Toán tử elliptic trong không gian l2

Mục lục KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian hàm 1.2 Lý thuyết toán tử 1.3 Phương trình Laplace- Poisson 1.4 Không gian Sobolev Rn Rn+ 1.5 Không gian Sobolev miền 10 TỐN TỬ ELLIPTIC 16 2.1 Bài tốn giá trị biên 16 2.2 Sơ lược vấn đề vài ý tưởng sở 20 2.3 Đánh giá tiên nghiệm 22 2.4 Một số tính chất không gian Sobolev Rn+ 30 TOÁN TỬ LAPLACIAN VÀ CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN 37 3.1 Toán tử laplacian 37 3.2 Bài toán giá trị biên 48 3.3 Bài toán giá trị biên không 54 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường Đại Học Hồng Đức hướng dẫn Th.s Nguyễn Tiến Đà Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Th.s Nguyễn Tiến Đà tận tình hướng dẫn bảo động viên khích lệ để em vượt qua khó khăn chun mơn hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa KHTN, thầy giáo tổ Giải tích thầy trờng Đại Học Hồng Đức dạy bảo em tận tình, giúp đỡ em tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả nghiên cứu cịn hạn chế nên khóa luận cịn thiếu sót khó tránh khỏi Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy khóa luận hồn thiện Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2018 Sinh viên Đinh Thị Huệ LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu thân hướng dẫn Th.s Nguyễn Tiến Đà Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Sinh viên Đinh Thị Huệ MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành giải tích tốn học, nghiên cứu không gian vectơ trang bị thêm cấu trúc tơpơ phù hợp tốn tử tuyến tính liên tục chúng Các kết phương pháp thâm nhập vào nhiều ngành khác lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết toán cực trị biến phân, phương pháp tính, Ra đời vào năm đầu kỉ 20, bắt nguồn từ cơng trình phương trình tích phân Hilbert, Fredholm, Sobolev, đến giải tích hàm tích lũy thành tựu quan trọng trở thành chuẩn mực việc nghiên cứu trình bày kiến thức toán học Khi nghiên cứu tốn qua việc mơ hình hóa, tốn thường dẫn đến dạng phương trình elliptic cấp hai với điều kiện biên khác Nhận thấy tầm quan trọng vấn đề liên quan đến phương trình elliptic Để tìm hiểu sâu vào tốn phương trình elliptic với gợi ý thầy hướng dẫn hiểu biết trình học tập giảng đường em xin chọn đề tài ”Toán tử elliptic không gian L2 ” Đối tượng nghiên cứu ˆ Tìm hiểu tốn tử elliptic ˆ Nghiên cứu tốn giá trị biên phương trình Elliptic bậc hai, toán giá trị biên nhất, tốn giá trị biên khơng Nhiệm vụ nghiên cứu ˆ Nghiên cứu toán tử elliptic, số tính chất khơng gian Sobolev khơng gian L2 ˆ Nghiên cứu toán giá trị biên toán tử elliptic Đối tượng phạm vi nghiên cứu ˆ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử elliptic không gian L2 ˆ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu toán giá trị biên toán tử ellipic Phương pháp nghiên cứu Sử dụng số phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc giáo trình, tài liệu có internet Sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu cách khoa học, đầy đủ xác Ý nghĩa khoa học thực tiễn ˆ Ý nghĩa khoa học: Đề tài hệ thống lại kiến thức liên quan đến phương trình elliptic, tốn biên elliptic ˆ Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài giúp hiểu rõ toán tử elliptic Đồng thời sản phẩm đề tài phần trợ giúp cho bạn sinh viên chun ngành tốn có mong muốn tìm hiểu sâu tốn tử elliptic toán giá trị biên elliptic 7.Tổng quan cấu trúc khóa luận Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Nhắc lại số không gian hàm bản, phương trình elliptic, nhắc lại khái niệm khơng gian hàm bản, định lý, định nghĩa, mệnh đề, hệ liên quan đến toán tử elliptic dùng khóa luận Đây kiến thức quan trọng làm tảng cho kết trình bày chương sau Chương2: Toán tử elliptic Trong chương trình bày tốn giá trị biên tốn tử elliptic không gian L2 , số đánh giá tiên nghiệm số tính chất khơng gian Sobolev khơng gian L2 Chương 3: Tốn tử laplacian toán giá trị biên Trong chương trình bày tốn tử laplacian, tốn giá trị biên toán giá trị biên không không gian L2 Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian hàm * Cho Nn0 , với n ∈ N tập hợp tất hệ số, α = (α1 , · · · , αn ) với αj ∈ N0 |α| = n X α! = α1 ! · · · αn ! αi , (1.1) i=1 Như thường lệ, đạo hàm dạng rút gọn cho bởi: ∂ |α| , D = α1 ∂x1 · · · ∂xαnn α α ∈ Nn0 , x ∈ Rn (1.2) Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω miền Rn cho m ∈ N0 Với C m (Ω) tập hợp tất hàm f ∈ C m,loc (Ω) cho hàm số Dα f với |α| ≤ m mở rộng liên tục tới Ω kf |C m (Ω)k = X sup | Dα f (x)| < ∞ (1.3) |α|≤m Hơn nữa, C(Ω) = C (Ω) ∞ C (Ω) = ∞ \ m=0 C m (Ω) (1.4) Định nghĩa 1.1.2 (i) Cho n ∈ N, n ≥ 2, k ∈ N Khi miền riêng Rn tập hợp tất điểm x = (x0 , xn ) với x0 ∈ Rn−1 cho: h(x0 ) < xn < ∞, (1.5) với h ∈ C k (Rn−1 ) theo Định nghĩa 1.1.1 (ii) Cho n ∈ N, n ≥ k ∈ N Khi miền bị chặn Rn miền Ω bị chặn liên tục Rn với giới hạn ∂Ω bao phủ hình cầu hữu hạn KJ Rn , J = 1, · · · , J, có tâm ∂Ω cho: KJ ∩ Ω = KJ ∩ ΩJ j = 1, · · · , J, (1.6) với ΩJ quay quanh miền riêng Rn (iii) Cho n ∈ N, n ≥ Nếu Ω miền bị chặn với k ∈ N gọi miền bị chặn (iv) Nếu n = khoảng bị chặn miền bị chặn Định lý 1.1.1 ( Công thức Green’s) Cho n ≥ 2, Ω miền bị chặn C Rn f ∈ C (Ω) (i) Cho g ∈ C (Ω) Khi