Toán tử compact trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— NGUYỄN THỊ MINH NGỌC TOÁN TỬ COMPACT TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— NGUYỄN THỊ MINH NGỌC TỐN TỬ COMPACT TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG VINH - 2009 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Tốn tử compact khơng gian định chuẩn 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Tốn tử compact khơng gian định chuẩn 1.3 Phổ toán tử compact 15 Chương Tốn tử compact khơng gian Hilbert 22 2.1 Không gian Hilbert 22 2.2 Tốn tử compact khơng gian Hilbert với sở trực chuẩn đếm 27 2.3 Biểu diễn Schmidt toán tử Hilbert - Schmidt 34 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích hàm đóng vai trị quan trọng giải tích nhiều lĩnh vực khác Tốn học Một hướng nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết tốn tử Lý thuyết toán tử giúp cho việc nghiên cứu sâu không gian định chuẩn, đặc biệt không gian Hilbert Theo đó, việc mở rộng kết ánh xạ (toán tử) compact phát triển bước đưa cho nhiều kết thú vị Mục đích chúng tơi tìm hiểu nghiên cứu tính chất tốn tử compact khơng gian định chuẩn nói chung khơng gian Hilbert nói riêng Trong trọng tới phổ toán tử compact mối quan hệ toán tử compact, toán tử Hilbert - Schmidt toán tử hạch khơng gian Hilbert Với mục đích luận văn trình bày thành hai chương Chương Tốn tử compact không gian định chuẩn Phần đầu chương dành cho việc hệ thống lại số kiến thức cần dùng luận văn Trong phần tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất tốn tử compact khơng gian định chuẩn Sau đó, chúng tơi trình bày số đặc trưng phổ toán tử compact khơng gian Banach Chương Tốn tử compact không gian Hilbert Đầu tiên nhắc lại số khái niệm tính chất không gian Hilbert mà chúng cần dùng sau Sau chúng tơi trình bày số tính chất tốn tử compact khơng gian Hilbert với sở trực chuẩn đếm Các kết chủ yếu tài liệu tham khảo đưa dạng tập Phần cuối chương dành cho việc trình bày biểu diễn Schmidt tốn tử compact, tính chất mối quan hệ toán tử compact, Hilbert - Schmidt toán tử hạch khơng gian Hilbert Các kết trình bày luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo Chúng tơi tổng hợp, trình bày lại, chứng minh chi tiết số kết tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt như: Mệnh đề 2.3.8, Nhận xét 1.2.2, Hệ 1.2.7, Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.2.15, Hệ 2.3.5 Chứng minh số kết mà chúng tập tài liệu tham khảo Bổ đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Định lý 2.2.4 Bên cạnh chúng tơi đưa chứng minh Nhận xét 2.3.11, Định lý 2.3.12 Định lý 2.3.17 Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hồng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh bạn bè, đồng nghiệp, gia đình quan tâm giúp đỡ bảo suốt thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù tác giả cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên luận văn chắn khơng tránh khỏi có thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý bảo thầy giáo, cô giáo, bạn bè đồng nghiệp để từ bổ sung, sửa chữa hoàn thành luận văn tốt Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƯƠNG TỐN TỬ COMPACT GIỮA CÁC KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN Trong phần này, ta đưa khái niệm, tính chất với công thức sử dụng tồn luận văn Các khái niệm, tính chất trình bày tài liệu tham khảo luận văn Trong suốt luận văn, ký hiệu K trường vô hướng (K = R K = C), (xn )n (xn ) dãy có số hạng tổng quát xn , từ "ánh xạ" "toán tử" nghĩa 1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử E K-không gian vectơ Một chuẩn E hàm x → x từ E vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y thuộc E, λ thuộc K (1) x ≥ 0, x = x = 0; (2) λx = |λ| x ; (3) x + y ≤ x + y (ii) Khơng gian tuyến tính E với chuẩn gọi khơng gian định chuẩn 1.1.2 Định nghĩa Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dãy Cauchy E hội tụ 1.1.3 Định lý Giả sử f ánh xạ tuyến tính từ khơng gian định chuẩn E vào khơng gian định chuẩn F Khi mệnh đề sau tương đương (a) f liên tục đều; (b) f liên tục; (c) f liên tục điểm ∈ E; (d) f bị chặn, tức tồn số k > cho f (x) ≤ k x với x ∈ E 1.1.4 Mệnh đề Giả sử E F không gian định chuẩn trường K Ký hiệu L(E, F ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F L(E,F) không gian vectơ K-không gian vectơ L(E, F ) tất ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với f ∈ L(E, F ), đặt f = inf{k : f (x) ≤ k x với x ∈ E} (1) 1.1.5 Bổ đề 1) Nếu f ∈ L(E, F ) f = sup x∈E x=0 f (x) = sup x x∈E x ≤1 f (x) = sup f (x) x∈E x =1 2) Công thức (1) xác định chuẩn L(E,F) 1.1.6 Chú ý (i) Từ công thức (1) Mệnh đề 1.1.4, f ∈ L(E, F ) có f (x) ≤ f x , ∀x ∈ E (ii) Nếu f ánh xạ tuyến tính từ E vào F k số thỏa mãn f (x) ≤ k x , ∀x ∈ E f liên tục f ≤ k Ta viết E ∗ thay cho L(E, K) 1.1.7 Định lý Nếu F không gian Banach khơng gian L(E,F) Banach 1.1.8 Định nghĩa Không gian thực H không gian định chuẩn E gọi siêu phẳng E F không gian E chứa H F = H F = E 1.1.9 Định lý H siêu phẳng E H = f −1 (0) với phiếm hàm tuyến tính f ∈ E ∗ = L(E, K), f = Phiếm hàm f gọi phương trình siêu phẳng H Nếu g phương trình khác H tồn α ∈ K cho g = αf 1.1.10 Định lý (Riesz) Một không gian định chuẩn E compact địa phương có chiều hữu hạn 1.1.11 Định nghĩa Một tập A khơng gian định chuẩn E gọi tồn vẹn tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn A trù mật E, có nghĩa ký hiệu spanA = {x ∈ E : ∃a1 , , an ∈ A, n ∈ N n αi } spanA = E Ta nói dãy (an ) ⊂ E tồn vẹn với x = i=1 tập phần tử dãy toàn vẹn 1.1.12 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn trường K E ∗ = L(E, K) không gian liên hợp E (i) Tôpô yếu E để ánh xạ f ∈ E ∗ liên tục gọi tôpô yếu E Lấy điểm x ∈ E Để ánh xạ f liên tục x điều kiện cần đủ tập dạng ∪(f, x, ε) = {y ∈ E : |f (y) − f (x)| < ε} tập mở Gọi σ tôpô yếu E σ tơpơ sinh họ tập nói trên, tức tơpơ bao gồm tất hợp tùy ý giao hữu hạn tập Một cách cụ thể W ∈ σ x ∈ W tồn hữu hạn hàm f1 , , fn ∈ E ∗ ε > cho U (f1 , f2 , , fn , x, ε) ⊂ W , h ∪(fi , x, ε) = {y ∈ E : sup |fi (y) − fi (x)| < ε} U (f1 , f2 , , fn , x, ε) = 1≤i≤n i=1 w (ii) Dãy (xn ) ∈ E gọi hội tụ yếu đến x ∈ E, ký hiệu xn −→ x, lân cận yếu U x tồn n0 cho xn ∈ U với n ≤ n0 Nói w cách khác xn −→ x f1 , f2 , , fp ∈ E ∗ , ε > tồn số n0 cho xn ∈ U (f1 , f2 , , fp , x, ε) với n ≥ n0 1.1.13 Bổ đề Dãy (xn ) không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến x ∈ E f (xn )→f (x) với f ∈ E ∗ 1.1.14 Mệnh đề Nếu E, F hai không gian định chuẩn f ∈ L(E, F ) f ánh xạ liên tục yếu 1.1.15 Định nghĩa Giả sử E không gian Banach K Ký hiệu L(E) = L(E, E) không gian Banach toán tử liên tục E với chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục L(E) khơng khơng gian Banach mà cịn đại số với phép nhân phép hợp thành thỏa mãn g.f ≤ g f , g, f ∈ L(E) Đại số gọi đại số Banach Đại số có phần tử đơn vị tốn tử đồng 1E Phần tử f ∈ L(E) gọi khả nghịch tồn g ∈ L(E) cho gf = f g = 1E Tập G(E) phần tử khả nghịch L(E) tập tự đẳng cấu E 1.1.16 Định nghĩa Giả sử D tập mở trường K f : D→E hàm D với giá trị không gian Banach E trường K Hàm f gọi giải tích D với λ0 ∈ D tồn r > cho ∞ an (λ − λ0 )n với λ mà |λ − λ0 | < r, an ∈ E f (λ) = n=0 Rõ ràng f : D→E giải tích µ.f : D→K giải tích với µ ∈ E ∗ 1.1.17 Định nghĩa Giả sử E không gian Banach f ∈ L(E) Ta nói λ ∈ K giá trị quy f λ − f khả nghịch, viết λ − f thay cho λ1E − f Trong trường hợp ngược lại ta nói λ giá trị phổ f Ký hiệu S(f ) σ(f ) tập tất giá trị quy phổ f 1.1.18 Định lý Giả sử E khơng gian Banach trường K Khi phổ σ(f ) f ∈ L(E) tập compact hàm R(f ) : λ → (λ − f )−1 giải tích S(f) Ngồi K = C σ(f ) = ∅ 1.1.19 Hệ Nếu f ∈ L(E) (i) σ(f ) ⊂ {λ : |λ| ≤ f } (ii) d(λ, σ(f )) ≥ (λ−f )−1 ,với λ ∈ S(f ), d(λ, σ(f )) = inf{|λ − z| : z ∈ σ(f )} 1.1.20 Định nghĩa Giả sử E, F hai không gian định chuẩn A ∈ L(E, F ) Ta xác định ánh xạ A : F ∗ →E ∗ công thức (A (f )(x)) = f (A(x)) với f ∈ F ∗ với x ∈ E Ánh xạ A gọi ánh xạ đối ngẫu hay liên hợp A Ta chứng minh A tuyến tính liên tục A = A 1.1.21 Mệnh đề Cho E không gian Banach, A ∈ L(E) Khi σ(A) = σ(A ) 1.1.22 Mệnh đề Giả sử M không gian không gian định chuẩn E x ∈ E với δ = d(x, M ) = inf{ x − y : y ∈ M }, tồn f ∈ E ∗ thỏa mãn f = 1, f (x) = δ f M = 1.2 TỐN TỬ COMPACT GIỮA CÁC KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN Mục trình bày khái niệm số tính chất ánh xạ compact không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Giả sử E F khơng gian định chuẩn Ánh xạ (tốn tử) tuyến tính f : E→F gọi tốn tử compact ảnh f (B) hình cầu đơn vị đóng B E compact tương đối F , nghĩa f (B) tập compact 1.2.2 Nhận xét Mọi tốn tử compact liên tục Chứng minh Vì f toán tử compact nên f (B) tập compact Do f (B) bị chặn, tức tồn số k cho N = N0 tùy theo σ(A) hữu hạn hay vô hạn Hơn nữa, Aen = λn en với n ∈ N Ta định nghĩa Px := (x|en )en Khi P phép chiếu trực giao H n∈N lên H0 : span{en : n ∈ N } Với x ∈ H0⊥ ta có (Ax|en ) = (x|Aen ) = λn (x|en ) = 0, với n ∈ N Như Ax ∈ H0⊥ Do A H0⊥ compact tự liên hợp H0⊥ giá trị riêng Theo Bổ đề 2.3.1 ta có A H0⊥ = 0, H0⊥ ⊂ N (A) Từ suy Ax = APx = ∀x ∈ H λn (x|en )en , n∈N Với N = N0 hiểu diễn chọn Nếu N = {0, , n0 } λn = với n > n0 ta phép biểu diễn theo Mệnh đề 2.1.16 Từ Định lý Pythagoras Bất đẳng thức Bessel, với x ∈ H k ∈ N , k Ax − ∞ λn (x|en )en n=0 |λn (x|en )|2 = n=k+1 ≤ ( x sup |λn |)2 n>k Vì (λn )n∈N0 dãy hội tụ nên chuỗi cho hội tụ theo chuẩn toán tử tuyến tính liên tục 2.3.3 Mệnh đề Với A ∈ K(H, G) tồn dãy (Sn )n∈N0 [0, ∞], giảm hội tụ tới hệ trực chuẩn (en )n∈N0 H, (fn )n∈N0 G cho ∞ A= Sn (.|en )fn n=0 chuỗi hội tụ theo chuẩn tốn tử tuyến tính liên tục Chứng minh Vì A compact nên A∗ A toán tử compact tự liên hợp với λ ∈ σ(A∗ A)\{0} x thuộc N (λI − A∗ A) Với x = 1, λ = (λx|x) = (A∗ Ax|x) = (Ax|Ax) ≥ 36 Như vậy, theo Mệnh đề 1.3.7, σ(A∗ A) bị chứa [0, A ] Theo Mệnh đề 2.3.2, tồn dãy hội tụ 0, giảm dần (Sn )n∈N0 hệ trực chuẩn (en )n∈N0 H cho ∞ ∗ Sn2 (.|en )en A A= (1) n=0 Cho n ∈ N0 với Sn > 0, ta xác định fn := Sn−1 Aen Khi với n, m ∈ N0 , Sn > 0, Sm > thỏa mãn 1 Sn2 ∗ (fn |fm ) = (Aen |Aem ) = (A Aen |em ) = (en |em ) Sn Sm Sn Sm Sn Sm = δn,m Nếu N = {n ∈ N0 : Sn > 0} tập hữu hạn ta mở rộng hệ trực chuẩn (fn )n∈N thành hệ trực chuẩn (fn )n∈N G Với y ∈ H, y⊥en n ∈ N0 , theo (1) ta có Ay = (Ay|Ay) = (A∗ Ay|y) = Như vậy, từ xác định (fn )n∈N0 trường hợp, với x ∈ H, ta có ∞ ∞ Ax = A x − (x|en )en n=0 n=0 ∞ ∞ = (x|en )Aen = n=0 (x|en )en +A Sn (x|en )fn n=0 ∞ Sn (.|en )fn hội tụ Như chứng minh Mệnh đề 2.3.2 ta có chuỗi n=0 theo chuẩn tốn tử tuyến tính liên tục 2.3.4 Định nghĩa Nếu A ∈ K(H, G), ta gọi phép biểu diễn A Mệnh đề 2.3.3 phép biểu diễn Schmidt A 2.3.5 Hệ Mọi toán tử compact A : H→G giới hạn L(H, G) dãy tốn tử hữu hạn chiều, có nghĩa K(H, G) = F (H, G), F (H, G) khơng gian tốn tử hữu hạn chiều từ H vào G 37 Chứng minh Giả sử A có biểu diễn Schmidt ∞ A= Sn (.|en )fn n=0 Đặt n An = Sm (.