Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ 9 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ( Dạng 1 Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách Điểm M thuộc đồ thị hàm số ( Khoảng cách từ điểm M đến trục bằng ( Khoảng cách từ điểm M đến trục bằng ( Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là ( Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng Ví dụ 1 Cho hàm số Tìm điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng bằng Lời giải Gọi Khoảng cách từ M đến đường thẳng là Vậy tọa độ điểm M cần tìm là hoặc Ví dụ 2 Cho hàm số Gọi M là điểm nằm trên đồ thị và t.
CHỦ ĐỀ 9: BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ Dạng 1: Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách Điểm M thuộc đồ thị hàm số y f x � M x0 ; f x0 Khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng: d M ; Ox f x0 Khoảng cách từ điểm M đến trục Oy bằng: d M ; Oy x0 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : ax by c là: d M ; Khoảng cách hai điểm MN Ví dụ 1: Cho hàm số: y y x xM xN ax0 b f x0 C a2 b2 yM y N x2 C Tìm điểm M thuộc C cho khoảng cách từ M đến đường thẳng x 1 Lời giải � a2� a; C , a 1 Gọi M � � � a 1 � Khoảng cách từ M đến đường thẳng y x là: a d a2 a 1 � a2 a � a � M 0; 2 � a 2a � �2 � a 2a � � a 2 � M 2;0 a 2a � � Vậy tọa độ điểm M cần tìm M 0; 2 M 2;0 Ví dụ 2: Cho hàm số y 2x C Gọi M điểm nằm đồ thị C H , K tương ứng hình chiếu x 1 vng góc M trục Ox Oy Có điểm M thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích A B C Lời giải � 2a � a; C a 1 Tứ giác MHOK hình chữ nhật Gọi M � � � a 1 � Ta có: S MHOK MH MK d M ; Ox d M ; Oy � � � a 2a a 2a 2a a a 2a a a 2�� �� �� � a 1 a 1 2a a 2a 2a 3a � � a 2 � �1 � Vậy M � ; �hoặc M 2 :1 Chọn C �2 � D Ví dụ 3: Cho hàm số y : y x x 1 C Có điểm M � C để khoảng cách từ M đến đường thẳng x 1 A B C Lời giải D a 1 2a 1 � a � a; C a 1 Ta có: a 1 Gọi M � � : x y 1 � d M ; � a 1 � 5 � � � a 2a 2a 3a a 5a � 2a 2a a � � �� �� � 2a 2a 3a 2a a � � a 1 � Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y x x Tìm tất điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến trục tung A M 1;0 M 1; B M 0;1 M 2; 1 C M 1;0 D M 2; 1 Lời giải � M 1;0 xM � yM � �� Khoảng cách từ M đến trục tung 1, suy � M 1; xM 1 � yM � � Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y x 3x có đồ thị C điểm K 1; 3 Biết điểm M x; y C thỏa mãn xM �1 độ dài KM nhỏ Tìm phương trình đường thẳng OM A y x B y x C y x Lời giải D y 2 x Điểm M x; y � C � M x; x 3x với x �1 Ta có KM x 1; x3 3x 3 � KM x 1 x 3x Đặt f x x 1 x 3x 3 2 x x 1 x 1 x3 3x 3 ; x �1 Xét hàm số f x đoạn 1; � , ta có f � f� x 1 x 3x 3 � � x 1 x � x 1 � � Phương trình g x �0; x �1 4 4 4 43� g x Giá trị nhỏ f x Dấu" " xảy x � M 1; 2 � OM : y 2 x Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y 2x 1 C Tổng khoảng cách từ điểm M C đến hai đường tiệm cận x 1 đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C Lời giải D � 2a � a; � C Hai đường tiệm cận C x 1 y Gọi điểm M � � � a 1 � � d1 d M , x 1 a � Suy khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận � d d M , y � a 1 � Khi tổng khoảng cách d d1 d a 3 �2 a a 1 a 1 Chọn A Ví dụ 7: Tìm tất điểm thuộc trục hồnh cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x 