Chuyên đề 24 ứng dụng hình học giải tích Oxyz để giải quyết một số bài toán

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 CHUN ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU ĐỀ 24 HƠN MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH 16 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH 20 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU 25 PHẦN A CÂU HỎI Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D điểm M thuộc đoạn OI cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng  MC D   MAB  A 85 85 B 17 13 65 C 85 85 D 13 65 Câu (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  MI (tham khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng ( MC D) ( MAB ) A 13 65 B 85 85 C 85 85 D 17 13 65 Câu (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , có AB  a , AD  a 2, góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt phẳng  AHK   ABBA A 60 B 45 C 90 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D 30 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  Tính cos  với  góc tạp  SAC   SCD  A B C D Câu (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC , biết a Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  MN  2 A B C D 5 Câu (THPT LÊ Q ĐƠN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai mặt phẳng  A ' B ' CD   ACC ' A ' A 60 B 30 C 45 D 75 Câu (SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB ,  OC đơi vng góc OA  OB  OC  a Gọi M trung điểm cạnh AB Góc tạo hai vectơ BC  OM A 135 B 150 C 120 D 60 Câu (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBD   ABCD  Nếu A 30 tan   góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  B 60 C 45 D 90 Câu (THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB  a , SA  a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: 5 15 A arccos B arccos C arccos D arccos 5 Câu 10 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có A ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng  ABC   CMN  A B C 2 D 13 Câu 11 (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng  ABC  (hình vẽ) A C O B Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Khi giá trị nhỏ biểu thức M    cot     cot     cot   2 A 48 B 125 C Số khác D 48 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH Câu 12 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 qua điểm A 1;0; 1 Xét điểm B , C , D thuộc  S  cho AB, AC , AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn 32 64 A 64 B C 3 Câu 13 D 32 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1;0;  qua điểm A  0;1;1 Xét điểm B , C , D thuộc  S  cho AB , AC , AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B C 3 D Câu 14 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b a  b  Gọi M trung điểm cạnh CC Thể tích khối tứ diện BDAM có giá trị lớn 64 32 A B C D 27 27 27 27 Câu 15 (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M , N trung điểm BC AB Mặt phẳng  MND '  chia khối lập phương thành hai khối đa diện, khối chứa điểm C gọi  H  Tính thể tích khối  H  A 55a 72 B 55a 144 C 181a3 486 D 55a 48 Câu 16 (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O đỉnh B  m;0;0  , D  0; m;0  , A  0;0; n  với m, n  m  n  Gọi M trung điểm cạnh CC  Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn 64 75 245 A B C D 27 32 108 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH Câu 17 (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Biết A  0;0;0  , D  2; 0;0  , B  0; 4;0  , S  0; 0;  Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  CDM  A d  B,  CDM    C d  B,  CDM    B d  B,  CDM    2 D d  B,  CDM    Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 18 (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân, AB  AC  a , AA  h  a, h   Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB BC theo a , h ah ah ah ah A B C D a  5h2 5a  h2 2a2  h2 a  h2 Câu 19 (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân với  ASB  1200 nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN A 327a 79 B 237a 79 C 237a 79 D 237a 316 Câu 20 (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB , hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm CI , góc SA mặt đáy 450 (hình vẽ bên) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Khoảng cách hai đường thẳng SA CG A a 21 14 B a 14 C a 77 22 D a 