Một phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằngMột phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằng
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❇⑩ ✣➷◆ ▼❐❚ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚⑩❈❍ ●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✽ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ◆●❯❨➍◆ ❇⑩ ✣➷◆ ▼❐❚ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚⑩❈❍ ●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ Ù◆● ❉Ö◆● ▼➣ sè ✿ ✽✹✻✵✶✶✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ữớ ữợ ❉Ơ◆● ▼×❯ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✽ ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉ ởt số ỵ ỳ t tt t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✶✳✶ ✶✳✷ ✶✳✸ ✐ ✶ ✷ ✹ ✺ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỹ tỗ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✶✹ ❈→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷ ❚❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✷✸ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✸✽ ✸✾ ✷✳✶ ✷✳✷ ❚❤✉➟t t♦→♥ t✉➛♥ tü ✈➔ sü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈➔ sü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✸✸ ✶ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ▲✉➟♥ ữủ t ữợ sỹ ữợ t t➻♥❤ ✈➔ sü ❝❤➾ ❜↔♦ ♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ▲➯ ❉ơ♥❣ ▼÷✉ ✭❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤➠♥❣ ▲♦♥❣ ❍➔ ◆ë✐✮✳ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ t❤➛②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❦➼♥❤ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝ỉ ❣✐→♦ P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤õ② ❝ò♥❣ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝ỉ ❣✐→♦ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✷✵✶✻ ✲ ✷✵✶✽✱ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ t➙♠ ❤✉②➳t ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ tr❛♥❣ ❜à ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ♥❤✐➲✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð✳ ❳✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉✱ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✲ ❚✐♥ ❚r÷í♥❣ ✣❍❑❍✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ tỉ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ tr÷í♥❣✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ỗ t tr ❧ỵ♣ ❝❛♦ ❤å❝ t♦→♥ ❑✶✵❆ ✤➣ ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚✉② ❜↔♥ t❤➙♥ ❝â ♥❤✐➲✉ ❝è ❣➢♥❣✱ s♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝â ❤↕♥ ♥➯♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❦❤â tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t sõt t ữủ sỹ õ õ qỵ ỵ t ổ ũ t t ❣✐↔ ✷ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ rt tỹ ợ t ổ ữợ , tữỡ ự C ởt t ỗ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ H ✈➔ f ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ tø C × C ✈➔♦ R s❛♦ ❝❤♦ f (x, x) = ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ✳ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② t❛ s➩ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ s ữủ ỵ P(C, f ) x∗ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C ✭✶✮ ❇➔✐ t♦→♥ ❊P(C, f ) ❝á♥ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❑② ❋❛♥ ✤➸ ❣❤✐ ♥❤➟♥ sü ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ æ♥❣ tr♦♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥➔②✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✮ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥✱ ♥➠♠ ✶✾✺✺✱ ✤÷đ❝ ◆✐❦❛✐❞♦ ✈➔ ■s♦❞❛ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ trá ❝❤ì✐ ❦❤ỉ♥❣ ❤đ♣ t→❝✳ ◆➠♠ ✶✾✼✷✱ ❑② ❋❛♥ ❣å✐ ✭✶✮ ❧➔ ❜➜t ✤➥♥❣ tự ữ r ởt ỵ sỹ tỗ t t tr ổ ỳ tr õ ỵ ✤÷đ❝ ♠ð rë♥❣ r❛ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈ỉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ ❜ð✐ ❇r➨s✐s ✈➔ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛✳ ◆➠♠ ✶✾✽✹✱ ▲✳❉✳ ▼✉✉ ❣å✐ ✭✶✮ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔②✳ ◆➠♠ ✶✾✾✷✱ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✭✶✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✾❪✳ ❈→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❜➔✐ t õ t t ữợ ỗ ỳ ự sỹ tỗ t ✈➔ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❈❤♦ ✤➳♥ ♥❛② ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ♥❤✐➲✉ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ✈➔ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❞↕♥❣ ❝õ❛ ♥â✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ✤➸ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ sü ❤✐➺✉ q✉↔ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t→❝❤✭s♣❧✐tt✐♥❣ ♠❡t❤♦❞✮ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t→❝❤ ởt ợ t ợ ữủ ổ ố ỗ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤➲ t➔✐✳ ❈→❝ ✈➜♥ ✤➲ q sỹ tỗ t trữớ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✸ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝ơ♥❣ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❤❛✐ t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr♦♥❣ ✤â s♦♥❣ ❤➔♠ ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ s♦♥❣ ❤➔♠✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✤➛✉ ❧➔ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ t✉➛♥ tü✱ t❤✉➟t t♦→♥ s❛✉ ❧➔ ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ s♦♥❣ s♦♥❣✳ ✹ ▼❐❚ ❙➮ ❑Þ ❍■➏❯ ❱⑨ ❈❍Ú ❱■➌❚ ❚➁❚ H ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝❀ X ✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝❀ R✿ ❚➟♣ ❝→❝ số tỹ rộ I ỗ t a, b ổ ữợ tỡ ❛ ✈➔ ❜❀ x ❂ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ x❀ ∂f (x)✿ ữợ f t x x ợ ♠å✐ ①❀ xn → x✿ ❉➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tỵ✐ x❀ xn x✿ ❉➣② {xn } ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ x❀ x := y ✿ ◆❣❤➽❛ ❧➔✱ x ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜➡♥❣ y ❀ PC (x)✿ ❍➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❝õ❛ x ❧➯♥ C ✳ ✺ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q t sỹ tỗ t ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ tø t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✲✹❪✱ ❬✼❪✱ ❬✶✵❪✳ ✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❈➦♣ (H, t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤ü❝ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✿ , ) tr♦♥❣ ✤â H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ , :H ×H →R (x, y) → x, y ✶✳ x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = ⇔ x = 0❀ ✷✳ x, y = y, x , ∀x, y ∈ H ❀ ✸✳ λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H ❀ ✹✳ x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H ✳ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t✐➲♥ ❍✐❧❜❡rt ✤➛② ✤õ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ❱➼ ❞ư ✶✳✶✳ L2[a,b] ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ữỡ t tr ợ f L2[a,b] ổ ữợ s b f (x) dx < +∞ ❧➔ ♠ët ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈ỵ✐ t➼❝❤ a b f, g = f (x) g (x) dx; a ✻ ✈➔ ❝❤✉➞♥ b f L2[a,b] f (x)dx = a ❚r➯♥ H ❝â ❤❛✐ ❦✐➸✉ ❤ë✐ tö ❝❤➼♥❤ s❛✉✿ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❳➨t ❞➣② {xn}n≥0 ✈➔ x t❤✉ë❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ✳ õ {xn } ữủ tử tợ x ỵ xn x ữ lim n+ xn x = {xn} ữủ tử tợ x ỵ ❤✐➺✉ xn lim n→+∞ ω, xn = ω, x , x✱ ♥➳✉ ∀ω ∈ H ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✭①❡♠ ❬✹❪✮ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤❛✐ ❧♦↕✐ ❤ë✐ tö ♥➔②✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ◆➳✉ {xn} ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✤➳♥ x t❤➻ ❝ơ♥❣ ❤ë✐ tư ②➳✉ ✤➳♥ x✳ • ▼å✐ ❞➣② ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✭②➳✉✮ ✤➲✉ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ t❤❡♦ sü ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỗ t t ổ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ t❤➻ sü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➔ sü ❤ë✐ tö ②➳✉ tữỡ ữỡ {xn }n0 ởt ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H t❤➻ t❛ tr r ữủ ởt tử ◆➳✉ {xn }n≥0 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ H t❤➻ t❛ tr➼❝❤ r ữủ ởt tử t❤❡♦✱ t❛ s➩ ♥➯✉ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❦➳t q ỡ t ỗ ữủ t tr♦♥❣ ❬✶❪✱ ❬✶✵❪✳ ❳➨t C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ❚➟♣ C tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ H ✤÷đ❝ ởt t ỗ x, y C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C ✼ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ✣✐➸♠ a ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜✐➯♥ ❝õ❛ C ♥➳✉ ♠å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a ✤➲✉ ❝â ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ C ✈➔ ✤✐➸♠ ❦❤ỉ♥❣ t❤✉ë❝ C ❀ ❚➟♣ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ♥➳✉ C ❝❤ù❛ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♥â❀ ❚➟♣ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ♥➳✉ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ C ởt t ỗ ổ rt ✈➔ x ∈ C ✳ ◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ♥❣♦➔✐ ❝õ❛ C ữủ ỵ H NC (x) := {w| w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ❳➨t ❤➔♠ f : H → R ∪ {+∞}✳ ❑❤✐ ✤â✿ ✭✐✮ ❍➔♠ f ữủ ỗ tr H f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); f ữủ ỗ t tr➯♥ H ♥➳✉ f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x = y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); ✭✐✐✐✮ ❍➔♠ f ✤÷đ❝ ỗ tr H ợ số η > ♥➳✉ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − η λ(1 − λ) x − y 2, ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y H, (0, 1) ữợ ởt số q tở ỗ ❱➼ ❞ö ✶✳✷✳ ✶✳ ❍➔♠ ❛❢❢✐♥❡✳ f (x) = aT x + b✱ tr♦♥❣ ✤â a ∈ Rn, b ∈ R ỗ õ t tự f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 )f (y), õ õ ổ ỗ t C = ởt t ỗ ✣➦t δC := ∀x, y ∈ H, λ ∈ (0, 1) ❦❤✐ x ∈ C +∞ ❦❤✐ x ∈ /C C C ỗ C ỗ sỷ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❍➔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❚❛ ♥â✐ δC ❧➔ dC (y) ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✿ dC (y) = inf x − y x∈C ✷✻ ✤÷đ❝ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶ t❤♦↔ ♠➣♥ t t s ỗ t M > s❛♦ ❝❤♦ n x −y 2−T1 n ≤ M.