Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Tôpô yếu số không gian tổng quát Lời cảm ơn Khóa luận em hoàn thành với bảo, hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, thầy cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Sim Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiến cứu khóa luận kết riêng thân, trùng lặp với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Hoàng Thị Sim Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Chương I Một số kiến thức chuẩn bị §1 Không gian tôpô 1.1 Định nghĩa không gian tôpô 1.2 Tập đóng .Error! Bookmark not defined 1.3 Cơ sở, lân cận, sở lân cận 1.4 Điều kiện tương đương ánh xạ liên tục 1.5 Tôpô xác định họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff) 1.6 Tập hợp compact §2 Không gian Fréchet 2.1 Sơ chuẩn, nửa chuẩn không gian véctơ 2.2 Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương 2.3 Không gian Fréchet §3 Không gian Banach, không gian Hilbert 3.1 Không gian Banach 3.2 Không gian Hilbert 10 Chương II Tôpô yếu số không gian tổng quát 11 §1 Tôpô yếu không gian Hilbert 11 1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 11 1.2 Sự hội tụ yếu không gian Hilbert 13 §2 Tôpô yếu không gian Banach 14 2.1 Không gian liên hợp 14 2.2 Tôpô yếu 15 2.3 Không gian phản xạ 20 §3 Tôpô yếu không gian véctơ tôpô 24 Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát 3.1 Tôpô yếu*  ( X * , X ) 24 3.2 Không gian tách 27 3.3 Áp dụng 28 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào nửa đầu kỉ XX xem ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Phương trình vi phân… Trong trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích luỹ nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan có sử dụng đến công cụ Giải tích Ngoài ra, có ứng dụng vật lí lí thuyết số lĩnh vực khoa học khác Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu toán học tổng quát trừu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn giải tích hàm, em chọn đề tài “Tôpô yếu số không gian tổng quát” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài thấy phong phú, đa dạng tôpô khác mà cụ thể tôpô yếu tôpô yếu* số không gian Thông qua thấy vai trò quan trọng chúng nhiều vấn đề giải tích ứng dụng chúng vào lĩnh vực khác toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết tôpô yếu không gian tổng quát để thấy thấy phong phú, đa dạng tôpô khác mà cụ thể tôpô yếu tôpô yếu* số không gian Thông qua thấy vai trò quan trọng chúng nhiều vấn đề giải tích ứng dụng chúng vào lĩnh vực khác toán học nói riêng lĩnh vực khoa học khác nói chung Đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu - Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian Fréchet, không gian Banach, không gian Hilbert không gian véctơ tôpô - Các kiến thức liên quan đến tôpô yếu tôpô yếu* Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh… Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức liên quan đến tôpô yếu số không gian tổng quát Bố cục khóa luận Phần mở đầu Nội dung khoá luận gồm hai chương: Chương I Một số kiến thức chuẩn bị Chương II Tôpô yếu số không gian tổng quát Kết luận Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Chương I Một số kiến thức chuẩn bị §1 Không gian tôpô 1.1 Định nghĩa không gian tôpô Định nghĩa 1.1.1 Không gian tôpô cặp ( X , ) , X tập hợp  họ tập X thoã mãn điều kiện sau: i)   X  ii) Nếu G  ,     G    