3x A M 1;0 B M 1;0 C M 2;0 Lời giải D M 1;0 x 0� y 2 � 3x x � � � A 0; ; B 2; 2 Gọi M t ;0 Ta có: y � x � y 2 � Khi MA2 MB � t t � t � M 1;0 Chọn D Ví dụ 8: Có điểm M thuộc đồ thị hàm số y x2 mà khoảng cách từ M đến trục Oy hai x 1 lần khoảng cách từ M đến trục Ox ? A B C Lời giải D � a2� a �1 � đồ thị hàm số cho Gọi M �a; � � a 1 � Ta có: d M ; Oy a ; d M ; Ox a2 a 1 a2 � �a 2a � 2a 3a a2 a � � � a 2; a � Theo giả thiết ta có: � a2 a 1 2 a a � � 2 a � �a �1 � ; 1� Chọn C Vậy có điểm A 2; B � �2 � Ví dụ 9: Tìm đồ thị hàm số y 2x 1 điểm M cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x 1 ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang đồ thị � 7� 4; �hoặc M 2;5 A M � � 5� B M 4;3 M 2;1 � 7� 4; �hoặc M 2;1 D M � � 5� Lời giải C M 4;3 M 2;5 � 2a � a; Tiệm cận đứng: x Tiệm cận ngang y Gọi M � � � a 1 � Khi đó: d M ; TCN 2a 2 , d M ; TCD a a 1 a 1 Theo ta có: a � a � M 4;3 � a 1 � � a 2 � M 2;1 a 1 � Chọn B Ví dụ 10: Giả sử đường thẳng d : x a, a cắt đồ thị hàm số y 2x 1 điểm nhất, biết x 1 khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1; ký hiệu x0 ; y0 tọa độ điểm Tìm y0 A y0 1 B y0 C y0 Lời giải D y0 � 2a � a; a điểm cần tìm TCĐ đồ thị hàm số cho là: x Gọi M � � � a 1 � a 0 Khi d M ; x 1 � a ��� a � y0 2a 5 a 1 Chọn B Ví dụ 11: Cho hàm số y x 1 C Gọi M điểm thuộc C cho tích khoảng cách từ điểm M đến x2 trục Ox đến đường tiệm cận ngang Tổng hoành độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán A 1 B C D Lời giải � a 1 � a; a �2 TCĐ: x TCN: y Gọi M � � � a2� a) Ta có: d M ; Ox a 1 a 1 1 d2 d1 ; d M ; TCN : y 1 a2 a2 a2 � a 1 2 � a � M 1; 2 � a a 1 � a 9a � � 6� �� �� Theo ta có: d1d �7 � � a 1 a � M � ;3 � 2a a a 2 � 2 � � �2 � � a 2 � �7 � Vậy M 1; 2 M � ;3 �là điểm cần tìm Chọn B �2 � Dạng 2: Tìm điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách Tìm điểm đối xứng: Gọi A a; f a B b; f b a �b hai điểm thuộc đồ thị hàm số y f x a b 2 � Hai điểm A, B đối xứng qua I ; � � �f a f b 2 a b � Hai điểm A, B đối xứng qua trục tung � � �f a f b Tìm điểm A, B thuộc nhánh đồ thị cho độ dài AB ngắn Bài toán: Cho hàm số y ax b C Tìm điểm thuộc nhánh đồ thị C cho ABmin cx d Cách giải: Ta phân tích: y a k d y tiệm cận đứng (C) c cx d c Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 điểm thuộc nhánh C ta có: x1 d x2 c � a k y � d d 2 �1 c c. , x2 , � � � AB x1 x2 y1 y2 Đặt x1 c c �y a k � c c. � k2 k �1 � � � � � 1 � � c . � c � � � � Do k k2 k2 �2 2 �4 2 c . c . c . � k 8k � Do AB �4..2 Dấu xảy � �k c . c �c � Ví dụ 1: Cho hàm số y x x x C a) Tìm điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O b) Tìm tọa độ điểm A B đối xứng qua trục Oy Lời giải a) Gọi A a; b B a; b điểm đối xứng qua gốc tọa độ O 0;0 � b a 3a 4a � Vì A, B thuộc đồ thị C nên ta có: � b a a a � a 1; b 3 � � b a 3a 4a b a 3a 4a � �� � � � � a 1; b b a 3a 4a � 6 a � � Vậy điểm A, B cần tìm là: A 1; 3 : B 1;3 ngược lại b) Gọi A a; b B a; b điểm đối xứng qua trục Oy � b a 3a 4a � Vì A, B thuộc đồ thị C nên ta có: � b a a a � � a b A � � b a 3a 4a b a 3a 4a � �� �� �� a 2; b 9 b a 3a 4a � 2a 8a � � a 2; b 9 � B loai Vậy điểm A, B cần tìm là: A 2; 9 ; B 2; 9 ngược lại Ví dụ 2: Tìm đồ thị hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số