21 Câu 21 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN - 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi K trung điểm DD Tính khoảng cách hai đường thẳng CK AD 4a a 2a 3a A B C D 3 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 22 (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN A Câu 23 a 93 12 B a 29 C 5a 12 D a 37 (CHUYÊN KHTN - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  5; 0;0  B  3; 4;0  Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn 5 A B C D 2 Câu 24 (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A , B , C (không trùng O ) thay đổi trục Ox , Oy , Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC Biết mặt phẳng  ABC  tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu A B C D (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , x 1 y 1 z 1 x  y 1 z  x  y  z 1       cho đường thẳng  d1  : ,  d2  : ,  d3  : Mặt cầu 2 2 2 bán kính nhỏ tâm I  a; b; c  , tiếp xúc với đường thẳng  d1  ,  d  ,  d  Tính S  a  2b  3c Câu 25 A S  10 B S  11 C S  12 D S  13 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D điểm M thuộc đoạn OI cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng  MC D   MAB  A 85 85 B 17 13 65 85 85 Lời giải C D 13 65 Chọn C Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cạnh hình lập phương 1, ta tọa độ điểm sau : 1 1 M  ; ;  , C   0;1;0  , D 1;1;0 A 1;0;1 , B  0;0;1 2 6   5.1  3.3 Khi n MC D   0;1;3 ; n MAB    0;5;3 nên cos   MAB  ,  MC D   2 2 3 3  85  85 85 Suy sin    MAB  ,  MC D        85 85 85   Câu (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vng ABC D M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho MO  MI (tham khảo hình vẽ) Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng ( MC D) ( MAB ) A 13 65 B 85 85 C 85 85 D 17 13 65 Lời giải Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Khơng tính tổng quát ta đặt cạnh khối lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho A(0; 0; 0), B (1; 0; 0), D (0;1; 0) A(0; 0;1) (như hình vẽ) 1 1 Khi ta có: M  ; ;   2 3    1    1   Suy ra: AB  (1; 0; 0), MA   ; ;     AB, MA   0;  ;   n1  (0; 4;3) VTPT 2 2 3  mặt phẳng ( MAB )    1     1   DC   (1; 0;0), MD   ;  ;    DC , MD   0; ;    n2  (0; 2; 3) VTPT mặt  2 3  2 phẳng ( MC D) cosin góc hai mặt phẳng ( MAB ) ( MC D) bằng:   n1.n2 0.0  4.2  3.(3) 17 13   cos(n1 , n2 )      2 2 2 n1 n2 65  (4)    (3) Câu (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , có AB  a , AD  a 2, góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt phẳng  AHK   ABBA A 60 B 45 C 90 Lời giải Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D 30 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Do ABCD.ABCD hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C  ( ABCD)  ( A ' C , ( ABCD))  ( A ' C , A ' C ')  CA ' C '  300 CC '  'C '   CC '  a Ta có AC  AB  AD  a 3; tan CA A'C ' Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E, F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A Ta có 1 a a ;    AK  ; A ' K  A ' A2  AK  2 AK A ' A AD 3 1 a a    KF  ; KE  A ' K  KF  KE  2 KF KA A ' K 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A ' D, B, A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E ( ;0;0), F (0;0; ) 2 3 3  Mặt phẳng  ABB ' A ' mặt phẳng ( yOz) nên có VTPT n1  (1; 0; 0);   a2   Ta có  AK , AH   n , n (2; 2; 2)  Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT n  (2; 2; ); Gọi  góc hai mặt phẳng  AHK   ABBA      450 Ta có cos  cos (n1 , n )  Câu (THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  Tính cos  với  góc tạp  SAC   SCD  A B Lời giải C Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Chú ý: Ta giải tốn với cạnh hình vng a  Gọi O, M trung điểm AB, CD Vì SAB tam giác  SAB  vng góc với  ABCD  nên SO   ABCD  3    Xét hệ trục Oxyz có O  0;0;0  , M 1;0;0  , A  0; ;0  , S  0;0;  Khi      1    C 1; ;0  , D 1; ;0             1    Suy SA   0; ;  , AC 1; 1;0  , SC  1; ;  , CD   0;1;0   2   2        1  Mặt phẳng  SAC  có véc tơ pháp tuyến n1   SA, AC    ; ;  2        Mặt phẳng  SAD  có véc tơ pháp tuyến n1   SC , CD    ;0;1     n1.n2 Vậy cos      n1 n2 Câu (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA a BC , biết MN  Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  2 A B C D 5 Lời giải Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Gọi