|em )fm ; n = 0, 1, 2, m=0 Khi theo Định lý 1.2.12, An ∈ F (H, G) với n = 0, 1, 2, Mặt khác, theo Mệnh đề 2.3.3 (An ) hội tụ tới A L(H, G) Do A ∈ F (H, G) ta kết luận K(H, G) ⊂ F (H, G) Theo Mệnh đề 1.2.13 F (H, G) ⊂ K(H, G) Do F (H, G) ⊂ K(H, G) = K(H, G) Dấu cuối suy từ G Banach Định lý 1.2.8 Vậy K(H, G) = F (H, G) Chú ý Nếu E khơng gian Banach phát biểu Hệ 2.3.5 khơng cịn trường hợp tổng qt Bởi vì, vào năm 1973 Enflo chứng tỏ tồn không gian Banach E cho F (E) = K(E) ∞ 2.3.6 Định nghĩa Nếu A = Sn (.|en )fn phép biểu diễn Schmidt n=0 A ∈ K(H, G) hai hệ trực chuẩn (en )n∈N0 (fn )n∈N0 không Tuy nhiên dãy (Sn )n∈N0 xác định cách Điều khẳng định suy từ Mệnh đề 2.3.2 (Sn )2n∈N0 dãy giá trị riêng đơn điệu giảm toán tử compact tự liên hợp ∞ ∗ Sn2 (.|en )en A A= n=0 Ta gọi (Sn )n∈N0 dãy số kỳ dị toán tử compact A viết (Sn (A))n∈N0 2.3.7 Bổ đề Với A ∈ K(H, G) n ∈ N0 Sn (A) = inf { A − B : B ∈ L(H, G), dimR(B) ≤ n} =: αn (A) Chứng minh Từ Bất đẳng thức Bessel, với n ∈ N0 x ∈ H, ta có n−1 Ax − Sj (x|ej )fj j=0 ∞ Sj2 |(x|ej )|2 ≤ Sn2 x ≤ j=n 38 Như αn (A) ≤ Sn Bây chứng minh Sn ≤ αn (A), với B ∈ L(H, G) dimR(B) ≤ n Thật vậy, giới hạn B lên span{e0 , , en } có hạt nhân không tầm thường n Như tồn y = ξj ej với y = By = Bây theo Định lý j=0 Pythagore n A−B ≥ (A − B)y = Ay Sj ξj fj j=0 n = j=0 Sj2 |ξj |2 ≥ Sn2 2.3.8 Mệnh đề Các số kỳ dị tốn tử compact khơng gian Hilbert có tính chất sau (1) (Sn (A))n∈N0 dãy giảm dần 0, với S0 (A) = A , với A K(H, G) (2) (Sn (λA))n∈N0 = (|λ|Sn (A))n∈N0 , với λ ∈ K A ∈ K(H, G) (3) Sm (A) = với A ∈ L(H, G), với dimR(A) ≤ m (4) (Sn (A∗ ))n∈N0 = (Sn (A))n∈N0 , với A ∈ K(H, G) (5) Sm+n (A + B) ≤ Sm (A) + Sn (B) với tất m, n ∈ N0 , A, B ∈ K(F, G) (6) Sn (SAT ) ≤ S Sn (A) T , với n ∈ N0 S ∈ L(G, H), A ∈ K(F, G), T ∈ L(E, F ) (7) S2n (AB) ≤ Sn (A)Sn (B), với n ∈ N0 , A ∈ K(F, G), B ∈ K(E, F ) Chứng minh (1) Từ Bổ đề 2.3.7 suy rằng, với A ∈ K(H, G) ta có Sn (A) ≤ Sn+1 (A) với n = 0, 1, Do (Sn (A))n∈N0 giảm dần Cũng theo 2.3.7 ta có S0 (A) = inf { A − B : B ∈ L(H, G), dimR(B) = 0} = inf { A − B : B ∈ L(H, G), B = 0} = A (2) Với A ∈ K(H, G) với λ ∈ K, λ = 0, theo Bổ đề 2.3.7 ta có 39 Sn (λA) = inf { λA − B : B ∈ L(H, G), dimR(B) ≤ n} 1 = inf {|λ| A − B : B ∈ L(H, G), dimR B λ λ λ = |λ|inf { A − T : T ∈ L(H, G), dimR(T ) ≤ n} ≤ n} = |λ|Sn (A); n = 0, 1, Hiển nhiên Sn (λA) = |λ|Sn (A) = với λ = 0; n = 0, 1, (3) Giả sử m = 0, 1, 2, A ∈ L(H, G) với dimR(A) ≤ m Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.13, A ∈ K(H, G) Theo Bổ đề 2.3.7 ta có ≤ Sm (A) = inf { A − B : B ∈ L(H, G), dimR(B) ≤ m} ≤ A − A = Do Sm (A) = ∞ (4) Nếu A = Sn (.|en )fn phép biểu diễn Schmidt A A∗ = n=0 ∞ Sn (.