y x3 cho AB 2x ngắn Lời giải x 2 x3 2 1 Ta có: y 2x 2x 2 x 1 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 điểm thuộc nhánh C ta có: x1 x2 � 1 y � 2 �1 a � AB x1 x2 y1 y2 Đặt x1 a, x2 b a, b � � �y �2 b � � 2 �1 � a b � � a b � 1 � � ab � �a b � � � � a b �4ab � Ta có: � 2 �2 2 � ab ab � ab AB 4ab ab AB 2 ab � � � 3� � 1� � a b � A� 0; � ,B� 2; � Dấu " " xảy � �1 2 � � � � � �ab Ví dụ 3: Tìm đồ thị hàm số y x 3x hai điểm mà chúng đối xứng qua tâm I 1;3 A 0; 2; B 1;0 1;6 C 1; 3; Lời giải D Không tồn 3 Gọi A a; a 3a ; B b; b 3b a �b điểm thuộc đồ thị hàm số cho đối xứng qua điểm I 1;3 a b 2 � a b x1 2 � � � Ta có: � � a b3 a b a 3a b 3b y1 � � a b 2 � a b 2 a b 2 a 0; b 2 � � � � � �3 �� �� �� a b 8 a 2; b a b 3ab a b 8 �ab � � � Vậy 0; 2; cặp điểm cần tìm Chọn A Ví dụ 4: Tìm đồ thị hàm số y x3 11 hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng qua x 3x 3 trục tung � 16 � 3; �hoặc A � � 3� 16 � � 3; � � 3� � � 16 � 3; �hoặc B � � 3� 16 � � � 16 � C � ;3 �hoặc � ;3 � �3 � � � � 16 � �3; � � 3� D Không tồn Lời giải � a3 � b 11 � 11 � a; a 3a �và B � b; b 3b � a �b điểm thuộc đồ thị chúng đối Gọi A � 3� 3� � � xứng qua trục tung a b a b � � � � 3 Khi đó: �a 11 b 11 � �a 11 a 11 2 2 b 3b � a 3a � a 3a a 3a 3 3 3 �3 �3 a b � a b � � � � �2a � �� a0 a � � �a �3 �3 �� Với a 0� b A B (loại) � 16 � � 16 � 3; � ;B� 3; � Với a �3 � b m3 � A � Chọn B � 3� � 3� Ví dụ 5: Tìm đồ thị hàm số y x x hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với qua trục tung A Không tồn C A 1; 1 B 1; 1 B A 2; B 2; D A 3; 13 B 3; 13 Lời giải �x xB �A x A ; y A ��A Gọi hai điểm thỏa mãn đề � �y A yB �B xB ; yB xA Khi ta có xA2 xA xA xA � xA 4 xA � xA L Suy không tồn hai điểm thỏa mãn đề Chọn A Ví dụ 6: Tìm nhánh đồ thị C : y 3x điểm A, B để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất, x 1 giá trị nhỏ bằng: A Ta có: y B 2 C Lời giải D 3 x x 1 3 3 x 1 x 1 x 1 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 điểm thuộc nhánh C ta có: x1 1 x2 � y1 � 2 � a � AB x1 x2 y1 y2 Đặt x1 1 a, x2 1 b a, b � � �y �2 b � � 2 �1 � a b � � a b � 1 � � ab � �a b � � � � a b �4ab � Ta có: � 9 2 �2 2 � ab ab � ab AB 4ab ab 24 AB ab � � � a b Chọn C Dấu xảy � �9 1 � �ab Dạng 3: Bài tốn tìm điểm kết hợp tốn tương giao tiếp tuyến Bài tốn 1: Tìm hai điểm A a; f a B b; f b a �b thuộc đồ thị hàm số y f x C cho tiếp tuyến A B C song song với A, B thỏa mãn điều kiện K a f � b điều kiện K Cách giải: Giải hệ phương trình f � Bài tốn 2: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y f x C cho AB (hoặc AB / / ) A, B thỏa mãn điều kiện K Cách giải: Dựa vào giả thiết AB AB / / ta viết phương trình đường thẳng AB theo tham số m Viết phương trình hồnh độ giao điểm AB đồ thị C Dựa vào điều kiện K để tìm giá trị tham số m Ví dụ 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x x điểm A 3; 2 cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa độ A B 1;10 B B 2;1 C B 2;33 Lời giải D B 1;0 x x � y� 3 Ta có: y� PTTT điểm A 3; 2 là: y x 3 x 19 (d) Phương trình hồnh độ tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến d là: x x x x 19 � x 3 x 3 � y 2 � Vậy B 2;33 Chọn C x � y 33 � x 2 � � Ví dụ 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x