Góc trong không gian

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+ Dạng 1 Góc của đường thẳng với đường thẳng Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách Cách 1 Tìm góc giữa hai đường thẳng bằng cách chọn một điểm thích hợp ( thường nằm trên một trong hai đường thẳng) Từ dựng các đường thẳng lần lượt song song ( có thể tròng nếu nằm trên một trong hai đường thẳng) với và Góc giữa hai đường thẳng chính là góc giữa hai đ.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề HHKG - GĨC TRONG KHƠNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+ Dạng Góc đường thẳng với đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng d1 , d không gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) d ', d ' Từ O dựng đường thẳng song song ( trịng O nằm hai đường d ', d ' thẳng) với d1 d Góc hai đường thẳng góc hai đường thẳng d1 , d Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác b2 + c2 − a2 cos A = 2bc ur uu r u1 , u2 Cách Tìm hai vec tơ phương hai đường thẳng d1 , d ur uu r u1.u2 cos ( d1 , d ) = ur uu r u u Khi góc hai đường thẳng d1 , d xác định uruu r ur uu r r r r uu ,u ,u b, c khơng đồng phẳng mà tính độ dài góc Lưu ý 2: Để tính 2 ta chọn ba vec tơ uar , u u r r r r u1 , u2 a chúng,sau biểu thị vec tơ qua vec tơ , b, c thực tính toán Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng OM AB A 45 Câu B 90 C 30 D 60 ABCD (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện với · · AC = AD, CAB = DAB = 600 , CD = AD Gọi ϕ góc hai đường thẳng AB CD Chọn khẳng định góc ϕ cos ϕ = cos ϕ = 0 4 A B 30 C 60 D Trang Câu (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ , biết đáy ABCD hình vng Tính góc A′C BD A 90° Câu 30° C 60° B D 45° (Chuyên KHTN 2019) Cho AB = CD = 2a Gọi M , N ABCD tứ diện có AD trung điểm BC Biết MN = a , góc CD A 45 B hai đường thẳng AB 900 C 600 D 30 Câu (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD A′B ′C ′D′ ; gọi M trung điểm B′C ′ Góc hai đường thẳng AM BC ′ A 45° B 90° C 30° D 60° Câu (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hình chóp S ABC có độ dài SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Góc hai đường thẳng AB SC là? A 45° B 90° C 60° D 30° Câu (Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có AB = a AA′ = a Góc hai đường thẳng AB′ BC ′ A 60° Câu cạnh B 45° C 90° D 30° · (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = AC = AB = a , ABC = 45° Tính góc hai đường thẳng AB DC A 60° B 120° C 90° D 30° Câu (Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - 2018) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Gọi M , N trung điểm AD , BB′ Cosin góc hợp MN AC ' A B C D Câu 10 (Cụm Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a , BC = a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 60 Tính cosin góc hai đường thẳng SB AC 2 2 A B 35 C D Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 11 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD A 90° B 60° C 45° D 75° Câu 12 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm AD SD Số đo góc hai đường thẳng MN SC A 45° B 60° C 30° D 90° Câu 13 (Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông A , AB = a , AC = a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC , A′H = a Gọi ϕ góc hai đường thẳng A′B B′C Tính cos ϕ A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = Câu 14 (Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Tính giá trị cos ( AB, DM ) 3 A B C D Câu 15 (Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , tam ( ABC ) M trung điểm cạnh CC ′ Tính giác A′BC nằm mặt phẳng vng góc với cosin góc α hai đường thẳng AA′ BM 22 33 11 22 cosα = cosα = cosα = cosα = 11 11 11 11 A B C D Câu 16 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC MNP có tất cạnh Gọi I trung điểm cạnh AC Cơsin góc hai đường thẳng NC BI 15 10 A B C D Câu 17 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC cos ( AB, DM ) Khi 3 A B C D Câu 18 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng Cho tam giác SAB vng SAB ) S góc SBA 30 Mặt phẳng ( vng góc mặt phẳng đáy Gọi M , N trung SM , DN ) điểm AB, BC Tìm cosin góc tạo hai đường thẳng ( A B C D Dạng Góc đường thẳng với mặt phẳng Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc d hình chiếu mặt phẳng (P) Gọi α góc d mặt phẳng (P) 0° ≤ α ≤ 90° Đầu tiên tìm giao điểm d (P) gọi điểm A Trang Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P) · Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi α góc d (P) suy ra: d ( M ,( P) ) sin α = AM Ta phải chọn điểm M d, mà tính khoảng cách đến mặt phẳng (P) Còn A giao điểm d mặt phẳng (P) Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Góc SC mặt phẳng (ABCD ) A 45 Câu B 60 C 30 D 90 ( ABC ) , (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng SA = a 2, tam giác ABC vuông cân B AC = 2a (minh họa nhứ hình bên) Góc đường ( ABC ) thẳng SB mặt phẳng A 30° Câu Trang B 45° C 60° D 90° (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , AB = a , BC = 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 15a (tham khảo hình bên) TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy A 45° B 30° C 60° Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B , AB = 3a, BC = 3a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy o 0 A 60 B 45 C 30 Câu D 90° D 90 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC = 3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 30 a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SC mặt đáy A 45° Câu Câu B 90° C 60° D 30° (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a ; BC = a ; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Góc đường thẳng SC đáy 0 0 A 90 B 45 C 60 D 30 (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có AB = BC = a, AA′ = 6a ABCD ) (tham khảo hình dưới) Góc đường thẳng A′C mặt phẳng ( bằng: Trang A 60° Câu ° B 90 ° C 60 o B 45 Trang ° D 30 o C 90 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp AB = a, AD = 3a, AA′ = 3a (tham khảo hình vẽ) ABCD ) Góc đường thẳng A′C mặt phẳng ( 45° 30° 60° A B C Câu 11 D 45° (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D ′ , có AB = AA′ = a , AD = a ABCD ) (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng A′C mặt phẳng ( o A 30 Câu 10 C 30° (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a , AD = 2a , AA ' = 3a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng A ' C mặt phẳng ( ABCD ) ° A 45 Câu B 90° o D 60 chữ nhật ABCD A′ B′C′ D′ có D 90° (Mã 103 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông C , AC = a , BC = 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 60° B 90° C 30° D 45° TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 12 ( ABC ) , SA = 2a , tam (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng giác ABC vng B , AB = a BC = 3a (minh họa hình vẽ bên) ( ABC ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng A 30° B 60° C 45° Câu 13 Câu 14 D 90° SA ^ ( ABC ) (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho khối chóp S ABC có , tam giác ABC ( SBC ) vuông B , AC = 2a , BC = a , SB = 2a Tính góc SA mặt phẳng A 45° B 30° C 60° D 90° (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang vng B AB = BC = a, AD = 2a Biết SA vng góc với đáy ( ABCD) SA = a Gọi M , N trung điểm SB, CD Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) A 55 B 10 C 10 D Câu 15 (Mã 102 - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy A 45° B 60° C 30° D 90° Câu 16 (Mã 101 - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 45° B 60° C 90° D 30° Câu 17 ( ABC ) , SA = 2a , tam (Mã 101 - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng giác ABC vng B, AB = a BC = a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường ( ABC ) bằng: thẳng SC mặt phẳng A 45 B 30 C 60 D 90 Trang Câu 18 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc đường thẳng BM mặt ( ABCD ) phẳng A Câu 19 B C D ( ABC ) , SA = 2a , tam (Mã 104 - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng giác ABC vuông cân B AB = a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC ( ABC ) mặt phẳng o A 30 o B 90 o C 60 o D 45 Câu 20 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh 2a Gọi M ( ABCD ) trung điểm SD Tính tan góc đường thẳng BM mặt phẳng A B C D Câu 21 (Chun Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a a SA = SA ⊥ ( ABCD ) Tính góc SC ( ABCD ) Biết A 30° B 60° C 75° D 45° Câu 22 (Chun Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SAC ) cạnh a , SA vng góc với đáy SA = a Gọi α góc SD ( Giá trị sin α 2 A B C D Câu 23 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác cạnh a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60° , gọi M trung điểm BC Gọi α góc đường thẳng SM mặt phẳng ( ABC ) Tính cos α Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 24 cos α = B cos α = 3 C cos α = 10 D cos α = 10 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = a , O ( ∆ ) đường thẳng qua C , ( ∆ ) chứa mặt phẳng trung điểm AC SO = b Gọi a 14 ( ABCD ) khoảng cách từ O đến ( ∆ ) Giá trị lượng giác cos ( ( SA ) , ( ∆ ) ) 2a 2a a a 2 A 4b − 2a 2 B 2a + 4b 2 C 2a + 4b 2 D 4b − 2a Câu 25 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt ( SBC ) đáy Cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng 13 A B C D Câu 26 (Sở Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C , CH vng góc với · AB H , I trung điểm đoạn HC Biết SI vng góc với mặt phẳng đáy, ASB = 90° Gọi O trung điểm đoạn AB , O′ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI Góc tạo ( ABC ) đường thẳng OO′ mặt phẳng A 60° B 30° C 90° D 45° Câu 27 · (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC = 60° ( ABCD ) trùng với trọng tâm tam giác Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng ABC , gọi ϕ góc đường thẳng SB mặt phẳng ( SCD ) , tính sin ϕ biết SB = a A Câu 28 Câu 29 sin ϕ = B sin ϕ = C sin ϕ = D sin ϕ = 2 SA ⊥ ( ABCD ) (Sở Bình Phước - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , , SA = x Xác định x để hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) hợp với góc 60° 3a a x= x= A x = 2a B x = a C D (Sở Lào Cai - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B , cạnh bên SA vng · góc với mặt đáy, AB = 2a , BAC = 60 SA = a Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( SAC ) A 45 Câu 30 B 60 C 30 D 90 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M , N hình chiếu vng góc AMN ) điểm A cạnh SB , SD Góc mặt phẳng ( đường thẳng SB o o o o A 45 B 90 C 