Chuyên đề 32 ứng dụng hình học giải tích trong không gian đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 32 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8-9-10 ĐIỂM Phương pháp giải số toán Gắn tọa độ hình chóp 1.1 Đáy tam giác  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB  a   Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A 0; ;0  , B   ;0;0  , 2      1   C  ;0;0  , S  0; ; OH   2    SA  Đáy tam giác vng B  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: B  O  0;0;0 , A  0; AB;0 , C  BC,0;0 ,   S  0; AB;  BH   SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: Đáy tam giác cân A Đáy tam giác cân B  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm là: O(0;0;0), A  0; OA;0 , B  OB;0;0 ,   C  OC ;0;  , S  0; OA; OH   SA   Đáy tam giác vuông A  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: A  O  0;0;0 , B  0; OB;0 , C  AC;0;0 , S  0;0; SA Đáy hình thoi  Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: O  0;0;0 , A  OA;0;0 , B  0, OB;0 ,   C  OC;0;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy tam giác thường  Dựng đường cao BO ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a 1  Tọa độ điểm: O  0;0;0 , A  OA;0;0 , B  0, OB;0 ,   C  OC;0;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy hình thang vng Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ O  0;0;0  , A OA;0;0 , B  0; OB;0  , C  OC;0;0    D  0; OD;0  , S  OA;0; OH   SA    Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; AB;0 ,  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ A  O  0;0;0  , C  AD; AB;0 , D AD;0;0 , S  0;0; SA B  0; AB;0 , C  AH ; AB;0 , D  AD;0;0  , S  0;0; SA 1.2 Đáy tam giác, mặt bên tam giác thường  Vẽ đường cao CO ABC Chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O 0;0;0 , A 0;OA;0 ,   B  0; OB;0 , C  OC;0;0 , S  0; OH ; OK   SH   Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác cân C (hoặc Đáy hình vng-hình chữ nhật đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều)  Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O 0;0;0 , A 0;OA;0 ,  Dựng hệ trục hình, chọn a =  Ta có: A  O 0;0;0 , B AB;0;0   C AB; AD;0 , D 0; AD;0 , S  AH;0;  AK  SH   B  0; OB;0 , C  OC;0;0 , S  0;0; SO 1.3 Hình chóp tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục hình vẽ a = Tọa độ điểm:  AB   BC  O 0;0;0 , A  0; ;0  , B   ;0;  ,      BC  C ;0;0  ,      AB  S  0; ; OK   SH    OH   Hình chóp Hình chóp tứ giác Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ      AB   AB  ;0;0, B  0; ;0  , điểm: O 0;0;0 , A 2         OB  OA       AB  C ;0;0  , 2      OA    AB   D  0;  ;0    OB   S  0;0; SO Gắn tọa độ hình lăng trụ 2.1 Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: Lăng trụ đứng Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A  O 0;0;0 , với O 0;0;0 , B 0; AB;0 , A OA;0;0 , C  AD; AB;0  , B  0; OB;0  , D  AD;0;0  , C  OC;0;0  , A  0;0; AA  , D  0; OD;0  , B  0; AB; AA  , C   AD; AB; AA  , D  AD;0; AA  B  0; OB; AA  , C   OC;0; CC   , D  0; OD; DD  Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  O 0;0;0 , A ;0;0 ,    AB  B  ;0;0, C  0;OC;0 ,   A  OA;0; AA ,  AB  B   ;0; BB  , C  0;OC; CC   A  OA;0; AA , Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm là: O 0;0;0 , A OA;0;0 , B OB;0;0 , C  0; OC;0 , A OA;0; AA , B  OB;0; BB , C  0;OC; CC 2.2 Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm cạnh tam giác đáy thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C, D, A điểm O, A, B, C, A  Tìm tọa độ  Tìm tọa độ  điểm  cịn lại thơng  qua hệ thức vectơ  điểm  