1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Chủ đề 9 bài toán tìm điểm trên đồ thị hàm số

25 4 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 25
Dung lượng 2,19 MB

Nội dung

CHỦ ĐỀ 9 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ( Dạng 1 Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách Điểm M thuộc đồ thị hàm số ( Khoảng cách từ điểm M đến trục bằng ( Khoảng cách từ điểm M đến trục bằng ( Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là ( Khoảng cách giữa hai điểm MN bằng Ví dụ 1 Cho hàm số Tìm điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng bằng Lời giải Gọi Khoảng cách từ M đến đường thẳng là Vậy tọa độ điểm M cần tìm là hoặc Ví dụ 2 Cho hàm số Gọi M là điểm nằm trên đồ thị và t.

CHỦ ĐỀ 9: BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ  Dạng 1: Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách Điểm M thuộc đồ thị hàm số y  f  x  � M  x0 ; f  x0    Khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng: d  M ; Ox   f  x0   Khoảng cách từ điểm M đến trục Oy bằng: d  M ; Oy   x0  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  : ax  by  c  là: d  M ;     Khoảng cách hai điểm MN Ví dụ 1: Cho hàm số: y  y   x  xM  xN  ax0  b f  x0   C a2  b2   yM  y N  x2  C  Tìm điểm M thuộc  C  cho khoảng cách từ M đến đường thẳng x 1 Lời giải � a2� a;   C  ,  a 1 Gọi M � � � a 1 � Khoảng cách từ M đến đường thẳng y   x là: a d a2 a 1  � a2   a  � a  � M  0; 2  � a  2a   � �2 � a  2a  � � a  2 � M  2;0  a  2a  � � Vậy tọa độ điểm M cần tìm M  0; 2  M  2;0  Ví dụ 2: Cho hàm số y  2x   C  Gọi M điểm nằm đồ thị  C  H , K tương ứng hình chiếu x 1 vng góc M trục Ox Oy Có điểm M thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích A B C Lời giải � 2a  � a;   C   a 1 Tứ giác MHOK hình chữ nhật Gọi M � � � a 1 � Ta có: S MHOK  MH MK  d  M ; Ox  d  M ; Oy  � � � a 2a  a  2a  2a  a   a  2a  a  a  2�� �� �� � a 1 a 1 2a  a  2a  2a  3a   � � a  2 � �1 � Vậy M � ; �hoặc M  2 :1 Chọn C �2 � D Ví dụ 3: Cho hàm số y   : y  x  x 1  C  Có điểm M � C  để khoảng cách từ M đến đường thẳng x 1 A B C Lời giải D a 1 2a  1 � a  � a;   C   a 1 Ta có: a 1 Gọi M � �  : x  y 1  � d  M ;     � a 1 � 5 � � � a 2a  2a   3a  a  5a   � 2a  2a   a  � � �� �� � 2a  2a   3a  2a  a   � � a  1 � Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  x  Tìm tất điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến trục tung A M  1;0  M  1;  B M  0;1 M  2; 1 C M  1;0  D M  2; 1 Lời giải � M  1;0  xM  � yM  � �� Khoảng cách từ M đến trục tung 1, suy � M  1;  xM  1 � yM  � � Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  3x có đồ thị  C  điểm K  1; 3 Biết điểm M  x; y   C  thỏa mãn xM �1 độ dài KM nhỏ Tìm phương trình đường thẳng OM A y  x B y   x C y  x Lời giải D y  2 x Điểm M  x; y  � C  � M  x; x  3x  với x �1 Ta có KM   x  1; x3  3x  3 � KM   x  1   x  3x   Đặt f  x    x  1   x  3x  3 2  x    x  1   x  1  x3  3x  3 ; x �1 Xét hàm số f  x  đoạn  1; � , ta có f � f�   x  1  x  3x  3 �  � x 1  x   �  x  1 � � Phương trình g  x  �0; x �1 4 4 4 43� g x Giá trị nhỏ f  x  Dấu"  " xảy x  � M  1; 2  �  OM  : y  2 x Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y  2x 1  C  Tổng khoảng cách từ điểm M  C  đến hai đường tiệm cận x 1 đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C Lời giải D � 2a  � a; � C  Hai đường tiệm cận  C  x  1 y  Gọi điểm M � � � a 1 � � d1  d  M , x  1  a  � Suy khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận � d  d M , y     � a 1 � Khi tổng khoảng cách d  d1  d  a   3 �2 a   a 1 a 1 Chọn A Ví dụ 7: Tìm tất điểm thuộc trục hồnh cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x  3x  A M  1;0  