MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu và viết tắt MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1 1 Không gian Banach 4 1 2 Không gian Hilbert 5 1 3 Tôpô yếu – Tính phản xạ 9 1 4 Tính[.]
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu viết tắt MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ 1.4 Tính khả vi Gateaux khả vi Frechet 14 1.5 Tập định hướng lưới 18 1.6 Tập có thứ tự bổ đề Zorn 19 Chương TÍNH KHẢ VI GATEAUX CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI CHẶT CỦA KHÔNG GIAN 21 2.1 Tính khả vi Gateaux chuẩn, không gian trơn 21 2.2 Không gian lồi chặt 29 Chương TÍNH KHẢ VI FRECHET CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI ĐỀU CỦA KHÔNG GIAN 33 3.1 Tính khả vi Frechet chuẩn 33 3.2 Tính khả vi Frechet chuẩn, khơng gian trơn đều, không gian lồi 42 Chương CẤU TRÚC CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 65 4.1 Cấu trúc chuẩn tắc 65 4.2 Ánh xạ không giãn định lý điểm bất động 67 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT x Chuẩn x không gian định chuẩn x, y Tích vơ hướng x, y khơng gian tiền Hilbert S ( X ) := 1} Mặt cầu đơn vị đóng khơng gian Banach X {x ∈ X | x = B( X ) := { x ∈ X | x ≤ 1} Quả cầu đơn vị đóng khơng gian Banach X MỞ ĐẦU Điểm bất động ánh xạ đối tượng nghiên cứu từ lâu có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ Các định lý điểm bất động bắt đầu nghiên cứu từ lớp ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều, định lý Brouwer: Định lý Brouwer: Cho X không gian hữu hạn chiều, B cầu đơn vị đóng X Khi đó, ánh xạ liên tục U : B → B có điểm bất động Định lý Brouwer mở rộng: Cho X không gian hữu hạn chiều, C tập lồi đóng bị chặn X Khi đó, ánh xạ liên tục U : C → C có điểm bất động Thực chất, điều kiện định lý ánh xạ liên tục tập lồi đóng bị chặn khơng gian hữu hạn chiều(do compact) Ta biết lớp không gian hữu hạn chiều khiêm tốn Do đó, người ta muốn mở rộng định lý lên không gian vô hạn chiều, số chiều không gian vô hạn tính liên tục trở nên yếu tính compact tập lồi đóng bị chặn Do đó, điều kiện cần phải mạnh hơn: Định lý Brouwer cho không gian Hilbert: Cho X không gian Hilbert, C ⊂ X tập lồi đóng bị chặn U : C → C ánh xạ khơng giãn Khi đó, U có điểm bất động C Định lý Shauder: Cho X khơng gian Banach, C ⊂ X tập lồi đóng, U : C → C liên tục U (C ) compact tương đối Khi đó, U có điểm bất động C Rõ ràng mở rộng lên không gian Hilbert, tính liên tục khơng cịn đảm bảo cho tồn điểm bất động, ta cần tính khơng giãn Cịn mở rộng lên khơng gian Banach, tính lồi đóng khơng cịn đảm bảo tồn điểm bất động, ta cần điều kiện khơng dễ đạt được, tính compact mạnh Vấn đề đặt ta cần phải thay điều kiện compact mạnh điều kiện nhẹ mà định lý không gian Banach Điều dẫn đến việc nâng cấp không gian lên lớp không gian mạnh không gian lồi cần thêm cấu trúc cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu Đặc trưng cấu trúc dựa vào khái niệm lồi đều, lồi chặt khơng gian Tính lồi đều, lồi chặt khơng gian lại đặc trưng tính khả vi Frechet, khả vi Gateaux ánh xạ chuẩn Vì vậy, luận văn nghiên cứu tính khả vi Gateaux, khả vi Frechet, mối liên quan chúng với tính lồi chặt, lồi cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu, không gian lồi để từ có định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn Luận văn làm dựa theo [1,tr 20-57] Luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nhắc lại số kiến thức, khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert tính chất, hội tụ dãy khơng gian Ngồi chương cịn phát biểu chứng minh số khái niệm, tính chất, định lý tơpơ yếu, tơpơ yếu sao, tính phản xạ, tập định hướng lưới, tập thứ tự bổ đề Zorn, tính khả vi Gateaux khả vi Frechet ánh xạ Chương 2: Tính khả vi Gateaux chuẩn tính lồi chặt khơng gian Chương trình bày khả vi Gateaux ánh xạ chuẩn, tính trơn khơng gian, tính lồi chặt không gian định lý mối liên hệ tính chất thơng qua khái niệm ánh xạ tựa Chương 3: Tính khả vi Frechet chuẩn tính lồi khơng gian Chương trình bày khái niệm, tính chất phân biệt khả vi Gateaux khả vi Frechet ánh xạ chuẩn Chương cịn trình bày khái niệm, tính chất phân biệt tính lồi chặt lồi khơng gian Bên cạnh cịn nghiên cứu tính trơn khơng gian, tính khả vi Frechet ánh xạ chuẩn tính compact yếu không gian lồi Chương 4: Cấu trúc chuẩn tắc định lý điểm bất động ánh xạ khơng giãn Chương nội dung luận văn Chương trình bày khái niệm, tính chất tập có cấu trúc chuẩn tắc, tập có cấu trúc chuẩn tắc không gian lồi định lý tồn tại, tính chất tập điểm bất động ánh xạ không giãn tập compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc khơng gian Banach, tồn điểm bất động ánh xạ khơng giãn tập lồi đóng bị chặn khơng gian lồi tồn điểm bất động chung họ ánh xạ khơng giãn giao hốn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm khơng gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, tơpơ yếu, tính phản xạ, tập thứ tự, bổ đề Zorn, khả vi Gateaux, khả vi Frechet Chương làm dựa theo [4,chương 1,3] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1:Cho X không gian vector Ánh xạ : X → gọi chuẩn nếu: i) x ≥ 0, ∀x ∈ X , x = ⇔ x = 0, ii) λ x λ x , ∀x ∈ X , ∀λ ∈ , = iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2: Không gian vector X trang bị ánh xạ chuẩn gọi không gian vector định chuẩn hay gọi tắt không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3: Cho X không gian định chuẩn { xn }n∈N * dãy X Ta nói { xn }n∈N * hội tụ x nếu: ∀ε > 0, ∃n0 > : ∀n ≥ n0 ⇒ xn − x < ε Định nghĩa 1.1.4: Cho X không gian định chuẩn { xn }n∈N * dãy X Ta nói { xn }n∈N * dãy Cauchy nếu: ∀ε > 0, ∃n0 > : ∀m, n ≥ n0 ⇒ xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.5: Cho X không gian định chuẩn, X gọi không gian Banach dãy Cauchy X hội tụ phần tử X Mệnh đề 1.1.1: Cho X không gian tôpô compact { X i }i∈I họ tập đóng có tính chất giao hữu hạn khác rỗng Khi đó, họ { X i }i∈I có giao khác rỗng Chứng minh: Giả sử X i i∈I đó, X X= = ∅ Khi = \ Xi i∈I { X \ X i }i∈I phủ mở không gian compact cho X X i1 , X i2 , , X ik sao= k ) ( (X \ X ) i Như vậy, i∈I X nên tồn hữu hạn tập k X \ X ij X \ X i j ≠ X (mâu thuẫn với tính giao hữu = =j =j hạn khác rỗng họ { X i }i∈I ) Vậy X i ≠ ∅ i∈I 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1: Cho X không gian vector Ánh xạ , : X × X → gọi tích vơ hướng với x, y ∈ X , λ ∈ y : i) x, y = y, x , ii) x + y, z = x, z + y, z , iii) λ x, y = λ x, y , iv) x, x ≥ 0, x, x = ⇔ x = Mệnh đề 1.2.1: Cho , tích vơ hướng khơng gian vector X x, y ∈ X x, y ≤ x, x y, y Đẳng thức xảy tồn λ ∈ cho x = λ y Chứng minh: Nếu y = : = x, y = y, x 0= x, x = x, x 0, y, y = Bất đẳng thức nghiệm với x ∈ X Nếu y ≠ : Ta có: x − λ y, x − λ y ≥ 0, ∀x, y ∈ X , λ ∈ y Đặt: f (λ ) = x − λ y, x − λ y f (λ ) = y, y λ − 2λ x, y + x, x f tam thức bậc hai = ∆ 'f x, y − x, x y , y Do f (λ ) ≥ 0, ∀λ ∈ ⇒ ∆ 'f ≤ ⇒ x, y ≤ x, x y , y Đẳng thức xảy ∆ 'f = Khi đó, phương trình f (λ ) = có nghiệm kép λ= λ= x, y y, y Suy ra: x, y f y, y = ⇒ x− x, y x, y y, x − y = y, y y, y x, y ⇒x= y y, y Định nghĩa 1.2.2: Không gian vector X trang bị tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Mệnh đề 1.2.1: Một không gian định chuẩn X không gian tiền Hilbert chuẩn X thoả đẳng thức hình bình hành: x + y + x − y= 2( x + y ) 2 2 Chứng minh: ( ⇐ ) Cho = x X khơng gian tiền Hilbert với tích vơ hướng , Đặt : x, x , ∀x ∈ X Ta chứng minh chuẩn ∀x, y ∈ X , λ ∈ y : i) x = x, x ≥ 0, x = ⇔ x, x = ⇔ x = 0, ii) λ x = = λ x, λ x = λ x, λ x = λ λ x, x = λ x, x = λ x, x λ x , iii) x+ y = = x + y, x + y = x + y, x + x + y, y x, x + x, y + y , y ≤ = x +2 x y + y 2 x, x + x, x y , y + y , y =x + y Ta chứng minh thoả đẳng thức hình bình hành: x + y + x − y = x + y, x + y + x − y, x − y 2 = x, x + x, y + y , y + x, x − x, y + y , y = 2( x, x + y, y ) = 2( x + y ) ( ⇒ ) Cho X không gian định chuẩn với chuẩn thoả mãn đẳng thức hình bình hành Đặt: x+ y − x− y Ta chứng minh , tích vơ hướng, với x, y = 2 x, y ∈ X , λ ∈ y : x+ y − x− y = i) x, y = x+ y − y−x = 2 y, x , ii) x+ y+z − x+ y−z x + y, z = = ( x + z) + y ( + (x + z) − y − x + ( y − z) + x − ( y − z) 2 ) x+ z +2 y −2 x −2 y−z = 2 2 )− y − z −( y − z −2 y ) − y+z ) ( x+z + z − x−z = ( x+ z + x+ z −2 x = 2 ) − y − z − (2 z 2 x+z − x−z = 2 y+z − y−z + 2 = x, z + y , z iii) Ta chứng minh: λ x, y = λ x, y 0+ y − 0− y = Với = λ = : λ x, y Với λ ∈ *+ : λ x, y = x + x + + x, y = x, y + x, y + x, y = λ x, y Với λ ∈ *− λ ' = −λ , λ ' ∈ *+ : λx + y − λx − y = λ x, y = λ 'x + y − λ 'x − y = − −λ ' x + y − −λ ' x − y 2 = − λ ' x, y = − λ ' x, y = λ x, y Suy ra: λ= x, y λ x, y , ∀λ ∈ Với λ ∈ , λ = m , m ∈ , n ∈ + : n 2 m m x+ y − x− y 2 mx + ny − mx − ny m n n x, y λ x, y = = = 4 n n 1 1 m mx, ny m x, ny m ny, x mn y, x = x, y λ x, y = = = = = 2 2 n n n n n Với λ ∈ , ∃{λn }n∈N * ⊂ , λn → λ : ... nâng cấp không gian lên lớp không gian mạnh không gian lồi cần thêm cấu trúc cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu Đặc trưng cấu trúc dựa vào khái niệm lồi đều, lồi chặt khơng gian Tính lồi đều, lồi chặt... chuẩn tắc không gian lồi định lý tồn tại, tính chất tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn tập compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach, tồn điểm bất động ánh xạ không giãn tập lồi đóng... tính lồi chặt, lồi cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu, khơng gian lồi để từ có định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn Luận văn làm dựa theo [1,tr 20-57] Luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến