Sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT SÁNG SƠN =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học khơng gian Tác giả sáng kiến: Nguyễn Đức Thịnh Mã sáng kiến: 18.52 Nội dung báo cáo BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Sự phát triển kinh tế - xã hội, khoa học công nghệ đặt yêu cầu cần phải đổi nội dung, phương pháp dạy học Bộ GD ĐT có định hướng: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo người học, bồi dưỡng lực tự học, say mê học tập ý chí vươn lên” cho học sinh Thực theo mục tiêu Bộ GD - ĐT đề ra, trường học nhanh chóng bước đổi phương pháp dạy học hướng tới đào tạo hệ học sinh thành người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu phát triển tồn cầu Hình học khơng gian mơn tốn học nghiên cứu tính chất hình khơng gian, đặc điểm hình học không gian môn học trừu tượng Chủ đề quan trọng đề cập khoảng cách, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo Vì tập khoảng cách không gian đa dạng phong phú Đặc trưng trừu tượng, đa dạng, phong phú tiềm lớn để phát triển tư cho học sinh giải tốn khoảng cách Tính tích cực học sinh trình học tập yếu tố bản, có tính định đến chất lượng hiệu học tập Mục tiêu đổi phương pháp dạy học, xét đến phải hướng tới việc phát huy tính tích cực nhận thức học sinh Vấn đề cốt lõi đặt học sinh vào vị trí trung tâm q trình dạy học Trong trình dạy học người thầy biết sử dụng phối hợp phương pháp dạy học cách hiệu nhằm phát huy cao độ vai trò nội lực học sinh Phương pháp dạy học nêu vấn đề, phương pháp thực hành, phương pháp làm việc theo nhóm, phương pháp tình chuẩn bị tốt thực kích thích tính chủ động tích cực học sinh Tuy nhiên, theo thành tố quan trọng khơng tạo tâm lý tốt cho học sinh, giúp em tự tin vào khả mình, khả giải thành cơng tốn Qua tìm hiểu tơi thấy có nhiều chun đề thầy đồng nghiệp nghiên cứu hình học khơng gian, đưa tương đối đầy đủ phương pháp giải tốn Tuy nhiên, cịn thầy đề cập đến định hướng tư cho em giải tập, dẫn đến học sinh khó tiếp cận với lời giải tốn, tư hình học phát triển Qua chuyên đề muốn giúp em có lối mịn định hướng giải tập hình khơng gian, tư đưa lạ quen, luyện tập tốt toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ đưa tốn khoảng cách khác tốn Đối với nhiều tốn khơng phải cách giải hay hướng giải quen, có tư mạch lạc Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải toán khoảng cách hình học khơng gian Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Đức Thịnh - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn - Số điện thoại: 0984490608 E_mail: nguyenducthinhgv.c3songlo@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đây chuyên đề tổng hợp, xây dựng lại theo suy nghĩ tơi, có tham khảo viết số đồng nghiệp qua mạng Internet Chuyên đề sử dụng bồi dưỡng học sinh giỏi dạy chuyên đề ôn thi đại học Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn lớp Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Năm học 2017 – 2018, giao nhiệm vụ dạy học mơn tốn lớp 11A1,11A4 12A2 Chun đề dạy thử nghiệm tiết học chuyên đề 11A1 tháng 4/2018 Mô tả chất sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào cách tiếp cận tốn khoảng cách khơng gian theo hướng lôgic, hệ thống gần gũi Đề tài tập trung khai thác toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, sau đưa dạng toán khoảng cách khác toán 7.1 Các dạng tốn khoảng cách hình học khơng gian 7.1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng  Gọi H hình chiếu O  Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  Kí hiệu M  H Dùng MH   : d(M, ) =MH * Nhận xét - Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể: Xác định hình chiếu H O  tính OH 7.1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng () Gọi H hình chiếu O () Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () Kí hiệu * Nhận xét 7.1.3 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng () khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng () Kí hiệu * Nhận xét - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () song song với quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 7.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu * Nhận xét - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 7.1.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng  cắt a b đồng thời vng góc với a b gọi đường vng góc chung a b Đường vng góc chung  cắt a M cắt b N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu * Nhận xét - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm sau: + Tìm H K từ suy + Tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi + Sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt - Nếu ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD 7.2 Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cách Tính trực tiếp Cách Sử dụng cơng thức thể tích Cách Sử dụng phép trượt điểm Cách Sử dụng tính chất tứ diện vng Cách Sử dụng phương pháp tọa độ Cách Sử dụng phương pháp vectơ 7.2.1 Phương pháp tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O () tính OH * Phương pháp chung - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với () - Tìm giao tuyến  (P) () - Kẻ OH   ( ) Khi Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) S Lời giải Hạ F Trong (SOK) kẻ H A D E Ta có O ; B Trong tam giác vng OBC có: B K C D Trong tam giác vng SOK có: Vậy S Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, tam giác cạnh a, , D Tính H I C B M J A Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J trung điểm BC, CD AB Lúc đó, CD//(SAB) hay + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ Mặt khác, ta có: Từ (1) (2) suy ra: hay + Xét tam giác SIJ có: Với: , Do đó: , Vậy 7.2.2 Phương pháp sử dụng cơng thức tính thể tích Thể tích khối chóp Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V B Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP dễ dàng Vậy ta nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) việc tính thể tích khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) thay khoảng cách từ C đến (SAB) Lời giải: Gọi O tâm hình vng ABCD, SO  (ABCD) M, N trung điểm SA SB nên S M N D P C O A B Vậy: Vậy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK) Phân tích Khối chóp AOHK ASBD có chung đỉnh, đáy nằm mặt phẳng nên ta tính thể tích khối chóp OAHK, tam giác AHK cân nên ta tính diện tích Lời giải Cách 1: Trong đó: ; J G I S K D H A O B C Ta có HK BD đồng phẳng vng góc với SC nên HK // BD AI cắt SO G trọng tâm tam giác SAC, G thuộc HK nên Tam giác AHK cân tai A, G trung điểm HK nên AG  HK 10 a) Hạ S Trong (SOK) kẻ Ta có F ; H A Trong tam giác vng OBC có: E B D K O B D C Trong tam giác vng SOK có: Vậy b) Ta có Kẻ Do 7.3.2 Giải tốn tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Ví dụ Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng qua đường chéo B’D a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) 27 b) Xác định vị trí mặt phẳng cho diện tích thiết diện cắt mp hình A z N B lập phương bé Phân tích: Với hình lập phương ta ln C D H chọn hệ toạ độ thích hợp, tọa y độ đỉnh biết nên việc tính khoảng cách A' B' hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện việc tính khoảng cách từ M đến x D' M C' đường thẳng DB’ Lời giải Chọn hệ toạ độ cho gốc toạ độ Gọi M điểm đoạn thẳng C’D’, tức a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: b) Giả sử cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có mặt đối diện song song với nên cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM DN//MB’ Vậy thiết diện hình bình hành