fn * f theo σ (E∗, E∗∗)

Nếu fn * f theo σ (E∗, E∗∗), thì theo σ (E∗, E)

(iii) Nếu fn * f theo σ (E∗, E) thì (k fnk) là bị chặn và k f k ≤ lim infk fnk

(iv) Nếu fn * f theo σ (E∗, E) và nếu xn→ x mạnh trong E, thì

h fn, xni → h f , xi

Nhận xét 2.5 Gỉa sử fn * f theo σ (E∗, E) (hoặc fn* f theo σ (E∗, E∗∗))

và xn * x theo σ (E, E∗) Khi đó, nói chung ta không thể kết luận rằng:

Việc chứng minh dựa vào bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Cho X là một không gian vectơ và ϕ, ϕ1, ϕ2, , ϕk là (k + 1) phiếm

hàm tuyến tính trên X sao cho: [ϕi(v) = 0, ∀i = 1, 2, , k] ⇒ [ϕ (v) = 0] (2)

Hệ quả 2.1 Gỉa sử H là một siêu phẳng trong E∗, đóng theo σ (E∗, E) Khi

ϕ ( f )> α , ∀ f ∈ V (3’)Giả thiết chẳng hạn (3) xảy ra Khi đó ta có :

Nhận xét 2.7 Giả sử đơn ánh chính tắc J : E → E∗∗ không là toàn ánh Khi

đó tôpô σ (E∗, E) là thô hơn hẳn tôpô σ (E∗, E∗∗)

(a) Các tập lồi là đóng mạnh ( thì đóng theo σ (E∗, E∗∗) theo Định lý: " Cho

Clà tập con lồi của E Khi đó, C là đóng theo tôpô yếu σ (E, E∗) ⇔ nó đóngtheo tôpô mạnh."

(b) Các tập lồi là đóng theo σ (E∗, E)

Định lý 2.1 (BANACH- ALAOGLU- BOURBAKI)

Hình cầu đơn vị đóng BE∗= { f ∈ E∗; k f k ≤ 1} là compact theo tôpô σ (E∗, E)

Nhận xét 2.8 Tính compact của BE∗ là tính chất cốt yếu nhất của tôpô yếu*

σ (E∗, E)

Chứng minh. Xét tích đêcac Y = RE bao gồm tất cả các ánh xạ : E → R

Ta kí hiệu các phần tử của Y bởi: ω = (ωx)x∈E với E → R

Không gian Y là được trang bị với tôpô tích - là tôpô thô nhất trên Y sinhbởi họ các ánh xạ: ω 7→ ωx (khi x chạy khắp E) Tất nhiên, tôpô này trùng vớitôpô của sự hội tụ theo từng điểm

Sau đây E∗ luôn được trang bị với tôpô yếu*σ (E∗, E) Vì E∗ bao gồm các ánh

xạ đặc biệt từ E → R (ánh xạ tuyến tính liên tục) nên ta có thể coi E∗ như mộttập con của Y

Cụ thể hơn, gọi Φ: E∗ → Y là đơn ánh chính tắc

Φ ( f ) = (ωx)x∈E với ωx = h f , xi

Rõ ràng, Φ liên tục từ E∗ vào Y

Ánh xạ ngược Φ−1 cũng liên tục từ Φ (E∗) (với tôpô trong Y ) vào E∗

Thật vậy: