Luận văn: ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ potx

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN – 2008 MỤC LỤC Mở đầu 1 Chƣơng 1: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.1. Không gian Hilbert thực 3 1.2. Tập lồi và hàm lồi 7 1.3. Toán tử đơn điệu 14 1.3.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu 15 13.2. Toán tử đơn điệu tuần hoàn 19 1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại 21 Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 2.1. Bất đẳng thức biến phân 33 2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu 39 2.3. Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị 46 2.4. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan 49 Chƣơng 3: MÔ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3.1. Phát biểu mô hình 55 3.2. Mô hình Nash – Cournot với bài toán cân bằng 56 3.3. Mô hình Nash – Cournot với bài toán bất đẳng thức biến phân 57 3.4. Mô hình Nash – Cournot với toán tử đơn điệu 58 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Ánh xạ đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và đang được rất nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu. Đặc biệt phải kể đến như: R. T. Rockafellar, F. E. Browder, (Xem [5], [14]). Bên cạnh các kết quả đặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, ánh xạ đơn điệu là một trong những công cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng như lĩnh vực tối ưu hóa. Nó giúp ích cho việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho rất nhiều các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu. Đề tài của bản luận văn này là nghiên cứu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert thực và ứng dụng của nó trong việc khảo sát các bài toán bất đẳng thức biến phân và đặc biệt là mô hình kinh tế nổi tiếng Nash - Cournot. Vì thế, đây là một đề tài vừa có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao. Nội dung chính của bản luận văn là trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ sở có liên quan; khái niệm, tính chất và các điều kiện cho các toán tử đơn điệu; áp dụng toán tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân và mô hình kinh tế Nash - Cournot. Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu trong bản luận văn được trình bày thành ba chương với tiêu đề: Chương 1: Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Chương 2: Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu. Chương 3: Mô hình Nash - Cournot với toán tử đơn điệu. Nội dung chính của các chương là: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi phục vụ cho việc nghiên cứu toán tử đơn điệu. Sau đó, trình bày các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn và đơn điệu cực đại. Song song với các khái niệm này là một số kết quả về tính chất, điều kiện của toán tử đơn điệu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Chương 2: Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan. Sau đó, trình bày một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Chương 3: Trình bày về mô hình kinh tế Nash - Cournot trong lĩnh vực sản xuất kinh doanh. Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho mô hình. Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Để hoàn thành được bản luận văn này, trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện bản luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, các cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008 Ngô Thị Việt Hằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Nội dung chính của chương bao gồm: một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực và giải tích lồi. Tiếp sau đó là các khái niệm về ánh xạ đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại. Đồng thời trình bày một số kết quả liên quan đến tính đơn điệu của các toán tử đơn trị và đa trị trong không gian Hilbert. 1.1. Không gian Hilbert thực Chúng ta bắt đầu từ không gian đơn giản nhất là không gian véc tơ tuyến tính trên trường số thực. Đó là một tập hợp khác rỗng X mà trên đó có trang bị hai phép toán: phép toán cộng hai véc tơ và phép toán nhân một số thực với một véc tơ: 1 2 1 2 , , ; , , . x x X x x X x X x X R           Nếu trên X được trang bị một tô pô  là một họ các tập con của X thỏa mãn các tính chất: 1. ; X    ; 2. ,A B A B         ; 3.   tt tT A t T A        , ( T là tập chỉ số bất kỳ) thì X được gọi là không gian véc tơ tô pô và thường ký hiệu là   ,X  .  Nếu trên X được trang bị một metric ( . )  với các tính chất: 1. ( , ) 0, , ; ( , ) 0x y x y X x y x y       ; 2. ( , ) ( , ), ,x y y x x y X     ; 3. ( , ) ( , ) ( , ), , ,x y x z y z x y z X        thì X được gọi là không gian metric. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4  Nếu trên X được trang bị một chuẩn || , || với các tính chất: 1. || || 0, ; || || 0 0x x X x x      ; 2. || || | ||| ||, ,x x x X R        ; 3. || || || || || ||, ,x y x y x y X     thì X được gọi là một không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính thực. X được gọi là không gian tiền Hilbert nếu: với mọi ,x y H , xác định một số thực ký hiệu là ,xy gọi là tích vô hướng của ,x y X , thỏa mãn các tính chất sau: 1. ,,x y y x ; 2. , , ,x y z x z y z   ; 3. , , ,x y x y R       ; 4. ,0xx  nếu 0x  , ,0xx  nếu 0x  . Mệnh đề 1. 1 (Xem [4]). Mọi không gian tiền Hilbert X là không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định: ,,x x x x X   . Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian định chuẩn. Dãy   n xX được gọi là dãy cơ bản trong X nếu : , lim 0 nm mn xx   . Nếu trong X,, mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là 0 nm xx kéo theo sự tồn tại 0 xX sao cho 0n xx , thì X được gọi là không gian đủ. Định nghĩa 1.3. Không gian tiền Hilbert và đủ gọi là không gian Hilbert, trong luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert thực. Định nghĩa 1.4. Hai véc tơ ,x y H được gọi là hai véc tơ trực giao với nhau, kí hiệu là xy , nếu ,0xy . Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau đây: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 1. 0,x x X   ; 2. x y y x   ; 3.   1 2 1 1 2 2 , , , n n n x y y y x y y y          , * , , 1,2, , i n N R i n     ; 4. , nn x y y y khi n  thì xy . Định nghĩa 1.5. Cho tập MH , phần bù trực giao của M , kí hiệu M  , là tập hợp sau:   :,M x H x y y M       . Định lý 1.1 (Định lý F.Riesz). Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert H , hệ thức:   ,.f x a x (1.1) Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục   fx trên không gian H , với || ||.fa (1.2) Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục ()fx nào trên không gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng ( 1.1 ), trong đó a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.2). Chứng minh. Phần thứ nhất của định lý, ta dễ chứng minh được vì   ,f x a x rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính và do :   ,.f x a x a x   (1.3)   ,.f a a a a a   (1.4) nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2). Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục ()fx trên không gian Hilbert H . Tập hợp     :0M x H f x   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 rõ ràng là một không gian con đóng của H . Nếu   0M   thì dựa vào cách phân tích x y z với ,y M z M   , ta thấy rằng 0z  , cho nên     0f x f y với mọi xH , do đó   0,f x x , nghĩa là ta có cách biểu diễn (1.1) với 0a  . Vậy chỉ còn phải xét trường hợp   0M   . Ta có   0 0fx  , nên véc tơ :   0 0 00 0 , fx ax xx  . Với mọi xH ,     0 0 fx y x x M fx    vì           0 0 0 fx f y f x f x fx    . Mà 0 xM   , vậy 0 ,0yx  , tức là         0 0 0 0 0 00 , , . 0 f x f x x x x x x x x f x f x     hay:     0 0 00 ,, , fx f x x x a x xx  . Như vậy,   fx có dạng (1.2). Cách biểu diễn đó là duy nhất, vì nếu   ,f x a x   thì ' ,0a a x , nghĩa là ' 0aa . Cuối cùng do (1.3) và (1.4) nên phải có (1.2) như trên. Định lí được chứng minh.  Định lý vừa chứng minh cho phép lập một tương ứng một đối một giữa các phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên H và các véc tơ aH . Tương ứng đó là một phép đẳng cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất hóa phiếm hàm f với véc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 tơ a sinh ra nó thì ta có * HH , nghĩa là : không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H . Với mỗi yH cố định ta xét phiếm hàm :f H R được xác định như sau:   ,,f x Ax y x H . Dễ thấy f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trong H nên theo định lý 1.1 về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy nhất * yH để * , , ,Ax y x y x H   . Định nghĩa 1.6. Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H , ánh xạ * :A H H xác định như sau: ** ,y H A y y   trong đó: ** , , ,Ax y x A y x y khi đó * A được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A . Nhận xét 1.1. Toán tử liên hợp * A nếu tồn tại là duy nhất. 1.2. Tập lồi và hàm lồi Định nghĩa 1.7. Tập DH được gọi là tập lồi nếu với mọi 12 ,x x D và mọi số thực 01   ta đều có:   12 1x x D     . Nhận xét 1.2. Theo định nghĩa, tập  được xem là tập lồi . Định nghĩa 1. 8. Tập KH được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu: ,0x K x K        . KH được gọi là nón có đỉnh tại 0 x nếu 0 Kx là nón có đỉnh tại 0 . [...]... toán tử đơn điệu (iii) Nếu A : H  H là toán tử tuyến tính, b  H , và nếu T : H  H là toán tử đơn điệu thì S  x   A*T  Ax  b  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 http://www.lrc-tnu.edu.vn cũng là toán tử đơn điệu Ngoài ra, nếu A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt thì S là toán tử đơn điệu chặt ở đây, A* là toán tử liên hợp của A Chứng minh (i) Theo định nghĩa, toán tử... http://www.lrc-tnu.edu.vn Ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đa trị nếu ứng với mỗi phần tử x  X , thì F ( x ) là một tập con của không gian Y (có thể là tập rỗng) và ta thường hay ký hiệu là: F : X  2Y hay F : X   (Y ) Hiển nhiên ánh xạ đơn trị là một trường hợp riêng của ánh xạ đa trị Trong bản luận văn này ta qui ước: nếu chỉ nói ánh xạ (toán tử) thì đó là ánh xạ đơn trị Trường hợp ánh xạ đa trị... của bài toán (P) nếu: f  x   f  x  , x  Q Nhận xét 1.8 Hiển nhiên điểm x  Q là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) thì x là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P) Nếu tập Q là một tập lồi và f là một hàm lồi trên Q thì bài toán (P) được gọi là một bài toán qui hoạch lồi Nếu Q = H thì bài toán (P) được gọi là bài toán tối ưu không ràng buộc Mệnh đề 1.5 (i) Nếu bài toán (P) là một bài toán. .. đều là các toán tử đơn điệu Tuy nhiên, T1 không phải là toán tử đơn điệu cực đại vì G T1  chứa thực sự trong G T2  Mệnh đề 1.12 Giả sử toán tử T : H  2 H là đơn điệu Khi đó, T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi, với mọi  a, b   H  H , nếu: b  u, a  x  0  x, u   G(T ) thì b T  a  Chứng minh Giả sử T là đơn điệu cực đại mà b  T (a ) Ta mở rộng toán tử T thành toán tử T bằng cách:...  2 H được gọi là toán tử tràn khi và chỉ khi với mỗi v  H tồn tại x  H thoả mãn v  S  x  Mệnh đề 1.13 Toán tử đa trị T : H  2 H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi T là toán tử đơn điệu cực đại (   0 ) Chứng minh Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại và   0 Do Mệnh đề 1.10, T là toán tử đơn điệu Để chứng minh rằng T là toán tử đơn điệu cực đại, ta sử dụng Mệnh đề 1.12 Giả sử  a, b  ... là toán tử đơn trị, đơn điệu cực đại từ H * vào H , và là nửa liên tục, hay liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu Hệ quả 1.1 (Xem [12]) Cho H là không gian Hilbert , J là ánh xạ đối ngẫu được xác định ở trên, toán tử T : H  2 H H *  H  là đơn điệu Để toán tử T là cực đại, điều kiện cần và đủ là R T  J  là toàn bộ H * Mệnh đề 1.15 (Xem [12]) Cho H là không gian Hilbert, và cho T : H  2 H là toán. .. được nói rõ Đối với ánh xạ đơn trị F thì ánh xạ ngược: F 1 : Y  X được định nghĩa như sau: F 1 ( y )   x  X : F ( x)  y Nếu F là ánh xạ đa trị thì: F 1 ( y )   x  X : y  F ( x) 1.3.1 Các định nghĩa về toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.26 Toán tử T : H  H *  H *  H  được gọi là toán tử đơn điệu nếu: T  x   T  y  , x  y  0 , x, y  H Ví dụ 1.2 Cho toán tử T đơn trị xác định trên... gian Hilbert H và cho T : H  2 H là toán tử đơn điệu sao cho 0  D T  Giả sử rằng tồn tại  0  0 sao cho toán tử đơn điệu T  B là cực đại với mọi    0 Khi đó, T là toán tử đơn điệu cực đại Sau đây chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của vấn đề được nêu ra ở trên Định lý 1.7 (Xem [12]) Cho không gian Hilbert H và T1 , T2 là hai toán tử đa trị, đơn điệu cực đại từ H vào 2H Giả... là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi: Ax  Ay, x  y  0 , x, y  H , hay A  x  y  , x  y  0 , x, y  H Đặt z  x  y , ta có : Az, z  0 , z  H Mệnh đề được chứng minh  Mệnh đề 1.10 Các tính chất sau là luôn đúng (i) T : H  2 H đơn điệu khi và chỉ khi T 1 : H  2 H là đơn điệu (ii) Nếu Ti : H  2H  i  1, 2  , là các toán tử đơn điệu và nếu i  0  i  1,2 , thì 1T1  2T2 cũng là toán. .. đề được chứng minh. 1.3.3 Toán tử đơn điệu cực đại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.31 Toán tử đa trị T : H  2 H là đơn điệu cực đại nếu T là toán tử đơn điệu, và đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị của bất cứ một toán tử đơn điệu nào khác Ví dụ 1.4 Xét các toán tử Ti : R  2R (i  1, 2) cho bởi các công thức: 1  T1  .  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI. NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN. của bản luận văn là trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ sở có liên quan; khái niệm, tính chất và các điều kiện cho các toán tử đơn điệu; áp dụng toán tử đơn điệu trong bài toán bất