đó, Z Z X Z ∂g ∂f ∂f g(x)(∆f )(x)dx = − (x) (x)dx + g(σ) (σ)dσ ∂xj ∂xj ∂ν j=1 Ω Ω ∂Ω (1.7) (ii) Cho g ∈ C (Ω) Khi đó,  Z Z  ∂f ∂g (g(x)(∆f )(x) − (∆g)(x)f (x))dx = g(σ) (σ) − (σ)f (σ) dσ ∂ν ∂ν Ω ∂Ω (1.8) 1.2 Lý thuyết toán tử Định nghĩa 1.2.1 Toán tử tự liên hợp A gọi toán tử với phổ điểm túy phổ bao gồm giá trị riêng có bội hữu hạn Định nghĩa 1.2.2 Tốn tử đối xứng H gọi bị chặn tồn số c ∈ R cho: hAh, hi ≥ ckh|Hk2 , h ∈ dom(A) (1.9) Nếu c = 0, A dương, c > A gọi xác định dương Định nghĩa 1.2.3 Cho A toán tử xác định dương theo Định nghĩa (1.2.2) Khi đó, khơng gian lượng HA không gian đầy đủ dom(A) xác đinh chuẩn: q kh|HA k = [h, h]A với[h, g]A = hAh, gi (1.10) Định lý 1.2.1 Cho A toán tử xác định dương không gian Hilbert H (1.9) với c > Cho HA không gian lượng theo Định nghĩa 1.2.3 Khi đó, AF h = A ∗ h, (AF ) = HA ∩ A*, (1.11) tự liên hợp mở rộng A hAF h, hi ≥ ckh|Hk2 , h ∈ dom(AF ), (1.12) với số c (1.9) Hơn nữa, σ(AF ) ⊂ [c, ∞), HAF = HA (1.13) Định lý 1.2.2 ( Tiêu chuẩn Rellich’s) Toán tử tự liên hợp A xác định dương theo Định nghĩa 1.2.2 toán tử với phổ điểm túy theo Định nghĩa 1.2.1 phép nhúng id : HA ,→ H, không gian lượng HA compact (1.14) Chú ý 1.2.1 Hạn chế toán tử xác định dương Định lí 1.2.1 thuận tiện không thực cần thiết Nếu A nửa bị chặn theo Định nghĩa 1.2.1 λ + c > A + λ id xác định dương với AF , AF h = (A + λ idF h − λh, h ∈ dom(A + λ id)F , (1.15) mở rộng tự liên hợp A, độc lập λ với c liên kết 1.3 Phương trình Laplace- Poisson Ví dụ 1.3.1 Đánh dấu ví dụ là: n X ∂2 −∆ = − 2, ∂x j j=1 với ∆ toán tử Laplace ˆ Bài toán Dirichlet   Au = f Ω, (1.16)  u 2,v với ϕ ∈ C ∞ (Ω) với trΓ ∂ϕ ∂v = Khi đó, u ∈ W2 (Ω) Chứng minh Ta có lân cận γ0 ∈ Γ = ∂Ω với tọa độ trực giao với đường cong j = 1, · · · , n, yj = hj (x), (3.22) cho điểm yn phương tiếp tuyến ngồi ν, nhắc lại yn = tới Γ = ∂Ω mức độ tập hợp yn = c đường cong Γ, |c| đủ nhỏ Cho:  n ! ∂hj J= , ∂xk j,k=1 v(y) = u(x), ψ(y) = ϕ(x), g(y) = f (x), (3.23) với u, ϕ f mệnh đề Cho J ∗ ma trận liên hợp J Lấy tích phân vế trái (3.20)-(3.21) viết thành tích vơ hướng liên quan đến gradients hgrad u, grad ϕi ta giả thiết thêm J ∗ J ma trận đơn vị det J = định thức Jacobian Khi đó, hgrad u, grad ϕi = hJ ∗ J grad v, grad ψi = hgrad v, grad ψi (3.24) ln có ∆u(x) = ∆v(y), trΓ ∂ϕ ∂ψ = (y , 0) = ∂ν ∂yn (3.25) Hạn chế (3.20)-(3.21) với lân cận điểm γ0 ∈ Γ tương ứng với điểm y = tọa độ đường cong, giải thích tọa độ Cartesian, ta được: Z X Z n ∂v ∂ψ (3.26) (y) (y)dy = g(y)ψ(y)dy, ∂y ∂y j j j=1 Rn + Rn + ψ ∈ χ(Rn+ ) với ψ(y) = |y| > 1, mặt khác ψ(y , 0) = ∂ψ ∂yn (y , 0) = Theo Mệnh