λn , x n+1 −y n 2−T2 ≤ M.λn ∀n ỗ t L > s xn+1 − x ≤ xn − x + 2λn f (xn , x) + L.λn2−T ∀x ∈ C, ✈ỵ✐ T := min{T1, T2} ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭❛✮ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✸ t❛ t❤➜② y n ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t ỗ min{n f1 (xn , t) + t − xn , t ∈ C} · −xn )(y n ) + NC (y n ), ỵ r r tỗ t w ∂f1 (xn , ·)(y n ) ✈➔ v ∈ NC (y n ) := {z ∈ H : x − y n ≤ 0, ∀x ∈ C} s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ∈ ∂(λn f1 (xn , ·) + = λn w + y n − xn + v ❉♦ ✤â v = xn − y n − λn w ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ NC (y n ) t❛ ❝â xn − y n − λn w, x − y n ≤ 0, ∀x ∈ C ❤❛② tữỡ ữỡ ợ xn y n , x y n ≤ λn w, x − y n , ∀x ∈ C ❚ø w ∈ ∂f1 (xn , ·)(y n ), t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ λn (f1 (xn , x)−f1 (xn , y n )) ≤ λn w, x−y n ≤ xn −y n , x−y n ∀x ∈ C ✭✷✳✷✮ ❚r♦♥❣ ✭✷✳✷✮✱ ❝❤♦ x = xn ∈ C, t❛ ✤÷đ❝ ≤ xn − y n ≤ −λn f1 (xn , y n ) = λn |f1 (xn , y n )| t tử Hă older ✈ỵ✐ ❜✐➳♥ t❤ù ♥❤➜t ❤♦➦❝ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ f1 ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t f1 (x, x) = 0, ∀x ∈ C, tỗ t Q1 > s |f1 (xn , y n )| ≤ Q1 xn − y n ❑➳t ❤đ♣ ✭✷✳✸✮ ✈➔ ✭✷✳✹✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ xn − y n 2−T1 ≤ (λn Q1 ) T1 ✭✷✳✹✮ ✷✼ ❤❛② xn − y n ≤ (Q1 λn ) 2−T1 ▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ tø xn+1 = arg min{λn f2 (y n , t) + t − y n , t ∈ C} t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ f2 (y n , x) − f2 (y n , xn+1 ) ≤ y n − xn+1 , x − xn+1 ∀x ∈ C ✭✷✳✺✮ ❚r♦♥❣ ✭✷✳✺✮ ❧➜② x = y n ✈➔ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tử Hă older ợ tự t f2 t ❝â xn+1 − y n ≤ (Q2 λn ) 2−T2 2−T1 ✣➦t M := max(Q1 , Q 2−T2 ), t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ ♥❤÷ ♠♦♥❣ ♠✉è♥✳ ✭❜✮ ❚ø ✭✷✳✺✮✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C, t❛ ❝â xn+1 − x = xn+1 − y n + y n − x = y n − x − y n+1 − y n ≤ y n − x − xn+1 − y n + xn+1 − y n , y n − x + xn+1 − y n , xn+1 − x + 2λn f2 (y n , x) − f2 (y n , xn+1 ) ✭✷✳✻✮ ▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ tø ✭✷✳✷✮ t❛ ❝â yn − x ≤ xn − x − y n − xn + 2λn f1 (xn , x) − f1 (xn , y n ) ✭✷✳✼✮ ❑➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✻✮ ✈➔ ✭✷✳✼✮✱ sỷ t tử Hă older fi , i = 1; 2, t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ xn+1 −x ≤ xn −x +2λn (f1 (xn , x)+f2 (y n −x)−f1 (xn , y n )−f2 (y n , xn+1 )) ≤ xn − x + 2λn (f (xn , x) + |f2 (y n − x) − f2 (xn , x)| + f1 (xn , y n )) ≤ xn −x +2λn (f (xn , x)+Q2 xn −y n ≤ xn − x T2 +Q1 xn −y n T1 +Q2 y n −xn+1 L = 2(Q2 Q1 2−T1 + Q1 ) ✭✷✳✽✮ + 2λn f (xn , x) + L.