CHỦ ĐỀ 9 BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho có đạt min Phương pháp giải +Tìm điểm I thõa mãn hệ thức tọa độ điểm I là Phân tích Khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên (P) Viết phương trình đường thẳng IM đi qua I và vuông góc với (P) Khi đó Ví dụ 1 Cho các điểm và Tìm điểm M thuộc (P) sao cho a) b) Lời giải a) Gọi là trung điểm của AB thì Ta có nhỏ nhất là M là hình chiếu của điểm I trên.
CHỦ ĐỀ 9: BÀI TỐN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI r r uuur uuur uuuu r Dạng 1: Tìm điểm M thuộc (P) cho u aMA bMB cMC có u đạt Phương pháp giải: � ax A bxB cxC �x1 abc � uur uur uur r � ay byB cyC +Tìm điểm I thõa mãn hệ thức aIB bIB cIC tọa độ điểm I là: �y1 A abc � � az A bz B czC �z1 abc � r uuur uuur uuuu r uuu r uu r uur uur uuu r Phân tích u aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC a b c MI r r Khi u a b c MI � u � M hình chiếu vng góc I lên (P) uuur uuur Viết phương trình đường thẳng IM qua I vng góc với (P) � uIM n P Khi M P � IM Ví dụ 1: Cho điểm A 2;1; 1 ; B 0;3;1 (P) : x y z Tìm điểm M thuộc (P) cho uuur uuur a) MA MB uuur uuur b) 2MA MB Lời giải uu r uur r a) Gọi I 1; 2;0 trung điểm AB IA IB uuur uuur uuu r Ta có: MA MB 2MI nhỏ � MI � M hình chiếu điểm I (P) �x t � Phương trình đường thẳng MI là: �y t � M t ; t ; t �z t � Cho M �( P ) � t t t � t 2 � M 1;0; � x A xB �x1 uu r uur r � � y yB 1 b) Gọi I điểm thỏa mãn IA IB � �y1 A � � z A zB �z1 3 � uuur uuur uuu r uu r uuu r uur uuu r Ta có: 2MA MB MI IA MI IB MI MI nhỏ � M hình chiếu điểm I �x t � (P) Phương trình đường thẳng MI là: �y 1 t � M t ; 1 t ; 3 t �z 3 t � Cho M �( P) � t t t � t 3 � M 1; 4;0 Ví dụ 2: Cho điểm A 1;0; 1 ; B 2; 2;1 C 0; 1;0 (P) : x y z Tìm điểm M thuộc (P) cho uuur uuur uuuu r a) MA MB MC uuur uuur uuuu r b) MA MB 3MC Lời giải G (0;1; 2) � r uuu r uuur r a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC � �uuu GA GB GC � uuur uuur uuuu r uuuu r Ta có: MA MB MC 3MG 3MG � M hình chiếu G mặt phẳng (P) �x t � Phương trình đường thẳng MG là: �y 1 2t � M t ; 1 2t ; 2 2t �z 2 2t � Cho M �( P) � t 4t 4t � t � M 0;1; 2 � x A xB 3xC 6 �x1 243 uu r uur uur r � � y yB yC 5 b) Gọi I điểm thỏa mãn IA IB 3IC � �y1 A 243 � � z A zB zC 6 �z1 243 � �x 6 t � Phương trình đường thẳng MI là: �y 2t � M 6 t ;5 2t; 6 2t �z 6 2t � Cho M �( P ) � 6 t 4t 10 4t 12 � t 22 �32 89 10 � � M � ; ; � 9� �9 Ví dụ 3: Cho điểm A 4;1; 1 ; B 2;3; 2 C 6; 3; 12 (P) : x y z Tìm điểm M thuộc (P) uuur uuur uuuu r cho MA 3MB MC Độ dài đoạn thẳng OM là: A OM B OM C OM Lời giải D OM � x A 3xB xC 2 �x1 1 uu r uur uur r � � y yB yC 2 Gọi I điểm thỏa mãn IA 3IB IC � �y1 A � � z A z B zC 1 �z1 1 � �x t � Phương trình đường thẳng MI là: �y 2t � M t ; 2t;1 t �z t � Cho M �( P) � t 4t t � t 1 � M 1;0; � OM Chọn A Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A 1; 2;3 ; B 3;0; 1 C 1; 4;7 (P) : x y z Gọi M a; b; c điểm thuộc mặt phẳng (P) cho MA2 MB MC nhỏ Giá trị biểu thức T a b c A T 10 B T 17 C T 21 D T 26 Lời giải: uuu r uuur uuur r Gọi G 1; 2;3 trọng tâm tam giác ABC GA GB GC uuur uuur uuuu r2 uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur Ta có: MA2 MB MC MA MB MC MG GA MG GB MG GC uuuu r uuu r uuu r uuur 3MG MG GA GB GC GA2 GB GC = 3MG GA2 GB GC nhỏ M hình chiếu G mặt phẳng (P) Phương trình MG: x 1 y z suy M MG �( P ) � M(0; 4;1) 2 Do T a b c2 17 Chọn B Ví dụ 5: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng cho điểm A 0; 3;1 ; B 2;7;1 C 1;0;3 uuur uuur uuuu r mặt phẳng (P) có phương trình x y z Gọi M a; b; c (P) cho MA MB 2MC nhỏ Tính giá trị T a 2b 3c A T B T C T Lời giải: D T 1 � x A xB xC �x1 uu r uur uu r uur uur r � y yB yC � � I 1;1; Gọi I điểm thỏa mãn IA IB IA IB IC � �y1 A 11 � � z A z B zC �z1 � uuur uuur uuuu r uuu r uu r uuu r uu r uuu r uur uuu r Khi MA MB 3MC MI IA MI IA 2MI IC 4MI uuur