n iii) Nếu G j  , j  1, n G j  j 1 1.2 Tập đóng Định nghĩa 1.2.1 Giả sử ( X , ) không gian tôpô Tập S  X gọi tập đóng X phần bù CS  X \ S tập mở X 1.3 Cơ sở, lân cận, sở lân cận Giả sử ( X , ) không gian tôpô Định nghĩa 1.3.1 Một họ B   gọi sở tôpô  G  , Bi iI  B cho G   Bi iI Định nghĩa 1.3.2 Một tập N gọi lân cận x  X tồn tập U  cho x U  N Định nghĩa 1.3.3 Một họ  lân cận điểm x  X gọi sở lân cận x với lân cận M x tồn N  cho NM Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát 1.4 Điều kiện tương đương ánh xạ liên tục Định lý 1.4.1 Một ánh xạ f từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y liên tục có hai điều kiện đây: i) Nghịch ảnh (bởi f) tập mở (trong Y ) tập mở (trong X ) ii) Nghịch ảnh (bởi f) tập đóng (trong Y ) tập đóng (trong X ) 1.5 Tôpô xác định họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff) Định nghĩa 1.5.1 Giả sử X tập hợp, gian tôpô,  f s : X  Ys sS Y   s, s sS họ không họ ánh xạ từ tập hợp X vào không gian tôpô Ys Khi tồn tôpô yếu  yếu X cho ánh xạ f s , s  S liên tục Họ gồm tập hợp dạng n  f s 1(Vs ), si  S ,Vs  s ,(i  1, n) i i i i i 1 sở tôpô tôpô  Tôpô  gọi tôpô đầu xác định họ ánh xạ  f s sS Định nghĩa 1.5.2 Một không gian tôpô X gọi không gian Hausdorff x  y  X , Ox , Oy  cho x  Ox , y  Oy Ox  Oy   Ví dụ Không gian metric không gian Hausdorff 1.6 Tập hợp compact Định nghĩa 1.6.1 Giả sử ( X , ) không gian tôpô Tập K  X gọi compact với phủ mở K có phủ hữu hạn Chú ý i) Ảnh tập compact qua ánh xạ liên tục tập compact Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát ii) Hai trường hợp đầu mút:     x, tôpô rời rạc, có dãy không đổi hội tụ x X   , X  , tôpô thô (hay tôpô không rời rạc), dãy hội tụ iii) Tổng quát, tập mở khó hội tụ Bây giờ, giả sử i : X  Yi , i  I ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian Yi Liệu tôpô yếu X mà làm cho tất i liên tục? Hiển nhiên, phải chứa i 1 (Oi ) , Oi tập mở Yi , từ mở rộng cho hợp tuỳ ý giao hữu hạn tập mở Bởi vậy, nhận câu trả lời là:     1 i (Oi ) , Oi tập mở Yi tuỳ ý hữu hạn §2 Không gian Fréchet 2.1 Sơ chuẩn, nửa chuẩn không gian véctơ Giả sử X không gian véctơ thực phức Định nghĩa 2.1.1 Một sơ chuẩn X ánh xạ p : X  thỏa mãn điều kiện: i)  ( x  y )   ( x )   ( y ), x, y  X ii)  ( x)   ( x), x  X ,   0,   Định nghĩa 2.1.2 Một nửa chuẩn X ánh xạ p : X  thỏa mãn điều kiện: i)  ( x  y )   ( x )   ( y ), x, y  X Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát ii)  ( x)    ( x ), x  X ,   iii)  ( x)  0, x  X 2.2 Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương Định nghĩa 2.2.1 Ta nói tôpô  không gian véctơ X gọi tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tôpô đó, tức nếu: i) x  y hàm liên tục hai biến x, y ; cụ thể, với lân cận V điểm x  y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x ' U x , y ' U y x '  y ' V ii)  x hàm liên tục hai biến  , x ; cụ thể, với lân cận V  x có số   lân cận U x cho    '   , x ' U  ' x ' V Định nghĩa 2.2.2 Một không gian véctơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô Định nghĩa 2.2.3 Một không gian véctơ tôpô X gọi không gian lồi địa phương X có sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi Trong không gian lồi địa phương, sở lân cận cho tập có dạng   1 , , N ;  x  X : i ( x)   , i  1, , N Một sở lân cận điểm x0 thuộc X cho tập có dạng   1 , , N ;  x  X : i ( x  x0 )   , i  1, , N Tính chất Một ánh xạ tuyến tính T