|fn )en phép biểu diễn Schmidt A∗ Từ ta có (4) n=0 (5) Nếu A, B ∈ K(H, G), m, n ∈ N0 ε > cho trước từ Bổ đề 2.3.7 suy tồn A0 , B0 ∈ L(H, G) với dimR(A0 ) ≤ m, dimR(B0 ) ≤ n, cho A − A0 ≤ Sm (A) + ε ε B − B0 ≤ Sn (B) + Vì dimR(A0 + B0 ) ≤ m + n nên theo Bổ đề 2.3.7 ta có Sm+n (A + B) ≤ A + B − (A0 + B0 ) ≤ Sm (A) + Sn (B) + ε Do ε > nên từ bất đẳng thức suy (5) (6) Cho n ∈ N0 ε > 0, chọn A0 chứng minh (5) Khi dimR(SA0 T ) ≤ m, từ Bổ đề 2.3.7 ta có Sm (SAT ) = SAT − SA0 T ≤ S ≤ S (Sm (A) + ε) T Từ suy (6) 40 A − A0 T (7) Giả sử A ∈ K(F, G), B ∈ K(E, F ) n ∈ N0 Với ε > 0, tồn A0 ∈ L(F, G) với dimR(A0 ) ≤ n A − A0 ≤ Sn (A) + ε Tương tự tồn B0 ∈ L(E, F ) với dimR(B0 ) ≤ n B − B0 ≤ Sn (B) + ε Từ (A − A0 )(B − B0 ) = AB − A0 (B − B0 ) − AB0 , dim(A0 (B − A0 ) + AB0 ) ≤ 2n, suy S2n (AB) ≤ A − A0 B − B0 ≤ (Sn (A) + ε)(Sn (B) + ε) Vì ε > 0, bé tùy ý nên ta có điều phải chứng minh 2.3.9 Định nghĩa Giả sử E, F hai không gian định chuẩn A ∈ L(E, F ) A gọi toán tử hạch tồn dãy (an ) ⊂ E ∗ , (yn ) ⊂ F cho ∞ an y n < ∞ n=1 ∞ an (x)yn , Ax = x ∈ E n=1 2.3.10 Định nghĩa Giả sử A ∈ K(H, G) A gọi toán tử Hilbert ∞ Schmidt (Sn (A))2 < ∞, (Sn (A))n dãy số kỳ dị A n=0 2.3.11 Nhận xét Giả sử A ∈ K(H, G) có biểu diễn Schmidt Mệnh đề 2.3.3 ∞ A= Sn (.|en )fn n=0 |(Aen |fm )|2 < ∞ Khi đó, A tốn tử Hilbert - Schmidt n,m Chứng minh Với x ∈ H ta có ∞ Ax = Sn (x|en )fn , n=0 đặc biệt Aen = Sn fn , n = 0, 1, 41 Do ∞ 2 Sn2 |(Sn fn |fm )| = |(Aen |fm )| = n,m n,m ∞ n=0 (Sn (A))2 < ∞ = n=0 Sau ta nghiên cứu mối quan hệ lớp ánh xạ compact, hạch, Hilbert - Schmidt không gian Hilbert 2.3.12 Định lý Giả sử E, F hai không gian Hilbert A ∈ L(E, F ) Khi 1) Nếu A tốn tử hạch A ánh xạ compact ∞ Sn (A) < ∞ A tốn tử hạch 2) Nếu A ánh xạ compact n=0 tốn tử Hilbert - Schmidt Chứng minh 1) Vì A toán tử hạch nên tồn dãy (an ) E ∗ dãy (yn ) F cho ∞ an yn < ∞ n=1 ∞ an (x)yn , Ax = x ∈ E n=1 Với n = 1, 2, ta xác định ánh xạ An : E→F n ak (x)yk , An (x) = x ∈ E k=1 Từ ak ∈ E ∗ suy An tuyến tính liên tục Mặt khác dimAn (E) ≤ n Do An ánh xạ hữu hạn chiều Theo Mệnh đề 1.2.14, An ánh xạ compact Ta có ∞ (A − An )x = ak (x)yk k=n+1 ∞ ≤ x ak y k , k=n+1 42 ∀x ∈ E Do ∞ ≤ A − An ≤ ak yk →0 n→∞ k=n+1 ∞ ∞ ak yk phần dư chuỗi hội tụ an yn Từ suy n=1 k=n+1 A − An →0, tức An →A Mặt khác {An } ⊂ K(E, F ) K(E, F ) đóng L(E, F ) nên A ∈ K(E, F ) ∞ 2) Giả sử A ∈ K(E, F ) ∞ Sn (A) < ∞ Khi hiển nhiên n=0 (Sn (A))2 < n=0 ∞, tức A tốn tử Hilbert - Schmidt Giả sử A có biểu diễn Schmidt ∞ A(x) = Sn (A)(x|en )fn , x ∈ E, (1) n=0 (en ), (fn ) sở trực chuẩn E, F Đặt an (x) = (x|en ), x ∈ E, n = 0, 1, Khi theo Định lý Riesz an ∈ E ∗ an = en = với n Đặt yn = Sn (A)fn , n = 0, 1, ta có (yn ) ⊂ F yn = Sn (A) Do ∞ ∞ Sn (A) < ∞ an y n = n=0 n=1 Kết hợp với (1) ta kết luận A ánh xạ hạch 2.3.13 Mệnh đề Với ánh xạ tuyến tính liên tục A : H→G mệnh đề sau tương đương 1) Tồn sở trực chuẩn (ei )i∈I H cho Aei i∈I 2) Với sở trực chuẩn (ξj )j∈J H, Aξj < ∞; < ∞; j∈J 3) A toán tử Hilbert - Schmidt Chứng minh 1) ⇒ 2) Giả sử (ei )i ∈ I thỏa mãn 1) giả sử (fl )l∈L sở trực chuẩn G Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.15 (3) ta có A∗ fl l∈L |(A∗ fl |ei )|2 = = l∈L i∈I Aei |(fl |Aei )|2 i∈I l∈L < ∞ i∈I 43 Nếu (ξj )j∈J sở trực chuẩn tùy ý H tương tự ta có Aξj A∗ fl = j∈J = Aei < ∞ (1) i∈I l∈L 2) ⇒ 3) Nếu (ei )i∈I sở trực chuẩn H M tập hữu hạn I định nghĩa PM := (.