Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)

Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế (LV thạc sĩ)

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học NGễ THY LINH Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế luận văn thạc sĩ toán học tháI nguyên 2016 đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Ngô thùy linh Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn B-ờng TS Nguyễn Thị Thu Thủy tháI nguyên 2016 Mc lc Li cm n Bng ký hiu Li núi u Bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian Banach 1.1 Khụng gian Banach 1.1.1 Khụng gian Banach phn x, li cht v trn 1.1.2 nh x n iu khụng gian Banach Bi toỏn bt ng thc bin phõn hn hp 1.2.1 Phỏt biu bi toỏn 1.2.2 S tn ti v tớnh cht ca nghim ca bt ng 1.2 thc bin phõn hn hp 1.2.3 1.3 Mt s trng hp c bit ca bt ng thc bin phõn hn hp 12 Mt s phng phỏp xp x nghim 13 1.3.1 Phng phỏp im gn k 14 1.3.2 Phng phỏp hiu chnh lp 15 1.3.3 Phng phỏp nguyờn lý bi toỏn ph 15 Bt ng thc bin phõn v bi toỏn cõn bng kinh t 2.1 11 16 Bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian hu hn chiu 16 2.2 2.3 2.1.1 Bi toỏn 16 2.1.2 nh ngha v mt s tớnh cht ca ma trn 18 2.1.3 S tn ti v nht nghim 20 Bt ng thc bin phõn v mụ hỡnh cõn bng cnh tranh 24 2.2.1 Cõn bng Walrasian (cõn bng cnh tranh) 24 2.2.2 p dng cho mụ hỡnh cõn bng cnh tranh 27 Bt ng thc bin phõn v mụ hỡnh cõn bng c quyn 28 2.3.1 Cõn bng c quyn 28 2.3.2 p dng cho mụ hỡnh cõn bng c quyn 30 Kt lun 34 Ti liu tham kho 35 Li cm n Lun ny c thc hin ti Trng i hc Khoa hc i hc Thỏi Nguyờn v hon thnh di s hng dn ca GS.TS Nguyn Bng, TS Nguyn Th Thu Thy Tỏc gi xin c by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc ti ngi hng dn khoa hc ca mỡnh, ngi ó t nghiờn cu, dnh nhiu thi gian hng dn v tn tỡnh gii ỏp nhng thc mc ca tỏc gi sut quỏ trỡnh lm lun Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban Giỏm hiu, Phũng o to, Ban ch nhim Khoa Toỏn - Tin, Trng i hc Khoa hc i hc Thỏi Nguyờn, cựng cỏc ging viờn tham gia ging dy cao hc Toỏn ca trng i hc Khoa hc ó to mi iu kin tt nht tỏc gi hc v nghiờn cu Tỏc gi cng xin gi li cm n ti th lp Cao hc Toỏn K8A (khúa 20142016) ó luụn ng viờn v giỳp tỏc gi rt nhiu quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu Xin cm n th c quan ban ngnh ó to iu kin giỳp tụi quỏ trỡnh hc thu thp ti liu v nghiờn cu c bit, tụi xin cm n bn bố ng nghip v gia ỡnh ó cựng chia s, giỳp ng viờn tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ny Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2016 Tỏc gi Ngụ Thựy Linh Bng ký hiu Trong ton lun ny, ta dựng nhng ký hiu vi cỏc ý ngha xỏc nh bng di õy: R s thc H khụng