liên tục C  cho T ( x )  C ( 1 ( x)   1 ( x )) Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Chứng minh () Giả sử T liên tục mạnh Giả sử f  Y * , lấy tập  (Y , Y * ) có dạng f 1 ((a, b))  Y Khi T 1 ( f 1 (( a, b)))  ( f 0T ) 1 (( a, b)) Nhưng f 0T : X  Y tuyến tính liên tục Do đó, ( f 0T )1 ( a, b) mở  ( X , X * ) , nghịch ảnh tập mở qua ánh xạ liên tục tập mở Do đó, T liên tục yếu () Đảo lại, giả sử T liên tục yếu (T ) đóng yếu (nghĩa đóng  ( X  Y ,( X  Y )* ) Do (T ) đóng mạnh Do đó, T liên tục mạnh theo nguyên lí đồ thị đóng 2.3 Không gian phản xạ Định nghĩa 2.3 Không gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ X  X ** Nhận xét Không gian phản xạ không gian Banach Định lí l.3.1 (Định lí Kakutani) Giả sử X không gian Banach Khi hình cầu đơn vị đóng, BX   x  X :| x  1 compact tôpô yếu  ( X , X * ) X phản xạ Trước chứng minh định lí cần chứng minh bổ đề Helley bổ đề Goldstein Bổ đề Helley Giả sử X không gian Banach, f1 , , f n  X * 1 , , n  Khi đó, điều kiện sau tương đương: 1,   0, x , x  cho: Hoàng Thị Sim f i , x   i   , i  1, n 20 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát n n 2, i ,   i i  i 1  f i i i 1 X * Chứng minh (1)  (2) Từ (1) nhận thấy i : n n  fi , x   i i     i i i 1 i 1 n  n i 1 n  ii  i 1 n  i f i , x    i  i 1 i 1 n n  i fi , x    i  i 1 i 1 n  n  f Nhưng x X x i i i 1 X X*    i i 1  Bởi vậy, giả sử   thì: n n  i i 1 i   f i i i 1 X * (2)  (1) Ta chứng minh phản chứng  Giả sử  ( x )  ( f1 ( x), , f n ( x) )  Khi (1 , , n )   ( BX ) , từ (1 , , n )    tập compact   ( BX ) đóng, lồi Áp dụng định lí Haln- Banach có       cho        ( x), x  BX Bởi vậy: n n x  BX ,   i i     i fi , x i 1 i 1 Thay x  x biểu thức ta nhận được: n n   i f i ( x)    i 1 Hoàng Thị Sim 21   i i i 1 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Lấy cận x  BX ta có: n n   i fi   X* i 1   i i i 1 Điều mâu thuẫn với giả thiết (2)  Từ ta có điều phải chứng minh Bổ đề Goldstine J ( BX ) trù mật BX **  ( X , X * ) , J : X  X ** , J ( x)  x, Chứng minh Chúng ta chứng minh   BX ** , lân cận   ( X , X * ) giao với J ( BX ) n Thật vậy, lấy n  f   i i i 1 X*   X   i i Chúng ta giả sử lân cận : i 1 ** :  , f Khi đó, x  BX cho x   , f i i    , fi  X * , i  1, n   , i  1, n hay không? Điều tương fi , x   , fi   với i hay đương với câu hỏi x  BX cho không? Giả sử  i   , f i Theo bổ đề Helley, điều xảy n n  ii i i 1  f i i 1 X * n n Khi   BX ** , i ,  i f i ,  i 1  f i i i 1 X * Nhưng  i   , f i  , có: n  ii  i 1 n  i fi ,  i 1 Hoàng Thị Sim n  n  i fi , i i 1  f 22 i i 1 X  * Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Bây chứng minh định lí Kakutani Chứng minh định lí Kakutani () Nếu X phản xạ, áp dụng định lí Banach-Alaoglu với X * Khi đó, X  ( X * )* đáp án ta cần () Chúng ta cần X **  X Nhưng điều tương đương với việc J ( BX )  BX ** tính tuyến tính J Theo định lí 1.2.5, T toán tử tuyến tính liên tục mạnh-mạnh liên tục yếu-yếu Do đó, J liên tục từ  ( X , X * ) vào  ( X ** , X *** ) Điều mạnh tồn liên tục J từ  ( X , X * ) đến  ( X ** , X *** ) X ***  X * Do đó, J liên tục từ  ( X , X * ) đến  ( X ** , X * ) Từ ta có J ( BX ) compact  ( X ** , X * ) , đóng Bởi vậy, theo bổ đề Goldstein ta có J ( BX ) trù mật BX ** đóng Suy J ( BX )  BX ** Điều chứng tỏ J ( X )  X ** X  phản xạ Hệ 2.3.1.1 Nếu M không gian đóng không gian phản xạ X , M phản xạ Chứng minh BM tập compact yếu tập compact BX tập lồi Do đó, BM compact yếu Suy ra, M phản xạ Hệ 2.3.1.2 Giả sử X không gian Banach phản xạ Nếu C tập đóng( yếu mạnh), lồi, bị chặn C compact  ( X , X * ) Chứng minh C đóng yếu C  mBX , với m  Khi mBX compact  ( X , X * ) C compact  ( X , X * ) Hoàng Thị Sim 23 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Định lý 2.3.2 Giả sử X không gian Banach phản xạ  ( x)   , hàm lồi, nửa liên tục từ tập đóng, lồi A vào (-,+) cho A bị chặn lim  ( x)   Khi  đạt giá trị nhỏ xA, x  A Chứng minh Trước hết cần nhớ lại tính chất sau: “Một hàm nửa liên tục nhận giá trị nhỏ tập compact” Giả sử    ( x0 )   với vài x0 Khi đó, ta định nghĩa: A   x  A :  ( x)   A tập lồi, đóng mạnh (  nửa liên tục dưới) Do đó, A đóng yếu Do giả thiết bị chặn ta có tập compact yếu Do đó,  lồi, nửa liên tục nên nửa liên tục yếu Vì vây,  nhận giá trị nhỏ A Do A  A nên  nhận giá trị nhỏ  A §3 Tôpô yếu không gian véctơ tôpô 3.1 Tôpô yếu*  ( X * , X ) Giả sử X không gian Banach trường K ( K = K = ) Trên X * định nghĩa tôpô yếu  ( X * , X ** ) Nhưng X  X ** Bởi vây, có vài phần tử yếu tôpô yếu Từ đưa định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1.1 Tôpô yếu*  ( X * , X ) X * định nghĩa tôpô đầu sinh họ ánh xạ  x  xX , x : X *  K Hoàng Thị Sim 24 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Như vậy, tôpô yếu*  ( X * , X ) tôpô yếu X * đảm bảo tất ánh xạ f  f ( x) liên tục Vì X  X ** nên tôpô  ( X * , X ) yếu tôpô  ( X * , X ** ) , tức tôpô  ( X * , X ) có tập mở tôpô  ( X * , X ** ) tôpô  ( X * , X ) tập mở tôpô mạnh Định lý 3.1.1  ( X * , X ) Hausdorff Chứng minh Nếu f1 , f  X * f1  f , x  X cho f1 ( x)  f ( x) ,  cho f1 ( x)    f ( x) Do vậy, ta định nghĩa tập sau: O1   f  X * : f ( x)    ; O2   f  X * : f ( x)    O1; O2 mở  ( X * , X ) chứa f1 , f  Một sở lân cận f  ( X * , X ) cho tập có dạng:   x1 , , xn ;  f  X * : ( f  f )( xi )   , i  1, n yếu* * yêu Chúng ta nói, f n   f ( f n hội tụ yếu* tới f ) f n  f  ( X * , X ) Nói cách khác, x  X , f n ( x)  f ( x) Tính chất yếu* * yêu f n   f  x  X , f n ( x )  f ( x ) f n  f X * yếu yêu  f n  f  ( X * , X ** ) yếu** yêu  f  ( X * , X )  f n  Nếu yếu* yếu* * yêu f n   f f n X* bị chặn f n X*  liminf f n X* yếu* yếu** yêu Nếu f n   f xn  x X , f n ( xn )  f ( x ) Hoàng Thị Sim 25 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Định lý 3.1.2 ( Định lí Banach-Alaoglu) Giả sử X * đối ngẫu không gian Banach X Khi BX *   f  X * : f X*  1 compact tôpô yếu* Chú ý Nếu cho trước tính compact không suy dãy compact Nó không gian metric hóa So sánh với định lí Riesz phát biểu hình cầu đơn vị không gian Banach compact mạnh số chiều hữu hạn Chứng minh định lí Banach-Alaoglu Định lí Tychonoff phát biểu tích không gian compact compact tôpô tích Áp dụng định lí Tychonoff A   B(0, x X ) compact xX tôpôtích Các phần tử A phép gán x  g ( x) Bởi vậy, chúng hàm số x thỏa mãn g ( x)  x X Giả sử A tập A chứa tất hàm số tuyến tính Do đó, ta viết:  A x , yX Ax , y   B , x , đó: xX ,R Ax , y   f  A : f ( x  y )  f ( x)  f ( y )  0 Bx ,   f  A : f ( x)   f ( x)  0 Đây tập đóng tôpô tích, A tập đóng tập compact, A compact tôpô tích Nhưng tôpô tích A tôpô yếu* Do đó: A  BX * compact  ( X * , X ) Hoàng Thị Sim 26  Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát 3.2 Không gian tách Định nghĩa 3.2.1 X tách X có tập đếm được, trù mật Định lý 3.2.1 BX * metric hóa tôpô  ( X * , X ) X tách được, với metric cho bởi:   f  g , xn  n n 1 d ( f , g)   đó, dãy  xn n tập đếm được, trù mật X Chú ý BX * metric hóa X * Hệ 3.2.1 Giả sử X tách được, giả sử   X * Khi đó, tồn dãy f nk k  fn n dãy bị chặn hội tụ yếu* Chứng minh Chúng ta giả sử  f n n  BX * Theo định lí Banach-Alaoglu, BX * compact yếu* Khi BX * metric  hóa theo định lí 3.2.1, có BX * dãy compact Định lý 3.2.2 Giả sử X không gian phản xạ  xn n dãy bị chặn   , X tồn dãy xnk k hội tụ  ( X , X * ) Chứng minh X phản xạ  BX compact Giả sử M = Bề rộng  x1 , x2 ,  Khi đó, M không gian Banach tách được, phản xạ Bởi vậy, BM compact  ( X , X * ) Do đó, rút dãy hội tụ  Chú ý Hai kết rằng, không gian phản xạ X , BX đồng thời compact dãy compact Hoàng Thị Sim 27 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát 3.3 Áp dụng 3.3.1 Không gian Lp ' Với  p   đối ngẫu Lp Lp với 1   Liệu hội tụ yếu p p' ' Lp nào? Câu trả lời là: Lp  g  Lp ,  f g   fg n Nhớ lại định nghĩa hội tụ mạnh Lp  fn  f p  Ví dụ 3.3.1.1  Xét  f n ( x)  sin nxnZ đoạn  0;1 Khi g  C  0;1 ,  sin nx.g ( x)dx  yếu ' yêu Do C  trù mật Lp , thấy sin nx  Lp ( hội tụ yếu)  Mặt khác C  cho: n,  sin nx dx  C Do  f n  p L ( hội tụ mạnh) Ví dụ 3.3.1.2 Với  p   , Lp phản xạ tách Do hình cầu đơn vị B1 yếu dãy compact yếu Ví dụ 3.3.1.3  ( L1 )*  L ( L )* Ù L1 Trường hợp ( L )* =  Tập hàm đo bị chặn   Một hai L1 L phản xạ  L1 tách được, L không  L1 không đối ngẫu không gian Hoàng Thị Sim 28 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát  BL1 không đóng yếu Do đó, không compact yếu (lấy xấp xỉ nhận thấy BL1  B độ đo  BL compact yếu*, không compact yếu theo định lí Kakutani (vì L không gian phản xạ) 3.3.2 Phương trình đạo hàm riêng Giả sử tìm nghiệm toán phương trình đạo hàm riêng sau: u  u u  u  f  u  đó,  tập mở, bị chặn   (*) , f trơn Phương pháp tính biến phân Chúng ta muốn cực tiểu hóa lượng: F (u )  1 u   u   u   fu  2 3 2  Giả sử u có cực tiểu hóa F Khi đó, g  C  () ( g  ) , đặt  (t )  F (u  gt ) d dt t 0  (t )  ,  (t )   (0), t F (u  gt )  1 (u  gt )   u  gt   u  gt   f (u  gt )  2 3 2  F (u  gt )  1 ( u  2ug )   ( u  3tg u u )  2 3  0 Hoàng Thị Sim ( u  2tgu )   ( fu  tg  O(t ))  2  d dt t 0 F (u  gt )   (u.g  g u u  ug  fg )  29 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Lấy tích phân số hạng vế ý g triệt tiêu  , nhận được:   [( u ) g  g u u  ug  fg ]    [  u  u u  u  f ]g  Do g phần tử tùy ý C  , phải tìm u để giải (*) theo ý nghĩa hàm suy rộng Bởi vậy, tổng kết lại cực tiểu hóa phương trình: F (u )  1  u  u  u   fu     cho ta nghiệm yếu dạng: u  u u  u  f  u    Bây định nghĩa F hàm không gian Soboler H 01 () Trước hết, chuẩn H 01 () cho bởi: u H 01 (  )   ( u  u )  Với chuẩn này, H 01 () trở thành bao đóng C  () Ngoài ra, định nghĩa H 01 () tập hàm số u  L2 () có đạo hàm yếu u L2 () u   Trường hợp Nếu dim  1, H  C Chứng minh y Giả sử u  H , u ( x)  u ( y )   u ' (t ) dt x Hoàng Thị Sim 30 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát y y Do đó: u ( x)  u ( y )   u ' (t )dt  y  x x Cauchy-Schwartz Do đó, u  C mũ Holder 0, '  u (t ) dt  C u H 01 (  ) x , tập hàm số Holder liên tục với số Trường hợp Nếu dim  2, p*   Khi H  Lp , p   Nếu dim  , ta có H  Lp , p  Chú ý Trong trường hợp phép nhúng H  Lp compact (phép nhúng phép toán compact) Nghĩa B (0,1) H qua ánh xạ tập compact Lp Sự biến đổi từ hội tụ yếu sang hội tụ mạnh Nói cách khác, yếu yêu un  