x điểm A cắt đồ thị điểm thứ hai B 1; 2 Điểm A có tọa độ A A 2;5 B A 1; 4 C A 0;1 Lời giải D A 1; 3x x , gọi A a; a a a 1 Ta có: y � Phương trình tiếp tuyến A là: y 3a 2a 1 x a a a a Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị tiếp tuyến là: x3 x x 3a 2a 1 x a a a a � x a x xa a x a x a x a 3a 2a 1 x a � x a x xa a x a 3a 2a 1 � x a x xa 2a x a � x a xa�A � x 2a � x 2a 1 � � Do xB 1 � 2a 1 � a � A 1; Chọn D Ví dụ 3: Điểm M thuộc đồ thị hàm số C : y x 3x mà tiếp tuyến C có hệ số góc lớn nhất, có tọa độ A M 0; B M 1;6 C M 1; Lời giải 3 x x 3 x 1 �3 Ta có: k y� Tiếp tuyến C có hệ số góc lớn hồnh độ tiếp điểm x Khi M 1; Chọn C D M 2;6 Ví dụ 4: Cho hàm số y 2x C Gọi A, B điểm phân biệt C cho tiếp tuyến A B x 1 song song với AB Tính T OA OB A T B T C T Lời giải D T � � � � a; , B� b; Gọi A � � � a, b �1, a �b Do tiếp tuyến A, B song song với nên ta có: a 1 � � b 1 � � y� a y� b � a 1 Ta có: AB a b 2 b 1 16 a b � a 1 b 1 l �� � a b a 1 1 b � � � � 16 � 2 a b a b � � � 2 2� ab a b ab � � � � � �a 1 b 1 � � � � � � � � 16 � 16 � � 1 ab � 1 � � �a b 4ab � 2 � �� ab 1 � ab � � � � � � ab � 16 � 16 � � 32 � t � t � ab 3 � � Đặt t ab ta có: 4t � ab 3 t � t � � a 1 � b � �� a 3�b � Vậy A 1;0 , B 3; ngược lại suy T OA OB Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số y x C Gọi A, B điểm phân biệt C cho tiếp tuyến A B x 1 song song với tam giác OAB vng O Tính độ dài AB A AB B AB C AB 2 Lời giải D AB � a � � b � a; ,B� b; Gọi A � � � Do tiếp tuyến A, B song song với nên ta có: � a 1 � � b 1 � y� a y� b � 1 a 1 1 b 1 a 1 b 1 � �� �ab a 1 1 b � Mặt khác OAB vuông O nên: OA.OB ab � ab a b a 1 b 1 0 a 0, b a b ab � ab � ab � ab � � a 2, b ab a b ab � Vậy điểm cần tìm A 2;0 , B 0; 2 � AB 2 Chọn C Ví dụ 7: Cho hàm số y x x C Gọi A, B điểm phân biệt C cho tiếp tuyến A B có hệ số góc đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng d : x y Tính độ dài AB A AB B AB 12 3 Gọi A a; a 4a 3 , B b; b 4b 3 D AB 26 C AB Lời giải a �b � a b l a y� b � 3a 3b � � Ta có: y � a b � 3 2 +) Ta có: AB b a; b a b a b a; b a b ba a , ud 5;1 2 2 Do chọn u AB 1; b ab a � u AB ud � 5 b ab a � a b ab a 3, b 3 � � a2 � � a 3; b � Vậy A 3;18 , B 3; 12 ngược lại suy AB 26 Chọn D Ví dụ 8: Cho hàm số y x 3x có đồ thị C Xét điểm M thuộc C Tiếp tuyến C M cắt C điểm thứ hai N M �N thỏa mãn xM xN 3 Hoành độ điểm M A B 1 D 3 C Lời giải 3x �� � y� m 3m2 Vì M � C � M m; m 3m Ta có y � m x m Phương trình tiếp tuyến C M y y m y� � y m3 3m 3m 3 x m � y 3m 3 x m m 3m (d) 3 Hoành độ giao điểm d C nghiệm phương trình x 3x 3m 3 x m m 3m � x3 m3 x m 3m 3 x m � x m x mx m x m 3m 3 x m xm xm xm xm � � � � � �2 � � � � x mx m 3m � x mx 2m2 x 2m x m x 2m � � � � � �xM m �� � xM xN m 2m m 3 � m Suy � �xN 2m Vậy xM Chọn A Ví dụ 9: Cho hàm số y 2x C Gọi A, B điểm phân biệt C cho A, B đối xứng x 1 qua đường thẳng d : x y 11 Tính tổng tung độ y A yB A y A yB B y A yB C y A yB 4 Lời giải 11 Viết lại phương trình đường thẳng d : y x 5 D y A yB Vì AB d nên phương trình đường thẳng AB có dạng: y x m Phương trình hồnh độ giao điểm AB C là: �x �1 2x 5x m � � x 1 �g x x m x m Để AB cắt C điểm phân biệt � g x có nghiệm phân biệt khác 5 �0 � �g 1 � I�� �� (*) 0 m 12 m 3 � � 7m � x1 x2 � � Khi gọi