uuur uuuu r Khi MA MB 2MC nhỏ � MI � M hình chiếu điểm I mặt phẳng (P) Ta có: IM : x 1 y z 1 � M MI �( P) � M(2;1;0) T Chọn B 1 1 Dạng 2: Tìm điểm M thuộc (P) cho T aMA2 bMB cMC đạt max Phương pháp giải: uu r uur uur r +) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA bIB cIC uuu r uu r uuu r uur uuu r uur uuur uuur uuuu r2 +) Phân tích T aMA bMB cMC = a MI IA b MI IB c MI IC uuu r uu r uur uur � a b c MI 2MI aIA bIB cIC aIA2 bIB cIC (a b c) MI aIA2 bIB cIC +) Nếu a b c T đặt min; a b c T đặt max Khi Tmax ; Tmin MI M hình chiếu vng góc I lên (P) Ví dụ 1: Cho điểm A 3;5; 5 ; B 5; 3; C 1;0;3 (P) : x y z Tìm điểm M thuộc (P) cho a) T MA2 MB đạt giá trị nhỏ b) T MA2 2MB đạt giá trị lớn Lời giải: uu r uur r a) Gọi I trung điểm AB IA IB Ta có: T MA2 MB 2MI IA2 IB đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu vng góc I lên �x t � (P) Khi phương trình IM là: �y t � M t ;1 t ;1 t �z t � Cho M �( P) � 3(1 t ) � t 1 � M 0;0;0 � x A xB �x1 13 uu r uur r � y yB � 11 b) Gọi I điểm thỏa mãn IA IB � �y1 A 1 � � z A zB �z1 19 � uuur uuur uuu r uu r uuu r uur Ta có: T MA2 2MB MA 2MB MI IA MI IB uuu r uu r uur = MI MI ( IA IB ) IA2 IB = MI IA2 IB 2 Do IA2 IB không đổi nên Tmax � MI lớn MI � M hình chiếu vng góc I �x 13 t � lên (P) Khi phương trình IM là: �y 11 t � M 13 t ; 11 t ;19 t �z 19 t � Cho M �( P) � 21 3t � t 7 � M 6; 18;12 Ví dụ 2: Cho điểm A 1; 4;5 ; B 0; 3;1 C 2; 1;0 (P) : x y z 15 Tìm điểm M thuộc (P) cho a) T MA2 MB MC đạt giá trị nhỏ b) T MA2 MB MC đạt giá trị lớn Lời giải: G (1; 2; 2) � r uuu r uuur r a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC � �uuu GA GB GC � uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur Ta có: T MA MB MC MG GA MG GB MG GC uuuu r uuu r uuur uuur 3MG MG (GA GB GC) GA2 GB GC 3MG GA2 GB GC Do Tmin � M � M hình chiếu vng góc G lên (P) �x 3t � Khi phương trình MG là: �y 3t � M 3t ; 3t ; t �z 2t � Giải M �( P) � 9t 9t 4t 15 � t � M 4; 1;0 � x A xB xC 7 �x1 1 uu r uur uur � � y yB yC 14 b) Gọi I điểm thỏa mãn IA IB IC � �y1 A 1 � � z A z B zC 7 �z1 � Biến đổi T MI IA2 IB IC đạt giá trị lớn � MI � M hình chiếu vng góc I �x 3t � lên (P) Khi phương trình MI là: �y 14 3t � M 3t; 14 3t ; 7 2t �z 7 2t � Giải M �( P ) � 9t 21 9t 42 4t 14 15 � t 31 � 16 61 15 � �M � ; ; � 11 � 11 11 11 � Ví dụ 3: Cho điểm A 1;1; 1 ; B 2; 0;1 C 1; 1; 1 (P) : x y z Biết điểm M thuộc (P) cho T MA2 MB MC đạt giá trị nhỏ Tính độ dài OM A OM B OM C OM Lời giải: D OM � x A xB xC �x1 uu r uur uur r � y yB yC � 1 Gọi điểm I điểm thỏa mãn IA IB IC � �y1 A 1 1 � � z A z B zC �z1 � Biến đổi T 2MI IA2 IB IC đạt gía trị nhỏ � MI � M hình chiếu vng góc I �x t � lên (P) Khi phương trình MI là: �y t � M t ;1 t ;1 t �z t � Giải M �( P) � 3t � t 2 � M 0; 1; 1 � OM Chọn C Ví dụ 4: Cho điểm A 0; 4; 2 ; B 1; 2; 1 (P) : x y z Biết điểm M thuộc (P) cho biểu thức MA2 2MB đạt giá trị lớn Tính OM A OM B OM C OM Lời giải: D OM uu r uur r Gọi I điểm thỏa mãn IA IB � I 2;0;0 Biến đổi MA2 2MB MI IA2 2IB đạt giá trị lớn M hình chiếu vng góc I lên �x t � (P) Khi phương trình MI là: �y t � M t ; t; t �z t � Cho M �( P) � t t t � t 1 � M 1;1; 1 � OM Chọn B Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 ; B 2; 1;3 Điểm M mặt phẳng Oxyz cho MA2 2MB lớn Khi T xM yM có giá trị B T A T C T 1 Lời giải: uu r uur uu r uur Gọi M điểm thỏa mãn IA IB � IA IB � I 3; 4;5 D T uuu r uu r uuu r uur uuu r uu r uur Khi MA2 2MB MI IA MI IB MI 2MI ( IA IB) IA2 IB MI IA2 IB lớn � MI nhỏ � M hình chiếu I mặt phẳng ( Oxy ) Suy M 3; 4;0 � T 1 Chọn C Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz ,cho điểm A 4;1;5 ; B 3;0;1 ; C 1; 2;0 mặt phẳng uuur uuur uuur uuuu r uuuuruuur (P) : 3x y z 37 Điểm M (a;b;c) thuộc (P) cho S MA.MB MB.MC MC.MA nhỏ Tính a+b+c A a+b+c=13 B a+b+c=9 C a+b+c=11 Lời giải: D a+b+c=1 �7 � � � �3 � ;E� 1;1; � ; F � ; ; �lần lượt trung