gian Hilbert thc X khụng gian Banach X khụng gian i ngu ca X C úng li ca H A toỏn t n iu khụng gian Hilbert dom(A) hu hiu ca toỏn t A Fix(S) im bt ng ca ỏnh x S PC (x) phộp chiu trc giao ca im x trờn C tớch vụ hng ca hai vect x v y x, y C (.) hm ch trờn C chun ca vect x x xn x xn hi t mnh n x xn xn hi t yu n x I x ỏnh x n v Li núi u Cho X l mt khụng gian Banach thc phn x, X l khụng gian liờn hp ca X, c hai cú chun u c kớ hiu l , A : X X l toỏn t n iu n tr v : X R {+} l phim hm li chớnh thng na liờn tc di Vi f X , tỡm x0 X cho A(x0 ) f , x x0 + (x) (x0 ) x X, (1) õy x , x ký hiu giỏ tr phim hm tuyn tớnh liờn tc x X ti x X Bi toỏn (1) c gi l bt ng thc bin phõn hn hp (mixed variational inequality), ụi cũn c gi l bt ng thc bin phõn loi hai (variational inequality of the second kind) Khi A l o hm Gõteaux ca mt phim hm li chớnh thng, na liờn tc di F, f X , thỡ bt ng thc bin phõn hn hp (1) tng ng vi bi toỏn cc tr li khụng kh vi F(x) + (x) xX (2) Trng hp riờng ca bt ng thc bin phõn hn hp (1), l hm ch (indicator function) ca li úng K X, l bi toỏn bt ng thc bin phõn c in (classical variational inequality): tỡm x0 K cho A(x0 ) f , x x0 x K (3) Nu K X thỡ bi toỏn cú dng phng trỡnh toỏn t A(x) = f (4) Mc ớch ca ti lun l gii thiu bt ng thc bin phõn hn hp v bi toỏn cõn bng kinh t khụng gian Banach v khụng gian hu hn chiu Rn Ni dung ca ti lun c trỡnh by hai chng Chng cú tiờu "Bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian Banach" trỡnh by khỏi nim v khụng gian Banach, ỏnh x n iu khụng gian Banach; gii thiu bi toỏn bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian Banach, s tn ti nghim v mt s trng hp c bit ca bt ng thc bin phõn hn hp; phn cui ca chng gii thiu mt s phng phỏp xp x nghim ca bt ng thc bin phõn hn hp nh phng phỏp im gn k, phng phỏp hiu chnh lp, phng phỏp nguyờn lý bi toỏn ph Chng vi tiờu "Bt ng thc bin phõn v bi toỏn cõn bng kinh t" gii thiu bi toỏn bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian hu hn chiu v ỏp dng bt ng thc bin phõn hn hp cho mụ hỡnh cõn bng cnh tranh v mụ hỡnh cõn bng c quyn kinh t Ni dung ca lun c vit trờn c s tng hp cỏc kin thc t [1], [2], [3], [4] v [6] Chng Bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian Banach Chng ny gii thiu bi toỏn bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian Banach Ni dung ca chng c trỡnh by mc Mc 1.1 nờu khỏi nim v khụng gian Banach phn x, li cht, trn v ỏnh x n iu khụng gian Banach Mc 1.2 trỡnh by khỏi nim v bi toỏn bt ng thc bin phõn hn hp, nờu s tn ti nghim v mt s trng hp c bit ca bt ng thc bin phõn hn hp Mc 1.3 gii thiu mt s phng phỏp gii bt ng thc bin phõn hn hp Cỏc kin thc ca