Bài 2: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Bài 2: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I Định nghĩa: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng đó: d  mp()  d  a, a  ( ) d a α II Các định lý: Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P): d  a ,d  b   d  (P) a , b  (P) a , b caét cắt  d a P Định lý 2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) b d a α PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẰNG VUÔNG GỐC Để chứng minh a  b ta thường sử dụng phương pháp chứng minh sau: Sử dụng phương pháp Hình học phẳng: Góc nội tiếp, Định lí Pitago đảo,        Sử dụng phương pháp tích vơ hướng hai véctơ: a.b 0  a  b ( a, b hai véctơ phương hai đường thẳng a b) c  b  Sử dụng tính chất bắc cầu:  c //a ab Tìm mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P), a  b : a  a  (P)  ab   b  (P) b P b Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (P), suy a  b : a P  a //(P)  ab   b  (P) Áp dụng định lí đường vng góc: a a’ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (P) , b  (P) Đường thẳng a vng b góc với đường thẳng b b vng a' góc với a' Nói ngắn gọn b vng góc với hình P chiếu b vng góc với đường xiên ĐÂY LÀ PHƯƠNG PHÁP RẤT HAY SỬ DỤNG! Các bạn phải thành thạo phương pháp PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẰNG VUÔNG GỐC VỚI MẶT PHẲNG Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng phương pháp sau: 1) Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc a với mặt phẳng (P) Ta phải chứng minh đường b thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt c thuộc mặt phẳng (P) I  a  b vaø a  c   a  (P)  b  c I  b ; c  (P)  P 2) Hai mặt phẳng (Q) (R) có giao tuyến a vng góc với mặt phẳng (P), a vng góc với (P) Q a P R (Q)  (P)   a  (P) (R)  (P)  (Q)  (R) a  3) Hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với theo giao tuyến b Một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (Q) vng góc với b, a vng góc với mặt phẳng (P) P b a (P)  (Q)  (P) (Q)  b  a  (P)  a  (Q) a  b  4) Chứng minh đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (P) , đường thẳng a song song với b ,suy a vng góc với (P) Q b a P a //b  a  (P)   b  (P) 5) Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q), mặt phẳng (P) song song với (Q), nên a vng góc với (P)  a  (Q)  a  (P)  (Q) //(P) a Q P Hai trụ cột để giải toán dạng :  Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P), ta phải chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (P)  Khi đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với đường thuộc mặt phẳng (P) BÀI TẬP Câu 1: Hai tam giác cân ABC DBC nằm hai mp khác tạo nên tứ diện ABCD Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC AD b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh AH (BCD) LỜI GIẢI a) Chứng minh BC AD Vì tam giác ABC cân A nên Ta có: ,và tam giác DBC cân D nên A D B H I b) Chứng minh AH (BCD) C Có Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC), tam giác ABC vng cân B Gọi G trọng tâm tam giác SAC N điểm thuộc cạnh SB cho SN = 2NB Chứng minh: a) BC (SAB) b) NG (SAC) LỜI GIẢI S a) Có G b) Gọi H trung điểm AC Tam giác ABC vuông cân B nên A H N Có B Xét tam giác SBH có Mà (Định lý đảo Talét) C Câu 3: Cho tứ diện ABCD có Gọi H hình chiếu vng góc A xuống mặt phẳng (BCD) Chứng minh H trực tâm tam giác BCD LỜI GIẢI A Có (1) B Chứng minh tương tự D H C Từ (1) (2) suy H trực tâm tam giác ABC Vì Cho tứ diện SABC có đáy ABC vuông A, biết I, K trung điểm SA, AB, BC Chứng minh rằng: a) b) c) Gọi H, d) LỜI GIẢI S a) Có b) Vì cân B H I B Có C K c) KI đường trung bình , mà d) Có HK đường trung bình , mà A Vậy Câu 4: Cho tứ diện ABCD có , ABC tam giác cân A Gọi M trung điểm BC Vẽ AH MD H a) Chứng minh AH (BCD) b) Gọi G, K trọng tâm tam giác ABC DBC Chứng minh GK (ABC) D LỜI GIẢI a) Chứng minh AH (BCD) Vì cân A nên H K Ta có: C A G M b) Chứng minh GK (ABC) B Vì G, K trọng tâm tam giác ABC DBC Theo tính chất trọng tâm: (theo định lý Talet đảo) Mà (đpcm) Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy hình vng tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc A SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC) b) CMR: AH, AK vng góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK  (SAC) Từ suy HK  AI LỜI GIẢI a) CMR: BC  (SAB) , CD  (SAD) , BD  (SAC) Chứng minh Có S K I Chứng minh