điểm AB, BC AC Gọi D � ; ;3 � �2 � � � �2 2 � uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AB Ta có: MA.MB MD DA MD DB MD DA MD DA MD AD MD Suy S MD ME MF AB BC AC nhỏ � MD ME MF nhỏ Gọi G 2;1; trọng tâm tam giác DEF � MD ME MF 3MG GD GE GF nhỏ � MGmin �x 3t � � M hình chiếu G (P) � MG : �y 3t �z 2t � Suy M MG �( P) � M( 4;7; 2) � a b c Chọn D Dạng 3: Tìm điểm M thuộc (P) cho MA MB MA MB max Phương pháp giải: +) Kiểm tra vị trí tương đối điểm A B so với mặt phẳng (P) +) Nếu A B phía (P) tốn MA MB phải lấy đối xứng A qua (P) , M , B thẳng hàng hay M A� B �( P ) MA MB MA� MB �A� B dấu xảy � A� Bài toán tìm MA MB max , ta có MA MB �AB � M giao điểm trực tiếp đường thẳng AB (P) +) Nếu A B khác phía (P) tốn MA MB max phải lấy đối xứng A qua (P) tốn tìm MA MB � M giao điểm trực tiếp đường thẳng AB (P) Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;3; 2 ; B 3;7; 18 mặt phẳng ( P ) : x y z Tìm điểm M thuộc (P) cho MA MB nhỏ Lời giải: Đặt f x y z ta có: f A f B � A,B phía với mặt phẳng (P) x 1 y z : Gọi A�là điểm đối xứng A qua ( P ) : x y z � AA� 1 �( P) suy 2(1 2t ) (3 t ) t Gọi I 1 2t ;3 t; 2 t AA� � t � I (1; 2; 1) � A(3;1;0) , M , B thẳng hàng Khi MA MB MA� MB �A� B dấu xảy � A� �x u � B �y u � M A� B�(P) � M(3 u;1 u;3u) Phương trình đường thẳng A� �z 3u � Giải M �( P ) � u 1 � M(2; 2; 3) Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x y z điểm A 2;3;0 ; B 2; 1; Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA MB lớn Lời giải: Kí hiệu f x y z Ta có f A f B nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) x y 3 z : Gọi A�là điểm đối xứng A qua (P) Ta có: AA� 1 �( P) � (2 t;3 t ; 2t ) � t t t � t Khi I AA� �5 � � I � ; ;1�� A� (3; 2; 2) �2 � MB �A� B dấu xảy � A� , M , B thẳng hàng Lại có MA MB MA� �x u � �9 13 � B �y 3u � M A� B�(P) � M � ; ; � Khi A� �2 � �z � Ví dụ 3: : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 3;1;0 ; B 9; 4;9 mặt phẳng (P) có phương trình ( P ) : x y z Gọi I (a;b;c) điểm thuộc mặt phẳng (P) cho IA IB đạt giá trị lớn Khi tổng a +b +c A a b c 22 B a b c 4 C a b c 13 Lời giải: D a b c 13 �f ( x A ; y A ; z A ) � f ( A) f ( B ) 72 Đặt f x; y; z x y z � � �f (x B ; y B ; z B ) 12 Do hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) Gọi B�là điểm đối xứng B qua mặt phẳng (P) � BB� : � (BB ) ήH 2t 9; 4�t; t Điểm H �� P x 9 y 4 z 9 1 2(2t 9) (4 t ) t t B � IA IB max AB� � I giao điểm AB� Ta có IA IB IA IB��A� mặt phẳng (P) uuur uuuuu r x y 1 z 4; 1;13 � u( AB�) (4;1; 13) � (AB� ): Lại có AB� 13 � (AB ) ήI� t 3; t 1; 13t 4 Điểm I �� P I (7; 2; 13) a b c Chọn B Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình ( P ) : x y z điểm A 0;1; 2 ; B 2;0; 3 Gọi M (a;b;c) điểm thuộc mặt phẳng (P) cho MA MB nhỏ Tính giá trị T= a+b+c A T 5 B T D T C T 1 Lời giải: Kí hiệu f x y z ta có f A f B � nên A,B nằm phía với (P) Gọi A�là điểm đối xứng A qua mặt phẳng (P) , M , B thẳng hàng Khi MA MB MA� MB� �A� B dấu xảy � A� x y 1 z � P , H t ;1 t ; 2 2t : Phương trình AA� Gọi H AA� 1 Cho H � P � t t 4t � t �1 � � H � ; ; 1�� A� (1;0;0) �2 � �x t 9� � �8 B : �y � M A� B � P � M � ;0; �� a b c Chọn B Khi A� 5� �5 �z 3t � Dạng 4: Bài tốn lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị Phương pháp đại số: Gọi véc tơ pháp tuyến véc tơ phương mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập (a; b;c), (a b c ) Thiết lập phương trình quy ẩn (a theo b,c ngược lại) từ kiện mặt phẳng chứa đường, song song vng góc Giả sử phương trình thu gọn ẩn a f (b; c) Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề yêu cầu, thay a f (b; c ) vào ta phương trình hai ẩn b;c Xét hàm khoảng cách d g b; c + Nếu c b �0 � d d1 lưu lại giá trị khoảng cách d1 b �b � + Nếu c �0 � d g � � g t ; t c �c � Khảo sát hàm g t ta thu kết Chú ý: Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d A;( P ) Ax0 