λn2−T T2 1−T1 T2 2−T2 + Q2 ), T = min{T1 , T2 } ❙ü ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶ ữủ ỵ ữợ C t ỗ õ rộ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H ✈➔ ❣✐↔ sû r➡♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ❇ê ✤➲ ✷✳✹ ✤ó♥❣✳ ✣➦t T : = min{T1, T2} ●✐↔ sû r➡♥❣ ❞➣② {λn} t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ∞ ∞ λn = ∞, n=1 λn2−T < ∞ ✭✷✳✾✮ n=1 ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② sè {z n} ✤÷đ❝ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✶ ❤ë✐ tư ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❊P(C, f )✳ ✷✽ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ự ỵ ữủ t ữợ s ữợ {xn }, {z n } ❧➔ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚❤ü❝ r❛✱ tr♦♥❣ ✭✷✳✽✮✱ ❧➜② x = x∗ ∈ S ⊂ C, t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷ t❛ ❝â f (xn , x∗ ) ≤ 0, ∀n ≥ ❉♦ ✤â✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ xn+1 − x∗ ≤ xn − x∗ 2 + L.λn2−T ❚ø ❇ê ✤➲ ✷✳✶✱ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ lim xn x n tỗ t {xn } tự tỗ t số tỹ k > s❛♦ ❝❤♦ xn ≤ k ∀n ≥ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ z n t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ z n n k k=1 λk x n k=1 λk ≤ ≤ k ❉♦ {z n } ❧➔ ❜à tỗ t ởt {z ni } ⊂ {z n } s❛♦ ❝❤♦ z ni → z¯ C ữợ r z S ❚❛ t❤✉ ✤÷đ❝ tø ✭✷✳✽✮ xn+1 − x − xn − x 2 ≤ 2λn f (xn , x) + L.λn2−T ∀x ∈ C ❉♦ ✈➟②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sỷ t ỗ f (ã, y) t ✤↕t ✤÷đ❝ ni +1 x −x n − |x − x ni k=1 λk 2 ≤ ≤ ≤ ni ni 2−T k k=1 λk k=1 λk f (x , x) + ni ni λ k k=1 k=1 λk ni ni 2−T k λ λ x k=1 k k 2f , x + L k=1 ni ni k=1 λk k=1 λk ni 2−T ni k=1 λk 2f (z , x) + L ni k=1 λk ∞ 2−T ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➜② ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ i , rỗ sỷ n=1 n = , n=1 λn , z ni z¯ ✈➔ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ②➳✉ ❝õ❛ ❤➔♠ f (·, x), t❛ t❤➜② r➡♥❣ f (¯ z , x) ≥ lim supi→∞ f (xni , x) ≥ 0, ∀x ∈ C ✣✐➲✉ ♥➔② r➡♥❣ z S S t õ ỗ rộ ợ ộ xn , tỗ t un s❛♦ ❝❤♦ un = PS (xn ) ✷✾ t ự ỵ t ự ♠✐♥❤ r➡♥❣ un → z¯ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤â✱ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② {z k } ✤➲✉ ❜➡♥❣ z¯ ✈➔ t♦➔♥ ❜ë ❞➣② {z k } tử z ữợ un ❤ë✐ tö✳ ❱➻ un ∈ S ✈➔ f ❧➔ ❤➔♠ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ f (xk , un ) ≤ ∀x ≥ ❚ø ✭✷✳✽✮✱ t❛ ❝â ∞ x n+p n n −u n ≤ x −u 2−T ✭✷✳✶✵✮ λk +L k=n ❱➻ un+p = arg min{ y − xn+p }, y ∈ S ♥➯♥ t❛ ❝â xn+p − un+p ≤ xn+p − (un + un+p ) ✭✷✳✶✶✮ ❑➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✶✶✮ t❛ ❝â un+p − un = (un+p − xn+p ) + (xn+p − un ) un+p − xn+p + xn+p − un ≤ xn+p − un 2 − xn+p − (un + un+p ) − un+p − xn+p ∞ n n ≤2 x −u n+p −2 u n+p −x + 2L 2−T λk k=n ❚ø ✤â✱ s✉② r❛ r➡♥❣ ∞ n+p u −x n+p n n ≤ x −u λk2−T , ∀n, p ≥ +L k=n ❉♦ ✈➟②✱ ∞ m lim sup u − x m m→∞ ❱➻ lim n→∞ n ≤ u −x n 2 λk2−T , ∀n ≥ +L k=n ∞ 2−T k=n λk = 0, t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ lim xn un n tỗ t t ủ ♥➔② ✈ỵ✐ ✭✷✳✶✷✮ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ lim un+p − un n→∞ 2 = ∀p ≥ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ r➡♥❣ {un } ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤②✱ ❞♦ õ õ tử z ữợ r➡♥❣ zˆ = z¯ ❚ø un = PS (xn ), sû ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✱ t❛ ❝â y − un , un − xn ≥ 0, ∀y ∈ S ✭✷✳✶✷✮ ✸✵ ❉♦ z¯ ∈ S, t❛ ❝â z¯ − un , xn − un ≤ ❑❤✐ ✤â z¯ − zˆ, xn − un = z¯ − un , xn − un + un − z¯, xn − un = un − zˆ, xn − un = un − zˆ xn − un ≤ p un − zˆ ✭✷✳✶✸✮ ❚r♦♥❣ ✤â✱ p = sup{ xn − un : n ≥ 1} < ∞ ❍➣② ✈✐➳t ✭✷✳✶✸✮ ✈ỵ✐ ✶ ❝❤➾ sè k ✈➔ ❧➜② tê♥❣ tø k = tỵ✐ ni , t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ni ni ni k z¯ − zˆ, k λk x − k=1 λk u k=1 ❉♦ ✤â✱ λk uk − zˆ ≤ p k=1 ni ni k λk uk − zˆ λk u k=1 ni z¯ − zˆ, z ni − ≤ p k=1 ni λk λk k=1 k=1 ∞ ❱➻ un → zˆ, λk = ∞, →♣ ❞ư♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✱ ✈ỵ✐ an = un − zˆ t❛ ❝â k=1 ni λk uk − zˆ lim k=1 = ni i→∞ λk k=1 ni ni λk uk − zˆ k λk u ❙❛✉ ✤â✱ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ k=1 ni − zˆ ≤ k=1 ❚❛ s✉② r❛ r➡♥❣ ni λk λk k=1 k=1 ni λk uk k=1 ni i→∞ lim = zˆ λk k=1 ❱➻ z ni → z¯, ✤✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ z¯ − zˆ, z¯ − zˆ ≤ 0, tø ✤â s✉② r❛ zˆ = z¯ ✈➔ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ t ú ỵ ợ T (0; 1], t❛ ❝â −2 T ∈ (1; 2] ❇➙② ❣✐í✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ n ≥ 1, t❛ t❤➜② λn = n1α ✈ỵ✐ α ∈ ( −2 T , 1] t❤➻ ❞➵ ❞➔♥❣ s✉② r❛ r➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤÷đ❝ t t f2 = tr ỵ ✷✳✷✱ t❛ ❝â ❤➺ q✉↔ s❛✉ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳ ✣➦t C t ỗ õ rộ tr H f : C × C → R ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ✶✳ f ❧➔ ❤➔♠ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tử T Hăolder ợ tự t ❤♦➦❝ t❤ù ❤❛✐✳ ✷✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ x ∈ C, f (x, ã) ỗ ỷ tử ữợ f (ã, x) ❧➔ ❧ã♠✱ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ②➳✉ ✈➔ f (x, x) = ✸✳ S = ∅ ●✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ {λn } ❧➔ ♠ët ❞➣② sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ∞ ∞ λn = ∞, n=1 λn2−T < ∞ n=1 n ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {z } ✤÷đ❝ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ t❤✉➟t t♦→♥ s❛✉✿ ❈❤å♥ x0 ∈ H n n+1 n+1 ♥❤÷ s trữợ x , t x , z xn+1 = arg min{λn f (xn , t) + t − xn : t ∈ C} n+1 k λ x k n+1 = k=1 z n+1 k=1 λk s➩ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ S ❱➼ ❞ư ✷✳✶✳ ❈❤♦ ❤➔♠ f :R×R→R C =H =R f1 (x, y) = P x + Qx + q; y − x f2 (x, y) = y − x ✈ỵ✐ P = ,Q = ①→❝ ✤à♥❤ ❳➨t λn = n +1 (0; 1) ữợ x0 = z = (0; 0), n = ❞÷ì♥❣✱ q = ữợ 1 f1 (x0 , t) + t − x0 2 = arg f1 (0, t) + t y = arg ✣➦t t t = (t1 , t2 ), f1 (0, t) = q, t = t1 − 2t2 , t = t21 + t22 ϕ0 (t) = f1 (0, t) + ✈ỵ✐ ♥➯♥ 1 ϕ0 (t) = t21 + t22 + t1 − 2t2 2 ∂ϕ0 =0 ∂t ✣↕t ❦❤✐ ∂ϕ0 =0 ∂t2 ⇒ y = (−1; 2) ⇔ t1 + = t2 − = x1 = arg f2 (y , t) + ✣➦t ⇔ t1 = −1 t2 = t − y0 2 t − y0 2 f2 (y , t) = t − − y = t21 + t22 − 1 t − y = (t1 + 1)2 + (t2 − 2)2 2 φ0 (t) = f2 (y , t) + ◆➯♥ φ0(t) = 32 t21 + 23 t22 + t1 − 2t2 − 52 ∂φ0 =0 3t1 + = ∂t ✣↕t ❦❤✐ ∂φ0 ⇔ 3t2 − = =0 ∂t2 −1 ⇒ x1 = ; 3 λ1 x1 −1 ⇒z = = x1 = ; λ1 3 ữợ n = 1, z = x1 = −1 ; 3 y = arg −1 t1 = ⇔ t2 = 1 f1 (x1 , t) + t − x1 2 ✸✸ ✣➦t 1 ϕ1 (t) = f1 (x1 , t) + t − x1 2 t1 + , 2 t2 − f1 (x1 , t) = P x1 + Qx1 + q, t − x1 = t − x1 = t1 + ◆➯♥ ϕ1(t) = 12 ⇒ y1 = t1 + −1 ; 3 3 2 + x2 = arg ✣➦t 2 t2 − + t2 − =0 1 f2 (y , t) + t − y 2 1 φ1 (t) = f2 (y , t) + t − y 2 1 2 2 = ( t − y ) + t1 + + t2 − 3 2 2 = t1 + t22 − + t1 + + t2 − 3 ∂φ1 −1 2t1 + 2(t1 + ) = t1 = =0 ∂t1 ⇔ ⇔ ✣↕t ❦❤✐ ∂φ 1 2t2 + 2(t2 − ) = t2 = =0 3 ∂t2 1 x + x −1 λ1 x + λ2 x 2 = −4 ; ⇒x = ; ⇒z = = 1 3 λ1 + λ2 15 15 + ✷✳✷ ❚❤✉➟t t♦→♥ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈➔ sü ❤ë✐ tö ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ s♦♥❣ s♦♥❣ ❈❤å♥ ❞➣② {λn } ⊂ (0, ∞) ữợ x0 H t t0 = x0 , n = ữợ xn , t➼♥❤ y n , z n , xn+1 ✈➔ tn+1 ♥❤÷ s❛✉✿ t − xn z n = arg min{λn f2 (xn , t) + t − xn n n y + z xn+1 = n+1 k n+1 k=1 λk x t = n+1 k=1 λk y n = arg min{λn f1 (xn , t) + : t ∈ C} : t C} ữợ t n := n + q ữợ ỹ tử t t ữủ ỵ ữợ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (B1) − (B3) ✤÷đ❝ t❤♦↔ ♠➣♥❀ s♦♥❣ ❤➔♠ fi Ti Hăolder tử t tự t t❤ù ❤❛✐ (i = 1, 2) ❚❤➯♠ ♥ú❛✱ λn = ∞; λn < ∞ ✈ỵ✐ T : = min{T1, T2}✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② 2−T n=1 n {t } n=1 ✤÷đ❝ s✐♥❤ r❛ ❜ð✐ ❚❤✉➟t t♦→♥ ✷ ❤ë✐ tư ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ S ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ✭✷✳✷✮ s✉② r❛ r➡♥❣ xn − y n , x − xn ≤ λn [f1 (xn , x) − f1 (xn , y n )] − xn − y n , x ∈ C ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â xn − z n , x − xn ≤ λn [f1 (xn , x) − f2 (xn , z n )] − xn − z n , x ∈ C yn + zn t❛ t❤✉ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❝ë♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ✈➔ sû ❞ư♥❣ xn+1 = ✤÷đ❝ xn − xn+1 , x − xn ≤ λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) − f2 (xn , z n )] − xn − y n − xn − z n ❉♦ ✤â✱ xn+1 − x = xn − x + xn+1 − xn + xn+1 − xn , xn − x ≤ xn − x + xn+1 − xn + λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) −f2 (xn , z n )] − xn − y n − xn − z n n (y − xn ) n n n n +(z − x ) − x − y − xn − z n ≤ xn − x + λn f (xn , x) + λn |f1 (xn , y n )| + λn |f2 (xn , z n )| ≤ xn − x + λn [f (xn , x) − f1 (xn , y n ) − f2 (xn , z n )] + ≤ xn − x + λn f (xn , x) + K.λn2−T ✸✺ P❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tữỡ tỹ ữ ự ỵ ✷✳✷✳ ❈❤♦ ❤➔♠ f :R×R→R C =H =R f1 (x, y) = P x + Qx + q; y − x f2 (x, y) = y − x ✈ỵ✐ P = ,Q = ①→❝ ✤à♥❤ ❳➨t ❞➣② λn = n +1 (0; +) ữợ x0 = t0 = 0, n = ❞÷ì♥❣✱ q = 1 ữợ y = arg f1 (x0 , t) + t − x0 2 :t∈R ✣➦t t 1 = t1 + t2 + t21 + t22 2 ϕ0 (t) = f1 (0, t) + ∂ϕ0 =0 ∂t ✣↕t ❦❤✐ ∂ϕ0 =0 ∂t2 ⇒ y = (−1; −1) ⇔ t1 + = t2 + = z = arg f2 (x0 , t) + ✣➦t ⇔ t1 = t2 = −1 t − x0 2 t = (t21 + t22 ) φ0 (t) = f2 (0, t) + = t + t 2 ⇒ z = (0; 0) y0 + z0 −1 −1 ⇒x = = ; 2 :t∈R ✸✻ t1 = x1 = ữợ t õ −1 ; 2 y = arg 1 f1 (x1 , t) + t − x1 2 1 ϕ1 (t) = f1 (x1 , t) + t − x1 2 :t∈R f1 (x1 , t) = P x11 + Qx12 + q, t − x1 −1 −1 t1 + = −1 , −1 t2 + 2 1 −1 t1 + − t2 + = 2 2 −1 −1 = t1 − t2 − 2 1 t − x1 = (t1 + )2 + (t2 + )2 2 1 1 1 ⇒ ϕ1 (t) = (t1 + )2 + (t2 + )2 − t1 − t2 − 2 2 ∂ϕ 1 t1 + − = =0 −1 ∂t1 ✣↕t ❦❤✐ ∂ϕ ⇔ t = t = ⇔ 1 t2 + − = =0 ∂t2 −1 −1 ⇒ y1 = ( ; ) 4 z = arg ✣➦t ✣↕t 1 f2 (x1 , t) + t − x1 2 1 φ1 (t) = f2 (x1 , t) + t − x1 2 1 = ( t − x1 ) + t1 + + 2 1 1 = t21 + t22 − + t1 + + 2 2 ∂φ1 t1 + t2 + = =0 ∂t1 ❦❤✐ ∂φ ⇔ 1 t2 + t2 + = =0 ∂t2 1 t2 + 2 t2 + 2 ⇔ t1 = t2 = −1 ✸✼ ⇒ z1 = ( −1 −1 ; ) 4 −1 −1 y1 + z1 = ; x = 4 ❈â 1 x + x λ1 x + λ2 x 2 = x1 + x2 t = = 1 λ1 + λ2 + 3 2 −2 −2 = x + x =( ; ) 5 5 ✸✽ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ t❤ü❝ t✐➵♥✱ tr t ỵ tr tt ỵ t❤✉②➳t trá ❝❤ì✐✱ tr♦♥❣ ✈➟♥ t↔✐✱ ❦✐♥❤ t➳✱ ❤➺ t❤è♥❣ ♠↕♥❣✳✳✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❜❛♦ ❤➔♠ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ q trồ ữ t ỗ t tự ♣❤➙♥✱ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❑❛❦✉t❛♥✐✱ ❜➔✐ t♦→♥ ♠♥✐♠❛①✱ ♠æ ❤➻♥❤ s tt t ợ ữủ ỹ tr➯♥ t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ tê♥❣ ❤❛✐ s♦♥❣ tr õ t õ t ỷ ỵ ộ ❝õ❛ s♦♥❣ ❤➔♠ ❜❛♥ ✤➛✉ ♠ët ❝→❝❤ ✤ë❝ ❧➟♣✳ ❚❛ ❝ơ♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❤ë✐ tư ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤➲ ❝➟♣ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ♥❤➜t ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❑② ❋❛♥✳ ✷✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❣✐↔✐ ♠ët ❧ỵ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝✳ ❙ü ❤ë✐ tư ❝õ❛ t❤✉➟t t♦→♥ ✤➣ ✤÷đ❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t✳ ✸✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ◆❣✉②➵♥ ❱➠♥ ❍✐➲♥✱ ▲➯ ❉ơ♥❣ ▼÷✉✱ ◆❣✉②➵♥ ❍ú✉ ✣✐➸♥ t ỗ ự ố ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐ ✳ ◆❤➟♣ ♠ỉ♥ ❬✷❪ ▲➯ ❉ơ♥❣ ▼÷✉ ✭✷✵✵✸✮✱ ✧❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✧✱ ♣r❡♣r✐♥t✱ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❱❆❙❚✳ ❬✸❪ ❚r➛♥ ❱ô ❚❤✐➺✉✱ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉ ❚❤õ② ✭✷✵✶✶✮✱ t✉②➳♥✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✹❪ ❍♦➔♥❣ ❚ö② ✭✷✵✶✵✮✱ ❍➔ ◆ë✐✳ ●✐→♦ tr➻♥❤ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ ❍➔♠ t❤ü❝ ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ◆❳❇ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✺❪ ❊✳ ❇❧✉♠ ❛♥❞ ❲✳ ❖❡tt❧✐ ✭✶✾✾✹✮✱ ❋r♦♠ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥✲ ❡q✉❛❧✐t② t♦ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❚❤❡ ▼❛t❤✳ ❙t✉❞❡♥t✳ ✻✸✱ ♣♣✳ ✶✷✼✲✶✹✾✳ ❬✻❪ ❚r✐♥❤ ◆❣♦❝ ❍❛✐ ❛♥❞ ◆❣✉②❡♥ ❚❤❡ ❱✐♥❤ ✭✷✵✶✼✮✱ ✧❚✇♦ ♥❡✇ s♣❧✐tt✐♥❣ ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠s ❢♦r ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✧✱ ❘❆❈❙❆▼✱ ✶✶✶✱ ■ss✉❡ ✹✱ ♣♣✳ ✶✵✺✶✕✶✵✻✾✳ ❉❖■✿ ✶✵✳✶✵✵✼✴s✶✸✸✾✽✲✵✶✻✲✵✸✹✼✲✻✳ ❬✼❪ ■❣♦r ❑♦♥♥♦✈ ✭✷✵✵✶✮✱ ❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✳ ❈♦♠❜✐♥❡❞ ❘❡❧❛①❛t✐♦♥ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥✲ ❬✽❪ ●✳▼✳❑♦r♣❡❧❡✈✐❝❤ ✭✶✾✼✻✮✱ ❚❤❡ ❡①tr❛❣r❛❞✐❡♥t ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❢✐♥❞✐♥❣ s❛❞❞❧❡ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ♦t❤❡r ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❊❦♦♥✳ ▼❛t❤✳▼❡t♦❞②✳ ✶✷✱ ♣♣✳ ✼✹✼✲✼✺✻✳ ❬✾❪ ▲✳❉✳▼✉✉ ❛♥❞ ❲✳ ❖❡tt❧✐ ✭✶✾✾✷✮✱ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ❛❞❛♣t✐✈❡ ♣❡♥❛❧t② s❝❤❡♠❡ ❢♦r ❢✐♥❞✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❡q✉✐❧✐❜r✐❛✱ ◆♦♥❧✐♥✳ ❆♥❛❧✳ ❚▼❆✳ ✶✽✱ ♣♣✳ ✶✶✺✾✲✶✶✻✻✳ ❬✶✵❪ ❘✳❚✳❘♦❝❦❛❢❡❧❧❛r ✭✶✾✼✵✮✱ Pr✐♥❝❡t♦♥✱ ◆❡✇ ❏❡rs❡②✳ ❈♦♥✈❡① ❆♥❛❧②s✐s✱ Pr✐♥❝❡t♦♥ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✹✵ ❆♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ✐♥❡q✉❛❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠s ❛♥❞ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r ❛ ♥♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ s❡♠✐✲ ❣r♦✉♣ ✐♥ ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✱ ❇✉❧❧❡t✐♥ ♦❢ t❤❡ ▼❛❧❛②s✐❛♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐✲ ❬✶✶❪ ◆✳❚✳❚✳ ❚❤✉②✱ ❡♥❝❡s ❙♦❝✐❡t②✱ ✭t♦ ❛♣♣❡❛r✮✳ ❬✶✷❪ ◗✳❉✳ ❚r❛♥✳✱ ▲✳❉✳ ▼✉✉ ❛♥❞ ❱✳❍✳ ◆❣✉②❡♥ ✭✷✵✵✽✮✱ ❊①tr❛❣r❛❞✐❡♥t ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❡①t❡♥❞❡❞ t♦ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❖♣t✐♠✳ ✺✼✱ ♣♣✳ ✼✹✾✲✼✼✻✳