đề 2.4.1 chứng minh với U F thay G, ta được: −∆V = G ∈ L2 (K), K = {y ∈ Rn : |y| < 1}, 41 (3.27) với V ∈ W21 (K) tính đối xứng (2.93) Cho κ ∈ D(K), đó, −∆(κV ) ∈ L2 (Rn ), κV ∈ W22 (Rn ), (3.28) Chứng minh v ∈ W22 gần Γ u ∈ W22 (Ω) Từ u ∈ W22,ν (Ω) Hơn nữa, u ∈ W22,ν trường hợp thứ mệnh đề Chú ý 3.1.3 Câu hỏi đặt tìm tọa độ trực giao với đường cong (3.22) Nếu n = 2, tìm tồn lân cận chẵn Γ Nhưng cách khác ta xác định quỹ đạo pháp tuyến trường vecto theo dãy, (n − 1) chiều khả vi vô hạn lần, mặt F (x0 , λ) = với tham số λ Quỹ đạo tổng quát tọa độ trực giao với bề mặt F (x0 , λ) = Rn Sau lặp lại bề mặt F (x0 , λ) = Tiếp theo ta nói tính đối xứng Ω Mệnh đề 2.4.2 Bất Đẳng thức Ta nhắc lại miền bị chặn C ∞ Rn theo Định nghĩa 1.1.2 với C ∞ (Ω) giới thiệu (1.4) Mệnh đề 3.1.2 Cho Ω miền bị chặn Rn Cho ν pháp tuyến trường vectơ (i) Cho tập: C ∞ (Ω)ν = {f ∈ C ∞ (Ω) : trΓ ∂f = 0}, ∂ν (3.29) trù mật W21 (Ω) (ii) Cho tập D(Ω) trù mật W2,0 (Ω) trong: ˚22 (Ω) = {f ∈ W22 (Ω) : trΓ f = trΓ ∂f = 0} W ∂ν (iii) (Bất đẳng thức Friedrichs’s) Với c > cho:  1/2 Z X n ∂f ˚21 (Ω) kf |L2 (Ω)k ≤ c  (x) dx với f ∈ W ∂xk Ω k=1 42 (3.30) (3.31) Chứng minh Bước 1.Như chứng minh Mệnh đề 2.4.2 Theo Mệnh đề 1.4.1 cho hệ số gần f ∈ C ∞ (Ω) W21 (Ω) cho hàm số thuộc (3.29) Nhưng hiển nhiên thay (2.101)-(2.102) (i) chứng minh Ta chứng minh (ii) theo chứng minh Mệnh đề 2.4.2 Bước Ta chứng minh (iii) với giả thiết không tồn c với (3.31) ˚1 Khi hàm số {fi }∞ j=1 ⊂ W2 (Ω) cho:  1/2 Z X n ∂fi dx = kfj |L2 (Ω)k > j  ∂xk (x) (3.32) Ω k=1 Trường hợp đặc biệt, dãy {fj }∞ j=1 bị chặn W2 (Ω) Định lí 1.5.3 kéo theo compact L2 (Ω) Ta giả sử rằng: fj → f L2 (Ω) với kf |L2 (Ω)k = (3.33) Dãy {fj }∞ j=1 cho (3.32) dãy đóng hội tụ W2 (Ω), ta được: ∂f (x) = 0, ∂xk k = 1, , n, ˚21 (Ω) f ∈W (3.34) Trường hợp đặc biệt, ∆f = Ω Nếu ϕ ∈ D(Ω), đó, ∆(ϕf ) ∈ L2 (Ω) ϕf ∈ W22 (Ω) (3.35) Giả thiết, ϕf ∈ W2l (Ω) với l ∈ N, l ≥ 2, ta có: ∆(ϕf ) ∈ W2l−1 (Ω) ϕf ∈ W2l+1 (Ω) (3.36) Do phép nhúng (1.48) kéo theo f hàm số Ω với (3.33)- (3.34) Từ Ω liên tục theo f = |Ω|−1/2 Tuy nhiên điều mâu thuẫn với f = Chú ý 3.1.4 Chú thích   f (x) x ∈ Ω, ext f (x) =  0 x ∈ Ωc = Rn Ω, 43 (3.37) ˚21 (Ω) vào W21 (Ω) từ tuyến tính mở rộng tốn tử bị chặn từ W ˚ 22 (Ω) vào W22 (Rn ) W Bài tập 3.2 Cho k ∈ N Chứng minh D(Ω) trù mật trong: l ˚2k (Ω) = {f ∈ W2k (Ω) : trΓ ∂ f = 0, W ∂ν l l = 0, , k − 1} (3.38) ˚2k (Ω) vào W2k (Rn ) ext f (3.37) toán tử mở rộng từ W Gợi í: Sử dụng Bài tập 2.7 sau ta đến tính đối xứng miền Ω bị chặn khả vi vô hạn lần Rn nhắc đến Định lí 3.1.1 Như trước đó, −∆ Rn toán tử Laplacian theo (3.1) ν