chng ny c tng hp t cỏc ti liu tham kho [1], [2], [3], [4] v [6] 1.1 1.1.1 Khụng gian Banach Khụng gian Banach phn x, li cht v trn Cho X l mt khụng gian tuyn tớnh nh chun nh ngha 1.1.1 Nu khụng gian tuyn tớnh nh chun X l mt khụng gian mờtric y (vi khong cỏch d (x, y) = x y ) thỡ X c gi l khụng gian Banach Cho X l mt khụng gian Banach vi khụng gian i ngu l X , tc l khụng gian cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn X n gin vic trỡnh by, chun ca X v X c ký hiu l Ta vit x, x thay cho x (x) vi x X v x X Ký hiu 2X l mt h cỏc khỏc rng ca X Cho F l mt ỏnh x vi xỏc nh l D (F) v giỏ tr l R (F) Ký hiu mt cu n v ca X l SX , ú SX = {x X : x = 1} nh ngha 1.1.2 Khụng gian Banach X c gi l khụng gian phn x, nu vi mi phn t x ca khụng gian liờn hp th hai X ca X, u tn ti phn t x X cho x (x) = x (x ) vi mi x X nh ngha 1.1.3 Khụng gian Banach X c gi l li cht nu vi mi x, y X, x = y m x = 1, y = ta cú x+y < Chỳ ý 1.1.4 nh ngha 1.1.3 cũn cú th phỏt biu di cỏc dng tng ng sau: Khụng gian Banach X c gi l li cht nu vi mi x, y SX tha x+y = suy x = y hoc vi mi x, y SX v x = y ta cú tx + (1 t) y < vi mi t (0, 1) o tớnh li ca khụng gian Banach X, ngi ta a vo khỏi nim mụun li ca khụng gian Banach X: X () = inf x+y : x 1, y 1, x y Nhn xột 1.1.5 (1) Mụun li ca khụng gian Banach X l hm s xỏc nh, liờn tc v tng trờn on [0; 2] (2) Khụng gian Banach X li cht v ch X (2) = 21 mt nghim; (ii) Nu G l P-ỏnh x cht thỡ bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) cú nghim nht Gi thit t lờn ỏnh x G Mnh 2.1.8 quỏ cht i vi cỏc bi toỏn cõn bng kinh t Chng hn, ỏnh x G (2.20) v (2.30) (trỡnh by mc sau) núi chung khụng cn tớnh P-ỏnh x cht Sau õy l iu kin yu hn cho s tn ti nht nghim ca bi toỏn (2.1) Ta xột trng hp n gin hn vi K b chn v G ch tha iu kin (A1) Mnh 2.1.9 Gi s rng K l mt b chn Khi ú bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) cú nghim Kt hp kt qu ny vi Mnh 2.1.8(i) ta suy kt qu sau H qu 2.1.10 Gi s G l mt P-ỏnh x v K l mt b chn Khi ú bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) cú nghim nht Tớnh nht nghim ca bi toỏn (2.1) ph thuc vo tớnh cht ca G v f nh lý 2.1.11 Gi s G l mt P0 -ỏnh x v fi l cỏc hm li cht vi mi i = 1, , n Khi ú bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) cú nhiu nht mt nghim Kt hp nh lý 2.1.11 v Mnh 2.1.9 ta nhn c kt qu sau H qu 2.1.12 Gi s cỏc iu kin ca nh lý 2.1.11 tha món, gi thit thờm rng K l mt b chn Khi ú bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) cú nht nghim Bõy gi l s tn ti v nht nghim trờn khụng b chn vi iu kin P0 -ỏnh x 22 nh lý 2.1.13 Gi s G l P0 -ỏnh x v fi l cỏc hm li mnh vi mi i = 1, , n Khi ú bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) cú nht nghim Ta nhn c kt qu v s tn ti v nht nghim ca bi toỏn (2.1) nu thay tớnh cht P-ỏnh x (cht) ca ỏnh x giỏ G bng tớnh cht li ca tt c cỏc hm fi Vi mi ch s L = {1, , l} ta s vit xL = (xi )iL v Al (x) = xl GL (x) Khi ú, An (x) = G(x) nh lý 2.1.14 Cho G l mt P0 -ỏnh x kh vi Gi s rng vi mi x K, G(x) l mt Z-ma trn v tn ti > cho Ak (x) Ik l mt P-ma trn vi mi k c nh Gi thit thờm rng fi , i = k + 1, , n l cỏc hm li mnh Khi ú bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) cú nht nghim Chng minh u tiờn ta chỳ ý rng G(x) = Ak (x) Bk Bk Ck (2.9) õy Bk l ma trn hỡnh ch nht vi k hng v n k ct, Bk l ma trn hỡnh ch nht vi n k hng v k ct, Ck l ma trn c (n k) ì (n k) Theo gi thit tn ti > cho Ak (x) Ik l M-ma trn Ta gi s rng vi l s nh nht ca ỏnh x n iu mnh ca fi (hoc li mnh ca fi ) Ta xột ỏnh x G : V Rn , c nh ngha nh sau: G i (x) = Gi (x) i k; Gi (x) + xi k < i n (2.10) Vi < < rừ rng nh thc Jacobi G(x) = Ak (x) Bk Bk Ck + Ink (2.11) l M-ma trn Hn na, G(x) = In l M-ma trn vi mi > cho 23 < < Theo nh ngha G l P-ỏnh x cht Tip theo ta xột hm fi (xi ) = fi (xi ), i k; fi (xi ) xi2 /2, k < i n (2.12) T fi (xi ) vi i > k l li mnh vi mi xi , xi v gi fi (xi ), gi fi (xi ) Ta cú (gi gi )(xi xi ) (xi xi )(xi xi ) ( )(xi xi )2 Th thỡ fi I1 l khỏc rng v n iu vi mi i > k, fi l li vi mi i = 1, , n Theo Mnh 2.1.8(ii) phn tip theo ta s tỡm im x thuc K cho: ), x x + f(x) f(x ) 0, G(x x K cú nht nghim Hn na bi toỏn ny tng ng vi bt ng thc bin phõn (2.1) v ta c kt qu cn chng minh nh lý 2.1.15 Cho G l P0 -ỏnh x kh vi Gi s rng vi mi x K, G(x) l mt Z-ma trn v Ak (x) l mt P-ma trn vi mi k c nh v gi thit thờm rng fi , i = k + 1, , n l hm li mnh v K l b chn Khi ú bi toỏn bt ng thc bin phõn (2.1) cú nht nghim Chỳ ý rng cỏc phỏt biu ca nh lý 2.1.14 v 2.1.15 ỳng nu ta thay ch s {1, , k} vi mt tựy ý ca {1, , n} Ta xột bi toỏn (2.1) vi cỏc gi thit (A1), (A2), (A3) v thờm iu kin G l mt P0 -ỏnh x Khi ú, ta cú th thay G bi ỏnh x sau: G () = G + In , õy > l mt s nh tựy ý Theo B 2.1.7, G () l P-ỏnh x cht ú t Mnh 2.1.8(ii), bi toỏn bt ng thc bin phõn vi ỏnh x giỏ G () s cú nht nghim gn vi nghim ca bi toỏn ban u nht 24 Bõy gi gi s rng bi toỏn (2.1) tha cỏc iu kin (A1), (A2) v (A3), Jacobian G l mt M0 -ma trn v fi , i = k + 1, , n l cỏc hm li mnh vi mi k c nh Khi ú ta cú th thay th G bi G() c nh ngha nh sau: () Gi (x) = Gi (x) + xi , nu ik () (2.13) Gi (x) = Gi (x) nu i > k, õy > l mt tham s Theo nh lý 2.1.14 thỡ bi toỏn (2.1) vi ỏnh x chi phớ G() s cú nht nghim gn vi nghim ca bi toỏn ban u nht 2.2 Bt ng thc bin phõn v mụ hỡnh cõn bng cnh tranh Cõn bng l mt khỏi nim trung tõm ca