(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ

(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ(Luận văn thạc sĩ) Tính liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ DƯƠNG TÍNH LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN THỊ DƯƠNG TÍNH LIÊN THƠNG CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VECTƠ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2021 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm hàm lồi suy rộng 1.2 Các định lý tách tập lồi 1.3 Định lý tách không lồi 11 Tính liên thơng tập nghiệm toán cân vectơ mạnh áp dụng 19 2.1 Tính liên thơng tập nghiệm toán cân vectơ mạnh 19 2.2 Tính liên thơng tập nghiệm tốn tối ưu tuyến tính 25 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Mở đầu Bài tốn cân vectơ mơ hình hợp số toán chẳng hạn toán tối ưu vectơ, toán bất đẳng thức biến phân vectơ, toán bù vectơ, toán điểm yên ngựa vectơ Một đề tài quan trọng tốn cân vectơ khảo sát tính chất tập nghiệm tốn Tính liên thơng tập nghiệm cho ta biết khả di chuyển liên tục từ nghiệm đến nghiệm khác Y Xu P Zhang ([3], 2018) nhận kết tính liên thơng đường tập nghiệm toán cân vectơ mạnh áp dụng cho tốn tối ưu vectơ 1.2 Mục đích đề tài luận văn Luận văn trình bày kết tính liên thơng tính liên thơng đường tập nghiệm toán cân vectơ mạnh áp dụng cho toán tối ưu vectơ, đăng tạp chí Journal of Optimization Theory and Applications, 178 (2018) Nội dung đề tài luận văn vấn đề cần giải Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương với tiêu đề "Một số kiến thức chuẩn bị", trình bày số kiến thức giải tích hàm giải tích lồi; định lý tách tập lồi định lý tách tập khơng lồi Chương với tiêu đề "Tính liên thơng tập nghiệm tốn cân vectơ mạnh áp dụng", trình bày kết tính liên thơng tính liên thơng đường tập nghiệm toán cân vectơ mạnh áp dụng cho tốn tối ưu vectơ tuyến tính Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán, khoa Toán - Tin phòng chức trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập q trình hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng 01 năm 2021 Tác giả luận văn Phan Thị Dương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích hàm ánh xạ đa trị nửa liên tục, tập liên thông, liên thơng đường; giải tích lồi ánh xạ đơn điệu; định lý tách tập lồi định lý tách tập khơng lồi Các kiến thức trình bày Chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm hàm lồi suy rộng Trong phần ta nhắc lại số kí hiệu định nghĩa sử dụng sau Giả sử X không