By0 Cz0 D A2 B C uu r uuuu r � � u ; AM � � Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d A; ; với M thuộc uu r u Công thức khoảng cách hai đường thẳng d 1 ; uur uuu r uuuuuuur � � u ; u �1 �M 1.M uur uuu r � � u ; u �1 � Phương pháp hình học: Bài tốn 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M điểm không thuộc d Phương pháp giải: uu r Đường thẳng d xác định qua điểm A có véc tơ phương ud Kẻ MH ( P); MK d � MH d M ; P điểm K cố định Ta có d M ; P MH �MK d �( P ) � Suy d max MK Khi � P M ; d � Gọi mặt phẳng chứa M d ta có: uuu r uur � n uuu r uur uur uuuu r (P) � ud � � ud � u ; MA r uur uur uuuu r � n(P) � �uuu d � � � � � � n n u ; MA � �d � �(P) uuu r uur uur uuuu r � � ud � u ; MA Khi (P) qua A có véc tơ pháp tuyến là: n(P) � � � �d � Ví dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm M 2;5;3 đường thẳng d : Lập P chứa d cho khoảng cách từ M đến P đạt giá trị lớn Lời giải: uu r Đường thẳng d xác định qua điểm A có véc tơ phương ud 2;1; Kẻ MH ( P); MK d � MH d M ; P điểm K cố định Ta có d M ; P MH �MK d �( P) � Suy d max MK Khi � P M ; d � � uuu r uur � n uuu r uur uur uuuu r �(P) u d � � � �uuu ud � u ; MA r uur uur uuuu r � n(P) � d � � � � � � n n � u d ; MA � � �(P) x 1 y z 2 -TH2: �Q ;d max uuur uu r uu r uu r � � � n Q � u ; � u ; u d � � � � uuur uu r uu r uuur �� � P ; Q � n Q � u ; � u ;n � � � P � � � Tổng kết: � u u u r u u r u u r u u r � �� Q ; d � n Q � u ;� u ;u � � � d � � max � x2 y2 z x y 1 z ;d� : ; Q : x y 2z Ví dụ 1: Cho d : 1 1 Lập chứa d cho a) Góc P Q nhỏ b) Góc P d � lớn Lời giải: uuur uu r a) Ta có: ud 1; 2; 1 n Q 1; 2; Đường thẳng d qua M 1; 2;0 P ; Q � uuur uu r uu r uuur � 3; 6; 15 3 1; 2;5 � n P � ud ; � u ;n � � �d Q � � r Mặt phẳng P qua điểm M có véc tơ pháp tuyến n 1; 2;5 có phương trình là: P : x y 5z uur b) Ta có: ud � 2; 1; �P ; d � uuur uu r uu r uur � 14; 2; 10 2 7; 1;5 � n P � ud ; � u ;u � d � � d �� � max r Mặt phẳng P qua điểm M có véc tơ pháp tuyến n 7; 1;5 Để Phương trình mặt phẳng P : x y z Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x y z đường thẳng : x y 1 z Gọi Q mặt phẳng chứa tạo với P góc nhỏ Khoảng cách từ 1 gốc tọa độ O đến mặt phẳng Q A B C D Lời giải: uuur uu r Ta có: n P 2; 1; 2 ; u 1; 2;1 đường thẳng qua A 0; 1; P ; Q nhỏ � n � uuur uu r uu r uuur � � u ; � u ;n � � � P � � uu r uur uuur uuur uu r uu r � � � 2 1;1; 1 u ; n 1;0;1 n u ; u Ta có: ud � suy d Q � � � P � r Khi Q qua A 0; 1; n 1;1; 1 Q : x y z � d O; Q Chọn A Q Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x y z đường thẳng : x 1 y z Gọi Q mặt phẳng chứa tạo với P góc nhỏ Tính cosin góc 1 2 mặt phẳng P Q đó: A cos B cos C cos D cos 2 Lời giải: uu r uuur Ta có: u 1; 1; 2 ; n P 2; 2; 1 đường thẳng qua M 1;0;0 Để P ; Q � uuur uu r uu r uuur � 6;6; 6 6 1; 1;1 � n Q � u ; � u ;n � � � P � � 2.1 Suy cos Chọn B Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x y z đường thẳng d: x 1 y 1 z Mặt phẳng Q chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng P góc nhỏ 1 Khoảng cách từ O đến Q bằng: A B C Lời giải: D 2 uu r uuur Ta có: ud 2;1;1 ; n P 1; 2; 1 đường thẳng qua M 1; 1;3 P ; Q � uuur uu r uu r uuur � 0; 9;9 9 0;1; 1 � n Q � ud ; � u ;n � � �d P � � r Phương trình mặt phẳng P cần tìm qua điểm M 1; 1;3 có véc tơ pháp tuyến n Q 0;1; 1 Suy P : y z � d O; Q 2 Chọn D Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 z z Gọi P mặt 1 phẳng chứa d tạo với trục Oy góc lớn Mặt phẳng P qua điểm điểm sau: A A 6; 3;0 B B 2; 3;0 C C 2;1; 1 Lời giải: uu r uuu r Ta có: ud 1;1; ; uOy 0;1;0 đường thẳng d qua M 1; 2;0 �P ;Oy uuur uu r uu r uuu r � 1; 5; 1 1;5; 2 � � n P � ud ; � u ; u � �d Oy � � max r Mặt phẳng P qua điểm M có véc tơ pháp tuyến n 1;5; 2 Để Phương trình mặt phẳng P : x y z D D 2;1;1 Do P qua điểm A 6; 3;0 Chọn A Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 1 ; B 1;1; Gọi Q phương trình mặt phẳng qua điểm A, B cho Q tạo với mặt phẳng Oxy góc nhỏ Khoảng cách từ gốc O đến mặt phẳng Q bằng: 35 A d B d 70 10 uuu r uuuuu r Ta có: AB 2; 1;3 ; n Oxy 0;0;1 Để P ;Oxy � C d 70 70 D d 70 35 Lời giải: uur uuu r uuu r uuuuu r � 6; 3; 5 6;3;5 � � nQ � AB; � AB ; n Oxy � � � � Phương trình mặt phẳng Q là: x y z � d O; Q 3 5 2 70 Chọn B 10 Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng d �qua A nằm P cho góc đường thẳng d d� nhỏ (hoặc tạo với mặt phẳng Q cho trước góc lớn nhất) Phương pháp giải: - TH1: d�; d � Qua A dựng đường thẳng Pd , lấy điểm I, hạ IH P � A, I , H cố định, điểm K thay đổi � d�; d � �; d � IAK Mà sin IK IH � (Do IK �IH ) suy H IA IA Khi d � hình chiếu vng góc P uur uuur uuuu r uuur uuur uu r � � � � � n ; n n ; n ; u Ta có: d�; d � � ud � � AIH d P P P � � � � � � uur uuur uuur uur � � � ud � � n P ; � n ;n � - TH2: d ; Q � � P Q � � max K hay d � qua A H uur uuur uuur uu r �d�; d � � u � � � n P ; � n ; u d� d � � � P � � Tổng kết: � u u r u u u r u u u r u u ur � � ; Q � ud � � n P ; � n ; n �d� � � P Q � � max � Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1; mặt phẳng P : x y z Lập phương trình đường thẳng d qua A; song song với P đồng thời tạo với đường : x y 1 z 2 góc nhỏ Lời giải: uuur Gọi mặt phẳng chứa A song song với P � n 2; 1; 1 Khi d nằm cho góc d nhỏ uu r uuur uu r uuur � 2 1; 5;7 � ud � n ; � u ;n � Ta có: d�; � � � � Phương trình đường thẳng d là: d : x 1 y 1 z 5 Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1; hai đường d: x 1 y z x 3 y 2 z 3 ;d� : Lập phương trình đường thẳng qua A đồng thời cắt 1 1 2 đường d cho góc d � nhỏ nhất? Lời giải: Gọi P mặt phẳng chứa A d uu r Đường thẳng d qua điểm A 1; 2; 2 có VTCP ud 2;1; 1 uuur uuuu r uu r � 1;0; Đường thẳng � P AM ; u Khi n P � d � � uu r uuur uuur uur �; d � � u � � 8; 10; 4 4; 5; 2 n P ; � n ;u � Ta có: � � P d �� � Phương trình đường thẳng là: d : x 1 y z 1 5 2 Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình đường thẳng d qua A 1;0; 2 cắt : x 1 y 1 z cho góc d mặt phẳng P : x y z lớn nhất? 2 Lời giải: Đường thẳng d nằm mặt phẳng Q chứa A uu r uuuu r Đường thẳng qua điểm M 1; 1; có VTCP u 3; 2; 2 , AM 0; 1; uuur uuuu r uu r uuur � AM ; u 6;12;3 � n Ta có: n Q � � Q 2; 4;1 � � Để d; P max uu r uuur uuur uuur � 30; 3; 48 3 10;1;16 � ud � n Q ; � n ;n � � � Q P � � Khi phương trình đường thẳng d : x 1 y z 10 16 Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng qua A 1;0;1 , nằm mặt phẳng P : x y z 1 tạo với đường thẳng d : r x y 1 z 1 góc nhỏ Biết u 5; b;c 1 véc tơ phương đường thẳng Tìm b + c A b c 6 B b c C b c 3 Lời giải: uuur uu r Ta có: n P 2;1; 1 ; ud 2; 1; � Để d; D b c uu r uuur uuur uu r 13 � � 10;7; 13 2 � � � u � n P ; � n ; u ; ; � d � P � � � � �2 2 � 13 Do đó: b ; c � b c Chọn D 2 Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 , đường thẳng : x y2 z , mặt 2 phẳng P : x y z Gọi d đường thẳng điểm qua A nằm P tạo với góc bé Tính sin A 78 B C D 75 Lời giải: uuur uu r Ta có: n P 1; 1;1 ; u 1; 2; � Để d; uu r uuur uuur uu r � 2; 7; 5 2;7;5 � � ud � n P ; � n ; u � � P � � Phương trình đường thẳng d là: d : uu r uu r Khi cos cos u ; ud x y 1 z 1 14 10 22 52 78 � sin cos Chọn B 9 Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d đường thẳng song song với P : x y z , đồng thời tạo với mặt phẳng Oyz góc lớn Tính P sin A P B P 2 uuur uuur Gọi Q � Oyz � n Q 1;0;0 ; n P 1; 2; C P Lời giải: D P � Ta có d ; Q max uu r uuur uuur uuur � 8; 2; 2 4;1; 1 � ud � n ;� n ;n � � P � P Q � � uu r uuur 2 Suy sin cos ud ; n Q Chọn B 18 Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z , điểm A 2;3;0 thuộc mặt phẳng P đường thẳng d : x y z 1 Đường thẳng d � qua A nằm P cho 1 góc đường thẳng d d �nhỏ qua điểm điểm sau: A 0; 0;1 B 2; 4;1 uuur uu r Ta có: n P 2; 1;1 ; ud 1; 