phõn tớch kinh t hin i Khỏi nim ny mụ t nhng tỡnh th m nh kinh t khụng khng nh l bao gi cng xy ra, nhng c nh kinh t s dng lm im qui chiu t c s cho nhng tỡnh th c th Nh vy khỏi nim ny l mt yu t quan trng s phỏt trin ca nhng lớ thuyt khỏc nhau; c bit l im phõn bit nhng lớ thuyt ny vi nm khỏi nim cõn bng c chỳng chn la 2.2.1 Cõn bng Walrasian (cõn bng cnh tranh) Cõn bng cnh tranh mụ t nhng trao i sn phm c tin hnh mt nn kinh t th trng ú cnh tranh hon ho ng tr Nhng cung v cu cỏc tỏc nhõn th hin ph thuc vo cỏc giỏ Cõn bng t c cỏc giỏ c n nh nhng mc m bo s bng ca cung v cu Cú th trin khai nh ngha ny mt khuụn kh cõn bng b phn, ngha l ch xem xột mt th trng nht ú mt sn phm c i ly tin bc Nhng khỏi nim ny ch l ht ý ngha ca nú ta xột mt cõn bng chung ca tt c cỏc th trng Nh vy cỏc th trng l nhng th 25 trng ca nhng sn phm c sn xut v tiờu dựng cng nh nhng th trng ca cỏc nhõn t sn xut Cỏc tỏc nhõn l nhng nh sn xut ngha l nhng doanh nghip v nhng nh tiờu dựng Cõn bng c nh ngha nh mt nhng giỏ v s lng c trao i cho, vi nhng giỏ c xem xột: (1) Cỏc nh sn xut ti a húa li nhun ca h, di rng buc cụng ngh l hm sn xut; (2) Nhng ngi tiờu dựng ti a húa li ớch ca h, di rng buc ngõn sỏch; (3) Cung bng cu trờn tt c cỏc th trng c Walras xut t nm 1874, khỏi nim cõn bng chung ny ca cnh tranh hon ho sau ú ó c nhiu tỏc gi lm rừ v c trỡnh by di mt hỡnh thc hon ton cht ch nhng cụng trỡnh ca K Arrow v G Debreu, hai tỏc gi ny, nm 1954, nờu rừ nhng iu kin chớnh xỏc m bo s tn ti ca mt cõn bng Ta xột mt mụ hỡnh th trng vi s cnh tranh hon ho Cỏc giao dch mụ hỡnh ny gm n mt hng Khi ú ta a mt vộc t giỏ p Rn+ , ta cú th xỏc nh giỏ tr E(p) ca ỏnh x vt quỏ ỏnh x cu E : Rn+ (Rn+ ) (núi chung l a tr) Thụng thng vộc t p R c gi l vộct giỏ cõn bng nu nú l nghim ca bi toỏn bự sau õy p 0, q E(p ) : q 0, p , q = 0, (2.14) hoc tng ng vi bi toỏn bt ng thc bin phõn: tỡm p cho q E(p ), q , p p p (2.15) Trc ht ta gi s rng mi mc giỏ ca mt mt hng tham gia vo cu trỳc th trng b chn di bi mt s dng v b chn trờn Giỏ chp nhn 26 c c gi thit b rng buc nh sau: n K = Ki , Ki = t R | < i t i + , i=1 (2.16) i = 1, , n Tip theo, ta biu din ỏnh x vt quỏ ỏnh x cu nh sau: E(p) = D(p) S(p), (2.17) õy D v S l cỏc ỏnh x cu v cung tng ng Ta gi s rng cỏc ỏnh x cu l n tr v t G = D Khi ú bi toỏn tỡm giỏ cõn bng cú th c xõy dng nh sau: s S(p ), G(p), p p + s , p p 0, p K (2.18) Ngoi ta gi thit thờm rng mi mt nh sn xut ch sn xut nht mt loi hng húa Sau ú khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s rng mi mt nh sn xut th j ch cung cp mt mt hng th j vi mi j = 1, , n Khi ú, ta a mt vộc t giỏ p Rn+ l ỏnh x cung cp t S(p) = ni=1 Si (pi ) Tip theo ta thy iu