A x1 ;5 x1 m , B x2 ;5 x2 m Theo định lý Viet ta có: � �x x m �1 �x x x1 x2 � �7 m m � m �hay I � ; � d Trung điểm I AB : I �1 ; � 2 � � 10 � � � m 5m 35 11 � m 3 10 Với m 3 tm � A 0; 3 , B 2;7 � y A yB Chọn D Ví dụ 10: Cho hàm số y x 1 C điểm C , D thuộc đường thẳng d : y x Gọi điểm A, B x2 hai điểm phân biệt nằm C cho tứ giác ABCD hình chữ nhật có đường chéo dài AB thỏa mãn A AB B AB C AB 2 D AB Lời giải Do AB / / CD nên phương trình đường thẳng AB : y x m m �4 PT hoành độ giao điểm AB C là: x 1 �x �2 xm� � x2 �g x x m 1 x 2m �g 2 �0 �0 � �� ��2 0 m 6m � � �x1 x2 m �x1 x2 2m Khi gọi A x1; x1 m , B x2 ; x2 m ta có: � m 6m , AD d AB; CD �x1 x2 x1 x2 � Ta có: AB x1 x2 � � 2 m4 Độ AB AD AC x1 x2 2 2 m 8m 16 2 � � x1 x2 x1 x2 m 6m � � m 1 � 25 � m 8m � 21 � 2 m loai � � x1 � A 1;0 , B 1; 2 Với m 1 � � x1 1 � A 1; 2 , B 1;0 � Kết luận: Vậy điểm thỏa mãn ycbt là: 1;0 , 1; 2 � AB 2 Chọn D Ví dụ 11: [Đề thị THPT Quốc gia 2018] Cho hàm số y x2 có đồ thị C Gọi I giao điểm x2 hai tiệm cận C Xét tam giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc C , đoạn thẳng AB có độ dài A B C 2 Lời giải D Giao điểm đường tiệm cận I 2;1 tâm đối xứng đồ thị hàm số Hàm số cho hàm đồng biến, có trục đối xứng đường phân giác đường tiệm cận có phương trình y x y x Do tính chất đối xứng nên AB d : y x � AB : y x m Phương trình hồnh độ giao điểm C AB là: �x �2 x2 xm� � x2 �g x x m 1 x 2m � m 1 2m � Điều kiện để AB cắt C điểm phân biệt là: � �g 2 �0 �x1 x2 m �x1 x2 2m Khi gọi A x1; x1 m ; B x2 ; x2 m , theo Viet ta có: � Tam giác ABC ln cân I suy IH � m3 3 AB � d I ; AB AB 2 2 2 x1 x2 � m 3 � m 2m 8m �x1 x2 x1x2 � � � m 6m 15 � AB m 6m Chọn B Dạng 4: Tìm điểm cố định điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số Tìm điểm cố định: Gọi M x0 ; y0 điểm cố định mà đồ thị hàm số y f x qua g x0 ; y0 � Khi y0 f x0 biến đổi phương trình dạng m � � � h x0 ; y0 � �g x0 ; y0 � Tọa độ điểm M h x ; y � 0 Giải hệ phương trình � Tìm điểm có tọa độ ngun: �y f x � Điểm M x; y � C : y f x có tọa độ nguyên tọa độ điểm M x; y thỏa mãn �x �� �y �� � Ví dụ 1: Cho hàm số C : y x mx m Tọa độ điểm cố định thuộc đồ thị C A 1;0 1;0 B 1;0 0;1 C 2;1 2;3 Lời giải D 2;1 0;1 Gọi M x0 ; y tọa độ điểm cố định C ta có: y0 x0 mx0 m m �� x 1; y0 �x �x0 �1 � � m x02 1 x04 y02 m �� � �04 � �2 � �0 x0 1; y0 � �x0 y0 �y0 Vậy tọa độ điểm cố định thuộc đồ thị C 1;0 1;0 Chọn A Ví dụ 2: Gọi điểm M , N điểm cố định mà đồ thị hàm số y x 3mx 3mx 1 C ln qua Tính độ dài MN A MN B MN C MN Lời giải D MN Gọi M x0 ; y0 tọa độ điểm cố định thuộc C ta có: y0 x0 3mx0 3mx0 1 m �� x0 1; y0 �x x0 � � 3m x02 x0 y0 x03 m �� � �0 � � x0 0; y0 1 � �y0 x0 Vậy M 1;0 , N 0; 1 � MN Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y mx 3mx m 1 x C Phương trình đường thẳng qua điểm cố định đồ thị hàm số cho A y 2 x B y x C y 2 x Lời giải D y 2 x Gọi M x0 ; y0 tọa độ điểm cố định thuộc C ta có: y0 mx0 3mx0 m 1 x0 m �� �x3 3x02 x0 � m x03 3x02 x0 x0 y0 m �� � �0 * �y0 2 x0 Như đồ thị hàm số qua điểm cố định nghiệm hệ phương trình (*) điểm thuộc đường thẳng y 2 x Chọn A Ví dụ 4: Biết đồ thị hàm số y x mx m qua hai điểm cố định A B Tính độ dài đoạn thẳng AB B AB A AB 2 C AB Lời giải D AB 4 Gọi M x0 ; y0 tọa độ điểm cố định thuộc