1;1 C 1;1;0 Lời giải: D 1; 2;1 uur uuur uuur uu r x 2 y 3 z � � �u � � 2; 2; 2 1;1; 1 � d� � n P ; � n ; u : Do d;d d� d P � � � � 1 1 Vậy d �đi qua hai điểm 1; 2;1 Chọn D Ví dụ 8: Cho mặt phẳng d: P : x y z điểm A 2;1;1 thuộc mặt phẳng P đường thẳng x 1 y z 1 Đường thẳng d � qua A nằm P cho góc đường thẳng d d �nhỏ 1 2 cắt mặt phẳng Oyz điểm E Tính P OE A P 14 B P C P 10 Lời giải: uuur uu r uuur uu r � 4;3; 1 n ; u Ta có: n P 1; 1;1 ; ud 1; 2; � � P � d � uur uuur uuur uu r x y 1 z 1 � � �u � � 2; 5; 7 � d� � n P ; � n ; u : Ta có: d;d d� d P � � � � 5 7 Vậy d �cắt mặt phẳng x điểm E 0;6;8 � OE 10 Chọn C D P 14 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; , B 5; 4; mặt phẳng ( P ) : x y z Nếu M thay đổi thuộc P giá trị nhỏ MA2 MB A 60 B 50 200 2968 D 25 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 5; 2; , B 1;6; Mặt phẳng C uuur uuur ( P) : x y z Gọi M a; b;c điểm thuộc P thỏa mãn MA 3MB nhỏ nhất, tính giá trị tích abc A 20 B C 12 D 24 Câu 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 5;8; 11 , B 3;5; 4 ; C 2;1; 6 mặt cầu (S) : x y z 1 Gọi M x M ; y M ; z M điểm S cho biểu thức 2 uuur uuur uuuu r MA MB MC đạt giá trị nhỏ Tính P xM yM A P B P C P 2 D P Câu 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A 1;0; , B 0; 1;6 mặt phẳng ( P ) : x y z 12 Gọi M điểm di động mặt phẳng P Tìm giá trị lớn MA MB A B 10 C D 10 Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A 2; 1;1 , B 1; 1;0 đường thẳng d: x 1 y 1 z 1 Gọi M điểm thuộc đường thẳng d cho diện tích tam giác MAB nhỏ 2 Tính giá trị biểu thức Q x M y M z M A Q 29 B Q 53 18 C Q 49 18 D Q 101 36 Câu 6: Trong không gian vớihệ trục Oxyz , cho hai điểm M 0;1;3 , B 10;6;0 mặt phẳng P có phương trình ( P ) : x y z 10 Điểm I 10; a; b thuộc mặt phẳng P cho IM IN lớn Tính tổng T = a + b A T B T C T D T Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x y z hai điểm uuur uuur A 3;1;1 , B 7;3;9 Gọi M a; b;c điểm mặt phẳng cho MA MB đạt giá trị nhỏ Tính S a 2b 3c A S 6 B S 19 C S D S Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3;5; 5 , B 5; 3;7 mặt phẳng (P) : x y z Lấy điểm M a; b;c mặt phẳng cho MA2 MB đạt giá trị nhỏ Tính S a b c A S B S C S D S Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 0; 2; 3 , B 4; 4;1 ;C 2; 3;3 Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng Oxz cho MA2 MB MC đạt giá trị nhỏ A 0;0;3 B 0;0; C 0;0;1 D 0;0; 1 Câu 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A 2;0; 1 , B 1;0; 1 , C 0;1;0 Gọi M điểm thuộc mặt phẳng Oxy cho AM BM 2CM đạt giá trị lớn Tính độ dài đoạn thẳng OM A 13 B 29 C 26 D Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3;1;0 , B 9; 4;9 mặt phẳng (P) : x y z Gọi I a; b; c điểm thuộc mặt phẳng P cho IA IB đạt giá trị lớn Khi tổng a b c A a b c 22 B a b c 4 C a b c 13 D a b c 13 Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2; 3; , B 3;5; Tìm tọa độ điểm M trục Oz cho MA2 MB đạt giá trị nhỏ A M 0;0; 49 B M 0;0;0 C M 0;0; 67 D M 0;0;3 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho A 1; 2;3 B 3; 2;1 Viết phương trình mặt phẳng qua A cách B khoảng lớn A x z C x y 3z 10 B x y z 10 D x z Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) : x y z 1 36 mặt 2 phẳng (P) : x y z m Tìm m để mặt phẳng P cắt S theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn A m 20 B m C m 36 D m 20 Câu 15: Cho mặt cầu (S) : x y z x y z Tìm tất giá trị thực tham số m để mặt phẳng (P) : x y z m cắt mặt cầu S theo đường có chu vi lớn A m B m 13 C m 13 D m 1 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M 1; 2;3 cắt tia Ox, Oy , Oz điểm A, B, C cho T 1 đạt giá trị nhỏ 2 OA OB OC A P : x y z 14 B P : x y z C P : x y z 18 D P : x y z 10 x 4 y 5 z Xét mặt phẳng P Câu 17: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ M 0;0;0 đến P đạt giá trị lớn Xác định tọa độ giao điểm N P