|ei )ei Khi đó, từ Mệnh đề 2.1.15, i∈M Bất ng thc Hăolder v chỳ ý 2.1.14 (A APM )x = A(I − PM )x = (x|ei )Aei i∈I\M ≤ Aei 2 |(x|ei )|2 i∈I\M (2) i∈I\M ≤ Aei x i∈I\M Aei Từ < ∞ suy A thuộc F (H, G) Do A tốn tử compact i∈I có biểu diễn Schmidt ∞ Sn (.|xn )fn , A= (3) n=0 (xn )n∈N0 hệ trực chuẩn H (fn )n∈N0 hệ trực chuẩn G Từ Mệnh đề 2.1.16 có sở trực chuẩn (ξj )j∈J H chứa hệ trực chuẩn (xn )n∈N0 Khi ∞ Aξj Sn (ξj |xn )fn = j∈J j∈J ∞ = n=0 n=0 Sn2 (4) Do Sn (A) ∈ l2 A ∈ S2 (H, G) 3) ⇒ 1) Nếu A ∈ S2 (H, G) A có phép biểu diễn Schmidt cơng thức (3) Như thấy 1) suy từ công thức (4) 44 2.3.14 Hệ Nếu A : H→G tốn tử Hilbert - Schmidt với sở trực chuẩn (ei )i∈I H thỏa mãn điều kiện ∞ Sn (A)2 = v2 (A) = Aei n=0 ≥ A i∈I Trong trường hợp đặc biệt, v2 chuẩn S2 (H, G) Chứng minh Đẳng thức đạt từ (1) (4) chứng minh Mệnh đề 2.3.13 Trong bất đẳng thức (2) lấy M = ∅ ta bất đẳng thức cần chứng minh Từ chứng minh cách dễ dàng A→ Aei i∈I chuẩn S2 (H, G) Giả sử H G khả ly (ek )k∈N , (fj )j∈N tương ứng sở trực chuẩn H G Nếu A ∈ L(H, G) từ Mệnh đề 2.1.15 ta có (x|ek )Aek , Ax = với x ∈ H k∈N Do (x|ek )(Aek |fj ), (Ax|fj ) = với j ∈ N, x ∈ H k∈N Các hệ số Ax tương ứng với (fj )j∈N tính từ hệ số x tương ứng với (ek )k∈N giá trị ma trận vô hạn aj,k = (Aek |fj ), j, k ∈ N Ta gọi (aj , k)j,k∈N ma trận ánh xạ A tương ứng với sở trực chuẩn (ek )k∈N (fj )j∈N Từ đó, theo Mệnh đề 2.1.15 |aj,k |2 = j,k∈N |(Aek |fj )|2 = j,k∈N Aek k∈N 45 Kết hợp với Hệ 2.3.14 ta đạt Mệnh đề sau 2.3.15 Mệnh đề Nếu H G tách A ∈ L(H, G) toán tử Hilbert - Schmidt ma trận (aj,k )j,k∈N A tương ứng với sở trực chuẩn tùy ý bình phương khả tổng, có nghĩa |aj,k |2 hội tụ Trong trường hợp j,k∈N 1  |aj,k |2  v2 (A) =  j,k∈N 2.3.16 Hệ A ánh xạ tuyến tính A : l2 →l2 toán tử Hilbert - Schmidt |aj,k |2 < ∞ cho tồn ma trận (aj,k )j,k∈N với j,k∈N ∞ , với x = (xk )k∈N ∈ l2 aj,k xk Ax = k=1 j∈N Chứng minh Nếu A có dạng A ∈ L(l2 ) Khi theo Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có  Ax  |aj,k |2  ≤ j,k∈N |xn |2 , với x ∈ l2 j,k∈N Do kết luận suy từ Mệnh đề 2.3.15 Để kết thúc phần này, ta đưa định lý sau xem ví dụ minh họa cho số khái niệm trình bày 2.3.17 Định lý Giả sử (αn )n dãy số bị chặn A : l2 →l2 ánh xạ cho A(x) = (αn xn )n , x = (xn )n ∈ l2 Khi 1) αn →0 A toán tử compact dãy số kỳ dị A (αn )n 46 ∞ |αn | < ∞ A tốn tử hạch 2) Nếu ∞ 3) n=1 |αn |2 < ∞ A toán tử Hilbert - Schmidt n=1 Chứng minh 1) Phần đầu 1) nội dung Định lý 2.2.4 Bây ta cần chứng minh A compact (Sn (A)) = (αn ) Thật vậy, theo giả thiết ta có Ax = (αn xn ), ∀x = (xn ) ∈ l2 Mặt khác ta có n αj xj ej = (α1 x1 , , αn xn , 0, 0, ); n = 1, 2, , j=1 ej = (0, , 0, 1, 0, 0, ) ; j = 1, 2, Do j n ∞ Ax − αj xj ej j=1 n (αn ) bị chặn |αj |2 |xn |2 →0 n→∞ = j=n+1 |xn |2 hội tụ Từ suy n=1 n Ax = lim n→∞ n αn xn en αj xj ej = n=1 j=1 ∞ = x = (xn ) ∈ l2 αn (x|en )en , (1) n=1 Vì (en )n sở trực chuẩn l2 nên từ (1) suy dãy số kỳ dị A (αn )n ∞ |an | < ∞ Theo chứng minh 1) ta có 2) Giả sử n=1 ∞ Ax = αn (x|en )en , x ∈ l2 n=1 Với n = 1, 2, đặt yn = αn en xác định ánh xạ an : l2 →l2 , với an (x) = (x|en ), 47 x ∈ l2 (1) Khi đó, (yn )n ⊂ l2 , yn = |an | theo Định lý Riesz an ∈ l2∗ , an = en = với n = 1, 2, Do ∞ ∞ an |αn | < ∞ yn = n=1 (2) n=1 Từ (1) (2) suy A toán tử hạch ∞ 3) Giả sử |αn |2 < ∞ Khi αn →0 Do theo 1) A compact n=1 (Sn (A))n = (αn )n Theo Định nghĩa 2.3.10, A toán tử Hilbert - Schmidt Ngược lại, giả sử A tốn tử Hilbert - Schmidt Khi A tốn tử compact Do αn →0 Theo 1) (αn )n = (Sn (A))n ∞ Vậy |αn |2 < ∞ n=1 48 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Tìm đọc tài liệu tham khảo trình bày lại cách có hệ thống số vấn đề tính chất tốn tử compact không gian định chuẩn, không gian Hilbert; đặc trưng phổ số toán tử đặc biệt khơng gian Hilbert; tính chất tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert với sở trực chuẩn đếm được; biểu diễn Schmidt tốn tử tuyến tính liên tục mối quan hệ toán tử compact, toán tử Hilbert - Schmidt tốn tử hạch khơng gian Hilbert Chứng minh số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt Mệnh đề 2.3.8 Chứng minh số kết mà tài liệu tham khảo không chứng minh Nhận xét 1.2.2, Hệ 1.2.7, Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.2.15, Hệ 2.3.5 Chứng minh số kết mà tài liệu tham khảo đưa dạng tập Bổ đề 2.2.1, Định lý 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3 Định lý 2.2.4 Đưa chứng minh số kết Nhận xét 2.3.11, Định lý 2.3.12 Định lý 2.3.17 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 2, Nxb Giáo dục [3] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải (1999), Bài tập Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Rienhold Meise and Dietmer Vogt (1997), Introduction to Function Analysis, Clarendon press - Oxford 50 ... DIỄN SCHMIDT VÀ TOÁN TỬ HILBERT - SCHMIDT Ở phần ta trình bày phép biểu diễn Schmidt toán tử compact mối quan hệ toán tử compact, toán tử hạch toán tử Hilbert - Schmidt không gian Hilbert Từ sau,... phổ tốn tử compact mối quan hệ toán tử compact, toán tử Hilbert - Schmidt tốn tử hạch khơng gian Hilbert Với mục đích luận văn trình bày thành hai chương Chương Toán tử compact không gian định... Chương Toán tử compact không gian định chuẩn 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Toán tử compact không gian định chuẩn 1.3 Phổ toán tử compact