gian vectơ định chuẩn Rn không gian Euclid n-chiều Bao đóng, phần bù, phần tơpơ, biên bao lồi tập A ⊆ Rn kí hiệu tương ứng cl A, Ac , int A bd A, conv A Kí hiệu R++ := {x ∈ R : x > 0} Giả sử y = (y1 , , yn )T ∈ Rn ; y(1− ) := (y2 , , yn )T , y(i− ) := (y1 , , yi−1 , yi+1 , , yn )T , i = 2, , n − 1, y(n− ) := (y1 , , yn−1 )T , kí hiệu T phép chuyển vị Ký hiệu y = n i=1 |yi |, y = (y12 + · · · + yn2 ) y ∞ = max{|y1 |, , |yn |} tương ứng l1 , l2 (Euclid) l∞ chuẩn vectơ y Kí hiệu B(x, δ) hình cầu mở tâm x ∈ Rn bán kính δ > Với hàm giá trị thực ϕ : X → R, ta đặt leυ>0 ϕ := {x ∈ X : ϕ(x) > 0}, gọi tập mức dương hàm ϕ Giả sử Ω tập mở X F : X × X → Rn Xét toán cân vectơ mạnh sau đây: (SVEP) Tìm x ∈ Ω cho F (x, y) ∈ / −Rn+ \ {0Rn }, ∀y ∈ Ω (1.1) Kí hiệu tập nghiệm SVEP SOL(F, Ω) Định nghĩa 1.1 Giả sử Λ không gian định chuẩn Ánh xạ đa trị G : Λ ⇒ Rm gọi ¯ ∈ Λ với tập mở V ⊆ Rm với (i) Nửa liên tục (l.s.c) λ ¯ ¯ δ), G(λ)∩V = ∅ G(λ)∩V = ∅, tồn δ > cho với λ ∈ B(λ, ¯ ∈ Λ với tập mở V ⊆ Rm với (ii) Nửa liên tục (u.s.c) λ ¯ ⊆ V , tồn δ > cho với λ ∈ B(λ, ¯ δ), G(λ) ⊆ V G(λ) Ta nói G nửa liên tục (t ư., nửa liên tục trên) Λ, nửa liên tục (t ư., nửa liên tục trên) λ ∈ Λ G gọi liên tục Λ nửa liên tục nửa liên tục trên Λ Sau ta định nghĩa tính đơn điệu Định nghĩa 1.2 ([3]) Giả sử K nón lồi khơng gian định chuẩn Y g : A ⊆ Y → R hàm A (a) Hàm g gọi K-đơn điệu A với y1 , y2 ∈ A, ta có y1 − y2 ∈ K ⇒ g(y1 ) ≥ g(y2 ) (b) Hàm g gọi K-đơn điệu mạnh A với y1 , y2 ∈ A, ta có y1 − y2 ∈ K \ {0Y } ⇒ g(y1 ) > g(y2 ) (c) Hàm g gọi K-đơn điệu chặt A với y1 , y2 ∈ A, ta có y1 − y2 ∈ intK ⇒ g(y1 ) > g(y2 ) Định nghĩa 1.3 Giả sử K nón lồi Rn A tập không gian định chuẩn Y Giả sử ϕ : A → Rn (i) ϕ gọi tựa K-hàm thường A với x1 , x2 ∈ A λ ∈ (0, 1), ta có ϕ(x1 ) ∈ ϕ(λx1 +(1−λ)x2 )+K ϕ(x2 ) ∈ ϕ(λx1 +(1−λ)x2 )+K (ii) ϕ gọi tựa K-hàm thường mạnh A với x1 , x2 ∈ A λ ∈ (0, 1) ta có ϕ(x1 ) ∈ ϕ(λx1 + (1 − λ)x2 ) + K \ {0Y } ϕ(x2 ) ∈ ϕ(λx1 + (1 − λ)x2 ) + K \ {0Y } Khi K ⊆ Rn+ tựa K-hàm thường (tựa thường mạnh) gọi tựa K-lồi thường (tựa thường mạnh); K ⊆ −Rn+ tựa K- hàm thường (hoặc tựa thường mạnh) gọi tựa K-lõm thường (tựa thường mạnh) Nhận xét 1.1 Rõ ràng ϕ tựa K-hàm thường mạnh ϕ tựa K-hàm thường Nhận xét 1.2 Trong [5], Warburton cho định nghĩa tựa lõm mạnh (tựa lồi mạnh) hàm giá trị thực g : A → R, nghĩa g gọi tựa lõm mạnh (tựa lồi mạnh) A với x1 , x2 ∈ A với λ ∈ (0, 1), ta có g(λx1 + (1 − λ)x2 ) > ( Vì Ω tập compact, khơng tính tổng quát, tồn {yn } ⊂ Ω với yn → y0 