cịn lại thơng qua hệ thức vectơ nhau: AA  BB  CC  DD nhau: AA  BB  CC Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D điểm M thuộc đoạn OI cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng  MC D  MAB  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 85 85 B 17 13 65 85 85 Lời giải C 13 65 D Chọn C Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cạnh hình lập phương 1, ta tọa độ điểm sau : 1 1 M  ; ;  , C   0;1;0  , D 1;1;0  A 1;0;1 , B  0;0;1 2 6   5.1  3.3 Khi n MC D   0;1;3 ; n MAB    0;5;3 nên cos   MAB  ,  MC D    2 2 3 3  85  85 85  Suy sin   MAB  ,  MC D          85 85  85  Câu (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  MI (tham khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng ( MC D) ( MAB ) A 13 65 B 85 85 C 85 85 D 17 13 65 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Khơng tính tổng qt ta đặt cạnh khối lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho A(0; 0; 0), B (1; 0; 0), D(0;1; 0) A(0; 0;1) (như hình vẽ) 1 1  2 3 Khi ta có: M  ; ;    1 2 2 3   2      Suy ra: AB  (1;0;0), MA   ; ;     AB, MA   0;  ;   n1  (0; 4;3) VTPT mặt    phẳng ( MAB )    1     1   DC   (1; 0;0), MD   ;  ;    DC , MD    0; ;    n2  (0; 2; 3) VTPT mặt  2 3  2 phẳng ( MC D) cosin góc hai mặt phẳng ( MAB ) ( MC D) bằng:   n n 0.0  4.2  3.( 3) 17 13   cos( n1 , n2 )   2   2 2 2 n1 n2 65  (4)    ( 3) Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , có AB  a , AD  a 2, góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt phẳng  AHK   ABBA A 60 B 45 C 90 D 30 Lời giải Do ABCD.ABCD hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C  ( ABCD)  ( A ' C , ( ABCD))  ( A ' C , A ' C ')  CA ' C '  300 CC '  'C '   CC '  a Ta có AC  AB  AD  a 3; tan CA A'C ' Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E, F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A Ta có 1 a a    AK  ; A ' K  A ' A2  AK  ; 2 AK A ' A AD 3 1 a a    KF  ; KE  A ' K  KF  KE  2 KF KA A ' K 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A ' D, B, A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E ( ;0;0), F (0;0; ) 2 3 3  Mặt phẳng  ABB ' A ' mặt phẳng ( yOz) nên có VTPT n1  (1; 0; 0);   a2   Ta có  AK , AH   n , n (2; 2; 2)  Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT n  (2; 2; ); Gọi  góc hai mặt phẳng  AHK   ABBA       450 Ta có cos  cos(n1 , n )  Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  Tính cos  với  góc tạp  SAC   SCD  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B Lời giải C D Chú ý: Ta giải tốn với cạnh hình vng a  Gọi O, M trung điểm AB, CD Vì SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  nên SO   ABCD  3    Xét hệ trục Oxyz có O  0; 0;0  , M 1; 0;0  , A  0; ;0  , S  0;0;  Khi      1    C 1; ;0  , D 1; ;             1    Suy SA   0; ;  , AC 1; 1;0  , SC  1; ;  , CD   0;1;0  2 2           1  ; ;  Mặt phẳng  SAC  có véc tơ pháp tuyến n1   SA, AC    2 2       ;0;1 Mặt phẳng  SAD  có véc tơ pháp tuyến n1   SC , CD        n1.n2 Vậy cos      n1 n2 Câu (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC , biết MN  a Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  A B C D Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi I hình chiếu M lên  ABCD  , suy I trung điểm AO Khi CI  3a AC  4 Xét CNI có: CN  a  , NCI  45o Áp dụng định lý cosin ta có: NI  CN  CI  2CN CI cos 45o  a 9a a 3a 2 a 10    4 Xét MIN vuông I nên MI  MN  NI  Mà MI / / SO, MI  3a 5a a 14   a 14 SO  SO  2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ:      2    Ta có: O  0;0;0  , B  0; ;  , D  0;  ;  , C  ; 0;  , N  ; ;  ,  2        4      14  14  A   ; 0;  , S  0; 0; ; 0;  , M            2 14    14 Khi MN   , SB   0; ; ;  ;      2      Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  SBD  : n  SB  SD       14  ;  , SD   0;   2     ; 0;    MN n Suy sin  MN ,  SBD        MN n Câu (THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng -2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai mặt phẳng  A ' B ' CD   ACC ' A ' A 60 B 30 C 45 D 75 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho gốc tọa độ O  A ', Ox  A ' D ', Oy  A ' B ', Oz  A ' A Khi đó: A '(0; 0; 0) , D '( a; 0; 0) , B '(0; a; 0) , C '( a; a; 0) , A(0; 0; a ) , D ( a ; 0; a ) , B (0; a ; a ) , C ( a ; a ; a )      A ' B '  (0; a; 0), A ' D  ( a; 0; a ), A ' A  (0; 0; a ), A ' C '  ( a; a; 0)    A ' B ', A ' D   (a ; 0;  a )    Chọn n1  (1;0; 1) vectơ pháp tuyến mặt phẳng  A ' B ' CD     A ' A, A ' C   ( a ; a ;0)    Chọn n2  (1;1;0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng  ACC ' A ' Góc hai mặt phẳng  A ' B ' CD   ACC ' A ' là:   cos = cos n1 , n2   Câu 1  2     60 (Sở Bắc Ninh -2019) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc   OA  OB  OC  a Gọi M trung điểm cạnh AB Góc tạo hai vectơ BC OM A 135 B 150 C 120 D 60 Lời giải A M C O B Cách 1:       a2 OM  OA  OB Ta có   OM BC   OB      2  BC  OC  OB    1 a AB  OA2  OB  2 a2      OM BC   Do đó: cos OM , BC      OM BC  120 OM BC a 2 a 2 Cách 2: BC  OB  OC  a OM      Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ a a  Ta có: O  0;0;0  , A  0; a ;0  , B  a ;0;0  , C  0;0; a  , M  ; ;0  2     a a  Khi ta có: BC    a ;0; a  , OM   ; ;0  2       BC OM   cos BC ; OM  BC OM  Câu  a2       BC ; OM  120 a a 2    (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  Nếu tan   A 30 B 60 góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  C 45 Lời giải D 90 Gọi I  AC  BD Hình vng ABCD có độ dài đường chéo a suy hình vng có cạnh a  SBD    ABCD   BD     SI ; AI   SIA Ta có  SI  BD  SBD  ;  ABCD      AI  BD    SA  SA  a Ta có tan   tan SIA AI Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , S  0;0; a     Khi SA   0;0;  a  ; SC   a; a;  a  ; SB   a;0;  a  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có O  0;0;0  , A  Oz, B  Ox, C  Oy cho AO  5, OB  2, OC   A  0;0;5  , B  2;0;0  , C  0; 4;0   5 Khi đó: G trọng tâm tam giác ABC nên G  ; ;   3 3 M trung điểm OB nên M 1;0;0  N trung điểm OC nên N  0; 2;0  x y z    hay 10 x  y  z  10  Vậy khoảng cách từ G đến mặt phẳng  AMN  là: Phương trình mặt phẳng  AMN  là: 20 20 10    10 20 3 d  G ,  AMN     100  25  129 Câu 29 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , gọi M trung điểm AB , A ' CM cân A ' nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích khối lăng trụ Khoảng cách hai đường thẳng AB CC ' A a 57 19 B 2a 57 19 C 2a 39 13 D 2a 39 Lời giải Chọn B Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H trung điểm MC  A ' H  MC  A ' H   ABC  SABC  a V Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: Ta có V  S ABC A ' H  A ' H   a   a  a  O  M  0; 0;0  , A   ;0;0   Ox, B  ; 0;0   Ox, C  0; ;0   Oy Mz / / A ' H   2     a   A '  0; ; a       a 3a  ; a  Ta có CC '  AA '  C '  ; 2     a a    a a  AB   a;0;0  , CC '   ; ; a  , AC   ; ;0  2  2      AB, CC ' AC 2a 57    Vậy d  AB, CC '     19  AB, CC '   Câu 30 (Sở Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang vng A D , SA   ABCD  Góc SB mặt phẳng đáy 45o , E trung điểm SD , AB  2a , AD  DC  a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACE  A 2a B 4a C a D 3a Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình chiếu SB mặt phẳng  ABCD  AB  Góc SB mặt đáy góc SB   45o AB góc SBA Tam giác SAB vng cân A  SA  2a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta có: A  0;0;0  , B  0; 2a;0  , C  a; a;0  , D  a;0;0  , S  0;0;2a  , a  E  ;0; a  2    a  a2      AC   a; a;0  , AE   ;0; a   AC  AE   a ; a ;    2     mặt phẳng  ACE  có véctơ pháp tuyến n   2; 2; 1   ACE  : x  y  z    Vậy d B,  ACE   2.2a  1  4a Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH Câu 31 (Mã 102 2018) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 qua điểm A 1;0; 1 Xét điểm B , C , D thuộc  S  cho AB , AC , AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A 64 B 32 64 Lời giải C D 32 Chọn B Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D N I C A M B Mặt cầu  S  có bán kính r  IA     Đặt AB  a; AC  b; AD  c Ta có IA2  Do a  b2  c a2  b2  c  12 a  b  c 3 a 2b c  4 1 32 Do V  abc  163  6 Dấu xảy a  b  c Theo BĐT Cơ-si ta có: Câu 32 (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1;0;2  qua điểm A  0;1;1 Xét điểm B , C , D thuộc  S  cho AB , AC , AD đôi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B C D Lời giải Chọn C D a R c I C A b M B Đặt: AD  a , AB  b , AC  c Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có:  R  IA   AM  b2  c2 a b2  a  c2 ; IM   R  IA2   2 2 2 2 2 AD BĐT Cosi: b  a  c  b a c  b a c V  Câu 33 b   a2  c2  27  abc  1 abc   6 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b  a  b  Gọi M trung điểm cạnh CC Thể tích khối tứ diện BDAM có giá trị lớn 64 32 A B C D 27 27 27 27 Lời giải z A' D' B' C ' M y A D x B C b Tọa độ điểm C ( a; a; 0), C '( a; a; b), M (a; a; )    b BA '  (-a; 0; b), BD  (-a; a;0), BM  (0; a; ) 2      BA ', BD   (ab; ab; b ) nên VBDA ' M   BA ', BD  BM  a b    6 64 32  a  a  2b  Ta có: a.a.(2b)    a 2b   VBDA ' M    27 27 27   Câu 34 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M , N trung điểm BC AB Mặt phẳng  MND '  chia khối lập phương thành hai khối đa diện, khối chứa điểm C gọi  H  Tính thể tích khối  H  A 55a 72 B 55a 144 181a 486 Lời giải C D 55a 48 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Thể tích khối lập phương a3 Mặt phẳng  MND  cắt cạnh DC E thỏa EC  1 DC ; cắt BB P cho BP  BB Khi V H   VC .DNPME  VC .CEM  VC .BPN a 2a a Có VB.C NP  a  18 a a a3 a  48 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ; lấy đơn vị trục đơn vị a 1 1       Ta có C  0;0;0  , C   0;0;1 , E  ; 0;0  , M  0; ;0  , R  0;0;   , Q   ;1;0  , D 1;0;1 4         VC C ME  Mặt phẳng  MND  : 29 x y z     x  y  z    d  C ,  MND    1 29  29 29 11 29   12 48 11  d  C ,  MND   S DNPME  a 36 55  a 144 S MPNDE  S EQND  S PMQ  VC  DNPME Vậy V H  Câu 35 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O đỉnh B  m;0;0  , D  0; m;0  , A  0;0; n  với m, n  m  n  Gọi M trung điểm cạnh CC  Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn A B 64 27 C 75 32 D 245 108 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải z n a A' D' C' B' M D y m A m x B C n  M  m; m;  2   BA    m;0; n   Ta có BD   m; m;0    n BM   0; m;  2     BA; BD     mn; mn; m       n  BA; BD  BM   m2 n  m2   m2 n   2 VBADM Câu 36    2 1   64     BA; BD  BM  m n  m   m   m.m   2m      4 8   27 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho hình lập phương ABCD ABC D  có độ dài cạnh Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC, CD, DD Gọi thể tích khối tứ diện MNPQ phân số a tối giản , với a, b  * Tính a  b b A B 25 C 13 D 11 Lời giải Chọn C Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Thiết lập hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, gốc O  B  Khi đó: 1   1     M  0; ;1 , N  ;0;1 , P 1; ;  , Q 1;1;  2   2       1     1  MN   ;  ;  , MP  1; 0;  1 , MQ  1; ;   2   2 Suy VMNPQ  Câu 37     MN , MP  MQ   a  1; b  12  a  b  13   12 Trong không gian Oxyz ,tập hợp tất điểm thỏa mãn x  y  z  x   y  z  khối đa diện tích A B Lời giải C D Chọn D Tập điểm M  x; y; z  có tọa độ thỏa x  y  z  bát diện tâm O , đỉnh có tọa độ 2;0;0 , 2;0;0, 0;2;0 , 0; 2;0 , 0;0; 2 , 0;0; 2 Tập điểm M  x; y; z  có tọa độ thỏa x   y  z  bát diện tâm A 2;0;0 , đỉnh có tọa độ 0;0;0, 4;0;0 , 2; 2;0 ,  2; 2;0 , 2;0; 2 , 2;0; 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Giao hai bát diện bát diện có tâm H 1;0;0 , đỉnh là: O 0;0;0 , A2;0;0 , B 1;0;1 , C 1; 1;0 , D 1;1;0 , E 1;0; 1 Ta có AD  2, BH  Thể tích khối đa diện: V  .BH AD  3 Câu 38 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D ' có AB  1; AD  2; AA  Mặt phẳng ( P) qua C  cắt tia AB; AD; AA E; F ; G (khác A ) cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ Tổng AE  AF  AG A 18 B 17 C 15 Lời giải D 16 Chọn A Trong không gian xây dựng hệ toạ độ Oxyz cho A  O; B(1;0;0); D(0;2;0);A(0;0;3) Khi ta có C (1;2;3) Giả sử mặt phẳng ( P) cắt trục Ox; Oy; Oz lần lươt E(a;0;0); F (0; b;0); G(0;0; c) , với a  0; b  0; c  Khi phương trình mặt phẳng ( P) x y z   1, a b c Do mặt phẳng ( P) qua C(1;2;3) Nên ta có  abc  162    hay     3 a b c abc a b c 1  a  b  c Mặt khác thể tích khối tứ diện AEFG V  abc  27 , dấu "  " xảy  1   1  a b c Tức a  3; b  6; c  Vậy tổng AE  AF  AG  18 Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 39 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm AB , gọi M , N hình chiếu vng góc K lên AD , AC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN A a B a 3a Lời giải C D 3a Chọn D Coi a  , ta có: KC  , DH  ; AN  AC ; HK    6    Chọn hệ trục Oxyz cho K  O  0;0;0  , A  0; ;  , C  ;0;  , D  ;0;           3  Ta có: AN  AC  N  ; ;   8  Ta có: Tứ giác CDMN hình thang cân Do mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN mặt cầu ngoại tiếp tứ diện KCDN Giả sử mặt cầu  S  ngoại tiếp tứ diện KCDN có phương trình: x  y  z  2ax  2by  2cz  d   a  b  c  d   (1) d    a    3a     b   Vì K , C , D , N   S    3  a c  4 c       3 d   a  b   16 Vậy R  Câu 40  R  a2  b2  c2  d  3a (Chun Thái Bình -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN A a 93 12 B a 29 C 5a 12 D a 37 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ 3 1     M 1;0;0  , N  ; ;0  , C  1; ;0  , S  0;0;   2     Gọi I  x ; y ; z  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN  MI  NI  CI  SI    1       3 Ta có: MI   x  1; y ; z  , NI   x  ; y  ; z  , CI   x  1; y  ; z  , SI   x ; y ; z   2       Từ MI  NI  CI  SI ta có hệ: 2  1   x  1  y  z   x     y    z 2  2 x      2 1  1 1    2  x     y    z   x  1   y    z   y  2  2 2          z 2  x  1  y    z  x  y  z       12  2        1  I ; ;   IM   ;  ;   4 12 12    4  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN là: R  IM  Câu 41 93 12 (Chuyên KHTN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  5; 0;0  B  3; 4;0  Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn A B Lời giải C D Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 z C H y O K B E Ax Ta có C  0;0; c  Dễ thấy tam giác ABC cân C Gọi E   4; 2;0  trung điểm AB Ta  AB  OC có mặt phẳng  OCE  vng góc với AB (do  ) mặt phẳng cố định  AB  CE Gọi K trực tâm tam giác OAB , A , B K nằm mặt phẳng  Oxy  nên   x  OK AB   x  2   y.4            Tìm K   3; ;0     x    BK OA   y   AB   OEC   HK  AB Ta chứng