I hình chiếu M lên  ABCD  , suy I trung điểm AO Khi CI  3a AC  4 Xét CNI có: CN  a  , NCI  45o Áp dụng định lý cosin ta có: NI  CN  CI  2CN CI cos 45o  a 9a a 3a 2 a 10    4 Xét MIN vuông I nên MI  MN  NI  Mà MI / / SO, MI  3a 5a a 14   a 14 SO  SO  2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ:      2    Ta có: O  0;0;0  , B  0; , D  0;  , C , N , ; ; ; ;           ; ;  2             14  14  A   ; 0;  , S  0; 0; ; 0;  , M    4         2 14    14 Khi MN   ; ;  ;  , SB   0;  4  2      Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  SBD  : n  SB  SD       14  ;  , SD   0;   2     ; 0;    MN n Suy sin  MN ,  SBD        MN n Câu (THPT LÊ Q ĐƠN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai mặt phẳng  A ' B ' CD   ACC ' A ' Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 10 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có A ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA BB Tính tan góc hai mặt phẳng  ABC   CMN  A B 2 Lời giải C D 13 Gọi O trung điểm AB Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ cho O  0; 0;0  ,      6 a 1    ;0  , H  0; ;0  , AH   A  0; ; A  ; 0;0  , B   ; 0;  , C  0;  2              6 ; Ta có AB  AB  B  1;  Dễ thấy  ABC  có vtpt n1   0;0;1   1   3  M trung điểm AA  M  ; ; ;  , N trung điểm BB  N  ;   12   12     5  MN   1;0;0 , CM   ; ;    12   3 ;   CMN  có vtpt n2   0; 0; 2;5   12 12    cos   Câu 11  2  tan   1  cos  33 (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng  ABC  (hình vẽ) Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 A C O B Khi giá trị nhỏ biểu thức M    cot     cot     cot   A 48 B 125 C Số khác Lời giải D 48 Chọn B Gọi H trực tâm tam giác ABC , tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc nên ta 1 1 có OH   ABC     2 OH OA OB OC  ,     ,     Ta có    OA;  ABC    OAH OB;  ABC    OBH OC ;  ABC    OCH OH OH OH , sin   , sin   OA OB OC 1 1 Đặt a  OA , b  OB , c  OC , h  OH    h a b c   M    cot     cot     cot         sin    sin   Nên sin        sin      a2   b2   c2  1              a  b  c    a 2b  b c  c a   a b c h  h  h  h h h  Ta có:  a  b  c  1 1 1    a  b  c       3 a b c 3  a b c h b c  a  a b  b c  c a  h14   a 2b2  b2c  c a   a12  b12  c12  2 2 2 2   1   3 a 2b b 2c c a  3     3 a 4b c 4  27  a b c  abc   3   1  1 2  a b c  a b c      a 2b 2c  3     27  a b c  h a b c    2 Do đó: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 1   a b  b c  c a   a 2b c h h h   4.9  2.27  27  125 Dấu đẳng thức xảy a  b  c , hay OA  OB  OC Vậy M  125 M    a  b2  c  A α a H h c O C b B Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH Câu 12 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 qua điểm A 1;0; 1 Xét điểm B , C , D thuộc  S  cho AB, AC , AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn 32 64 A 64 B C D 32 3 Lời giải Chọn B Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 D N I C A M B Mặt cầu  S  có bán kính r  IA     Đặt AB  a; AC  b; AD  c a2  b2  c2 Ta có IA  2 a b c Do  12 a  b  c 3 a 2b c  Theo BĐT Cô-si ta có: 4 1 32 Do V  abc  163  6 Dấu xảy a  b  c Câu 13 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1;0;  qua điểm A  0;1;1 Xét điểm B , C , D thuộc  S  cho AB , AC , AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A B C D 3 Lời giải Chọn C D a R c I C A b M B Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Đặt: AD  a , AB  b , AC  c Ta có:  R  IA  b2  c a b2  a2  c2 ; IM   R  IA2   2  AM  AD BĐT Cosi: b  a  c  3 b a c  b a c V  Câu 14 b   a2  c2  27  abc  1 abc   6 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b  a  b  Gọi M trung điểm cạnh CC Thể tích khối tứ diện BDAM có giá trị lớn 64 32 A B C D 27 27 27 27 Lời giải z A' D ' B' C ' M y A D x C B b Tọa độ điểm C ( a; a;0), C '( a; a; b), M ( a; a; )    b BA '  (-a; 0; b), BD  (-a; a;0), BM  (0; a; ) 2      BA ', BD   ( ab;  ab; b ) nên VBDA ' M   BA ', BD  BM  a b    6 32  a  a  2b  64 Ta có: a.a.