ú l hin nhiờn nu ta gi thit thờm rng mi Si l n iu nhng khụng nht thit l n tr, vi Si : R+ (R), i = 1, , n Trong thc t cỏc gi s ny l khỏ chun c i vi ỏnh x cung cp chung: n si Si (pi ), i = 1, , n; (G(p ), p p ) + si (pi pi ) 0, i=1 p K, (2.19) 27 hoc tng ng vi: n (G(p ), p p ) + [ fi (pi ) fi (pi )] 0, p K (2.20) p K, (2.21) i=1 2.2.2 p dng cho mụ hỡnh cõn bng cnh tranh Xột bi toỏn: tỡm p K cho n G(p ), p p + [ fi (pi ) fi (pi )] i=1 õy: n K = Ki , Ki = {t R | < i < t < i < +}, i=1 (2.22) i = 1, , n v l cỏc s chn trờn v chn di vi mi giỏ ca mt hng th i nh x D = G l ỏnh x nhu cu, Si = f i l ỏnh x cung cp ca mt hng th i c gi thit l n iu, ú hm fi l li, nhng khụng nht thit l kh vi t V = Rn+ v gi s rng G : V Rn l liờn tc Suy ra, fi , i = 1, , n cng l cỏc hm liờn tc trờn V Do ú, bi toỏn trờn tha cỏc gi thit (A1), (A2) v (A3) Vỡ vy, ta thit lp cỏc kt qu tn ti v nht t Mnh 2.1.9 nh sau Mnh 2.2.1 Nu i < + vi mi i = 1, , n thỡ bi toỏn (2.21) cú nghim Bõy gi ỏp dng Mnh 2.2 ta suy G(p) l M0 -ma trn, ú G cng l P0 -ỏnh x v ta cú c cỏc khng nh sau B 2.2.2 Cỏc khng nh sau l ỳng: (i) G l P0 -ỏnh x; 28 (ii) G(p) l M0 -ma trn vi mi p V Mnh 2.2.3 (i) Cho K l mt b chn v cho fi vi i = 1, , n l li cht Khi ú bi toỏn (2.21) cú nht nghim (ii) Cho fi vi i = 1, , n l li mnh Khi ú bi toỏn (2.21) cú nht nghim Mnh 2.2.4 Gi s rng tn ti > cho vi mi p K, An1 (p) In1 l M-ma trn v fn l hm li mnh Khi ú bi toỏn (2.21) cú nht nghim Mnh 2.2.5 Gi s rng K l b chn vi mi p K, An1 (p) l M-ma trn Gi thit thờm rng fn l hm li mnh Khi ú bi toỏn (2.21) cú nht nghim 2.3 2.3.1 Bt ng thc bin phõn v mụ hỡnh cõn bng c quyn Cõn bng c quyn Bõy gi ta xột mt mụ hỡnh c quyn nhúm m c cu th trng ú n doanh nghip ch cung cp sn phm nht t p( ) biu th hm nhu cu ngc, ngha l mc giỏ m ti ú ngi tiờu dựng s mua s lng Nu mi cụng ty ch cung cp cỏc n v ca sn phm th qi , ú tng sn phm trờn th trng s c xỏc nh bi: n q = qi (2.23) i=1 Nu ta nh ngha qi l tng chi phớ ca sn phm th qi ca cụng ty th i Khi ú li nhun ca cụng ty th i c xỏc nh nh sau: i (q) = qi p(q ) fi (qi ) (2.24) 29 Thụng thng mc sn lng l khụng õm qi 0, i = 1, , n Ngoi ra, ta gi s rng nú cú th b gii hn phớa trờn, tc l tn ti mt s i (0, +) cho qi i , i = 1, , n xỏc nh mt gii phỏp c cu th trng ny chỳng tụi s dng khỏi nim cõn bng Nash nh ngha 2.3.1 Mt vộc t cú th chp nhn c ca mc sn lng q = (q1 , q2 , , qn ) cho cỏc cụng ty t 1, , n c gi l gii phỏp cõn bng Nash vi iu kin c quyn ca th trng cung cp q ti a húa hm li nhun i ca cụng ty th i, cỏc cụng ty khỏc sn xut vi s lng l qj , j = i vi mi i = 1, , n Cho q = (q1 , q2 , , qn ) l im cõn bng Nash, qi s l nghim ti u ca bi toỏn: max {qi p(qi + i ) fi (qi )}, 0qi i (2.25) õy i = nj=1, j=i qj vi mi i = 1, , n Bi toỏn ny cú th chuyn i tng ng thnh bt ng thc bin phõn hn hp (2.1) nu mi hm li nhun i l lừm qi Gi thit ny phi hp vi cỏc hot ng kinh t thụng thng cú th chp nhn c ú l bi toỏn ti u hm lừm Ngoi ta cng gi s rng hm giỏ c p( ) l kh vi liờn tc Theo gi thit trờn, ta cú th xỏc nh mt ỏnh x: F : Rn+ (Rn ) bi: F(q) = (q1 [1 (q)], , qn [n (q)]), (2.26) Fi (q) = qi [i (q)] = Gi (q) + fi (qi ) (2.27) õy v Gi (q) = p(q ) qi p (q ), i = 1, , n Tip theo, ta t: n K = Ki , Ki = t R | t i , i=1 i = 1, , n (2.28) 30 Khi ú bi toỏn tỡm im cõn bng Nash th trng nhúm c quyn cú th c vit li nh sau: Tỡm q K cho di fi (qi ), i = 1, , n n (G(q ), q q ) + di (qi qi ) 0, q K; (2.29) i=1 hoc tng ng vi n (G(q ), q q ) + [ fi (qi ) fi (qi )] 0, q K, (2.30) q K, (2.31) i=1 õy l mt bt ng thc bin phõn 2.3.2 p dng cho mụ hỡnh cõn bng c quyn Xột bi toỏn: tỡm q K cho n (G(q ), q q ) + [ fi (qi ) fi (qi )] i=1 õy n K = Ki , K = {t R | t i }, i = 1, , n; i=1 Gi (q) = p(q ) qi p (q ), i = 1, , n; (2.32) n q = qi , i=1 õy, p l hm giỏ gi thit l kh vi liờn tc, v fi l hm chi phớ ca mt hng th i, gi thit l hm li nhng khụng nht thit l kh vi Nu ta t V = Rn+ , thỡ bi toỏn trờn trựng vi (2.1) v tha cỏc gi thit (A1), (A2) v (A3) Do ú ta cú th suy s tn ti nghim t Mnh 2.1.9 Mnh 2.3.2 Nu i < + vi mi i = 1, , n thỡ (2.31) cú nghim 31 thit lp s tn ti v nht nghim ca (2.31) chỳng ta gi thit ỏnh x chi phớ G cú tớnh cht l mt P-ỏnh x Gi s cỏc hm p( ) l khụng tng v cỏc hm doanh thu à( ) = p( ) l lừm vi > Chỳ ý, nhng gi thit ny phự hp vi cỏc hot ng kinh t thụng thng B 2.3.3 Ta luụn cú ng thc detAk (q) = [(k 1)p (q ) (q )](p (q ))k1 Chng minh Gi s ỏnh x chi phớ G (2.31) c vit li nh sau: + 1 + 2 G(q) = n n n + n (2.33) õy biu th p (q ) v i biu th p (q ) qi p (q ) Chỳng nhc li rng p( ) l khụng tng v à( ) = p( ) l lừm vi mi nờn p ( ) v ( ) Theo nh ngha: + detAk (q) = k + 2 (2.34) k + k k Bin i ma trn ta c: + ki=1 i 0 detAk (q) = k k 0 = k1 + i i=1 (2.35) 32 Suy detAk (q) = (p (q ))k1 [(k + 1)p (q ) q p (q )] = (p (q ))k1 [(k 1)p (q ) (q )] (2.36) Mnh 2.3.4 Cỏc khng nh sau õy l ỳng: (i) G(q) l P0 -ma trn vi mi q V ; (ii) Cho p ( ) < v mt hai iu kin ( ) < hoc p ( ) vi mi Khi ú G(q) l P-ma trn vi mi q V Chng minh Vỡ p ( 0) v ( ) nờn t B 2.3.3 mi phn t ca ma trn G(p) u khụng õm Do ú, iu kin (i) l ỳng Tip theo, t B 2.3.3 mi phn t ca ma trn T ú suy G(p) l dng vi gi thit ca (ii) G(p) l mt P-ma trn Mnh 2.3.5 (i) Cho i < + v cho fi l hm li cht vi mi i = 1, , n Khi ú bi toỏn (2.31) cú nht nghim (ii) Cho fi l cỏc hm li mnh vi mi i = 1, , n Khi ú bi toỏn (2.31) cú nht nghim Chng minh T Mnh 2.3.4(i), G