trục Oz A N 0;0; 9 B N 0;0;9 C N 0;0;3 Câu 18: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : D N 0;0;6 x 1 y z điểm M 1;7;3 2 Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến P đạt giá trị lớn A x y z B x y z 10 C x y z 15 D x y z Câu 19: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M 2;1;3 cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz điểm A, B, C không trùng với O cho biểu thức 1 đạt giá trị nhỏ 2 OA OB OC A x y z 10 B x y z 14 C x y z 14 D x y z 14 Câu 20: Cho ba tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc Một điểm M cố định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy , Oyz , Oxz a, b, c Biết tồn mặt phẳng P qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Tính giá trị nhỏ A Vmin 9abc B Vmin abc C Vmin 27 abc D Vmin abc Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 2; 2;1 , A 1; 2; 3 đường thẳng d : r x 1 y z Tìm véc tơ phương u đường thẳng qua M, vng góc với đường 2 1 thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé r r r A u 3; 4; 4 B u 2; 2; 1 C u 2;1;6 r D u 1;0; Câu 22: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M 2; 2; 3 N 4; 2;1 Viết phương trình đường thẳng qua M, song song với mặt phẳng P : x y z cho khoảng cách từ N đến đạt giá trị nhỏ x2 y2 z3 x2 y2 z3 B : 2 4 1 1 x2 y2 z3 x2 y2 z3 C : D : 2 8 2 3 2 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : a x by cz d a b c A : qua hai điểm M 5;1;3 N 1;6; Biết khoảng cách từ điểm P 5;0; đến mặt phẳng đạt giá trị lớn Tính giá trị biểu thức S A S 14 B S 14 abcd a b2 c C 14 D S 10 14 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN uu r uur r Câu 1: Gọi I 3;3;3 trung điểm AB IA IB uuur uuur uuu r uu r uuu r uur T MA2 MB MA MB MI IA MI IB 2MI IA2 IB nhỏ � MI m in Khi M hình chiếu vng góc I P � IM P 2.3 12 �12 � � Tmin � � IA2 IB 60 Chọn A Suy MI m in d M ; P 11 �6� uu r uur r Câu 2: Gọi I điểm thỏa mãn IA 3IB � I 2;5; uuur uuur uuu r Khi MA 3MB MI nhỏ � MI � M hình chiếu I P �x 2 t � Phương trình đường thẳng IM qua I vng góc với P là: �y t � M 2 t;5 t; 2t �z 2t � Cho M � P � t 4t � t � M 1;6;0 � abc Chọn B uuu r uuu r uuur r uuu r uuur Câu 3: Gọi điểm G x; y; z cho GA GB GC � BA GC � G 0; 2;1 Xét măt cầu S : x y z 1 tâm I 4; 2; 1 bán kính R 2 uur Ta có IG 4; 4; � IG 42 4 2 R � G nằm mặt cầu S uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuuu r Ta có MA MB MC MG GA GB GC MG MG � MG nhỏ � I , M , G thẳng hàng hay �xM � P Chọn D M trung điểm IG � M 2; 0;0 � � �yM Câu 4: Kí hiệu f x y z 12 Ta có f A f B nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng P Gọi điểm đối xứng A qua mặt phẳng P x 1 y z � P � I t ; 2t; 2t � P : Ta có: AA� Khi I AA� 2 � t 4t 4t 12 � t 1 � I 0; 2; � A� 1; 4;6 MB �A� B dấu xảy � A� , M , B thẳng hàng Lại có MA MB MA� B 10 Chọn B Vậy MA MB max A� uuuu r uuu r Câu 5: Gọi M t ;1 2t;1 3t �d � AM t 1; 2t 2;3t ; AB 1;0; 1 Ta có S MAB r uuu r uuuu 1 � � 2t 2; 2t 1; 2t AM AB � � 2 2t 2t 1 2t 20 5 49 �1 2 3 � � M � ; ; �� Q Chọn C 12t 20t nhỏ � t 24 18 �6 � Câu 6: Đặt f x y z 10 � f M f N � M , N nằm phía với mặt phẳng P Ta có: IM IN �MN � M , N , I thẳng hàng �x 10t � Phương trình đường thẳng MN là: �y 5t � I MN � P 10; 4;6 �z 3t � Suy T a b Chọn D Câu 7: Gọi I 5; 2;5 trung điểm AB uuur uuur Ta có: MA MB 2MI nhỏ � MI � M hình chiếu vng góc I �x t : x y z � MI : � �y t � M t; t;5 t �z t � Cho M � � t t t � t 5 � M 0; 3; � S Chọn A Câu 8: Gọi I 1;1;1 trung điểm AB Ta có: MA2 MB 2MI IA2 IB 2MI 2IA2 nhỏ � MI � M hình chiếu vng góc �x t � I P : x y z � MI : �y t � M t ;1 t ;1 t �z t � Giải M � P � t � M 2; 2; � S Chọn D uu r uur uur r Câu 9: Gọi I điểm thỏa mãn IA IB IC � I 0; 3;1 Biến đổi MA2 MB MC 4MI IA2 IB IC nhỏ � MI � M hình chiếu vng góc I Oxz � M 0; 0;1 Chọn C Câu 10: Đặt T MA2 5MB 2MC uu r uur uur r �3 � Gọi I điểm thỏa mãn IA IB IC � I � ; 1; 2 � �2 � Biến