C ta có: y0 x0 mx0 m m �� x 1, y0 �x02 � � m x 1 x y0 m �� � �4 � �0 x0 1, y0 � �x0 y0 Khi A 1;0 , B 1;0 � AB Chọn B Ví dụ 5: Có thuộc đồ thị hàm số C : y A Ta có: y B 2x mà tọa độ số nguyên? x 1 C Lời giải D x 2 x 1 4 2 x 1 x 1 x 1 Điểm có tọa độ nguyên x �� x Ư �1; �2; �4 Khi có điểm có tọa độ nguyên thuộc C : y 2x Chọn D x 1 Ví dụ 6: Gọi M , N hai điểm thuộc đồ thị hàm số y 3x C cho tọa độ chúng số x 1 nguyên Tính độ dài MN A MN 2 Ta có: y B MN C MN Lời giải D MN x x 1 1 3 x 1 x 1 x 1 x 1 � x 2 � �� Điểm có tọa độ nguyên x �� x Ư 1 �1 � � x 1 x0 � � Khi có điểm có tọa độ nguyên thuộc C : y 2x M 2; , N 0; x 1 Khi MN 2 Chọn A Ví dụ 7: Có thuộc đồ thị hàm số C : y A Ta có: y B x x 15 mà tọa độ số nguyên? x3 C Lời giải x x 15 x x x 9 x2 x3 x3 x3 D x 4 � � x 6 � � x 2 Điểm có tọa độ nguyên x �� x Ư �1; �3; �9 � � x0 � � x 12 � x6 � Từ suy có điểm có tọa độ số nguyên thuộc C Chọn A Ví dụ 8: Có thuộc đồ thị hàm số y A Ta có: y B 3x mà tọa độ số nguyên? 2x 1 C Lời giải D 3x x 14 x 1 17 17 � 2y 3 2x 1 2x 1 x 1 2x 1 Điểm có tọa độ nguyên x �� x Ư 17 �1; �17 x 17 � x 8 � y � � � x 1 x � y 7 �� � Có điểm có tọa độ số nguyên Chọn D Suy � � � 2x 1 x � y 10 � � x 17 x 9� y 2 � � BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Biết A 0; y , B x;1 thuộc đồ thị hàm số y x x giá trị x y A 1 B C D Câu 2: Điểm sau không thuộc đồ thị hàm số y x x ? A 1; B 2;7 C 0; 1 D 1; 2 Câu 3: Đồ thị hàm số y x 2mx m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ �1 � A M � ; � �2 � B M 1;0 �1 � C M � ; � �2 � D M 0;1 Câu 4: Tâm đối xứng đồ thị hàm số sau cách gốc tọa độ khoảng lớn nhất? A y 2x 1 x3 B y Câu 5: Trên đồ thị hàm số y A D y x 3x C D 2x có điểm có tọa độ số nguyên? 3x B Vô số Câu 7: Trên đồ thị C hàm số y A C y x 3x 2x 1 có điểm có tọa độ nguyên? 3x B Câu 6: Trên đồ thị hàm số y A 1 x 1 x B C D x 10 có điểm có tọa độ nguyên? x 1 C 10 D Câu 8: Đồ thị hàm số y x x mx m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M 1; 4 B M 1; 4 C M 1; D M 1; 2 Câu 9: Tìm tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc đồ thị C hàm số y x2 cho khoảng x2 cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị C đạt giá trị nhỏ A M 1; 3 B M 3;5 C M 0; 1 Câu 10: Số điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số y A 16 B 12 D M 4;3 x 3x 10 là: x2 C 10 D Câu 11: Biết đồ thị Cm hàm số y x mx m 2018 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I 1; 2018 B I 0;1 C I 0; 2018 D I 0; 2019 Câu 12: Số điểm cố định đồ thị hàm số y x m 3 x 2m 1 x 3m A B C D Câu 13: Đồ thị hàm số có tâm đối xứng điểm I 1; 2 ? A y 2x 2x B y x x x D y C y 2 x3 x x Câu 14: Cho hàm số y 2x 1 x 3x có đồ thị C Điểm M nằm đồ thị C cho khoảng cách từ 3 x M đếm tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm đến tiệm cận ngang C Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng C A Câu 15: Số điểm đồ thị hàm số y A C B D 2x 1 có tọa độ nguyên là: x 1 B Câu 16: Cho đồ thị C hàm số y C D 2x Tọa độ điểm M nằm C cho tổng khoảng x 1 cách từ M đến hai tiệm cận C nhỏ A M 1;0 M 3; B M 1;0 M 0; 2 C M 2;6 M 3; D M 0; 2 M 2; Câu 17: Gọi M a; b điểm đồ thị hàm số y 2x 1 mà có khoảng cách đến đường thẳng x2 d : y x nhỏ Khi A a 2b B a b C a b 2 Câu 18: A