B M  1;0  C M  2;0  Lời giải D M  1;0  x 0� y 2 �  3x  x  � � � A  0;  ; B  2; 2  Gọi M  t ;0  Ta có: y � x  � y  2 � Khi MA2  MB � t    t    � t  � M  1;0  Chọn D Ví dụ 8: Có điểm M thuộc đồ thị hàm số y  x2 mà khoảng cách từ M đến trục Oy hai x 1 lần khoảng cách từ M đến trục Ox ? A B C Lời giải D � a2�  a �1 � đồ thị hàm số cho Gọi M �a; � � a 1 � Ta có: d  M ; Oy   a ; d  M ; Ox   a2 a 1 a2 � �a   2a � 2a  3a   a2  a � � � a  2; a   � Theo giả thiết ta có: � a2 a 1 2 a  a   � �  2 a � �a  �1 �  ; 1� Chọn C Vậy có điểm A  2;  B � �2 � Ví dụ 9: Tìm đồ thị hàm số y  2x 1 điểm M cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x 1 ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang đồ thị � 7� 4; �hoặc M  2;5  A M � � 5� B M  4;3 M  2;1 � 7� 4; �hoặc M  2;1 D M � � 5� Lời giải C M  4;3 M  2;5  � 2a  � a; Tiệm cận đứng: x  Tiệm cận ngang y  Gọi M � � � a 1 � Khi đó: d  M ; TCN   2a  2  , d  M ; TCD   a  a 1 a 1 Theo ta có: a   � a  � M  4;3 �  a  1  � � a  2 � M  2;1 a 1 � Chọn B Ví dụ 10: Giả sử đường thẳng d : x  a, a  cắt đồ thị hàm số y  2x 1 điểm nhất, biết x 1 khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1; ký hiệu  x0 ; y0  tọa độ điểm Tìm y0 A y0  1 B y0  C y0  Lời giải D y0  � 2a  � a;  a   điểm cần tìm TCĐ đồ thị hàm số cho là: x  Gọi M � � � a 1 � a 0 Khi d  M ; x  1  � a   ��� a  � y0  2a  5 a 1 Chọn B Ví dụ 11: Cho hàm số y  x 1  C  Gọi M điểm thuộc  C  cho tích khoảng cách từ điểm M đến x2 trục Ox đến đường tiệm cận ngang Tổng hoành độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán A 1 B C D Lời giải � a 1 � a;  a �2  TCĐ: x  TCN: y  Gọi M � � � a2� a) Ta có: d  M ; Ox   a 1 a 1 1   d2  d1 ; d  M ; TCN : y  1  a2 a2 a2 � a 1 2 � a  � M  1; 2  � a     a  1 � a  9a   � � 6� �� �� Theo ta có: d1d  �7 � � a 1 a  � M � ;3 � 2a  a    a  2 �  2 � � �2 � �  a  2 � �7 � Vậy M  1; 2  M � ;3 �là điểm cần tìm Chọn B �2 �  Dạng 2: Tìm điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách  Tìm điểm đối xứng: Gọi A  a; f  a   B  b; f  b    a �b  hai điểm thuộc đồ thị hàm số y  f  x  a  b  2 �  Hai điểm A, B đối xứng qua I  ;   � � �f  a   f  b   2 a  b �  Hai điểm A, B đối xứng qua trục tung � � �f  a   f  b   Tìm điểm A, B thuộc nhánh đồ thị cho độ dài AB ngắn Bài toán: Cho hàm số y  ax  b  C  Tìm điểm thuộc nhánh đồ thị  C  cho ABmin cx  d Cách giải: Ta phân tích: y  a k d  y  tiệm cận đứng (C) c cx  d c Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm thuộc nhánh  C  ta có: x1   d  x2 c � a k y   � d d 2 �1 c c.  , x2     ,    � � � AB   x1  x2    y1  y2  Đặt x1  c c �y  a  k � c c. � k2 k �1 � �        �  �      � 1 � � c  .  � c �  � � � Do      k k2 k2 �2 2 �4  2 c  .  c  .  c .  � k 8k �  Do AB �4..2 Dấu xảy � �k c . c �c   � Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  x  x   C  a) Tìm điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O b) Tìm tọa độ điểm A B đối xứng qua trục Oy Lời giải a) Gọi A  a; b  B  a; b  điểm đối xứng qua gốc tọa độ O  0;0  � b  a  3a  4a  � Vì A, B thuộc đồ thị  C  nên ta có: � b   a     a     a   � a  1; b  3 � � b  a  3a  4a  b  a  3a  4a  � �� � � � � a  1; b  b  a  3a  4a  �  6 a  � � Vậy điểm A, B cần tìm là: A  1; 3 : B  1;3 ngược lại b) Gọi A  a; b  B  a; b  điểm đối xứng qua trục Oy � b  a  3a  4a  � Vì A, B thuộc đồ thị  C  nên ta có: � b   a     a     a   � � a b A � � b  a  3a  4a  b  a  3a  4a  � �� �� �� a  2; b  9 b  a  3a  4a  �  2a  8a � � a  2; b  9 � B  loai  Vậy điểm A, B cần tìm là: A  2; 9  ; B  2; 9  ngược lại Ví dụ 2: Tìm đồ thị hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số y  x3 cho AB 2x  ngắn Lời giải x  2  x3 2 1 Ta có: y    2x  2x  2 x 1 