H D A Vì O B C Chứng minh Vì b) CMR: AH, AK vng góc với SC Có Có Vì AH, AK, AI có chung điểm A vng góc với SC Nên ba đường thẳng AH, AK, AI đồng phẳng c) Ta có tam giác Nên đường cao xuất phát từ đỉnh A , (cạnh huyền cạnh góc vng ) Từ có: (theo định lý đảo Talet) Mà Cho đường trịn (C) đường kính AB nằm mp(P) Gọi (d) đường vng góc với (P) A Gọi S điểm (d), a) Chứng minh b) Dựng H K Chứng minh c) Gọi J giao điểm HK MB Chứng minh AJ tiếp tuyến (C) LỜI GIẢI a) Do tam giác ABM nội tiếp đường trịn (C) đường kính AB, nên vng M S Có H b) Có K A B Có M J c) Có mà (1) Ngồi có mà (2) Từ (1) (2) suy Trong mp(P) có AJ vng góc với AB đường kính đường trịn (C) Suy AJ tiếp tuyến (C) Câu 6: Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA , OB , OC đơi vng góc với Kẻ OH vng góc với mặt phẳng (ABC) H Chứng minh : a c b H trực tâm tam giác ABC d e Các góc tam giác ABC góc nhọn LỜI GIẢI A a) Ta có F O H C E Ta có B Chứng minh tương tự ta b) H trực tâm tam giác ABC Gọi Ta có (1) Ta có (2) Từ (1) (2) suy H trực tâm tam giác ABC c) Chứng minh Trong vuông O có OH đường cao : (3) Trong vng O có OE đường cao : (4) Thay (4) vào (3) (đpcm ) Công thức sử dụng trực tiếp để tính khoảng cách , bạn nhớ công thức nhé! d) Chứng minh : Trong vng O có OH đường cao (*) Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được: (**) (***) Cộng vế (*) ,(**) , (***) : Cách : e) Các góc tam giác ABC góc nhọn Gọi độ dài ba cạnh Trong tam giác ABC áp dụng định lý cosin có Kết luận A góc nhọn Chứng minh tương tự góc B góc C nhọn Câu 7: Cho tứ diện S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H , K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh : a) AH , SK , BC đồng quy b) SC vng góc với mặt phẳng (BHK) c) HK vng góc với mặt phẳng (SBC) S LỜI GIẢI a) Gọi Ta có K C A H Vì , suy ba điểm S, K, E thẳng hàng E B Kết luận ba đường thẳng AH, BC, SK đồng qui điểm E b) SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) Có Có c) HK vng góc với mặt phẳng (SBC) Có Có (1) (2) Từ (1) (2) suy Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAB tam giác SC = a Gọi H, K trung điểm AB, AD a) Chứng minh SH LỜI GIẢI (ABCD) b) Chứng minh AC SK CK SD Từ xét tam giác SBD có J giao điểm hai đường cao Suy J trực tâm Câu 17: Cho tứ diện ABCD có DA (ABC) Gọi AI đường cao H trực tâm tam giác ABC Hạ HK vng góc với DI K Chứng minh: a) HK BC b) K trực tâm tam giác DBC LỜI GIẢI Trong tam giác ABC gọi tam giác BCD gọi Trong D a) Ta có C A K N H M I B b) K trực tâm tam giác DBC Có Có Có Từ K trực tâm tam giác BCD Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, a) Chứng minh tam giác ABC vng S b) Xác định hình chiếu H S mp(ABC) Tính SH theo a LỜI GIẢI A B H C a) Ta có vuông C Vậy ABC tam giác b) Vì Vậy H trung điểm AB Vì tam giác ASH tam giác nên Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD tứ giác , có ABD tam giác , BCD tam giác cân C có SA mp(ABCD) a) Gọi H , K hình chiếu vng góc A SB, SD Chứng minh SC (AHK) b) Gọi C’ giao điểm SC với mp(AHK) Tính diện tích tứ giác AHC'K AB = SA = a LỜI GIẢI a) Vì suy AC đường trung trực đoạn BD Tam giác ABD , Tam giác BCD cân C có Vậy S K C' I H Có A (1) B D 120 C Có (2) Từ (1) (2) b) Ta có Xét hai tam giác vng SAH SAK, có : SA cạnh chung, nên , mà Suy (định lý đảo Talet) Có Vậy Ta có (Vì vng cân A nên H trung điểm SB Xét có HK đường trung bình nên Xét vng B : Vì Xét Từ ) (*) vuông A : (*) tứ giác AHC'K có đường chéo vng góc nên Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh tâm O, AB = SA = a , SA vng góc với đáy (ABCD) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD H, I, K a) Chứng minh b) Chứng minh AH S SB , AK SD c) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vng góc Tính diện tích L LỜI GIẢI a) Chứng minh K I AHIK theo a H D A O B C Ta có ; Gọi Vì Có , với HK qua L b) Chứng minh AH SB , AK SD Ta có Theo chứng minh có : Tương tự ta chứng minh c) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vng góc Do BD HK suy Tính diện tích AHIK theo a Trong có AI đường cao : Vì vng cân A nên H trung điểm BC, suy Kết luận Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a , BC = , mặt bên SBC vng B , SCD vng D có SD = S a) Chứng minh SA (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC , K L giao điểm SB, SD với mp(HIJ) Chứng L minh AK (SBC) AL (SCD) H c) Tính diện tích tứ giác AKHL LỜI GIẢI K I B D A C J