B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số y D a 2b x Khi độ dài đoạn x2 AB ngắn A B Câu 19: Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y C D 3x cách đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 khoảng A 0; 1 ; 2;7 B 1;0 ; 2;7 C 0;1 ; 2; 7 Câu 20: Cho hàm số y x2 có đồ thị C Gọi I giao điểm hai tiệm cận C Xét tam x 1 giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc C , đoạn thẳng AB có độ dài D 0; 1 ; 2;7 A B 2 C D Câu 21: Điểm thuộc đường thẳng d : x y cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x 3x là: A 1;0 B 2;1 C 1; D 0; 1 Câu 22: Họ parabol Pm : y mx m 3 x m m �0 tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A 0; 2 B 0; C 1;8 D 1; 8 Câu 23: Gọi M , N hai điểm di động đồ thị C hàm số y x 3x x cho tiếp tuyến C M N song song với Khi đường thẳng MN ln qua điểm cố định đây? A 1;5 B 1; 5 C 1; 5 Câu 24: Hai điểm M ; N thuộc hai nhánh đồ thị hàm số y D 1;5 3x Khi độ dài đoạn thẳng x3 MN ngắn bằng: A B 2017 C D Câu 25: A, B hai điểm di động thuộc hai nhánh khác đồ thị y 2x 1 Khi khoảng x2 cách AB bé là? A 10 B 10 C Câu 26: Cho hàm số y x 1 có đồ thị C Gọi M xM ; yM điểm C Khi tổng x 1 D khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất, tính tổng xM yM A 2 B C 2 D LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN �y 1 �x � � x y Chọn B Câu 1: Ta có � � x x �y 1 � Câu 2: Ta có 2;7 � C Chọn B �1 � 2 Câu 3: Ta có y x 2mx m x m x 1 � điểm cố định � ; � Chọn C �2 � Câu 4: Hàm số y Hàm số y 2x 1 có tâm đối xứng 3; � d 13 x3 1 x có tâm đối xứng 1; 1 � d 1 x x x � y " 12 x 6; y " � x Hàm số y x x có y � � y nên có tâm đối 2 26 �1 � xứng � ; �� d �2 � Hàm số y x 3x có y� 3x � y " 6 x; y " � x � y 2 � d chọn A 11 3x x 11 � x 5 � y 11 � � Câu 5: y x 3 1� 2 �� � �� � 3x x 1 � y 3 3x 3x � 3x � � � Chọn B 13 3x 1 x 1 x0� y5 � 13 � � Câu 6: y x 3 1� 2 �� � �� � 3x 13 � x 4 � y 3x 3x 1 � 3x � � Chọn C x �1 � x 10 1 �� x �3 Chọn D Câu 7: y � x 1 x 1 � x �9 � 3 Câu 8: y x 3x mx m x 3x m x 1 � điểm cố định 1; 4 Chọn A � a2� a; Câu 9: Tiệm cận đứng d1 : x , tiệm cận ngang d : y Giả sử M � � � a2� Ta có d M , d1 d M , d a Xảy a 4 �2 a 4 a2 a2 � a 0 l � a 2 � � Chọn D a2 a 4� y 3 � x �1 � � x �2 � � x �3 x x 10 12 2x 1 �� Câu 10: Ta có y Chọn B x �4 x2 x2 � � x �6 � x �12 � x � y 2019 � 4 � I 0; 2019 Chọn D Câu 11: y x mx m 2018 x 2018 m x 1 � � x 1 � y 2019 � 3 2 Câu 12: y x m 3 x 2m 1 x 3m x 3x x m x x 3 x 1 � Điểm cố định x x � � Chọn A x3 � x 12 x � y " 12 x 12 Câu 13: Với hàm số y x x x ta có y� Ta có y " � x � y 2 � I 1; 2 tâm đối xứng chọn B � 3a � a; Câu 14: Tiệm cận đứng d1 : x , tiệm cận ngang d : y Giả sử M � � � 3 a � Ta có d M , d1 a , d M , d a 3 Mà d M , d1 2d M , d � a � a � M 7;5 16 � a 3 16 � � a 1 � M 1;1 a3 � Tâm đối xứng 3;3 � d Chọn B Câu 15: Ta có y x �1 � 2x 1 2 �� Chọn C x �3 x 1 x 1 � � 2a � Câu 16: Gọi M �a; � a �1 thuộc đồ thị C � a 1 � Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x tiệm cận ngang y Ta có: d M ; x 1 a , d M ; y 2a 2 a 1 a 1 Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là: d a Dấu xảy � a � M 3; a3 � � a 1 � � �� Chọn A M 1;0 a 1 � a 1 � � 2a � � a �2 thuộc đồ thị C � a2 � a; Câu 17: Gọi M � 4 �2 a a 1 a 1 Khoảng cách từ M đến d : y x là: d M ; d : x y 3a 2a 6 a2 