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm thuộc nhánh  C  ta có: x1   x2 � 1 y   � 2 �1 a � AB   x1  x2    y1  y2  Đặt x1   a, x2   b  a, b   � � �y   �2 b � � 2 �1 �   a  b   �  �  a  b  � 1 � �  ab  � �a b � � � �  a  b  �4ab � Ta có: �    2 �2 2  � ab ab � ab AB  4ab ab AB 2 ab � � � 3� � 1� � a  b  � A� 0; � ,B� 2;  � Dấu "  " xảy � �1 2  � � � � � �ab Ví dụ 3: Tìm đồ thị hàm số y   x  3x  hai điểm mà chúng đối xứng qua tâm I  1;3 A  0;   2;  B  1;0   1;6  C  1;   3;  Lời giải D Không tồn 3 Gọi A  a;  a  3a   ; B  b; b  3b    a �b  điểm thuộc đồ thị hàm số cho đối xứng qua điểm I  1;3 a  b  2 � a  b  x1  2 � � � Ta có: � �   a  b3    a  b   a  3a   b  3b   y1  � � a  b  2 � a  b  2 a  b  2 a  0; b  2 � � � � � �3 �� �� �� a  b  8 a  2; b   a  b   3ab  a  b   8 �ab  � � � Vậy  0;   2;  cặp điểm cần tìm Chọn A Ví dụ 4: Tìm đồ thị hàm số y   x3 11 hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng qua  x  3x  3 trục tung � 16 � 3;  �hoặc A � � 3� 16 � � 3;  � � 3� � � 16 � 3; �hoặc B � � 3� 16 � � � 16 � C � ;3 �hoặc � ;3 � �3 � � � � 16 � �3; � � 3� D Không tồn Lời giải � a3 � b 11 � 11 � a;  a  3a  �và B � b;  b  3b  � a �b  điểm thuộc đồ thị chúng đối Gọi A � 3� 3� � � xứng qua trục tung a  b a  b � � � � 3 Khi đó: �a 11 b 11 � �a 11 a 11 2 2  b  3b  �  a  3a   �  a  3a    a  3a  3 3 3 �3 �3 a  b � a  b � � � � �2a � �� a0  a  � � �a  �3 �3 �� Với a 0� b A B (loại) � 16 � � 16 � 3; � ;B� 3; � Với a  �3 � b  m3 � A � Chọn B � 3� � 3� Ví dụ 5: Tìm đồ thị hàm số y   x  x  hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với qua trục tung A Không tồn C A  1; 1 B  1; 1 B A  2;  B  2;  D A  3; 13 B  3; 13 Lời giải �x   xB �A  x A ; y A  ��A Gọi hai điểm thỏa mãn đề � �y A  yB �B  xB ; yB  xA Khi ta có  xA2  xA      xA     xA   � xA  4 xA � xA   L  Suy không tồn hai điểm thỏa mãn đề Chọn A Ví dụ 6: Tìm nhánh đồ thị  C  : y  3x  điểm A, B để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất, x 1 giá trị nhỏ bằng: A Ta có: y  B 2 C Lời giải D 3 x   x  1  3   3 x 1 x 1 x 1 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  1 Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm thuộc nhánh  C  ta có: x1  1  x2 � y1   � 2 � a � AB   x1  x2    y1  y2  Đặt x1  1  a, x2  1  b  a, b   � � �y   �2 b � � 2 �1 �   a  b   �  �  a  b  � 1 � �  ab  � �a b � � � �  a  b  �4ab � Ta có: � 9   2 �2 2  � ab ab � ab AB  4ab ab 24 AB ab � � � a  b  Chọn C Dấu xảy � �9 1 � �ab  Dạng 3: Bài tốn tìm điểm kết hợp tốn tương giao tiếp tuyến  Bài tốn 1: Tìm hai điểm A  a; f  a   B  b; f  b    a �b  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   C  cho tiếp tuyến A B  C  song song với A, B thỏa mãn điều kiện K  a  f �  b  điều kiện K Cách giải: Giải hệ phương trình f �  Bài tốn 2: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y  f  x   C  cho AB   (hoặc AB / / ) A, B thỏa mãn điều kiện K Cách giải:  Dựa vào giả thiết AB   AB / / ta viết phương trình đường thẳng AB theo tham số m  Viết phương trình hồnh độ giao điểm AB đồ thị  C   Dựa vào điều kiện K để tìm giá trị tham số m Ví dụ 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  x  điểm A  3; 2  cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa độ A B  1;10  B B  2;1 C B  2;33 Lời giải D B  1;0   x  x  � y�  3   Ta có: y� PTTT điểm A  3; 2  là: y   x  3   x  19 (d) Phương trình hồnh độ tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến d là: x  x  x   x  19 �  x  3 x  3 � y  2 � Vậy B  2;33 Chọn C x  � y  33 �  x  2  � � Ví dụ 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  x  điểm A cắt đồ thị điểm thứ hai B  1; 2  Điểm A có tọa độ A A  2;5  B A  1; 4  C A  0;1 Lời giải D A  1;   3x  x  , gọi A  a; a  a  a  1 Ta có: y � Phương trình tiếp tuyến A là: y   3a  2a  1  x  a   a  a  a  Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị tiếp tuyến là: x3  x  x    3a  2a  1  x  a   a  a  a  �  x  a   x  xa  a    x  a   x  a    x  a    3a  2a  1  x  a  �  x  a   x  xa  a  x  a   3a  2a  1  �  x  a   x  xa  2a  x  a   �  x  a xa�A � x   2a  �  x  2a  1  � � Do xB  1 � 2a   1 � a  � A  1;  Chọn D Ví dụ 3: Điểm M thuộc đồ thị hàm số  C  : y   x  3x  mà tiếp tuyến  C  có hệ số góc lớn nhất, có tọa độ A M  0;  B M  1;6  C M  1;  Lời giải  3 x  x  3  x  1  �3 Ta có: k  y� Tiếp tuyến  C  có hệ số góc lớn hồnh độ tiếp điểm x  Khi M  1;  Chọn C D M  2;6  Ví dụ 4: Cho hàm số y  2x   C  Gọi A, B điểm phân biệt  C  cho tiếp tuyến A B x 1 song song với AB  Tính T  OA  OB A T  B T  C T  Lời giải D T  � � � � a;  , B� b;  Gọi A � � � a, b �1, a �b  Do tiếp tuyến A, B song song với nên ta có: a 1 � � b 1 � � y�  a   y�  b �  a  1 Ta có: AB   a  b   2   b  1 16  a  b  � a 1  b 1  l  �� � a  b  a 1  1 b � � � � 16 � 2  a  b   a  b  � � �     2 2� ab  a  b  ab      � � � � � �a  1  b  1 � � � � � � � � 16 � 16 � � 1    ab  � 1 � � �a  b   4ab � 2 � ��  ab  1 � ab    � � � � � � ab  � 16 � 16 �  � 32 � t   � t  � ab  3 � � Đặt t   ab ta có: 4t � ab  3 t � t � � a  1 � b  � �� a 3�b  � Vậy A  1;0  , B  3;  ngược lại suy T  OA  OB  Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số y  x   C  Gọi A, B điểm phân biệt  C  cho tiếp tuyến A B x 1 song song với tam giác OAB vng O Tính độ dài AB A AB  B AB  C AB  2 Lời giải D AB  �  a  � � b  � a; ,B� b; Gọi A � � � Do tiếp tuyến A, B song song với nên ta có: � a 1 � � b 1 � y�  a   y�  b � 1  a  1  1  b  1 a 1  b 1 � �� �ab  a 1  1 b � Mặt khác OAB vuông O nên: OA.OB  ab  � ab    a   b  a  1  b  1 0 a  0, b    a  b   ab � ab  � ab   � ab  � � a  2, b  ab   a  b   ab  � Vậy điểm cần tìm A  2;0  , B  0; 2  � AB  2 Chọn C Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  x   C  Gọi A, B điểm phân biệt  C  cho tiếp tuyến A B có hệ số góc đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng d : x  y   Tính độ dài AB A AB  B AB  12 3 Gọi A  a; a  4a  3 , B  b; b  4b  3 D AB  26 C AB  Lời giải  a �b  � a  b l  a   y�  b  � 3a  3b � � Ta có: y � a  b �   3 2 +) Ta có: AB  b  a; b  a   b  a    b  a;  b  a   b  ba  a   , ud  5;1 2 2 Do chọn u AB   1; b  ab  a   � u AB ud  � 5  b  ab  a   �  a  b   ab  a  3, b  3 � � a2  � � a  3; b  � Vậy A  3;18  , B  3; 12  ngược lại suy AB  26 Chọn D Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  3x có đồ thị  C  Xét điểm M thuộc  C  Tiếp tuyến  C  M cắt  C điểm thứ hai N  M �N  thỏa mãn xM  xN  3 Hoành độ điểm M A B 1 D 3 C Lời giải  3x  �� � y�  m   3m2  Vì M � C  � M  m; m  3m  Ta có y �  m   x  m  Phương trình tiếp tuyến  C  M y  y  m   y� � y  m3  3m   3m  3  x  m  � y   3m  3  x  m   m  3m (d) 3 Hoành độ giao điểm  d   C  nghiệm phương trình x  3x   3m  3  x  m   m  3m � x3  m3   x  m    3m  3  x  m  �  x  m   x  mx  m    x  m    3m  3  x  m  xm xm xm xm � � � � � �2 � � � � x  mx  m   3m  � x  mx  2m2 x   2m  x  m   x  2m   � � � � � �xM  m �� � xM  xN  m  2m  m  3 � m  Suy � �xN  2m Vậy xM  Chọn A Ví dụ 9: Cho hàm số y  2x   C  Gọi A, B điểm phân biệt  C  cho A, B đối xứng x 1 qua đường thẳng d : x  y  11  Tính tổng tung độ y A  yB A y A  yB  B y A  yB  C y A  yB  4 Lời giải 11 Viết lại phương trình đường thẳng d : y   x  5 D y A  yB  Vì AB   d  nên phương trình đường thẳng AB có dạng: y  x  m Phương trình hồnh độ giao điểm AB  C  là: �x �1 2x   5x  m � � x 1 �g  x   x   m   x  m   Để AB cắt  C  điểm phân biệt � g  x   có nghiệm phân biệt khác 5 �0 � �g  1 � I�� �� (*) 0  m    12  