Định nghĩa 2.4. Ta nói không gian metricE là tách được nếu∃D⊂E là đếm được và trù mật.
gian hữu hạn chiều là tách được.Lp (vàlp) là không gian tách được. Tuy nhiên,
L∞ vàlp không gian tách được.
Mệnh đề 2.10. ChoE là không gian metric tách được và F ⊂E là tập con bất kỳ. Khi đóF cũng tách được.
Chứng minh. Giả sử (Un) là tập con trù, đếm được của E. (rm) là dãy số dương,rm→0. Chọn điểm bất kỳam,n ∈B(Un,rm)∩F nếu tập này khác rỗng. Khi đó tập(am,n)là đếm được và trù mật trongF.
Định lý 2.6. Giả sử E là không gian Banach. Nếu E∗ tách được thìE là tách được.
Nhận xét 2.13. Điều ngược lại không đúng. Vì E =L1 là tách được nhưng không gian đối ngẫuE∗=L∞ không là tách được.
Chứng minh. Giả sử(fn)n≥1 là đếm được và trù mật trongE∗. Vì
kfnk= sup x∈E
kxk≤1
hfn,xi
nên∃xn∈E sao cho
kxnk=1vàhfn,xni ≥ 1
2kfnk
Ta kí hiệu L0 là không gian vectơ trên Qsinh bởi (xn)n≥1, tức là L0 là không gian tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với các hệ số trongQcủa các phần tử
xn,n≥1.
Ta chứng minh rằngL0 là đếm được.
Thực vậy, với mỗi n ∈ Z , gọi Λn là không gian vectơ trên Q sinh bởi (xk)1≤k≤n. Rõ ràng,Λn là đếm được vàL0= ∪
n≥1Λn.
Kí hiệu Llà không gian vectơ trênRsinh bởi(xn)n≥1. Tất nhiên,L0 là tập con trù mật của L. Ta chứng minh rằng: L là không gian con trù mật của E. Khi đó,L0 sẽ là tập con đếm được trù mật củaE.
Thật vậy, giả sử f ∈E∗ là phiếm hàm tuyến tính liên tục triệt tiêu trên L, Ta phải chứng minh rằng: f =0trên E với∀ε>0,∃N∈N:kf − fNk<ε. Ta có:
1
2kfNk ≤ hfN,xNi=hfN− f,xNi<ε
(Vìhf,xNi=0). Từ đây ta suy rakfk ≤ kf − fNk+kfNk<3ε
Vậy f =0trênE.
Hệ quả 2.5. ChoElà một không gian Banach. Khi đó:E là tách được và phản xạ ⇔E∗ tách được và phản xạ.
Chứng minh. (⇐)Từ Hệ quả 2.2 và Định lý 2.6 ta có:E∗ là phản xạ và tách được ⇒E∗ phản xạ và tách được.
(⇒)Ngược lại,
Nếu E phản xạ và tách được thìE∗∗ =J(E)cũng phản xạ và tách được, do đó
E∗ là phản xạ và tách được.
Tính chất tách được liên quan mật thiết với tính khả metric của tôpô yếu. Ta nhắc lại: không gian X gọi là khả metric nếu có một metric trongX sinh ra tôpô củaX.
Định lý 2.7. ChoE là không gian Banach tách được. Khi đóBE∗ là khả metric theo tôpô yếu* σ(E∗,E). Ngược lại, nếu BE∗ khả metric theo σ(E∗,E)thì E
là tách được.
Đây là một kết quả “đối ngẫu”.
Định lý 2.8. ChoE là một không gian Banach sao cho E∗là tách được. Khi đóBE là khả metric theo tôpô yếuσ(E,E∗)
Ngược lại, nếu BE là khả metric theo σ(E,E∗)thì E∗ là tách được.
CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 2.7:
Chứng minh. Cho(xn)n≥1 là một tập con trù mật củaBE. Với mỗi f ∈E∗ đặt [f] = ∑∞
n=1
1
2n |hf,xni|.
Rõ ràng,[.]là một chuẩn trên[E∗]và[f]≤ kfk. Gọid(f,g) = [f −g]là metric tương ứng.
Ta sẽ chứng minh rằng: tôpô cảm sinh bởi dtrênBE∗ là tôpôσ(E∗,E)hạn chế trên BE∗.