u (hội tụ yếu) H un  u (hội tụ mạnh) Lp , p   Trở lại vấn đề, chưa trả lời giá trị nhỏ Lp đạt đâu Trước hết, ta kiểm tra F thỏa mãn điều kiện bức, nghĩa F   u H 01 (  )   , u : F (u )  1 tập bị chặn không rỗng (vì F (0)  ) Chứng minh F thỏa mãn điều kiện F (u )  với   1  u  u  u   fu     Nếu u  H 01 () u  Lp (), p   Đặc biệt u  L3 () Bởi vậy: F (u )  đó, u H 01 (  )  u Hoàng Thị Sim L2 (  ) u 2 H 01 (  )  f L2 (  ) u L2 (  ) Do đó: 31 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát F (u )  u H 01 (  )  u H (  )  f L2 (  ) u H (  ) 0    số hạng nhóm bị chặn  f x2 xét hàm x   f  f L2 (  ) L2 (  ) x có cực tiểu x  f Do đó, F (u )  F (u )   u H 01 (  ) L2 (  ) u H 01 (  ) Nhận thấy rằng, L2 (  ) nhận giá trị  C với C độc lập với u Do  Bổ đề 3.3.2 F nửa liên tục yếu Chứng minh Chú ý hàm số sau liên tục mạnh lồi: u 2 ( u  u )  4 u u  3 u    fu  Do đó, F nửa liên tục yếu lồi Do theo định lí 1.3.2, F đạt giá trị nhỏ H 01 () Hoàng Thị Sim  32 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát KẾT LUẬN Giải tích hàm nói chung lý thuyết tôpô yếu nói riêng có vai trò quan trọng giải tích Trong khóa luận tập trung nghiên cứu tôpô yếu số không gian tổng quát vài ứng dụng Khóa luận trình bày trọng tâm tôpô yếu số tính chất quan trọng chúng, sau trình bày vài ứng dụng tôpô yếu Khóa luận bao gồm hai chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Chương II: Tôpô yếu số không gian tổng quát Khóa luận em hoàn thành thời gian ngắn hiểu biết thân hạn chế nên chắn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý cảm thông sâu sắc từ phía thầy cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ giải tích, thầy cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hoàng Thị Sim 33 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] GS.TSKH.Nguyễn Văn Khuê GS.TSKH Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm (tập 1), NXB GD [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG HN [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa Học Kỹ Thuật HN [4] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB GD [5] A.N.Conmogogrop X.V.Fomin (1971), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm (tập 1), NXB GD [6] Alexander C.R.Belton (2006), Functional Analysis Hoàng Thị Sim 34 Lớp K34C SP Toán [...]... tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu X * Hoàng Thị Sim 14 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát Như vậy, không gian liên hợp X * của không gian định chuẩn X là không gian Banach Không gian liên hợp của không gian X * gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X ** , các không gian liên... SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát iii) H là không gian Banach với chuẩn x  x, x , x  H Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H Chương II Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát §1 Tôpô yếu trong không gian Hilbert 1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục Giả sử H là không gian Hilbert Với mỗi phần tử cố định... đóng trong tôpô tích, bởi vậy A là một tập con đóng của một tập compact, do đó A là compact trong tôpô tích Nhưng tôpô tích trên A là tôpô yếu* Do đó: A  BX * là compact trong  ( X * , X ) Hoàng Thị Sim 26  Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát 3.2 Không gian tách Định nghĩa 3.2.1 X là tách được nếu X có một tập con đếm được, trù mật Định lý 3.2.1 BX * là metric hóa được trong. .. Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát Vì vậy lim x, en  0  x,0 , x  H n Để ý rằng dãy  en  không hội tụ ( theo chuẩn ) đến 0 bởi vì: en  0  en  1, n  Từ đó ta có điều cần chứng minh Như vậy, qua ví dụ trên ta thấy được rằng tôpô yếu trong không gian Hilbert vô hạn chiều thực sự yếu hơn tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn) yếu yêu Định lý 2.2.1 Trong không gian Hilbert H... vị B1 là yếu và dãy compact yếu Ví dụ 3.3.1.3  ( L1 )*  L nhưng ( L )* Ù L1 Trường hợp này ( L )* =  Tập các hàm đo được bị chặn   Một trong hai L1 hoặc L là phản xạ  L1 là tách được, nhưng L thì không  L1 không là đối ngẫu của bất kì không gian nào Hoàng Thị Sim 28 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát  BL1 không là đóng yếu Do đó, nó không là compact yếu (lấy xấp... gian Hilbert 3.1 Không gian Banach Định nghĩa 3.1.1 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới phần tử của X Hoàng Thị Sim 9 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát 3.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 3.2.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường, K ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X vào K... K Hoàng Thị Sim 24 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát Như vậy, tôpô yếu*  ( X * , X ) là tôpô yếu nhất trên X * đảm bảo tất cả các ánh xạ f  f ( x) đều liên tục Vì X  X ** nên tôpô  ( X * , X ) yếu hơn tôpô  ( X * , X ** ) , tức là tôpô  ( X * , X ) có ít tập mở hơn tôpô  ( X * , X ** ) và do đó tôpô  ( X * , X ) ít tập mở hơn tôpô mạnh Định lý 3.1.1  ( X * , X )... Sim 8  Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát 2.3 Không gian Fréchet Định nghĩa 2.3.1 Một không gian Fréchet là một không gian lồi địa phương metric hóa được và đủ Ví dụ 2.3.1 Lớp Schwartz S các hàm giảm nhanh:  S f: n  Với mỗi f  S , ta xác định: f  : sup x   f ( x)  C ,  ,   x n    ,  sup x   f ( x) x Tập S * (đối ngẫu của S  không gian các phiếm hàm tuyến... X , f n ( x )  f ( x ) 2 f n  f trong X * yếu yêu  f n  f trong  ( X * , X ** ) yếu* * yêu  f trong  ( X * , X )  f n  3 Nếu yếu* yếu* * yêu f n   f thì f n X* bị chặn và f n X*  liminf f n X* yếu* yếu* * yêu 4 Nếu f n   f và xn  x trong X , thì f n ( xn )  f ( x ) Hoàng Thị Sim 25 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát Định lý 3.1.2 ( Định lí Banach-Alaoglu)... đóng yếu chứa B Chúng ta nhận thấy rằng nó chính là B Vậy B là tập đóng yếu  Ví dụ BX   x  X : x  1 không là mở yếu Nó có phần trong rỗng, do đó mọi lân cận yếu của x0  BX đều chứa một phần tử của S Hoàng Thị Sim 18 Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát Định lý 2.2.4 Giả sử C  X là một tập lồi Khi đó, C là đóng yếu khi và chỉ khi C là đóng mạnh Chứng minh () Khi mở yếu ... II Tôpô yếu số không gian tổng quát Kết luận Hoàng Thị Sim Lớp K34C SP Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Chương I Một số kiến thức chuẩn bị §1 Không gian tôpô 1.1 Định nghĩa không gian tôpô. .. Toán Tôpô yếu số không gian tổng quát Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết tôpô yếu không gian tổng quát để thấy thấy phong phú, đa dạng tôpô khác mà cụ thể tôpô yếu tôpô yếu* số không gian. .. x, x , x  H Ta gọi không gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian Hilbert H Chương II Tôpô yếu số không gian tổng quát §1 Tôpô yếu không gian Hilbert 1.1 Phiếm