32 1 2a 3 3a 3 a 2 2 a2 a2 10 10 � � Ta có: � (Bất đẳng thức 3 a � 4.3 a 36 x y �4 xy ) a 2� a2 � � � 3 a 2 �6 � a2 �6 � � Do a a2 � 3 a 2 �6 a2 � Suy a �4 � d a2 10 Dấu xảy � a Câu 18: Ta có: y a 3 � b � � a 2 � � � a b Chọn B a 1 � b a2 � x x 2 x2 x2 x2 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x Gọi A x1; y1 , B x2 ; y điểm thuộc nhánh C ta có: x1 x2 � y � 2 � a � AB x1 x2 y1 y2 Đặt x1 a, x2 b a, b � � �y �2 b � � �1 � a b � � a b � 1 � � ab � �a b � � � 2 � a b �4ab � Ta có: � 4 4 2 �2 2 � ab ab � ab AB 4ab 16 ab ab � � � a b Chọn C Dấu xảy � �2 � �ab � 3a � � a �1 thuộc đồ thị hàm số � a 1 � a; Câu 19: Gọi M � Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng : x AB a2 � � M 2;7 �� Ta có: d M ; a � � Chọn D a M 0;1 � � Câu 20: Giao điểm đường tiệm cận I 1;1 tâm đối xứng đồ thị hàm số Hàm số cho hàm đồng biến, có trục đối xứng đường phân giác đường tiệm cận có phương trình y x y x Do tính chất đối xứng nên AB d : y x � AB : y x m Phương trình hồnh độ giao điểm C AB là: �x �1 x2 � xm� � x 1 �g x x mx m � m2 m 2 � Điều kiện để AB cắt C điểm phân biệt là: � * �g 1 �0 �x1 x2 m �x1 x2 m Khi gọi A x1; x1 m ;B x2 ; x2 m , theo Viet ta có: � Tam giác ABC ln cân I suy IH � m2 3 AB � d I ; AB AB 2 2 2 x1 x2 � m � m 4m x1 x2 x1x2 � � � � m 4m 14 � AB m 4m Chọn A x0 � � A 0;2 3x x � � �� Câu 21: Xét hàm số y x 3x ta có: y� hai điểm cực x2 � B 2; 2 � trị đồ thị hàm số y x 3x �MA t t 3 � � MA MB � 2t 6t 2t 2t Gọi M t ; t 1 �d � � �MB t t 1 � � 4t � t � M 1;0 Chọn A Câu 22: Giả sử Pm : y mx m 3 x m m �0 tiếp xúc với đường thẳng d : y ax b � mx m 3 x m ax b � Khi hệ phương trình � vói m mx m a � �x a � Xét phương trình 2mx 2m a � m x a với m � � Thế vào phương trình đầu hệ ta được: m m 3 m b � b 2 Vậy họ parabol cho tiếp xúc với đường thẳng d : y x điểm 1;4 Khi d qua điểm 0; 2 Chọn A 3 Câu 23: Gọi M a; a 3a a , N b; b 3b b a �b Tiếp tuyến M N song song với y� a y� b a �b � 3a 6a 3b 6b � 3a 3b a b � a b a b a b � a b a b * Do a �b � * � a b 3 2 Suy yM yN a b a b a b a b a ab b a b 2 a ab b 3(a b ) a b 10 �x xN xU � �M � U 1;5 trung điểm MN �yM y N 10 yU Tính chất: Gọi M , N hai điểm di động đồ thị C hàm số y ax bx cx d a �0 cho tiếp tuyến C M N song song với MN ln qua điểm uốn Chọn D Câu 24: Ta có: y x x 3 8 3 x3 x3 x 3 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x � y � 2 � a � MN x1 x2 y1 y2 Đặt x1 a, x2 b a, b � � �y �2 b � 64 � �1 � a b 64 � � a b � 1 � � ab � �a b � � � 2 � a b �4ab � 64 Ta có: � 64 16 2 �2 2 � ab ab � ab AB 4ab 16 ab 64 ab � � � a b 2 Chọn C Dấu xảy � �8 � �ab Câu 25: y 2x x 2 5 2 x2 x2 x2 AB Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x ... ? ?9 b a 3a 4a � 2a 8a � � a 2; b ? ?9 � B loai Vậy điểm A, B cần tìm là: A 2; ? ?9 ; B 2; ? ?9 ngược lại Ví dụ 2: Tìm đồ thị hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị. .. hồnh độ giao điểm AB đồ thị C Dựa vào điều kiện K để tìm giá trị tham số m Ví dụ 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x x điểm A 3; 2 cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa... m 6m Chọn B Dạng 4: Tìm điểm cố định điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số Tìm điểm cố định: Gọi M x0 ; y0 điểm cố định mà đồ thị hàm số y f x qua g x0 ; y0