minh KH   CAB    CA   BHK   HK  CA Suy   90 Suy KHE  d  B,  SCD    thuộc mặt cầu đường kính KE    d  H ,  SCD   thuộc mặt phẳng  OCE  cố định Vậy H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính R  Câu 42 H (Chuyên Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A , B , C (không trùng O ) thay đổi trục Ox , Oy , Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC Biết mặt phẳng  ABC  tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu A B C Lời giải D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 S ABC S ABC   VOABC S d O, ABC     d O,  ABC   ABC S Mà ABC  nên d  O,  ABC    VOABC Ta có Vậy mặt phẳng  ABC  tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R  Câu 43 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x 1 y 1 z 1 x  y 1 z  x  y  z 1       ,  d2  : ,  d3  : Mặt cầu bán kính 2 2 2 nhỏ tâm I  a; b; c  , tiếp xúc với đường thẳng  d1  ,  d  ,  d3  Tính S  a  2b  3c  d1  : A S  10 B S  11 C S  12 Lời giải   d1  qua điểm A 1;1;1 có VTCP u1   2;1;     d  qua điểm B  3;  1;  có VTCP u2  1; 2;    d3  qua điểm C  4; 4;1 có VTCP u3   2;  2;1 D S  13 B d2 I       Ta có u1.u2  , u2 u3  , u3 u1    d1  ,  d  ,  d  đôi vng góc với          u1 , u2  AB  , u2 , u3  BC  , u3 , u1  CA        A C d3 d1   d1  ,  d  ,  d  đôi chéo      Lại có: AB   2;  2;1 ; AB u1  AB u2  nên  d1  ,  d  ,  d3  chứa cạnh hình hộp chữ nhật hình vẽ Vì mặt cầu tâm I  a; b; c  tiếp xúc với đường thẳng  d1  ,  d  ,  d3  nên bán kính R  d  I , d1   d  I , d   d  I , d   R  d  I , d1   d  I , d   d  I , d          AI , u     BI , u    CI , u      3       , với u  u  u  ,  R2              u1 u2 u3          AI   a  1; b  1; c  1 ,  AI , u1    2b  c  1; 2a  2c  4; a  2b  1    BI   a  3; b  1; c   ,  BI , u2    2b  2c  6;  2a  c  4; 2a  b   Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  CI   a  4; b  4; c  1 , TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   CI , u3    b  2c  6;  a  2c  2; 2 a  2b  16     9 R     AI , u 1        2 9 R   BI , u2   27 R   AI , u1      9 R  CI , u  3      BI , u2       CI , u3     27 R  18  a  b  c   126a  54b  54c  423 2 7 3  243 243     27 R  18  a    18  b    18  c     2 2 2 2    3 7 3  Rmin  a  , b  c   I  ; ;  2 2 2 Khi S  a  2b  3c  11 Câu 44 Cho hình chóp S ABCD cs đáy hình thang vng A B , AD  AB  BC  2a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  2a Gọi E trung điểm cạnh AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE A a B a 11 a Lời giải C D a Chọn B S E A B D C Dễ tính AB  BC  AE  a       Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz với O  A , AB  i , AE  j , AS  2k Khi ta có E  0;1;0  , C 1;1;0  , D  0; 2;0  , S  0;0;  Gọi I  a; b; c  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có: IE  IC  a   b  1  c   a 1   b 1  c2  2a 1   a  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 IE  ID  a2   b  1  c2  a2   b  2  c2  2b    b  2 IE  IS  a2   b  1  c  a2  b2   c  2  4c  2b    c  1 3 2 2 Vậy I  ; ;  suy bán kính mặt cầu cần tìm R  IE  2b  3  11 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TỐN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ...   Vậy d B,  ACE   2.2a  1  4a Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH Câu 31 (Mã 102 2018) Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1;... Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D điểm M thuộc đoạn OI cho MO  2MI (tham khảo hình. .. tọa độ hình lăng trụ 2.1 Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: Lăng trụ ? ?ứng Lăng trụ ? ?ứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình Trang