(a) Lấy f0 ∈BE∗ và gọiV là một lân cận của f0 đối vớiσ(E∗,E). Ta sẽ phải chỉ ra một sốr>0sao cho: U ={f ∈BE∗ :d(f,f0)<r} ⊂V. Ta giả sửV có dạng : V ={f ∈BE∗ :|hf − f0,yii|<ε,∀i=1,2, ...,k} vớiε >0vày1,y2, ...,yk ∈E.
Không mất tổng quát, ta giả sử:kyik ≤1, ∀i=1,2, ...,k. Với mỗii, ∃ni∈Z
sao cho: kyi−xnik< ε 4. ( Vì tập(xn)n≥1 trù mật trongBE ) Chọn r>0đủ nhỏ để 2ni.r< ε 2, ∀i=1,2, ...,k. Ta sẽ chứng minh rằng:U ⊂V. Thật vậy, Nếud(f,f0)<rthì ta có: 1 2ni |hf − f0,xnii|<r∀i=1,2, ...,k Do đó, với∀i=1,2, ...,k, |hf − f0,yii|=|hf − f0,yi−xnii+hf − f0,xnii|<ε 2+ ε 2. ⇒ f ∈V
(b). Lấy f0 ∈BE∗. Với r> 0, ta phải chỉ ra có một lân cận V của f0 đối với
σ(E∗,E)sao cho:
V ⊂U = [f ∈BE∗ :d(f, f0)]<r.
Ta chọn
V ={f ∈BE∗ :|hf − f0,xii|<ε,∀i=1,2, ...,k}
d(f,f0) = k ∑ n=1 1 2n |hf −f0,xni|+ ∑∞ n=k+1 1 2n|hf − f0,xni|<ε+2 ∑∞ n=k+1 1 2n = ε+ 1 2k−1. Do vậy, lấyε = r 2 vàkđủ lớn sao cho 1 2k−1 < r 2.
⇒Ta có điều phải chứng minh. +) Ngược lại,
Giả sửBE∗ khả metric theoσ(E∗,E). Ta chứng minh rằng :E là tách được. Đặt: Un= f ∈BE∗ :d(f,0)< 1 n
vàVn là một lân cận của0theoσ(E∗,E)sao cho:Vn ⊂Un. Giả sửVn có dạng:
Vn={f ∈BE∗ :|hf,xi|<εn,∀x∈Φn}
với εn >0vàΦn là tập con hữu hạn củaE. Đặt
D= ∪∞
n=1Φn thìDlà đếm được.
Ta chứng minh rằng: không gian vectơ sinh bởi Dlà trù mật trong E (⇒
E tách được) Thật vậy,
Giả sử f ∈E∗:hf,xi=0,∀x∈D. Khi đó f ∈Vn,∀n, do đó f ∈Un,∀n
⇒ f =0.
CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 2.8:
Chứng minh. E∗ tách được⇒BE khả metric theoσ(E,E∗)là đúng như trên chỉ cần thay đổi vai trò củaE vàE∗.
Nhận xét 2.14. Cần nhấn mạnh lại rằng : không gian vô hạn chiều tôpô yếu
σ(E,E∗) ( tôpô yếu* σ(E∗,E) ) trên E ( tương ứng trên E∗) là không khả metric.
Nói riêng, ta có tôpô sinh bởi chuẩn[.] trên E∗ là không trùng với tôpô yếu*
σ(E∗,E).
Hệ quả 2.6. ChoE là một không gian Banach tách được, (fn)là một dãy bị chặn trongE∗.Khi đó, tồn tại dãy con fnk
hội tụ theo tôpô yếu*σ(E∗,E).
Chứng minh. Không mất tổng quát, giả sửkfnk ≤1,∀n. Tập BE∗ là compact và khả metric đối với tôpô σ(E∗,E)( theo Định lý 2.1 và Định lý 2.7) nên ta có điêù phải chứng minh.
Bây giờ ta có thể chứng minh Định lý 2.3 như sau:
Chứng minh. GọiM0 là không gian vectơ sinh bởi cácxn vàM =M0.
Rõ ràng,M là tách được (xem chứng minh Định lý 2.6). Hơn nữa, M là phản xạ ( xem Mệnh đề 2.9). Do đó BM là compact và khả metric theo tôpô yếu
σ(M,M∗).
VìM∗ là tách được (suy ra từ Hệ quả 2.5 và Định lý 2.8). Do vậy, tồn tại một dãy con xnk
hội tụ yếu theoσ(M,M∗)và do đó xnk
cũng hội tụ yếu theo
σ(E,E∗).