(2b)    a 2b   VBDA ' M    27 27   27 Câu 15 (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019 LẦN 01) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi M , N trung điểm BC AB Mặt phẳng  MND '  chia khối lập phương thành hai khối đa diện, khối chứa điểm C gọi  H  Tính thể tích khối  H  55a A 72 55a B 144 181a3 C 486 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55a D 48 18 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Lời giải Thể tích khối lập phương a3 Mặt phẳng  MND  cắt cạnh DC E thỏa EC  1 DC ; cắt BB P cho BP  BB Khi V H   VC .DNPME  VC .CEM  VC  BPN a 2a a a  18 a a a3 VC C ME  a  48 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ; lấy đơn vị trục đơn vị a 1 1       Ta có C  0;0;0  , C   0;0;1 , E  ; 0;0  , M  0; ;0  , R  0;0;   , Q   ;1;0  , D 1; 0;1 3 4       Có VB.C NP  29 x y z     x  y  z    d  C ,  MND    1 29  29 29 11 29 S MPNDE  S EQND  S PMQ    12 48 11 VC  DNPME  d  C ,  MND   S DNPME  a 36 55 Vậy V H   a 144 Mặt phẳng  MND  : Câu 16 (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O đỉnh B  m;0;0  , D  0; m;0  , A  0;0; n  với m, n  m  n  Gọi M trung điểm cạnh CC  Khi thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A B 64 27 75 32 Lời giải C ĐT:0946798489 D 245 108 z n A' D' a C' B' M D y m A m x B C n  M  m; m;  2   BA    m;0; n   Ta có BD    m; m;0    n BM   0; m;  2     BA; BD    mn;  mn;  m       n  BA; BD  BM  m n  m   m n   2    2 1   64   VBADM   BA; BD  BM  m n  m   m   m.m   2m      4 8   27 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH Câu 17 (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Biết A  0;0;0  , D  2; 0;0  , B  0; 4;0  , S  0; 0;  Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  CDM  A d  B,  CDM    C d  B,  CDM    B d  B,  CDM    2 D d  B,  CDM    Lời giải Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  xA  xC  xB  xD  xC    Tứ giác ABCD hình chữ nhật nên  y A  yC  yB  yD   yC   C  2; 4;  z  z  z  z z  B D  A C  C M trung điểm SB  M  0; 2;  Viết phương trình mặt phẳng  CDM  :     CD   0; 4;  , CM   2; 2;   CD  CM   8; 0; 8    CDM  có véc tơ pháp tuyến n  1; 0;1 Suy  CDM  có phương trình: x  z   Vậy d  B;  CDM    Câu 18 002 12  02  12  (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân, AB  AC  a , AA  h  a, h   Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB BC theo a , h ah ah ah ah A B C D 2 2 2 a  5h 5a  h 2a  h a  h2 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ A  0;0;0  ; A  0;0; h  ; C  0; a;0  ; B  a;0;0  ; B  a;0; h  ; C  0; a; h       AB   a;0; h  ; BC   a; a; h  ;  AB; BC     ah; 2ah; a  ; AB   a;0;0  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489     AB; BC  AB ah   d  AB; BC       2  AB; BC  a  h   Câu 19 (TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân với  ASB  1200 nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN A 327a 79 B 237a 79 237a 79 Lời giải C D 237a 316 Gọi O trung điểm AB , SAB cân S  SO  AB Ta có: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  SAB    ABC  gt    SAB    ABC   AB  SO   ABC    SO  AB  cmt  OB a tan 600 Ta có: OC đường cao tam giác cạnh 2a nên: OC  3a Gắn hình chóp S.ABC lên hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi ta có:  O  0; 0;  ,B a ; 0; , A  a ; 0; ;C  0; 3a;  ; S  0; 0;a   AB  2a ; 0;   600  SO  Xét SOB vng O có OSB       3a a  M trung điểm SC nên M có tọa độ:  0; ;   2  9a a  N trung điểm MC nên N có tọa độ:  0; ;   4    3a a  AM có véc tơ phương AM  a ; ;  hay a ; 3;1 2     9a a  BN có véc tơ phương BN  a ; ;  hay b 4 ; 9;1 4      a,b  AB 237    a Ta có: d  AM ; BN     79  a,b      Câu 20    (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB , hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm CI , góc SA mặt đáy 450 (hình vẽ bên) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Khoảng cách hai đường thẳng SA CG A a 21 14 B a 14 a 77 22 Lời giải C D a 21 Chọn B a   a   a  Đặt hệ trục tọa độ Oxyz cho I  0; 0;  , A  ; 0;0  , B   ; 0;  , C  0; ;  2      Ta có CI  a a a , IH  , AH  4 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  a  H trung điểm CI suy H  0; ;      SH  a  S  0; a ; a  450   SA,  ABC     SA, AH   SAH   4     a a a    a a a    a a  Ta có: SA   ;  ; ; ;   , CG    ;   , CA   ;  2 4 12 2            a 21 a  a  SA, CG    SA, CG     ;0;       12 12       SA, CG  CA a 14    Khoảng cách SA CG :    SA, CG    Câu 21 (THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG - LẦN - 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Gọi K trung điểm DD Tính khoảng cách hai đường thẳng CK AD 4a a 2a 3a A B C D 3 Lời giải Gọi M trung điểm BB Ta có: CK // AM  CK //  AMD  Khi đó: d  CK , AD   d  CK ,  AMD    d  C ,  AMD   Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ: a  Ta có: A  0; 0;  , B  a; 0;0  , D  0; a;  , A  0; 0; a  , B  a;0; a  , C  a; a;  , M  a;0;  2       a  a   AM   a;0;   , AD   0; a; a  ,  AM , AD    ; a ; a  2     Vậy mặt phẳng  AMD  nhận n  1; 2;  làm vectơ pháp tuyến Phương trình mp  AMD  : x  y  z  2a  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 a  a  2a a  3 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm BÁN KÍNH MẶT CẦU Do đó: d  C ,  ADM    Câu 22 (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN a 93 a 29 5a a 37 A B C D 12 12 Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ  3 S  0;0;    Gọi I  x ; y ; z  tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN  MI  NI  CI  SI 1    M 1;0;0  , N  ; ;0  , C  1; ;0  , 2       1       3 Ta có: MI   x  1; y ; z  , NI   x  ; y  ; z  , CI   x  1; y  ; z  , SI   x ; y ; z   2       Từ MI  NI  CI  SI ta có hệ: 2  1  1  2   x  1  y  z   x     y    z x  2         2 1 1        2  x     y    z   x  1   y    z   y  2            x  1   y    z  x  y   z   z     12  2        1  I ; ;   IM   ;  ;   12   4 12  4 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN là: R  IM  Câu 23 93 12 (CHUYÊN KHTN - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  5; 0;0  B  3; 4;0  Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn 5 A B C D 2 Lời giải z C H y O K B E Ax Ta có C  0; 0; c  Dễ thấy tam giác ABC cân C Gọi E   4; 2;0  trung điểm AB Ta có  AB  OC mặt phẳng  OCE  vng góc với AB (do  ) mặt phẳng cố định  AB  CE Gọi K trực tâm tam giác OAB , A , B K nằm mặt phẳng  Oxy  nên   x  OK AB   x  2   y.4          Tìm K   3; ;0     x    BK OA   y   AB   OEC   HK  AB Ta chứng minh KH   CAB    CA   BHK   HK  CA Suy   90 Suy KHE H thuộc mặt cầu đường kính KE    d  H ,  SCD   thuộc mặt phẳng  OCE  cố định Vậy H thuộc đường trịn cố định có bán kính R   d  B,  SCD    Câu 24 (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A , B , C (không trùng O ) thay đổi trục Ox , Oy , Oz ln thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Biết mặt phẳng  ABC  tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu A B C D Lời giải tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC S ABC S ABC   VOABC S d O, ABC    d  O,  ABC    ABC S ABC  nên d  O,  ABC    Mà VOABC Ta có Vậy mặt phẳng  ABC  tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R  Câu 25 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz x 1 y 1 z 1 x  y 1 z      , cho đường thẳng , ,  d1  :  d2  : 2 2 x  y  z 1   Mặt cầu bán kính nhỏ tâm I  a; b; c  , tiếp xúc với đường thẳng  d3  : 2  d1  ,  d  ,  d3  Tính S  a  2b  3c A S  10 B S  11 C S  12 Lời giải D S  13  B  d1  qua điểm A 1;1;1 có VTCP u1   2;1;     d  qua điểm B  3;  1;  có VTCP u2  1; 2;    d3  qua điểm C  4; 4;1 có VTCP u3   2;  2;1 d2       Ta có u1.u2  , u2 u3  , u3 u1    d1  ,  d  ,  d  đôi vng góc với          u1 , u2  AB  , u2 , u3  BC  , u3 , u1  CA          d1  ,  d  ,  d  đôi chéo      Lại có: AB   2;  2;1 ; AB u1  AB u2  nên  d1  ,  d  ,  d3  I A d1 C d3 chứa cạnh hình hộp chữ nhật hình vẽ Vì mặt cầu tâm I  a; b; c  tiếp xúc với đường thẳng  d1  ,  d  ,  d  nên bán kính Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG 2 ĐT:0946798489 2 R  d  I , d1   d  I , d   d  I , d   R  d  I , d1   d  I , d   d  I , d          AI , u     BI , u    CI , u      3       , với u  u  u  ,  R2              u1 u2 u3          AI   a  1; b  1; c  1 ,  AI , u1    2b  c  1; 2a  2c  4; a  2b  1    BI   a  3; b  1; c   ,  BI , u2    2b  2c  6;  2a  c  4; 2a  b      CI   a  4; b  4; c  1 , CI , u3    b  2c  6;  a  2c  2; 2 a  2b  16   9 R     AI , u 1            2 9 R   BI , u2   27 R   AI , u1    BI , u2   CI , u3     9 R  CI , u  3    27 R  18  a  b  c   126a  54b  54c  423 2 7 3  243 243     27 R  18  a    18  b    18  c     2 2 2 2    3 7 3  Rmin  a  , b  c   I  ; ;  2 2 2 Khi S  a  2b  3c  11 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 ...    cot   2 A 48 B 125 C Số khác D 48 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH Câu 12 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm... 27 Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH Câu 17 (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ... 13 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D có tâm O Gọi I tâm hình vuông ABC