kí hiệu pháp tuyến ngồi trường vectơ khả vi vô hạn lần Γ = ∂Ω Bài tốn Dirichlet phương trình Laplacian khơng gian Hilbert H = L2 (Ω) cho AD , AD = −∆u với dom(AD ) = D(Ω), (3.39) Bài tốn Neumann phương trình Laplacian cho AN , AN u = −∆u với dom(AN ) = C ∞ (Ω)ν , (3.40) với C ∞ (Ω)ν xác định (3.29) Từ (3.4), (3.5) tích vô hướng h., iΩ L2 (Ω) rằng: Z Z X n ∂v ∂u hAD u, viΩ = (−∆u)(x)v(x)dx = (x) (x)dx, ∂x ∂x k k k=1 Ω (3.41) Ω với u ∈ dom(AD ), v ∈ dom(AD ), tương tự: Z X n ∂u ∂v hAN u, viΩ = (x) (x)dx, ∂xk ∂xk (3.42) Ω k=1 Phép lấy tích phân theo Định lý 1.1.1 Trường hợp đặc biệt, hAD u, viΩ ≥ 0, u ∈ dom(AD ), hAN u, viΩ ≥ 0, u ∈ dom(AN ) (3.43) 44 Do đó, dom(AD ) dom(AN ) tốn tử đối xứng L2 (Ω) theo Định nghĩa 1.2.1 Trường hợp đặc biệt, AD,F AN,F tự liên hợp tương ứng mở rộng theo Định lý 1.2.1 Chú ý 1.2.1 Khi đó, AD,F AN,F toán tử dương hiểu theo Định nghĩa 1.2.1 phổ: σ(AD,F ) ⊂ [0, ∞) σ(AN,F ) ⊂ [0, ∞) (3.44) ˚ (Ω), W (Ω) W 2,ν (Ω) Định nghĩa 1.5.3 Cho W2,0 (Ω) = W 2,0 Mệnh đề 3.1.2 Nhắc lại λ ∈ R giá trị riêng đơn giản toán tử tự liên hợp A dim ker(A − λ id) = (3.45) Định lý 3.1.2 Cho Ω miền bị chặn khả vi vô hạn lần Rn theo Định nghĩa 1.1.2 cho ν pháp tuyến trường vectơ khả vi vô hạn lần (i) Cho AD,F mở rộng Friedrich Bài tốn Dirichlet phương trình Laplacian (3.39) Khi đó,AD,F tốn tử tự liên hợp xác định dương với phổ điểm túy theo Định nghĩa 1.2.3 Hơn nữa, ˚21 (Ω), HAD,F = W AD,F u = −∆u với dom(AD,F ) = W2,0 (Ω), (3.46) (3.47) σ(AD,F )u = −∆ ⊂ [c, ∞) (3.48) với số c > (3.31) (ii) Cho AN,F mở rộng Friedrichs Bài toán Neumann phương trình Laplacian (3.40) Khi AD,F tốn tử dương tự liên hợp với phổ điểm túy Hơn nữa, HAN,F = W21 (Ω), 45 (3.49) AN,F u = −∆u với dom(AN,F ) = W22,ν (Ω), (3.50) σ(AN,F )u = −∆ ⊂ [c, ∞), (3.51) giá trị riêng đơn với hàm u(x) = c 6= Chứng minh Bước Từ (3.31) (3.41) ta kết luận AD xác định dương Khi (1.13) Mệnh đề 3.1.2 chứng minh cho (3.46),-(3.48) Bài toán Dirichlet phương trình Laplacian Bài tốn Neumann phương Laplacian thu tính chất tương ứng khẳng định (3.49)- (3.51) từ (3.42)-(1.13) Mệnh đề 3.1.2 Bước Ta lí luận (3.47) - (3.50) chứng minh Định lý 3.1.1 dựa vào tính trù mật khẳng định Mệnh đề 1.5.2 Bước Định lý 1.5.3 (3.46), (3.49) kéo theo phép nhúng: id : HAD,F ,→ L2 (Ω), id : HAN,F ,→ L2 (Ω), (3.52) compact Khi theo Định lý 1.2.2 cho AD,F , AN,F + id AN,F tốn tử với phổ điểm túy Với λ = trường hợp Bài tốn Neumann phương trình Laplacian Dĩ nhiên, u(x) = c với x ∈ Ω thuộc vào dom(AN,F ) ∆u(x) = Do đó, giá trị riêng ta chứng minh giá trị riêng số Cho u hàm riêng giá trị riêng Khi đó, Z X n ∂u