m  3  � � 7m � x1  x2  � � Khi gọi A  x1 ;5 x1  m  , B  x2 ;5 x2  m  Theo định lý Viet ta có: � �x x  m  �1 �x  x  x1  x2  � �7  m m  �  m �hay I � ; � d  Trung điểm I AB : I �1 ; � 2 � � 10 � � �  m 5m  35   11 � m  3 10 Với m  3  tm  � A  0; 3 , B  2;7  � y A  yB  Chọn D Ví dụ 10: Cho hàm số y  x 1  C  điểm C , D thuộc đường thẳng d : y  x  Gọi điểm A, B x2 hai điểm phân biệt nằm  C  cho tứ giác ABCD hình chữ nhật có đường chéo dài AB thỏa mãn A AB  B  AB  C  AB  2 D AB  Lời giải Do AB / / CD nên phương trình đường thẳng AB : y  x  m  m �4  PT hoành độ giao điểm AB  C  là: x 1 �x �2  xm� � x2 �g  x   x   m  1 x  2m   �g  2  �0 �0 � �� ��2 0 m  6m   � � �x1  x2   m  �x1 x2  2m  Khi gọi A  x1; x1  m  , B  x2 ; x2  m  ta có: �    m  6m  , AD  d  AB; CD   �x1  x2   x1 x2 � Ta có: AB   x1  x2   � � 2 m4 Độ AB  AD  AC   x1  x2  2 2 m  8m  16 2 � �   x1  x2   x1 x2   m  6m    � � m  1 � 25 �  m  8m   � 21 � 2 m   loai  � � x1  � A  1;0  , B  1; 2  Với m  1 � � x1  1 � A  1; 2  , B  1;0  � Kết luận: Vậy điểm thỏa mãn ycbt là:  1;0  ,  1; 2  � AB  2 Chọn D Ví dụ 11: [Đề thị THPT Quốc gia 2018] Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  Gọi I giao điểm x2 hai tiệm cận  C  Xét tam giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc  C  , đoạn thẳng AB có độ dài A B C 2 Lời giải D Giao điểm đường tiệm cận I  2;1 tâm đối xứng đồ thị hàm số Hàm số cho hàm đồng biến, có trục đối xứng đường phân giác đường tiệm cận có phương trình y  x y   x Do tính chất đối xứng nên AB  d : y   x � AB : y  x  m Phương trình hồnh độ giao điểm  C  AB là: �x �2 x2  xm� � x2 �g  x   x   m  1 x  2m   �    m  1   2m    � Điều kiện để AB cắt  C  điểm phân biệt là: � �g  2  �0 �x1  x2   m  �x1 x2  2m  Khi gọi A  x1; x1  m  ; B  x2 ; x2  m  , theo Viet ta có: � Tam giác ABC ln cân I suy IH  � m3  3 AB � d  I ; AB   AB 2 2 2  x1  x2  �  m  3  �   m  2m   8m   �x1  x2   x1x2 � � � m  6m  15 � AB   m  6m    Chọn B  Dạng 4: Tìm điểm cố định điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số  Tìm điểm cố định: Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà đồ thị hàm số y  f  x  qua g  x0 ; y0  � Khi y0  f  x0  biến đổi phương trình dạng m � � � h  x0 ; y0   � �g  x0 ; y0   � Tọa độ điểm M h x ; y    � 0 Giải hệ phương trình �  Tìm điểm có tọa độ ngun: �y  f  x  � Điểm M  x; y  � C  : y  f  x  có tọa độ nguyên tọa độ điểm M  x; y  thỏa mãn �x �� �y �� � Ví dụ 1: Cho hàm số  C  : y  x  mx  m  Tọa độ điểm cố định thuộc đồ thị  C  A  1;0   1;0  B  1;0   0;1 C  2;1  2;3 Lời giải D  2;1  0;1 Gọi M  x0 ; y  tọa độ điểm cố định  C  ta có: y0  x0  mx0  m   m �� x  1; y0  �x   �x0  �1 � � m  x02  1  x04  y02    m �� � �04 � �2 � �0 x0  1; y0  � �x0  y0   �y0  Vậy tọa độ điểm cố định thuộc đồ thị  C   1;0   1;0  Chọn A Ví dụ 2: Gọi điểm M , N điểm cố định mà đồ thị hàm số y  x  3mx  3mx  1 C  ln qua Tính độ dài MN A MN  B MN  C MN  Lời giải D MN  Gọi M  x0 ; y0  tọa độ điểm cố định thuộc  C  ta có: y0  x0  3mx0  3mx0  1 m �� x0  1; y0  �x  x0  � � 3m  x02  x0   y0   x03   m �� � �0 � � x0  0; y0  1 � �y0   x0 Vậy M  1;0  , N  0; 1 � MN  Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y  mx  3mx   m  1 x   C  Phương trình đường thẳng qua điểm cố định đồ thị hàm số cho A y  2 x  B y  x  C y  2 x  Lời giải D y  2 x  Gọi M  x0 ; y0  tọa độ điểm cố định thuộc  C  ta có: y0  mx0  3mx0   m  1 x0   m �� �x3  3x02  x0  � m  x03  3x02  x0   x0   y0   m �� � �0  * �y0  2 x0  Như đồ thị hàm số qua điểm cố định nghiệm hệ phương trình (*) điểm thuộc đường thẳng y  2 x  Chọn A Ví dụ 4: Biết đồ thị hàm số y  x  mx  m  qua hai điểm cố định A B Tính độ dài đoạn thẳng AB B AB  A AB  2 C AB  Lời giải D AB  