Chuyên đề Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua một điểm, một đường thẳng

Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trước qua một điểm, qua một đường thẳng” thì không được trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác các sách t[r]

I Đặt vấn đề Trong chương trình Toán THPT bài toán hàm số đa dạng và phong phú, đã có nhiều sách viết các chuyên đề xung quanh hàm số Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trước qua điểm, qua đường thẳng” thì không trình bày sách giáo khoa, rải rác các sách tham khảo, số tác giả đã viết số bài tập với lời giải dựa trên công thức đổi trục toạ độ, với phương pháp này học sinh phải nhớ công thức đổi trục toạ độ, nhớ tính chất hai hàm số đối xứng qua gốc toạ độ, qua trục hoành, qua trục tung Với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trước qua điểm, qua đường thẳng” Nếu dừng lại cách giải thông thường nhờ phương pháp đổi trục toạ độ thì đó là điều bình thường đây ta hãy nhìn vấn đề góc độ khác, cách giải khác để giải bài toán hiệu và có thÓ më réng sang c¸c bµi to¸n phøc t¹p h¬n Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp “Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua mét ®iÓm, mét ®­êng th¼ng” Tôi hy vọng phương pháp này giúp các em học sinh giải tốt các bài tập cùng dạng các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng và khích lệ tinh thần say mê sáng tạo học tập các em, góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh Tỉnh nhµ II Néi dung 1/ Lý thuyết: Xét hệ trục toạ độ Oxy + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng qua I(x0; y0)  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  x  y  y  y + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng qua đường thẳng x = a  I lµ trung ®iÓm cña AB; víi I(a; y1) x  x  a   y  y + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng qua đường thẳng y = b  I lµ trung ®iÓm cña AB; I(x1; b) x  x   y  y  b Lop12.net + Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng qua đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) (d)  I lµ trung ®iÓm cña AB; I(x0; y0) lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®­êng th¼ng x  x  x   y  y  y 2/ C¸c bµi to¸n Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xøng víi (C) qua ®iÓm I(x1; y1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  x x  x  x      A(2 x1  x;2 y  y ) y  y  y y  y  y   1 Mµ A  (C)  2y1 – y = f(2x1 – x)  y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m VÝ dô 1: Cho y = x3 – 3x + (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  x I  x   x      A(2  x;2  y ) y  y  y  y   y   I Do A  (C)  – y = (2 – x)3 – 3(2 – x) +  y = x3 – 6x2 + 9x - KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = x3 – 6x2 + 9x – Lop12.net VÝ dô 2: Cho y = 2x  (C) x 1 Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1) Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  x I  x   x      A(4  x;2  y ) y  y  y I  y   y Do A  (C)  – y = 2(4  x)  y=  x 1 x3 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = x3 * Ngay với đường cong không là đồ thị hàm số, ta giải quyÕt bµi to¸n dÔ dµng nhê c«ng thøc trung ®iÓm; Ta xÐt vÝ dô sau: x2 y2  VÝ dô 3: Cho (E): =1 I(3;2) Tìm phương trình đường cong (C) mà (C) đối xứng với (E) qua điểm Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (E) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  x   x      A(6  x;4  y ) y  y  y   y (6  x ) (  y )  1 Do A  (E)  ( x  6) ( y  4)  1 Kết luận: Đường cong cần tìm có phương trình Bµi to¸n 2: Cho hµm sè y = f(x), (C) Lop12.net Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng y = b Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(x0; b) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = b  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x x  x      A(x;2 b  y ) y  y  b y  b  y Mµ A  (C)  2b – y = f(x)  y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m VÝ dô 1: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng y = Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(x0; 1) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y =  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x x  x      A(x;2  y ) y  y  y   y Mµ A  (C)  – y = x3 – 3x2 +  y = -x3 + 3x2 KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = -x3 + 3x2 VÝ dô 2: (Häc viÖn kü thuËt qu©n sù – 1999) Cho hµm sè y = x2  x  (C) x2 Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(x0; 2) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y =  I lµ trung ®iÓm cña AB Lop12.net x  x x  x      A(x;4  y ) y  y  y   y   Mµ A  (C)  – y = x2  x  x2 x  3x   y= 2x x  3x  KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = 2x Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x = a Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(a; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x = a  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  a x  a  x      A(2a  x; y ) y  y y  y Mµ A  (C)  y = f(2a-x)  y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m VÝ dô 1: Cho hµm sè y = x3 – 3x2 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x=-1 Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(-1; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x = -1  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  2 x  2  x      A(2  x; y ) y  y y  y   Mµ A  (C)  y = (-2 – x)3 – 3(-2 – x)2 +  y = -x3 – 9x2 – 24x - 18 Lop12.net KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = -x3 – 9x2 – 24x - 18 VÝ dô 2: Cho hµm sè y = 2x  (C) x2 Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x = Bµi gi¶i: Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) I(1; y0) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x =  I lµ trung ®iÓm cña AB x  x  x   x      A(2  x; y ) y  y y  y   Mµ A  (C)  y =  y= 2(2  x)  2x2 2x  x KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = 2x  x Bµi to¸n 4: Cho hµm sè y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) + Viết phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) y= 1 (x – x0) + y0 a (Δ) + Tọa độ giao điểm I (Δ) và (d) là nghiệm hệ: y  ax  b   1 y  (x  x )  y  a x    I y I  + B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d)  I là trung điểm AB Lop12.net x  x  x I x  x I  x     y  y  y I y  y I  y  A(2xI – x; 2yI – y) + Do A  (C)  2yI – y = f(2xI – x)  y = g(x) KÕt luËn: y = g(x) lµ hµm sè cÇn t×m VÝ dô 1: (§¹i häc l©m nghiÖp – 2001) Cho hµm sè y = 3x  (C) x3 Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đường thẳng (d): x + y – = Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) + Phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là: y = (x – x0) + y0 (Δ) + Tọa độ giao điểm I (Δ) và (d) là nghiệm hệ: y   x   y  x  x  y  x0  y0  x  I    y   x  y  I + B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d)  I là trung điểm AB x  x  x I   x  y x   y     y  y  y I   x  y y   x  A(3-y; 3-x) + Do A  (C)  - x =  y= 3(3  y )   10  3 3y3 y 10 x KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ y = 10 x Lop12.net VÝ dô 2: Cho hµm sè y = x2 + 2x + (C) Tìm phương trình đường cong (P) mà (P) đối xứng với (C) qua đường th¼ng (d): y = x – Bµi gi¶i: + Gäi A(x0; y0) lµ ®iÓm bÊt kú trªn (C) + Phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là: y = - (x – x0) + y0 (Δ) + Tọa độ giao điểm I (Δ) và (d) là nghiệm hệ: y  x   y   x  x  y  x0  y0  x  I    y    x  y  I + B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d)  I là trung điểm AB x  x  x I   x  y x  y      y  y  y I  1  x  y y  x   A(y + 1; x - 1) + Do A  (C)  x - = (y + 1)2 + 2(y + 1) +  x = y2 + 4y + Kết luận: Đường cong cần tìm có phương trình x = y2 + 4y + (P) * (C) là Parabol có đỉnh điểm M(-1; 2) và có trục đối xứng là đường thẳng x = -1; (P) là Parabol có đỉnh điểm N(2; -2) và có trục đối xứng là ®­êng th¼ng y = -2 Chú ý: Các bài toán 1, 2, có thể giải phương pháp đổi trục toạ độ; Ta lấy ví dụ: (Học viện kỹ thuật quân – 1999) x2  x  