Do tính liên tục ω(·, ·) F (·, ·) tồn N ∈ N cho ω (−F (xn , yn ); αn ) > 0, ∀n ≥ N Điều mâu thuẫn với (2.3) Vì vậy, x0 ∈ Γ(α0 ) Hơn nữa, xn → x0 x0 ∈ Γ(α0 ) ⊆ W0 , ta có xn ∈ W0 với n đủ lớn, điều mâu thuẫn (2.4) Do đó, Γ(·) nửa liên tục trên R++ Bổ đề 2.3 Cho Ω tập compact Giả sử (i) F (·, ·) liên tục Ω × Ω; (ii) Với y ∈ Ω, F (·, y) tựa C-lõm thường mạnh Ω Khi đó, Γ(·) nửa liên tục R++ Chứng minh Để chứng minh kết phản chứng ta giả sử tồn α ∈ R++ cho Γ(·) không nửa liên tục α0 Khi tồn x0 ∈ Γ(α0 ), lân cận W0 0Rn dãy {αn } với αn → α0 , cho (x0 + W0 ) ∩ Γ(αn ) = ∅, ∀n ∈ N (2.5) Bây ta xét hai trường hợp sau Trường hợp Γ(α0 ) tập điểm Giả sử xn ∈ Γ(αn ), ∀n ∈ N (2.6) Rõ ràng, xn ∈ Ω Bởi Ω compact, khơng tính tổng qt ta giả sử xn → x¯ Tương tự chứng minh Bổ đề 2.2, ta nhận 22 x¯ ∈ Γ(α0 ) Bởi Γ(α0 ) tập điểm, ta suy x¯ = x0 xn → x0 Điều với (2.6) kéo theo xn ∈ (x0 + W0 ) ∩ Γ(αn ) với n đủ lớn, điều mâu thuẫn với (2.5) Trường hợp Γ(α0 ) không tập điểm Khi đó, tồn x ∈ Γ(α0 ) cho x = x0 Do x , x0 ∈ Γ(α0 ), ta có ω (−F (x , y); α0 ) ≤ 0, ∀y ∈ Ω, (2.7) ω (−F (x0 , y); α0 ) ≤ 0, ∀y ∈ Ω (2.8) Bởi F (·, y) tựa C-lõm thường mạnh Ω với λ ∈ (0, 1), ta có − F (x , y) ∈ −F (x(λ), y) + C0 , − F (x0 , y) ∈ −F (x(λ), y) + C0 , (2.9) đó, x(λ) = λx + (1 − λ)x0 Rõ ràng tồn λ0 ∈ (0, 1) cho x(λ0 ) ∈ x0 + W0 Do (2.5), ta có x(λ0 ) ∈ / Γ(αn ) Vì vậy, tồn yn ∈ Ω, cho ω(−F (x(λ0 ), yn ); αn ) > Bởi Ω tập compact, tồn y0 ∈ Ω cho yn → y0 Do tính liên tục F (·, ·) ω(·, ·) ta suy ω(−F (x(λ0 ), y0 ); α0 ) ≥ (2.10) Do tính C-đơn điệu mạnh ω, (2.7)-(2.9) ta suy ω(−F (x(λ0 ), y0 ); α0 ) < 0, điều mâu thuẫn (2.10) Do đó, Γ(·) nửa liên tục R++ chứng minh đầy đủ Bây ta chứng minh tính liên thơng tính liên thông đường tập SOL(F, Ω) Định lý 2.1 Giả sử Ω tập compact lồi 23 (i) Với x ∈ Ω, F (x, x) ∈ C; (ii) Với y ∈ Ω, F (·, y) tựa C-lõm thường Ω; (iii) Với x ∈ Ω, F (x, ·) tựa C-lồi thường Ω; (iv) F (·, ·) liên tục Ω × Ω; (v) Với x ∈ Ω, −F (x, Ω) = C (y) y∈Ω F (x, y) tập compact với = y với y ∈ (B(0, δ) ∩ −F (x, Ω)) \ C, δ > thỏa mãn −F (x, Ω) \ B(0, δ) = ∅ Khi đó, SOL(F, Ω) tập liên thông Chứng minh Từ Định lý 1.5 Bổ đề 2.1 ta suy Γ(α) = ∅ lồi với α ∈ R++ Rõ ràng, Γ(α) liên thông Theo Định lý 1.6, ta thấy SOL(F, Ω) = Γ(α) α∈R++ Vì vậy, Bổ đề 1.1 2.2, ta thấy SOL(F, Ω) tập liên thông Nhận xét 2.1 Nếu F (x, y) = f (y) − f (x) x ∈ SOL(F, Ω) nghiệm hữu hiệu Pareto toán tối ưu vectơ sau (VOP) min(f1 (x), , fn (x)), x∈Ω (2.11) f : X → Rn f = (f1 , , fn ) Trong Hệ 4.1 [5], tác giả nhận tính liên thơng tập nghiệm hữu hiệu Pareto VOP với tính tựa lõm mạnh fi (i = 1, , n) Do khác tính tựa C-lõm mạnh f tựa lõm mạnh fi (i = 1, , n) Ta thấy từ Ví dụ 1.1 1.2, Định lý 2.1 khác với Hệ 4.1 [5] Bây ta cho ví dụ sau để trường hợp 24 Ví dụ 2.1 Cho X = R Ω = [ π2 , 2] Cho C = R2+ = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} F (x, y) = (F1 (x, y), F2 (x, y)) , x, y ∈ Ω, F1 (x, y) = = f1 (y) − f1 (x) F2 (x, y) = sin x − sin y = f2 (y) − f2 (x), f1 (x) = f2 (x) = − sin x Dễ tất điều kiện Định lý 2.1 Tuy nhiên f1 f2 khơng tựa lõm mạnh Vì Hệ 4.1 [5] không áp dụng Định lý 2.2 Giả sử Ω tập compact (i) Với x ∈ Ω, F (x, x) ∈ C; (ii) Với y ∈ Ω, F (·, y) tựa C-lõm thường mạnh Ω; (iii) Với x ∈ Ω, F (x, ·) tựa C-lồi thường Ω; (iv) F (·, ·) liên tục Ω × Ω; (v) Với x ∈ Ω, −F (x, Ω) = C (y) = y y∈Ω −F (x, y) tập compact với với y ∈ (B(0, δ) ∩ −F (x, Ω)) \ C, δ > thỏa mãn −F (x, Ω) \ B(0, δ) = ∅ Khi đó, SOL(F, Ω) tập liên thơng đường Chứng minh Từ Định lý 1.5, Bổ đề 2.1 2.2 (i) ta suy ta suy Γ(α) = ∅, lồi đóng với α ∈ R++ Do Định lý 1.6, ta biết SOL(F, Ω) = Γ(α) α∈R++ Vì vậy, từ Bổ đề 1.2 2.3, ta suy SOL(F, Ω) tập liên thông đường 25 Nhận xét 2.2 Trong không gian hữu hạn chiều Rn ta giải câu hỏi liên quan đến tính liên thơng đường SVEP, chứng minh Han Huang [4] Bây giờ, ta cho ví dụ minh họa Định lý 2.2 Ví dụ 2.2 Cho X = R Ω = [ π2 , 2] Cho C = R2+ = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} F (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y)) , x, y ∈ Ω, f1 (x, y) = −x2 + y f2 (x, y) = sin x − sin y + (1) Dễ dàng f (x, x) ∈ C với x ∈ Ω ∂f2 ∂f1 = −2x < = cos x < với x ∈ Ω, fi (·, y) (2) Bởi ∂x ∂x (i = 1, 2) đơn điệu chặt Điều kéo theo F (·, y) tựa C-lõm thường mạnh Ω điều kiện (ii) (3) Tương tự (1.2), ta F (x, ·) tựa C-lồi thường Ω với x ∈ Ω (4) Điều kiện (iv) hiển nhiên (5) Dễ kiểm tra điều kiện (v) với δ ∈ (0, 1) Vì tất điều kiện Định lý 2.2 Bằng tính toán trực tiếp ta suy SOL(F, Ω) = [ π2 , 2] Vì SOL(F, Ω) tập liên thơng đường 2.2 Tính liên thơng tập nghiệm tốn tối ưu tuyến tính Trong phần ta áp dụng Định lý 2.1 để suy tính liên thơng tập nghiệm hữu hiệu Pareto toán LVOP xét sau (LVOP) M x với ràng buộc Ax ∈ D, x ∈ Ω, K 26 M := (M1 , M2 , , Ml )T ∈ Rl×n , A := (A1 , A2 , , Ap )T ∈ Rp×n , Ω tập khác rỗng Rn , K := Rl+ D := Rp+ Nếu ta kí hiệu tập chấp nhận LVOP R, R := {x ∈ Ω : Ax ∈ D} Định nghĩa 2.1 Một điểm x ∈ R gọi nghiệm hữu hiệu Pareto LVOP M (y − x) ∈ / −K \ {0Rl }, ∀y ∈ R Ta kí hiệu tập nghiệm hữu hiệu Pareto LVOP SOL(M, A, Ω) Định nghĩa ánh xạ φ : Ω × Ω → Rl+p φ(x, y) := M (x − y) Ay Rõ ràng, x ∈ R nghiệm LVOP hệ suy rộng: φ(x, y) ∈ H, y ∈ Ω, khơng có nghiệm tương đương, φ(x, y) ∈ / H, ∀y ∈ Ω, H := K \ {0Rl } × D Ta xét hàm sau đây: l+p ψ(u; α) = −α clH (u) + ui , α ∈ R++ i=1 ánh xạ đa trị sau: Ψ(α) = {x ∈ Ω : ψ(φ(x, y); α) ≤ 0, ∀y ∈ Ω} 27 Ta giả sử Ψ(α) = ∅ với α ∈ R++ Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2, ta nhận tính chất sau ψ Mệnh đề 2.1 Ta có (i) ψ hàm giá trị thực; (ii) ψ(·; α) (1 + α)-Lipschitz theo · với α ∈ R++ ; (iii) Nếu u ∈ H ψ(u; α) > với α ∈ R++ ; (iv) ψ(·; α) dương với α ∈ R++ ; (v) ψ(·; α) lõm với α ∈ R++ ; (vi) ψ(·; α) clH-đơn điệu, clH-đơn điệu mạnh clH-đơn điệu chặt Rl+p với α ∈ R++ ; (vii) Với u , u ∈ Rl+p với u − u ∈ H (không thiết u − u ∈ clH \ {0Rl+p }), ta có ψ(u ; α) − ψ(u ; α) > Nhận xét 2.3 Dễ thấy tính chất (vii) hàm ψ mạnh tính clH-đơn điệu yếu tính clH-đơn điệu mạnh Bổ đề 2.4 Giả sử với x ∈ Ω, φ(x, Ω) = với clH (y) y∈Ω φ(x, y) tập compact = z với z ∈ (B(0, δ) ∩ φ(x, Ω)) \ H, δ > thỏa mãn φ(x, Ω) \ B(0, δ) = ∅ Khi đó, (SOL)(M, A, Ω) = Ψ(α) α∈R++ (2.12) 28 Chứng minh Chứng minh bổ đề tương tự với chứng minh Định lý 1.6 Bổ đề 2.5 Giả sử α ∈ R++ Giả sử M tựa C-lõm thường Ω Khi đó, Ψ(α) lồi với α ∈ R++ Chứng minh Do tính tựa C-lõm thường M Ω, nên ta thấy với y ∈ Ω, φ(·, y) = M (·, −y) Ay tựa clH-lõm thường Ω Vì từ Bổ đề 2.1 ta suy Ψ(α) lồi với α ∈ R++ Nhận xét 2.4 Bây ta cho lớp ma trận thỏa mãn tính tựa C-lõm thường Trước hết ta phân tích điều kiện ma trận M thỏa mãn tính tựa C-lõm thường Do định nghĩa tính tựa C-lồi thường M Ω, ta có với x1 , x2 ∈ Ω λ ∈ (0, 1), M x1 ∈ M x2 + C M x2 ∈ M x1 + C Điều kéo theo với x ∈ Rn , ta có M x ∈ C M x ∈ −C Vì vậy, ta cho lớp ma trận sau   a a2 · · · an   ka ka · · · ka  n  Mk.ai =   · · ·     ka1 ka2 · · · kan i = 1, , n 1×n k số thực khơng âm (i = 1, , n) số thực Dễ thấy Mk.ai x ∈ C Mk.ai x ∈ −C (i = 1, , n) với x ∈ Rn Do đó, Mk.ai (i = 1, , n) tựa C-lồi thường Ω 29 Bổ đề 2.6 (i) Nếu Ω đóng Ψ(α) đóng với α ∈ R++ (ii) Nếu Ω tập compact Ψ(·) nửa liên tục trên R++ Chứng minh Chứng minh tương tự Bổ đề 2.2 Định lý 2.3 Giả sử Ω tập lồi, compact điều kiện sau (i) M tựa C-lõm thường Ω; (ii) Với x ∈ Ω, φ(x, Ω) = clH(y) y∈K φ(x, y) tập compact với = z với z ∈ (B(0, δ) ∩ φ(x, Ω)) \ H, δ > thỏa mãn φ(x, Ω) \ B(0, δ) = ∅ Khi đó, SOL(M, A, Ω) tập liên thông Chứng minh Từ Bổ đề 2.5 ta suy Ψ(α) lồi với α ∈ R++ Ψ(α) liên