120 D 60 Trang Câu 31 (Sở Bắc Giang - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a , BC = a , SA = a SA vng góc với đáy ABCD Tính sin α , với α góc tạo SBC ) đường thẳng BD mặt phẳng ( 3 sin α = sin α = sin α = sin α = A B C D Câu 32 (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B , cạnh bên SA · vng góc với mặt phẳng đáy, AB = 2a , BAC = 60 SA = a Góc đường thẳng SB mặt phẳng A 30 ( SAC ) B 45 C 60 D 90 Câu 33 (Chun Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm O ( ABCD ) Gọi M N trung điểm SA BC Biết góc MN 600 , cosin góc MN mặt phẳng ( SBD ) bằng: 41 5 41 A 41 B C D 41 Câu 34 (Chun Vinh -2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB = 2a , BC = a , ·ABC = 120° Cạnh bên SD = a SD vng góc với mặt phẳng đáy (tham khảo SAC ) hình vẽ bên) Tính sin góc tạo SB mặt phẳng ( A Câu 35 B C D (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a , tứ giác ABCD hình vng, BD = a (minh họa hình bên) SAD ) Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( A 0° Câu 36 Trang 10 B 30° C 45° D 60° (Chun Thái Bình - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng tâm O , cạnh a Gọi M , N trung điểm SA BC Góc đường thẳng MN mặt ( ABCD ) 60° Tính cos góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SBD ) phẳng  a a N  0; − ; ÷ 2÷ M ( 0;0; a )   Gọi ϕ góc mặt phẳng ( AMN ) mặt phẳng ( ABC ) ,  −1  ; ; r  uuuur uuur  =  ÷ ( AMN ) có vtpt n =  AM , AN   4 ÷ r uuuur n.HM = cos ϕ = r uuuur = ABC = 0; 0;1 n HM ( ) có vtpt HM ( ) , từ 1.1 Câu 14 (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng A ( AMC ) ( SBC ) B C Lời giải D A 0; 0; ) B ( 0;1;0 ) D ( 1; 0; ) S ( 0;0; ) Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a = cho ( , , , 1  ⇒ M  ;0;1÷ 2  , C ( 1;1; ) Ta có M trung điểm SD uuuur  uuuu r uuur   AM , AC  =  −1;1; ÷ AM =  ;0;1÷ uuur r    ⇒ ( AMC ) có vtpt n = ( −2; 2;1) 2  , AC = ( 1;1; ) ,  uur uuu r uur uuu r r   = ( 0; 2;1) ⇒ ( SBC ) SB , SC SB = ( 0;1; −2 ) SC = ( 1;1; −2 )  k = ( 0; 2;1)  , , có vtpt r r n.k cos α = r r = AMC SBC n.n ( ) ( ) Gọi α góc hai mặt phẳng tan α = −1 = cos α Do tan α > nên Câu 15 (Sở Thanh Hóa 2018) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a , CD = x , ( ACD ) ⊥ ( BCD ) Tìm giá trị Trang 74 x để ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ? TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x = a B x= a 2 C x = a Lời giải : D x= a 3  AE ⊥ CD ⇔  BE ⊥ CD (Tính chất tứ diện đều) Gọi E ; F trung điểm CD AB · · BCD ) ∩ ( ACD ) = CD ⇔ ( BCD ) , ( ACD ) = BEA = 90° ( Đồng thời CF ⊥ AB · ·  ⇒ AB ⊥ ( CFD ) ⇔ ( ABC ) , ( ABD ) = CF , FD Ta có  DF ⊥ AB · , FD = 90° = CFD · ( ABC ) ⊥ ( ABD ) CF ⇒ trung tuyến FE tam giác CFD Vậy để ( ( ) ( ) ( ) ) ⇔ FE = CD nửa cạnh huyền AE ⇒ EF = = Ta có ∆EAB vng cân E Vậy Câu 16 x= AC − CE a − x2 = 2 a2 − x2 a2 − x2 a2 ⇔ x2 = ⇔ x2 = ⇔ x=a (Chun Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi G Trang 75 trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng 39 A 39 ( GMN ) B ( ABCD ) 39 C 13 13 D 13 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi  3  −a  a  a   −a  S  0;0; ÷ ÷ A  ;0;0 ÷ B  ;0;0 ÷ C  ; a;0 ÷ D  ; a;0 ÷  ;  ; 2 ; 2 ;    a a a 3  a a a 3 a 3 G  0;0; M ; ; N ÷  ÷  − ; ; ÷ 4 ÷ ÷ 4 ÷       suy ; ; r k = ( 0;0;1) ABCD ) GMN ) ( Ta có mặt phẳng có vectơ pháp tuyến , mặt phẳng ( có vectơ pháp r uuur  a a r uuuu n = GM ; GN  =  0; − ; ÷ 24 ÷   tuyến GMN ) ABCD ) Gọi α góc hai mặt phẳng ( ( , ta có rr n.k = cosα = r r 39 39 = n.k 13 24 Trang 76 