4 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ điểm cố định thuộc  C  ta có: y0  x0  mx0  m   m �� x  1, y0  �x02   � � m  x  1  x   y0   m �� � �4 � �0 x0  1, y0  � �x0   y0  Khi A  1;0  , B  1;0  � AB  Chọn B Ví dụ 5: Có thuộc đồ thị hàm số  C  : y  A Ta có: y  B 2x  mà tọa độ số nguyên? x 1 C Lời giải D x  2  x  1  4   2 x 1 x 1 x 1 Điểm có tọa độ nguyên x �� x   Ư     �1; �2; �4 Khi có điểm có tọa độ nguyên thuộc  C  : y  2x  Chọn D x 1 Ví dụ 6: Gọi M , N hai điểm thuộc đồ thị hàm số y  3x   C  cho tọa độ chúng số x 1 nguyên Tính độ dài MN A MN  2 Ta có: y  B MN  C MN  Lời giải D MN  x   x  1  1   3 x 1 x 1 x 1 x   1 � x  2 � �� Điểm có tọa độ nguyên x �� x   Ư  1   �1 � � x 1  x0 � � Khi có điểm có tọa độ nguyên thuộc  C  : y  2x  M  2;  , N  0;  x 1 Khi MN  2 Chọn A Ví dụ 7: Có thuộc đồ thị hàm số  C  : y  A Ta có: y  B x  x  15 mà tọa độ số nguyên? x3 C Lời giải x  x  15 x  x  x   9   x2 x3 x3 x3 D x  4 � � x  6 � � x  2 Điểm có tọa độ nguyên x �� x   Ư     �1; �3; �9 � � x0 � � x  12 � x6 � Từ suy có điểm có tọa độ số nguyên thuộc  C  Chọn A Ví dụ 8: Có thuộc đồ thị hàm số y  A Ta có: y  B 3x  mà tọa độ số nguyên? 2x 1 C Lời giải D 3x  x  14  x  1  17 17 � 2y    3 2x 1 2x 1 x 1 2x 1 Điểm có tọa độ nguyên x �� x   Ư  17    �1; �17 x   17 � x  8 � y  � � � x   1 x  � y  7 �� � Có điểm có tọa độ số nguyên Chọn D Suy � � � 2x 1  x  � y  10 � � x   17 x 9� y 2 � � BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Biết A  0; y  , B  x;1 thuộc đồ thị hàm số y  x  x  giá trị x  y A 1 B C D Câu 2: Điểm sau không thuộc đồ thị hàm số y  x  x  ? A  1;  B  2;7  C  0; 1 D  1; 2  Câu 3: Đồ thị hàm số y  x  2mx  m  ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ �1 � A M � ; � �2 � B M  1;0  �1 � C M � ; � �2 � D M  0;1 Câu 4: Tâm đối xứng đồ thị hàm số sau cách gốc tọa độ khoảng lớn nhất? A y  2x 1 x3 B y  Câu 5: Trên đồ thị hàm số y  A D y   x  3x  C D 2x  có điểm có tọa độ số nguyên? 3x  B Vô số Câu 7: Trên đồ thị  C  hàm số y  A C y  x  3x  2x 1 có điểm có tọa độ nguyên? 3x  B Câu 6: Trên đồ thị hàm số y  A 1 x 1 x B C D x  10 có điểm có tọa độ nguyên? x 1 C 10 D Câu 8: Đồ thị hàm số y  x  x  mx  m ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ A M  1; 4  B M  1; 4  C M  1;  D M  1; 2  Câu 9: Tìm tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc đồ thị  C  hàm số y  x2 cho khoảng x2 cách từ M đến hai đường tiệm cận đồ thị  C  đạt giá trị nhỏ A M  1; 3 B M  3;5  C M  0; 1 Câu 10: Số điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số y  A 16 B 12 D M  4;3 x  3x  10 là: x2 C 10 D Câu 11: Biết đồ thị  Cm  hàm số y  x  mx  m  2018 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I  1; 2018  B I  0;1 C I  0; 2018  D I  0; 2019  Câu 12: Số điểm cố định đồ thị hàm số y  x   m  3 x   2m  1 x  3m  A B C D Câu 13: Đồ thị hàm số có tâm đối xứng điểm I  1; 2  ? A y  2x  2x  B y  x  x  x  D y  C y  2 x3  x  x  Câu 14: Cho hàm số y   2x 1 x  3x có đồ thị  C  Điểm M nằm đồ thị  C  cho khoảng cách từ 3 x M đếm tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm đến tiệm cận ngang  C  Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng  C  A Câu 15: Số điểm đồ thị hàm số y  A C B D 2x 1 có tọa độ nguyên là: x 1 B Câu 16: Cho đồ thị  C  hàm số y  C D 2x  Tọa độ điểm M nằm  C  cho tổng khoảng x 1 cách từ M đến hai tiệm cận  C  nhỏ A M  1;0  M  3;  B M  1;0  M  0; 2  C M  2;6  M  3;  D M  0; 2  M  2;  Câu 17: Gọi M  a; b  điểm đồ thị hàm số y  2x 1 mà có khoảng cách đến đường thẳng x2 d : y  x  nhỏ Khi A a  2b  B a  b  C a  b  2 Câu 18: A B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị hàm số y  D a  2b  x Khi độ dài đoạn x2 AB ngắn A