DMB’N Gọi H hình chiếu M DB’ Khi đó: 28 Ta có: Dấu đẳng thức xảy Nên diện tích nhỏ , hay M trung điểm D’C’ Hồn tồn tương tự Vậy diện tích nhỏ M trung điểm D’C’ M trung điểm D’A’ 7.3.3 Giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Ví dụ Cho lăng trụ trung điểm có tất cạnh a Gọi M, N Tính khoảng cách Phân tích Để tính khoảng cách và CN A' C' CN ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với , ta dùng phép trượt để quy việc B' M tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách tứ diện vuông D Lời giải C Gọi O, D trung điểm BC CN OACD tứ diện vng O bình hành N hình A O B Mặt phẳng (ACN) chứa CN song song với nên Áp dụng tính chất tứ diện vng ta 29 Vậy Ví dụ Cho hình lập phương điểm có cạnh a Gọi M trung Tính khoảng cách hai đường thẳng CM Lời giải D' Gọi N trung điểm hình bình hành nên chứa Mặt phẳng ( ) song song với A' nên C' B' M O G N D C với Gọi A G trọng tâm tam giác Tứ diện B Do E vng A nên Vậy Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = SB = SC = SD = a √ Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AD SC Lời giải S Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)) CO = CA Ta có AO  (SBC)  C a H D C 30 O A a I B d(A, (SBC)) = 2.d(O, (SBC)) ; SO  (ABCD) nên SO  BC Kẻ SJ  BC J trung điểm BC Suy BC  (SOJ)  (SBC)  (SOJ) (SBC)  (SOJ)  SJ, kẻ OH  SJ (H  SJ) Khi d(O, (SBC)) = OH Xét tam giác SOJ vuông O, theo hệ thức lượng tam giác vng ta có 1 = + OH OJ OS a OJ= a SO=√ SC −CO = √ 2 mà , 42 OH = √ a 14 Suy 42 42 d ( AD, SC )=2 √ a= √ a 14 Vậy Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mp(ABCD), SA = a √3 E điểm đối xứng B qua A, tính khoảng cách đường thẳng chéo a AC SD b AC SE Lời giải {AE=CD=a¿¿¿¿ E điểm đối xứng B qua A nên  AEDC hình bình hành S E M P a A D a O B N C 31 Do AC // ED hay AC // (SED) (1) suy d(AC, SD) = d(AC, (SED)) = d(A, (SED)); * Tính d(A, (SED)) SA  ED, kẻ SK  ED(KED) ED  (SAK) suy (SED)  (SAK); (SED)  (SAK)  SK Kẻ AH  SK (HSK) d(A, (SED)) = AH SAK EAD tam giác vuông A Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: 1 1 = + = + AH AS AK a2 AK 1 1 = + = + AK AE AD a2 a Suy 1 1 = 2+ 2+ 2 AH 3a a a 21 AH = √ a hay 21 d ( AC , SD)= √ a Vậy Vì AC // (SED) (theo 1) nên d(AC, SE) = d(AC, (SED)) = √21 a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, C A Tính I B Giải: + Gọi I, J trung điểm AB A’B’ H C' A' J B' 32 + Ta có: + Trong mp(CIJ) kẻ Ta có: (vì ABC A’B’C’ hình lăng trụ đứng) tam giác đều) nên Từ (1), (2) suy ra: (vì ∆ABC hay + Xét tam giác vng CIJ có: S Vậy Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên Tính H A I Giải: + Vì D B J O C + Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC + Trong mp(SIJ) kẻ Theo giả thiết ta có: Từ (1), (2) suy ra: hay 33 + Xét tam giác SIJ có: Với: IJ=a, Suy ra: Vậy Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính S Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M trung điểm AD OD; N H D giao điểm d IM I + Ta có: N A C M O B + Trong mp(SMN) kẻ Theo giả thiết: Mặt khác ta có: Từ (*), (**) suy ra: suy ra: Từ (1), (2) 34 + Xét tam giác SMN có: với Do đó, Vậy S Ví dụ 8: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy H ABC tam giác vng tai B, AB=BC=2a, hai mặt J phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt A phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, N C M I góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 B Tính Giải: + Gọi I trung điểm BC Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN//AB hay + Trong mp(ABC) kẻ Trong mp(SAJ) kẻ + Theo giải thiết ta có: Từ (*), (**) ta có: Từ (1), (2) ta có: + Ta có: + Xét tam giác vng SAJ có: ; 35 Vậy BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài (Đề thi HSG lớp 12 Sở GD-ĐT Hà Tĩnh năm học 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi AB = AC = a; tam giác SBD nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh SC, mặt phẳng (ABM) chia hình chóp S.ABCD thành khối đa diện a) Tính thể tích khối đa diện khơng chứa S b) Tính khoảng cách đường thẳng SA BM S Lời giải: M C B O D S ABCD = A a2 √3 SO= a ; 2 V SABM V SAMN = ; = V SABC V SACD V SABC = a SABM = √3 ⇒V SAMN V SACD = a √ ⇒V = a √3 16 a √3 ⇒ V 32 SABMN = 3 a √3 a √3 ⇒ V ABMNCD = 32 32 √ a √3 a √ 30 V MBOC = ; V MABO= ; S BOM = a 32 32 16 36 d ( SA ;BM )=d ( A ; ( BOM )) = V MABO a √ 10 = S BOM 20 Bài (Đề thi HSG lớp 12 Sở GD-ĐT Phú Thọ năm học 2017-2018) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc đường thẳng B’C mặt đáy (ABC) 300 a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Tính khoảng cách đường thẳng B’C’ A’C Lời giải: A’ C’ B’ B A H B a√3 a ; V ABC A B C = a) B B' = , , , b) B’C’ // BC => d(B’C’;A’C) = d(B’C’;(A’BC)) = d(B;(A’BC)) CH ⟘ ( A' B ' B ) ;CH = a √3 a3 =¿ V A B BC = 12 , , 2 a √3 a √ 39 S = A’B = A’C = => BC A 12 , d ( B ; ( A BC )) = , , V A B BC , , S BC A , = a √ 39 13 Bài (Đề thi HSG lớp 12 Sở GD-ĐT Hưng Yên năm học 2017-2018) 37 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’ B’ C’ có độ dài cạnh đáy 2a , góc mặt phẳng ( A’ BC ) mặt phẳng đáy 600 Gọi M N , trung điểm cạnh BC CC′ Tính khoảng cách hai đường thẳng A M ′ AN theo a Lời giải: A’ C’ z B’ N Q y x A C P M Gọi Q giao điểm AN A’C B Kẻ QP // A’M => d(A’M; AN) = d(A’M;(APN)) = d(M; (APN)) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ 2a Ta có: M ( 0; 0; ) ; P ; ;0 ; A ( ;a √ ;0 ) ; AA’ = 3a; ( )  ( APN ) :9 √ x+6 y −2 √3z - 6√ 3a = a 97  d ( M ; ( APN )) = √ 97 Bài (Đề thi HSG lớp 12 Sở GD-ĐT Hà Nam năm học 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết AB = SD = 3a; AD = SB = 4a, đường chéo AC vng góc với mặt phẳng (SBD) Tính theo A thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách đường thẳng BD SA Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2011) 38 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 6.Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc Các cạnh bên SA = SC; SB = SD a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đơi vng góc M, N theo thứ tự trung điểm cạnh Gọi Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài 10 (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’,I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Những thông tin cần bảo mật: 39 Sáng kiến kinh nghiệm cách tiếp cận theo cách phát triển toán hay ngược lại tư quy lạ quen Rất mong tham khảo, đóng góp thầy đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hiệu hơn, khơng có thơng tin cần bảo mật sáng kiến Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Muốn tiếp thu tốt chuyên đề này, học sinh cần nắm vững kiến thức hình học khơng gian, bao gồm định nghĩa, tính chất Ngồi học sinh cần có kiến thức tốt tốn học, đại số hình học, kiến thức hình học phẳng học cấp THCS 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Sau thực giảng dạy chuyên đề thấy học sinh có hứng thú học hơn, kiến thức em tiếp thu hệ thống Đặc biệt tư em có tiến rõ rệt, em học sinh trung bình – yếu tự tin vào khả hơn, em học sinh giỏi tiếp cận toán đa chiều, phong phú Vì số lần áp dụng chuyên đề chưa nhiều, kiến thức thân nhiều khiếm khuyết nên mong nhận góp ý thầy đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hoàn thiện, phong phú 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: Số TT Tên tổ chức/cá nhân Nguyễn Đức Thịnh Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Sáng Sơn Dạy ôn HSG chun đề mơn tốn lớp 11 Sơng Lơ, ngày …tháng năm 2019 KT.HIỆU TRƯỞNG PHĨ HIỆU TRƯỞNG Sơng Lơ, ngày …tháng năm 2019 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN 40 Nguyễn Đức Thịnh 41