thơng Do Bổ đề 2.4 ta thấy SOL(M, A, Ω) = Ψ(α) α∈R++ Do đó, từ Bổ đề 1.1 2.6 ta thấy SOL(M, A, Ω) tập liên thơng Bây giờ, ta cho ví dụ minh họa Định lý 2.3 Ví dụ 2.3 Cho Ω = [1, 2] × [1, 2] Cho K = D = R2+     3      M = 0 6 A= 2    1   1  (1) Ω tập compact lồi (2) Dễ thấy M tựa C-lõm thường Ω 30 (3) Dễ kiểm tra điều kiện (ii) với δ ∈ [0, 2] Vì tất điều kiện Định lý 2.3 Từ tính tốn trực tiếp ta suy SOL(M, A, Ω) = [1, 2] × {1} Do SOL(M, A, Ω) tập liên thông 31 Kết luận Luận văn trình bày kết Xu Zhang ([3], 2018) tính liên thơng tính liên thơng đường tập nghiệm tốn cân vectơ mạnh áp dụng cho toán tối ưu vectơ Nội dung luận văn bao gồm: - Một số kiến thức giải tích hàm tập liên thông tập liên thông đường số kiến thức giải tích lồi hàm đơn điệu, hàm lồi suy rộng, định lý tách tập lồi định lý tách tập không lồi - Các định lý tính liên thơng tập nghiệm toán cân vectơ mạnh - Các định lý tính liên thơng đường tập nghiệm toán cân vectơ mạnh - Các kết áp dụng cho tốn tối ưu vectơ tuyến tính Tính liên thơng tính liên thơng đường tập nghiệm toán cân vectơ đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [3] Xu, Y., Zhang, P (2018), "Conectedness of solution sets of strong vector equilibrium problems with an application", J Optim Theory Appl 178, 131-152 [4] Han, Y., Huang, N.J (2018), "Existence and connectedness of solutions for generalized vector quasi-equilibrium problems", J Optim Theory Appl 179, 65-85 [5] Warburton, A.R (1983): "Quasiconcave vector maximization: connectedness of the sets of Pareto-optimal and weak Pareto-optimal alternatives" J Optim Theory Appl 40, 537-557 [6] Giannessi, F (2005): "Constrained Optimization and Image Space Analysis Volume 1: Separation of Sets and Optimality Conditions" Springer, New York 33 [7] Geoffrion, A.M (1968): "Proper efficiency and theory of vector maximization" J Math Anal Appl 22, 618-630 ... phân vectơ, toán bù vectơ, toán điểm yên ngựa vectơ Một đề tài quan trọng tốn cân vectơ khảo sát tính chất tập nghiệm tốn Tính liên thơng tập nghiệm cho ta biết khả di chuyển liên tục từ nghiệm. .. lồi định lý tách tập khơng lồi Chương với tiêu đề "Tính liên thơng tập nghiệm tốn cân vectơ mạnh áp dụng", trình bày kết tính liên thơng tính liên thơng đường tập nghiệm toán cân vectơ mạnh áp dụng... tách tập lồi định lý tách tập khơng lồi - Các định lý tính liên thơng tập nghiệm tốn cân vectơ mạnh - Các định lý tính liên thơng đường tập nghiệm toán cân vectơ mạnh - Các kết áp dụng cho toán