l mt P0 -ma trn Do ú, cỏc khng nh (i) v (ii) c suy trc tip t H qu 2.1.12 v nh lý 2.1.13 Mnh 2.3.6 Cho p ( ) < v mt hai iu kin ( ) < hoc p ( ) vi mi Khi ú bi toỏn (2.31) cú nhiu hn mt nghim Bờn cnh ú nu i < + vi mi i = 1, , n thỡ (2.31) cú nht nghim Chng minh T Mnh 2.3.4(ii), G l mt P-ỏnh x S dng Mnh 2.1.8(i) suy khng nh th nht ca mnh Khng nh th hai c suy trc tip t Mnh 2.3.2 33 Mnh 2.3.7 Gi s rng tn ti > cho p ( ) v mt hai ( ) hoc p ( vi mi Khi ú bi toỏn (2.31) cú nht nghim 34 Kt lun Lun ó trỡnh by li cú h thng v bt ng thc bin phõn hn hp v ỏp dng cho bi toỏn cõn bng kinh t C th: (1) Trỡnh by cỏc khỏi nim v khụng gian Banach, ỏnh x n iu v mt s tớnh cht (2) Gii thiu bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian Banach, s tn ti nghim v mt s trng hp c bit ca bt ng thc bin phõn hn hp (3) Trỡnh by mt s phng phỏp xp x nghim bt ng thc bin phõn hn hp nh phng phỏp im gn k, phng phỏp hiờu chnh lp v phng phỏp nguyờn lý bi toỏn ph (4) Gii thiu bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian Rn v ỏp dng cho bi toỏn cõn bng kinh t, ú l mụ hỡnh cõn bng cnh tranh v mụ hỡnh cõn bng c quyn Trong ú kt qu chớnh ca lun ny l vic xõy dng iu kin tn ti nht nghim ca bt ng thc bin phõn hn hp khụng gian hu hn chiu v ỏp dng cho mụ hỡnh bi toỏn cõn bng kinh t Phng phỏp bt ng thc bin phõn c phỏt trin t bi toỏn khụng gian hu hn chiu sang bi toỏn khụng gian vụ hn chiu v ng dng cho cỏc bi toỏn thc t l nghiờn cu tip theo ca ti 35 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Vn Lu v Phan Huy Khi (2000), Gii tớch li, NXB Khoa hc v K thut, H Ni [2] Lờ Dng Mu v Nguyn Vn Hin (2009), Nhp mụn gii tớch li v ng dng, NXB Khoa hc T nhiờn v Cụng ngh [3] Nguyn Vn Quý, "Tip cn bt ng thc bin phõn v ti u húa gii mụ hỡnh cõn bng th trng c quyn on NashCournot vi hm chi phớ lừm", Tp ng dng Toỏn hc, IV (s 1), 1-23 [4] Hong Ty (2005), Hm thc v Gii tớch hm, NXB i hc Quc gia H Ni Ting Anh [5] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York [6] I.V Konnov and E.O Volotskaya (2002), "Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems", J Appl Math., 26, 289314 ... nguyên Tr-ờng đại học khoa học Ngô thùy linh Bất đẳng thức biến phân toán cân kinh tế Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn... tranh Cõn bng l mt khỏi nim trung tõm ca phõn tớch kinh t hin i Khỏi nim ny mụ t nhng tỡnh th m nh kinh t khụng khng nh l bao gi cng xy ra, nhng c nh kinh t s dng lm im qui chiu t c s cho nhng tỡnh... n gin hn 16 Chng Bt ng thc bin phõn v bi toỏn cõn bng kinh t Chng ny trỡnh by mi quan h gia bt ng thc bin phõn hn hp v bi toỏn cõn bng kinh t Mc 2.1 gii thiu bi toỏn bt ng thc bin phõn hn hp