Cho hµm sè y = (C) x2 Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = Bµi gi¶i: + §æi hÖ trôc Oxy vÒ hÖ trôc IXY gèc I(0; 2) theo c«ng thøc: x  X  y   Y Lop12.net X2  X  + Hàm số đã cho trở thành + Y = X2 X2  X  = F(X)  Y= X2 + Do hàm số cần tìm đối xứng với (C) qua đường thẳng y = (trục hoành đối víi hÖ IXY) nªn hµm sè cÇn t×m cã d¹ng: Y = - F(X) X2  X   Y=X2 x2  x   y–2=x2 x  3x   y= 2x x  3x  KÕt luËn: Hµm sè cÇn t×m lµ: y = 2x Nhận xét 1: Bạn đọc tự so sánh cách giải này với cách giải dùng tính chất trung điểm (Bài toán – ví dụ 2) để thấy tính ngắn gọn việc trình bày; sử dụng tính chất trung điểm, học sinh không phải dùng đến các tính chất khác hµm sè Nhận xét 2: Sử dụng phương pháp đổi trục toạ độ còn có hạn chế thứ đó là: giải (C) là đồ thị hàm số; đường cong đã cho không là đồ thị hàm số mà muốn sử dụng phương pháp đổi trục toạ độ ta phải tách đường cong phần cho đường cong phần đó ứng với hàm số xác định sau đó áp dụng công thức đổi trục x2 y2  Ta xÐt mét vÝ dô: (E) = (1) Rõ ràng đương cong (E) không là đồ thị hàm số (vì tồn đường thẳng song song với Oy mà cắt (E) hai điểm) Để tìm đường cong đối xứng với (E) qua điểm hay qua đường thẳng theo phương pháp đổi trục toạ độ ta ph¶i lµm nh­ sau: + (1)  y =  36  x Khi đó ta có hai hàm số: y = f(x) = 36  x 10 Lop12.net y = g(x) =  36  x Sau đó ta áp dụng công thức đổi trục toạ độ cho hàm số, cuối cùng hợp l¹i ta ®­îc ®­êng cong cÇn t×m Vậy phương pháp đổi trục toạ độ đường cong không là hàm số thì lời giải rõ ràng dài dòng và phức tạp Trong đó sử dụng tÝnh chÊt trung ®iÓm ta cã lêi gi¶i qu¸ ng¾n gän vµ hiÖu qu¶ (xem bµi to¸n – vÝ dô 3) 3/ Bµi tËp luyÖn tËp Bµi 1: Cho hµm sè y = x2 + 2x – (P) 1, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (P) qua điểm I(-1; 1) 2, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng x=3 3, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng y = -1 4, Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng x + y + = Bµi 2: Cho y = x + (C) x 1 1, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1) 2, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đường thẳng x = -1 3, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 4, Tìm hàm số mà đồ thị nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = x + x2 y2  1 Bµi 3: Cho (E) 16 Tìm phương trình các đường cong (E1), (E2), (E3), (E4) cho 1, (E1) đối xứng với (E) qua điểm I(4; 5) 2, (E2) đối xứng với (E) qua đường thẳng x = 3, (E3) đối xứng với (E) qua đường thẳng y = -3 4, (E4) đối xứng với (E) qua đường thẳng x – y = III KÕt luËn + Nếu nhìn nhận bốn bài toán trên theo cách nhìn thông thường (đổi trục toạ độ) thì đó là bài toán riêng biệt: Đối xứng qua gốc toạ độ, đối xứng qua trục hoành, đối xứng qua trục tung (xét hệ toạ độ mới) Xong sử dụng tính chÊt trung ®iÓm th× bèn bµi to¸n trªn ®­îc xem nh­ lµ mét, nh­ vËy tÝnh chÊt trung điểm đã là phương pháp chung cho bốn bài toán đó, học sinh vận dụng dẽ dàng 11 Lop12.net và đạt hiệu tốt quá trình làm bài Hơn phương pháp trung điểm còn khắc phục khó khăn phương pháp đổi trục toạ độ các đường cong chưa là đồ thị hàm số + Trong quá trình giảng dạy ngoài việc đổi phương pháp giảng dạy, giáo viên phải thường xuyên làm giàu thêm chi thức mình thông qua các hoạt động chuyên đề, dự v.v Mỗi nét thông minh sáng tạo học trò, lời giải hay, câu hỏi tưởng trừng ngớ ngẩn v.v… Tất điều đó giúp người thày tự điều chỉnh phương pháp nội dung để kết giảng dạy ngµy mét cao h¬n + Chuyên đề này tôi đã áp dụng giảng dạy nhiều năm, là các em häc sinh líp 12, c¸c em tá rÊt hµo høng tiÕp thu – vËn dông tèt vµ gi¶i quyÕt cã hiệu các bài tập dạng này; Tuy nhiên tôi không bỏ qua việc giới thiệu phương pháp đổi trục toạ độ để kiến thức các em hoàn chỉnh phương diện; qua đó các em thấy tính tư mềm dẻo và sáng tạo toán học là ®iÒu rÊt cÇn thiÕt vµ t¨ng thªm tÝnh say mª, t×m tßi, s¸ng t¹o häc tËp cña c¸c em + Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý cho chuyên đề này 12 Lop12.net