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 17 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lập phương ABCD A′B ′C ′D ′ có cạnh a Số đo góc A 90° ( BA′C ) ( DA′C ) : B 60° C 30° Lời giải D 45° BA′C ) ∩ ( DA′C ) = A′C Ta có: ( ′ ′ Kẻ BI ⊥ A C Do ∆BA C = ∆DA′C nên DI ⊥ A′C · , DI (· BA′C ) , ( DA′C )  = BI   Do đó: ( ) = a Tam giác BID có BD = a , BI = DI 2 · , DI = BI + DI − BD = − · , DI = 120° cos BI ⇒ BI 2.BI DI ( ) ( ) (· BA′C ) , ( DA′C )  = 60°  Vậy  Câu 18 (Chuyên Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AB = AD = 2a , CD = a Gọi I trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng ( SBI ) , ( SCI ) 15a Tính góc vng góc với đáy thể tích khối chóp S ABCD hai mặt phẳng A 30° ( SBC ) , ( ABCD ) B 36° C 45° Lời giải D 60° Trang 77 Diện tích hình thang S ABCD = 1 AD ( AB + CD ) = 2a.3a = 3a , CB = AC = a 2 15a 3 3V 15a SI = S ABCD = = S ABCD 3a Độ dài đường cao ⇒ BC ⊥ ( SIH ) ⇒ BC ⊥ SH Vẽ IH ⊥ CB H · , SH = SHI · (·SBC ) , ( ABCD ) = IH Ta có ( ) ( S ICB = S ABCD − S IDC − S AIB = 3a − ) 3a a2 3a ⇒ IH = − a2 = 2 ⇒ IH CB = 3a 3a 15 = = SI 3a · tan SHI = · ⇒ SHI = 60° IH Câu 19 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có AA′ = AB = AC = · BAC = 1200 Gọi I trung điểm cạnh CC ′ Cơsin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′I ) A 370 20 Chọn D Trang 78 70 B 10 30 C 20 Lời giải 30 D 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ( ABC ) ( AB′I ) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng AB′ = , AI = BC = AB + AC − AB AC.cos A = ⇒ BC = B′C ′ = B′I = B′C ′2 + C ′I = 13 2 Vì AB′ + AI = B′I ⇒ ∆AB′I vuông điểm A 10 AB AC.sin A = S AB′I = AI AB ′ = ( ABC ) ∆ABC Hình chiếu vng góc ∆AB′I lên mặt phẳng S ABC = Ta có Câu 20 S ABC = S AB′I cos ϕ ⇒ cos ϕ = S ABC 30 = S AB′I 10 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , độ dài cạnh AC = 2a , tam giác ∆SAB, ∆SCB vuông A C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) a Giá trị cosin góc hai mặt phẳng ( SAB) ( SCB) 2 A B C Lời giải D Chọn C Trang 79 + Gọi O, I trung điểm AC , SB có O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác ∆SAB, ∆SCB vng A C nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC OI ⊥ ( ABC ) + Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) ta có SD / / OI SD = 2OI suy O 2a =a 2 ABCD BD trung điểm Từ ta có hình vng cạnh SD = a + Gọi H , K hình chiếu D lên SC , SA ta có SD ⊥ ( ABCD) ⇒ SD ⊥ BC đồng thời ABCD hình vng nên BC ⊥ DC từ hai ý ta có BC ⊥ ( SCD) ⇒ BC ⊥ DH , từ suy DH ⊥ ( SCB) Chứng minh tương tự ta có DK ⊥ ( SAB) + Vì góc hai mặt phẳng ( SCB) ( SAB) góc hai đường thẳng DK DH a DK = DH = ∆ SAD , ∆ SCD + Xét tam giác vng ta có hai đường cao HK SH SD 2a = = = ⇒ HK = 3 , tam giác DHK có + Trong tam giác SAC ta có AC SC SC DH + KD − KH 2 · cos HDK = = DH KD Câu 21 · (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC = 120 , SA vng góc với mặt phẳng A SA = a ( ABCD ) Biết góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) B SA = a C SA = a D SA = 600 , a Lời giải Chọn A Gọi O giao điểm AC , BD Gọi H hình chiếu vng góc O SC Khi SC ⊥ ( HBD ) SC ⊥ BD, SC ⊥ OH ( SBC ) ( SCD ) góc hai đường thẳng HB, HD Vậy góc hai mặt phẳng Vì VSCD = ∆SBC ⇒ HB = HD Trang 80 Đặt TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SA = x ( x > ) cos 600 = Ta có Ta có HB + HD − BD 2 HB.HD  HB = BD  ⇔ HB = HB − BD ⇔  BD 2  HB = VCHO ≈ ∆CSA ⇒ OH CS = CO.SA ( 1) Trong tam giác ABC ta có AC = a 3, OB = a ⇒ BD = a HB = BD = a ⇒ OH = HB − OB = TH1 : nghiệm) a 2 Thay vào (1) ta có x = x + 3a (vô BD a a = ⇒ OH = HB − OB = 3 TH2 : a2 3a 2 a x + 3a = x ⇒x= 4 Thay vào (1) ta có 12 HB = ( Câu 22 ) (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B ′C ′ có đáy tam giác cân đỉnh A uuuu r uuuu r o · Biết BC = a ABC = 30 , cạnh bên AA′ = a Gọi M điểm thỏa mãn 2CM = 3CC ′ Gọi α góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′M ) , sin α có giá trị 66 A 22 B 481 22 C 22 D 418 22 Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi O trung điểm BC BO = AB.cos30o ⇔ AB = BO a = = a = AC o cos30 a AO = AB.sin30o = 2 Ta có: Theo đề bài: uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuu r a 2CM = 3CC ′ ⇔ CM = CC ′ ⇔ CC ′ + C ′M = CC ′ ⇔ C ′M = CC ′ ⇒ C ′M = 2 2 ( ABC ) ( AB′M ) Gọi α góc hai mặt phẳng Trang 81 Theo cơng thức diện tích hình chiếu ta có: S∆ABC = S ∆AB′C cosα ⇔ cosα = S∆ABC S∆AB′C 1 a a2 S ∆ABC = AH BC = a = 2 2 2 ; AB′ = AB + BB′ = a + a = a ; Ta có ( a B′M = C ′M + B′C ′ =  ÷ + a 2 2 ) 2 a 13 a 13  3a  = AM = AC + CM = a +  ÷ = ;   a 13 a 13 + AB′ + B′M + AM 2 = a + a 13 p= = 2 Khi Áp dụng cơng thức Hê-rơng vào ∆AB′M ta có: a 2+ S∆AB′M = p ( p − AB′ ) ( p − B′M ) ( p − AM ) = cosα = S ∆ABC S ∆AB′C a 22 a2 3 19 418 = 24 = ⇒ sinα = − cos 2α = = 22 22 22 a 22 Vậy Cách 2: Gọi O trung điểm BC BO = AB.cos30o ⇔ AB = BO a = = a = AC o cos30 a AO = AB.sin30o = 2 Ta có: Theo đề bài: uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuu r a 2CM = 3CC ′ ⇔ CM = CC ′ ⇔ CC ′ + C ′M = CC ′ ⇔ C ′M = CC ′ ⇒ C ′M = 2 2 Coi a = Trang 82 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021       ;0; ÷ C − ;0;0  ÷ A  0; ;0 ÷ B  ÷  ÷ O ( 0; 0;0 ) Oxyz    ,   Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ với , , ,    3 B′  ; 0;1÷ M − ;0; ÷  ÷  2÷  ,   ( ABC ) ≡ ( Oxy ) : z = ⇒ ( ABC ) Khi có véc-tơ pháp tuyến r k = ( 0;0;1) uuur   uuuur  3 uuuuuur uuur uuuu r AB′ =  ; − ;1 ÷ AM = −  ÷  ;− ; ÷ ÷ ⇒ n AB′M =  AB′, AM  = 1;5 3; 2 ( )  ,     Ta có: ( ABC ) ( AB′M ) Gọi α góc hai mặt phẳng r uuuuuur k n( AB′M ) 3 19 418 cosα = r uuuuuur = = ⇒ sinα = − cos 2α = = 22 22 22 k n( AB′M ) 1.2 22 Vậy ( Câu 23 ) (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ( ABC ) vng góc với mặt phẳng A 45° B 90° a SA = Góc mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng ( ABC ) C 30° Lời giải D 60° Chọn C Gọi I trung điểm BC Ta có AI ⊥ BC (tam giác ABC đều) (1) SA ⊥ ( ABC ) ) Lại có SA ⊥ BC ( BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ SI Suy (2) BC = ( SBC ) ∩ ( ABC ) (3) Từ (1), (2) (3) suy ¶ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = ( SI , AI ) = SIA a SA ¶ = tan SIA = = AI a 3 Xét tam giác SAI vng A ta có ¶ Suy SIA = 30° Trang 83 Vậy Câu 24 ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = 30° (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB = 2a , SA vng góc với mặt đáy góc SB mặt đáy 60° Gọi α góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) Giá trị cosα 15 A B C D Lời giải Chọn C Gọi M trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC (1) BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ SM Có BC ⊥ AM (2) · =α (·( SBC ) ,( ABC ) ) = SMA Từ (1) (2) suy · Do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB AB hình chiếu vng góc SB lên ( ABC ) ⇒ SBA = 60° · ∆SAB có SA = AB.tan SBA = 2a.tan 60° = 3a 2 1 AM = BC = AB + AC = ( 2a ) + ( 2a ) = a ∆ABC có 2 { cosα = ∆SAM vng A có Câu 25 AM AM = = SM SA + AM a ( 3a) + ( a ) 2 = (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB ( AMN ) ( SBD ) SD Tính sin ϕ với ϕ góc hợp A Lời giải Chọn B Trang 84 2 B C D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A ≡ O, B ( a;0; ) , D ( 0; a;0 ) , S ( 0; 0; a ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn: (như minh họa hình a a  a a M  ;0; ÷ N  0; ; ÷   2  2 vẽ), suy uuuu r a a  uuur  a a  AM =  ;0; ÷ AN =  0; ; ÷ , 2  2  nên mặt phẳng Ta có ur uuuu r uuur  a a a  n1 =  AM , AN  =  − ; − ; ÷ 4   uur uuu r SB = ( a; 0; −a ) , SD = ( 0; a; −a ) nên uu r uur uuu r n2 =  SB, SD  = ( a ; a ; a ) ur uu r n1.n2 cos ϕ = ur uu r = n1 n2 Khi Câu 26 − mặt a4 + a4 + a4 ( SBD ) phẳng a4 a4 a4 − + 4 a4 a4 a4 + + 16 16 16 ( AMN ) = có có vectơ pháp tuyến vectơ pháp ⇒ sin ϕ = − cos ϕ = tuyến 2 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có o · đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a góc BAC = 120 cạnh bên BB ' = a Gọi I ( ABC ) ( AB ' I ) trung điểm CC ' Tính cosin góc hai mặt phẳng A 10 30 B 10 30 C 30 Lời giải 10 D 30 Chọn B • Trong ( BCB ' C ') , B ' I ∩ BC = { D} Trang 85 ( ABC ) , dựng AH ⊥ AD H Trong Vì AD ⊥ CH nên AD ⊥ IH Do đó: · < 90° ( ( AB ' I ) , ( ABC ) ) = ( IH , CH ) = IHC · · · · • ∆ABC cân A , BAC = 120° ⇒ ABC = ACB = 30° ⇒ ACD = 150° • Áp dụng định lý Cosin ∆ABC : · BC = AB + AC − AB AC.cos BAC = a + a − 2.a a cos120o = 3a ⇒ BC = B ' C ' = CD = a • Tương tự ∆ACD : AD = AC + CD − AC CD cos ·ACD = a + 3a − a a 3.cos150 o = a ⇒ AD = a 1 S ACD = CA CD sin ·ACD = CH AD 2 • Ta có CA CD sin ·ACD a a sin150o a 21 ⇒ CH = = = AD 14 a • ∆ICH vng C ⇒ cos IHC = ⇒ IH = IC + CH = a 3a a 70 + = 28 14 CH 30 = IH 10 cos ( ( AB ' I ) ,( ABC ) ) = • Vậy Cách 2: 30 10 • Gọi O trung điểm BC Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có: OB = AB sin60° = a a OA = AB cos60° = ; ỉ ỉ ỉ 1ư ỉ ỉ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç ¢ B 0; ;0 C 0; ;0 I ; ; B 0; ;1 ÷ ÷ ữ ữ ữ Aỗ ;0 ;0 ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ứ ứ 2ứ ứ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ố è è è ø • Giả sử a = suy , , , , æ æ3 ö ur uuur uuur uu r uuuu r uur 3ử ữ 3ữ ộ ự ỗ ộ Â ự ỗ ữ ữ ỗ ỗ n1 = ờAB, AC ỳ= ỗ0;0;n2 = ờAB , AI ỳ= ỗ;- ;ữ ữ ữ ỗ ç ë û ç 2ø ë û ç 4 2÷ ÷ ÷ è è ø Ta có: Trang 86 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ( ABC ) v ( AB ÂI ) Suy ra: ã Gi a góc Câu 27 ur uu r n1.n2 30 cosa = ur uu = r = 10 10 n1 n2 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Cosin góc hai mặt phẳng ( A′BC ) A ( ABC ′ ) B C Lời giải D Chọn D ( A′BC ) ( ABC ′ ) Gọi α góc hai mặt phẳng Gọi O = A′C ∩ AC ′ Gọi H hình chiếu A lên BO , AH ⊥ BO ⇒ CH ⊥ BO ( A′BC ) ∩ ( ABC ′ ) = BO   AH ⊥ BO · CH ⊥ BO ⇒ ( ( A′BC ) ; ( ABC ′ ) ) = (·AH , CH ) Ta có  Xét tam giác vng A′BC có Ta có S BCH = BO = a A′C = 2 1 a2 S A′BC = a 2.a = 2 Trang 87 S BCH Mặt khác a2 a2 a = CH BO = ⇒ CH = = a 2 a 6 a 6  ÷ + ÷ − a AH + CH − AC     · cos AHC = = 2 AH CH a 6  ÷   AHC Xét tam giác có cos α = cos ·AHD = Trang 88 ( ) =− ... vuông góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P) · Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó ( không chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi α góc. .. Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P) · Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó ( không chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi α góc d (P) suy ra: d... chiếu vng góc đỉnh, dựng AH ⊥ d · Bước 3: góc cần tìm góc SHA Với S đỉnh, A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC).Hãy xác định góc mặt