B Câu 19: Tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y  C D 3x  cách đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 khoảng A  0; 1 ;  2;7  B  1;0  ;  2;7  C  0;1 ;  2; 7  Câu 20: Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai tiệm cận  C  Xét tam x 1 giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc  C  , đoạn thẳng AB có độ dài D  0; 1 ;  2;7  A B 2 C D Câu 21: Điểm thuộc đường thẳng d : x  y   cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x  3x  là: A  1;0  B  2;1 C  1;  D  0; 1 Câu 22: Họ parabol  Pm  : y  mx   m  3 x  m   m �0  tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A  0; 2  B  0;  C  1;8  D  1; 8  Câu 23: Gọi M , N hai điểm di động đồ thị  C  hàm số y   x  3x  x  cho tiếp tuyến  C  M N song song với Khi đường thẳng MN ln qua điểm cố định đây? A  1;5  B  1; 5  C  1; 5  Câu 24: Hai điểm M ; N thuộc hai nhánh đồ thị hàm số y  D  1;5  3x  Khi độ dài đoạn thẳng x3 MN ngắn bằng: A B 2017 C D Câu 25: A, B hai điểm di động thuộc hai nhánh khác đồ thị y  2x 1 Khi khoảng x2 cách AB bé là? A 10 B 10 C Câu 26: Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C  Gọi M  xM ; yM  điểm  C  Khi tổng x 1 D khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất, tính tổng xM  yM A 2  B C  2 D  LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN �y  1 �x  � � x  y  Chọn B Câu 1: Ta có � �  x  x  �y  1 � Câu 2: Ta có  2;7  � C  Chọn B �1 � 2 Câu 3: Ta có y  x  2mx  m   x   m  x  1 � điểm cố định � ; � Chọn C �2 � Câu 4: Hàm số y  Hàm số y  2x 1 có tâm đối xứng  3;  � d  13 x3 1 x có tâm đối xứng  1; 1 � d  1 x  x  x � y "  12 x  6; y "  � x  Hàm số y  x  x  có y � � y   nên có tâm đối 2 26 �1 � xứng � ;  �� d  �2 � Hàm số y   x  3x  có y�  3x  � y "  6 x; y "  � x  � y  2 � d  chọn A 11 3x     x   11 � x  5 � y  11 � � Câu 5: y  x   3  1� 2 �� � �� � 3x   x  1 � y  3 3x  3x  � 3x  � � � Chọn B 13 3x  1   x   1 x0� y5 � 13 � � Câu 6: y  x   3  1� 2 �� � �� � 3x   13 � x  4 � y  3x  3x 1 � 3x  � � Chọn C x   �1 � x  10  1 �� x   �3 Chọn D Câu 7: y  � x 1 x 1 � x   �9 � 3 Câu 8: y  x  3x  mx  m  x  3x  m  x  1 � điểm cố định  1; 4  Chọn A � a2� a; Câu 9: Tiệm cận đứng d1 : x  , tiệm cận ngang d : y  Giả sử M � � � a2� Ta có d  M , d1   d  M , d   a   Xảy a   4 �2 a  4 a2 a2 � a  0 l  �  a  2  � � Chọn D a2 a 4� y 3 � x   �1 � � x   �2 � � x   �3 x  x  10 12  2x 1 �� Câu 10: Ta có y  Chọn B x   �4 x2 x2 � � x   �6 � x   �12 � x  � y  2019 � 4 � I  0; 2019  Chọn D Câu 11: y  x  mx  m  2018  x  2018  m  x  1 � � x  1 � y  2019 � 3 2 Câu 12: y  x   m  3 x   2m  1 x  3m   x  3x  x   m  x  x  3 x  1 � Điểm cố định x  x   � � Chọn A x3 �  x  12 x  � y "  12 x  12 Câu 13: Với hàm số y  x  x  x  ta có y� Ta có y "  � x  � y  2 � I  1; 2  tâm đối xứng chọn B �  3a � a; Câu 14: Tiệm cận đứng d1 : x  , tiệm cận ngang d : y  Giả sử M � � � 3 a � Ta có d  M , d1   a  , d  M , d   a 3 Mà d  M , d1   2d  M , d  � a   � a  � M  7;5  16 �  a  3  16 � � a  1 � M  1;1 a3 � Tâm đối xứng  3;3 � d  Chọn B Câu 15: Ta có y  x   �1 � 2x 1  2 �� Chọn C x   �3 x 1 x 1 � � 2a  � Câu 16: Gọi M �a; � a �1 thuộc đồ thị  C  � a 1 � Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y  Ta có: d  M ; x  1  a  , d  M ; y    2a  2  a 1 a 1 Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là: d  a   Dấu xảy � a   � M  3;  a3 � �  a  1  � � �� Chọn A M  1;0  a  1 � a 1 � � 2a  � � a �2  thuộc đồ thị  C  � a2 � a; Câu 17: Gọi M � 4 �2 a   a 1 a 1 Khoảng cách từ M đến d : y  x  là: d  M ; d : x  y      3a  2a  6 a2 32   1 2a   3 3a    3 a  2  2 a2 a2 10 10 � � Ta có: � (Bất đẳng thức 3 a    � 4.3 a   36 x  y �4 xy )     a  2� a2 � � � 3 a  2  �6 � a2 �6 � � Do  a    a2 � 3 a  2  �6 a2 � Suy  a     �4 � d  a2 10 Dấu xảy � a   Câu 18: Ta có: y  a  3 � b  � �  a  2  � � � a  b  Chọn B a  1 � b  a2 � x  x  2     x2 x2 x2 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  Gọi A  x1; y1  , B  x2 ; y  điểm thuộc nhánh  C  ta có: x1   x2 � y   � 2 � a � AB   x1  x2    y1  y2  Đặt x1   a, x2   b  a, b   � � �y   �2 b � � �1 �   a  b   �  �  a  b  � 1 � �  ab  � �a b � � � 2 �  a  b  �4ab � Ta có: � 4  4  2 �2 2  � ab ab � ab AB  4ab 16 ab ab � � � a  b  Chọn C Dấu xảy � �2  � �ab � 3a  � � a �1 thuộc đồ thị hàm số � a 1 � a; Câu 19: Gọi M � Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  : x  AB a2 � � M  2;7  �� Ta có: d  M ;    a   � � Chọn D a  M  0;1 � � Câu 20: Giao điểm đường tiệm cận I  1;1 tâm đối xứng đồ thị hàm số Hàm số cho hàm đồng biến, có trục đối xứng đường phân giác đường tiệm cận có phương trình y  x y   x Do tính chất đối xứng nên AB  d : y   x � AB : y  x  m Phương trình hồnh độ giao điểm  C  AB là: �x �1 x2 �  xm� � x 1 �g  x   x  mx  m   �   m2   m  2  � Điều kiện để AB cắt  C  điểm phân biệt là: �  * �g  1  �0 �x1  x2  m �x1 x2  m  Khi gọi A  x1; x1  m  ;B  x2 ; x2  m  , theo Viet ta có: � Tam giác ABC ln cân I suy IH  � m2  3 AB � d  I ; AB   AB 2 2 2  x1  x2  �  m    �   m  4m    x1  x2   x1x2 � � � � m  4m  14 � AB   m  4m    Chọn A x0 � � A  0;2   3x  x  � � �� Câu 21: Xét hàm số y  x  3x  ta có: y� hai điểm cực x2 � B  2; 2  � trị đồ thị hàm số y  x  3x  �MA  t   t  3 � � MA  MB � 2t  6t   2t  2t  Gọi M  t ; t  1 �d � � �MB   t     t  1 � � 4t  � t  � M  1;0  Chọn A Câu 22: Giả sử  Pm  : y  mx   m  3 x  m   m �0  tiếp xúc với đường thẳng d : y  ax  b � mx   m  3 x  m   ax  b � Khi hệ phương trình � vói m mx  m   a   � �x  a  � Xét phương trình 2mx  2m   a � m  x     a với m � � Thế vào phương trình đầu hệ ta được: m   m  3  m    b � b  2 Vậy họ parabol cho tiếp xúc với đường thẳng d : y  x  điểm  1;4  Khi d qua điểm  0; 2  Chọn A    3 Câu 23: Gọi M a;  a  3a  a  , N b; b  3b  b    a �b  Tiếp tuyến M N song song với y�  a   y�  b   a �b  � 3a  6a   3b  6b  � 3a  3b   a  b   �  a  b   a  b    a  b   �  a  b   a  b     * Do a �b �  * � a  b      3 2 Suy yM  yN   a  b  a  b   a  b      a  b   a  ab  b    a  b     2  a  ab  b   3(a  b )    a  b    10 �x  xN   xU � �M � U  1;5  trung điểm MN �yM  y N  10  yU Tính chất: Gọi M , N hai điểm di động đồ thị  C  hàm số y  ax  bx  cx  d  a �0  cho tiếp tuyến  C  M N song song với MN ln qua điểm uốn Chọn D Câu 24: Ta có: y  x   x  3  8   3 x3 x3 x 3 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  � y   � 2 � a � MN   x1  x2    y1  y2  Đặt x1   a, x2   b  a, b   � � �y   �2 b � 64 � �1 �   a  b   64 �  �  a  b  � 1 � �  ab  � �a b � � � 2 �  a  b  �4ab �   64 Ta có: � 64 16  2 �2 2  � ab ab � ab AB  4ab 16 ab 64 ab � � � a  b  2 Chọn C Dấu xảy � �8  � �ab Câu 25: y  2x   x  2  5   2 x2 x2 x2 AB Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  ... ? ?9 b  a  3a  4a  �  2a  8a � � a  2; b  ? ?9 � B  loai  Vậy điểm A, B cần tìm là: A  2; ? ?9  ; B  2; ? ?9  ngược lại Ví dụ 2: Tìm đồ thị hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị. .. hồnh độ giao điểm AB đồ thị  C   Dựa vào điều kiện K để tìm giá trị tham số m Ví dụ 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  x  điểm A  3; 2  cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa...  m  6m    Chọn B  Dạng 4: Tìm điểm cố định điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số  Tìm điểm cố định: Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà đồ thị hàm số y  f  x  qua g  x0 ; y0 

Ngày đăng: 01/07/2022, 15:55

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w