đổi T 2 MI IA2 5IB IC lớn � MI � M hình chiếu vng góc I 13 �3 � Oxy � M � ; 1;0 �� OM Chọn A �2 � Câu 11: Đặt f x y z � f A f B � M , N nằm khác phía so với P : x y z x y 1 z : Gọi A�là điểm đối xứng A qua mặt phẳng P ta có: AA� 1 � P � K 2t ;1 t ; t � P : 4t t t � t 1 Khi K AA� 1;3; 2 Do K 1; 2; 1 � A� IB �A� B dấu xảy � A� , I, B thẳng hàng Lại có IA IB IA� �x 1 8u � B : �y u � I A ' B �( P) � I 7; 2; 13 � a b c 4 Chọn B Khi A� �z 2 11u � Câu 12: Gọi �t M 0;0; t � MA2 MB t 25 t 2t 12t 67 2 b 12 � M 0;0;3 Chọn D 2a 2.2 Câu 13: Gọi H hình chiếu B Ta có BH �BA � BH max AB Dấu xảy AB uuu r Lại có AB 2;0; 2 � Phương trình mặt phẳng x z Chọn D Câu 14: Mặt cầu S có tâm I 4; 7; 1 , bán kính R Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến � r R d I ; P Để rmax � d I ; P nhỏ � P qua I � m 20 Chọn A Câu 15: S : x 1 y x 3 16 có tâm I 1; 2; 3 , bán kính R 2 Yêu cầu toán � P qua tâm I � 3.2 3 m � m 13 Chọn C Câu 16: Gọi phương trình mặt phẳng Vì P P : x y z , với A a;0; , B 0; b; , C 0;0; c a b c �1 + ��1 � + qua M suy a b c �a Ta có T b2 �2 22 32 � c � a2 b2 c2 1 1 1 1 � Suy T � 2 OA OB OC a b c 14 14 Dấu xảy a 14; b 7; c 14 x y 3z Vậy P : Chọn A 14 14 14 nhỏ Câu 17: Gọi H, K hình chiếu M P , d Khi d M ; P MH �MK � d M ; P max MK Gọi mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d uuur uu r � n u uu r uuur d � P � u Suy �uuur uuur � �d ; MA�với A 4;5;0 � d n n � � P uuur uu r uu r uuur � � n P � u ;� u ; MA� � �d �d �Mà uu r � uuur ud 1; 2;3 � � n P 1;1; 1 �uuur �MA 4;5;0 Do phương trình mặt phẳng P : x y z Vậy N P Ǯ Oz N 0;0;9 Chọn B Câu 18: Gọi H, K hình chiếu M P , d Khi d M ; P MH �MK � d M ; P max MK Gọi mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d uuur uu r � n u uu r uuur d � P � u Suy �uuur uuur � �d ; MA�với A 1; 0; � d n n � � P uuur uu r uu r uuur � � n P � u ;� u ; MA� � �d �d � uu r � uuur ud 2;1; � � n P 2; 6;1 � x y z Mà �uuur �MA 0; 7; 1 Chọn A Câu 19: Gọi phương trình mặt phẳng Vì P P : x y z , với A a;0; , B 0; b; , C 0;0; c a b c �1 + �� �2 + qua M suy a b c �a Ta có T b2 1�2 2 2 � c2 � a2 b2 c2 14 1 1 1 1 � Suy T � 2 OA OB OC a b c 14 14 Dấu xảy a 7; b 14; c 14 x y 3z Vậy P : Chọn C 14 14 Câu 20: Ta có M a; b; c Phương trình mặt phẳng là: P : A x b B y c C z a �Ab Bc Ca � � Ab Bc Ca � � Ab Bc Ca � ;0;0 � , B� 0; ;0 � ,C� 0;0; Khi A � � A B C � � � � � � Thể tích khối tứ diện OABC là: 3 ABC.abc Ab Bc Ca V OA.OB.OC � 6 ABC ABC 27 abc 9abc Chọn A uuur uu r Câu 21: Gọi P mặt phẳng qua M vng góc với d n P ud 2; 2; 1 uu r uuur uuuu r uuur uuuu r � � n P ; � AM ; n AM Khi � P Ta có: d A;d � u � 3; 4; P � � � � uu r uuur uuuu r uuur � 1;0; Chọn D n P ; � AM ; n P � Suy u � � � � � Câu 22: Gọi Q mặt phẳng qua M , song song với mặt phẳng P : x y z suy uuur uuur uuuu r n Q n P 2;1;1 Khi � Q Ta có: MN 6;0; 2 3;0; 2 uu r uuur uuuu r uuur � 2 10; 4; 16 4 5; 2; 8 d N; � u � n Q ; � MN ; n Q � � � � � Phương trình đường thẳng : x2 y 2 z 3 Chọn C 2 8 Câu 23: Gọi phương trình đường thẳng MN là: : x y 1 z 5 Gọi H 4t ;1 5t;3 t �MN hình chiếu vng góc điểm P đường thẳng MN uuur uuur Khi đó: PH 4t ;1 5t ; 1 t ; uMN 4; 5;1 uuur uuur uuur �4 6 � Giải PH uMN 16t 25t t � t � PH � ; ; � �7 7 � uuur uuur �4 6 � Ta có: d P; �PH , dấu xảy � PH � n PH � ; ; � 2;1; 3 �7 7 � Phương trình mặt phẳng là: x y z Gọi I 1;1;1 Khi S d I; 14 Chọn C 14 ... Oxy cho AM BM 2CM đạt giá trị lớn Tính độ dài đoạn thẳng OM A 13 B 29 C 26 D Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3;1;0 , B ? ?9; 4 ;9 mặt phẳng (P) : x y z... MB đạt giá trị nhỏ Tính S a b c A S B S C S D S Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 0; 2; 3 , B 4; 4;1 ;C 2; 3;3 Tìm tọa độ điểm M mặt... t 3; 2t ; 2t 1 t 3 4t 2t 1 9t 10t 10 nhỏ b �13 1 19 � �M� ; ; � 2a ? ?9 9 � Ví dụ 3: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 0;0;3 ; B 0;3;3 đường