Đang tải... (xem toàn văn)
BIÊN SOẠN THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED VN|1 CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Vi TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỀ BÀI Câu 1 Cho hàm số có đồ thị là và Tiếp tuyến của cắt hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số lần lượt tại sao cho chu vi tam giác đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó chu vi nhỏ nhất của tam giác là A B C D Câu 2 Cho hàm số có đồ thị là Có bao nhiêu điểm thuộc sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm c.
CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN Vi TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỀ BÀI Câu 1: Cho hàm số x2 x có đồ thị C I (1;1) Tiếp tuyến C cắt hai đường tiệm y C A ; B cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ cận đồ thị hàm số Khi chu vi nhỏ tam giác IAB A Câu : Cho hàm số B y C tam giác nhận gốc toạ độ làm tâm đường tròn nội D C (3m 1) x m m xm Cho hàm số m tham số khác Gọi S tập hợp giá trị thực m để giao điểm đồ thị với trục hồnh, tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x y 2020 Khi tổng giá trị phần tử thuộc S y A Câu 4: D x2 x có đồ thị C Có điểm thuộc C cho tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận tiếp A B Câu 3: C B D C 1 C Gọi A, B hai điểm phân biệt thuộc Cho hàm số y x 3ax b có đồ thị C cho tiếp tuyến C A, B có hệ số góc Biết khoảng cách từ gốc 2a a b tọa độ O đến đường thẳng AB Giá trị nhỏ biểu thức A B C D Câu 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục 0; � thỏa mãn f x 1 3x f 1 y f x x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ f� x 1 A y 9 x Câu 6: Cho hàm số B y x y f x C y x D y 9 x nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục khoảng 0; � , đồng �f x � � f x x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x thời thỏa mãn � điểm có hồnh độ x A y x 237 | Phan Nhật Linh B y x 5 C y 5 x y x 5 D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ Câu 7: CHUYÊN Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho parabol ( P ) : y x m x 3m cắt đồ C : y x3 3x ba điểm phân biệt A, B, C 3;30 mà tiếp tuyến với C A thị B vng góc với Tính tổng phần tử S A 1 B C D Câu 8: Cho hàm số I 1;2 y tới tiếp tuyến A 1 Câu 9: 2x 1 x có đồ thị C Điểm M a ; b với a cho khoảng cách từ điểm C M lớn Khi a b B Cho hàm số y C D x2 x có đồ thị C Có điểm M thuộc trục Oy, có tung độ số C cho tiếp điểm nguyên âm thỏa mãn từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị tương ứng nằm phía trục Ox ? B A Câu 10: Cho hàm số C y f x x 3mx 2mx 16m D có đồ thị Cm Gọi M điểm cố định C C có tung độ nguyên m tiếp tuyến m điểm M Gọi S tập giá trị tham số m để tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Tính tổng phần tử S 12 11 A B C D y x 1 x có đồ thị (C ) Gọi M điểm nằm đồ thị (C ) cho tiếp tuyến Câu 11: Cho hàm số (C ) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có tâm đường trịn ngoại tiếp nằm đường thẳng : 3x y Tính độ dài đoạn thẳng OM , biết điểm M có tung độ dương A OM 34 B OM Câu 12: Tiếp tuyến đồ thị hàm số diện tích A 35 B 39 Câu 13: Cho hàm số y f x xác D OM C OM y 5x 1 x với hai tiệm cận tạo thành tam giác có C 32 định có D 33 đạo hàm � thỏa mãn � �f x 1 � � � �f x � � x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ 20 20 y x y x 21 21 21 21 A B C y 15 x 21 21 D y 20 x 21 21 Tuyển chọn toán VD-VDC | 238 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ f x g x Câu 14: Cho hàm số , CHUYÊN f x 3 g x x 10 x có đạo hàm � thỏa mãn f (4) f � Tiếp tuyến hàm số y g ( x) điểm có hồnh độ với x �� Biết x A y 13 x Câu 15: Cho hàm B y 13 x y f x số có đạo C y 13 x hàm � D y 13x thỏa mãn phương trình f x x f x , x �� d : y a x b tiếp tuyến đồ thị C hàm số Gọi y f x A 5 x Khi a b B C : y Câu 16: Cho đường cong hai điểm? A Câu 17: Cho hàm số y D 1 C x x Có đường thẳng d tiếp xúc (C ) B C D 3 x (2m 1) x ( m 3) x có đồ thị Gọi S tập hợp tất giá trị m cho tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ song song với đường thẳng y 5 x Tổng phần tử S 7 C B 2 A Câu 18: Cho hàm số y 4 D 3x x có đồ thị C Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m C hai điểm phân biệt A , B cho tiếp tuyến với C để đường thẳng d : y x m cắt 201 k1 k2 k k A B có hệ số góc , thỏa mãn Tổng giá trị tất phần tử S thuộc khoảng đây? A 10;0 Câu 19: Cho hàm B số f x 1;10 liên C tục 11; 20 � 1 2020k12020 k22020 k1 k2 D có đồ 21;30 thị C Biết �x � �1 � f � � f � � , x ��\{0;1} C x x �x � �x � Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị x A y x 239 | Phan Nhật Linh B y x C y 2 x D y x CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ y Câu 20: Cho hàm số CHUYÊN x 1 x Giả sử M có hồnh độ m, m thuộc đồ thị C cho tiếp tuyến C S 12 M cắt trục tung hoành điểm phân biệt A, B cho IAB I giao điểm đường tiệm cận Khi giá trị m thuộc khoảng sau đây? A 8; 25 B 23; C 6;9 D 15; 27 f x y f� x Câu 21: Cho hàm số đa thức hàm số chẵn Gọi Δ tiếp tuyến đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ Khẳng định sau đúng? A Δ vng góc với trục tung B Δ qua O C Δ song song với đường thẳng y x D Δ song song với đường thẳng y x x +m (C ) x + Gọi A , B giao điểm đồ thị (Cm ) với trục Câu 22: Cho đồ thị m hàm số Ox Oy Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (Cm ) A B Giá trị nhỏ y= k1 + k2 A C B D x7 x có đồ thị, gọi I tâm đối xứng Đường thẳng d : y ax b tiếp Câu 23: Hàm số tuyến của, biết d cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang M N cho IMN cân I Khi b có giá trị y A b b9 � � b 3 C � B b 13 Câu 24: Biết đồ thị hàm số y f x b 13 � � b 7 D � � có dạng parabol thỏa mãn điều kiện y y f 1 y f x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ A y 4 x, y 4 x B y x, y x C y 4 x, y x D y x, y 4 x Câu 25: Cho hàm số y f x f� x 1; f 1 độ đồ thị A k liên tục nhận giá trị dương khoảng 0; � Biết f� x 1� x x f x � � � Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh C hàm số: B 81 g x f x x C k 54 D 27 Tuyển chọn tốn VD-VDC | 240 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN C C Câu 26: Cho hàm số y f ( x) x x x m có đồ thị m Biết đồ thị m cắt trục hoành x , x , x x x2 x3 ba điểm A, B, C có hồnh độ , đồng thời tiếp tuyến A C song song với Viết phương trình tiếp tuyến B A y 3x Câu 27: Cho hàm số thuộc đồ thị B y x 30 C y 3x D y 3 x 30 2x x C , gọi I tâm đối xứng đồ thị C M a; b điểm y C Tiếp tuyến đồ thị C điểm M cắt hai đường tiệm cận đồ thị C 2a b hai điểm A B Để tam giác IAB có chu vi nhỏ tổng gần với số sau A B C D 3 Câu 28: Cho hàm số y x 1 x có đồ thị ( H ) Gọi M , N điểm thuộc ( H ) cho khoảng cách từ I (1;1) đến tiếp tuyến M , N Khi xM xN A B 2 C Câu 29: Cho hàm số điểm x A y f x 2x x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số g x f f x x 8 Câu 30: Cho hàm số B y f x y 12 x 5 thẳng y x Khi đó: 1 A B x �0 số y f x y f x để hai đường thẳng A f �4 Câu 32: Cho hàm số Gọi y f x d : y ax b 27 x 25 25 1 D C x Mệnh đề sau điều kiện cần đủ có tích hệ số góc 2 ? B 8 �f �8 C f �8 D f �8 f x f x x 3x có đạo hàm liên tục R , thỏa mãn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số độ Khi a 3b A B 1 C 241 | Phan Nhật Linh D y d ,d có đạo hàm x Gọi tiếp tuyến đồ thị hàm d1 , d 21 x 16 16 2x f x f 3x f x y g x xf x C y có đồ thị Giả sử tiếp tuyến điểm có hồnh độ x đường A lim Câu 31: Cho hàm số D y f x D điểm có hồnh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN C Câu 33: Cho hàm số y x x 28 có đồ thị Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên M m; 4 C tham số m cho từ kẻ tiếp tuyến tới Số phần tử tập S B A Câu 34: Cho hàm số y f x y x f x 1 C D d d có đạo hàm � Gọi , tiếp tuyến đồ thị hàm số y xf x 1 d d điểm có hồnh độ Biết hai đường thẳng , f 1 có hệ số góc 2020 2021 Giá trị bằng: 2020 2021 A B C D 1 x4 C Tiếp tuyến C điểm hai tiếp Câu 35: Cho hàm số y x 3x có đồ thị tuyến khác điểm A B tạo thành tam giác Biết tung độ tiếp điểm khơng âm, tổng hoành độ A B thuộc khoảng sau đây? A 1; B Câu 36: Cho hàm số y 0;1 C 1; D 2; 1 x 1 x có đồ thị C Trên đồ thị C có cặp điểm mà tiếp tuyến hai điểm song song với đồng thời khoảng cách cặp điểm ? A B C D Câu 37: Cho hàm số A 6; 4 y 2x x có đồ thị C Trên đồ thị có điểm M mà khoảng cách từ đến tiếp tuyến đồ thị C B 5;1 điểm M gấp hai lần khoảng cách từ điểm C điểm M ? đến tiếp tuyến đồ thị A B C D Câu 38: Cho hàm số y f ( x) ax bx cx d có bảng biến thiên hình vẽ Gọi (C ) đồ thị hàm số y f ( x) Hỏi có điểm M thuộc (C ) cho tiếp tuyến (C ) điểm M cắt trục hoành trục tung A B thỏa mãn tam giác OAB vuông cân? A B C D Tuyển chọn tốn VD-VDC | 242 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN S Gọi A, B, C điểm phân biệt S có tiếp Câu 39: Cho hàm số y x x 5 có đồ thị tuyến với parabol S P điểm song song với Biết A, B, C nằm có đỉnh I 1; y0 C B 4 A Câu 40: Cho hàm số Tìm y0 y f x y g x D liên tục � có đồ thị hình vẽ sau Biết đường y f x y g x H 2;3 thẳng tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số điểm � g x h x sin f x g x cos � �f x � Đạo hàm hàm số A 8 B C 4 Câu 41: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục � � � �tại điểm x0 D 8 �; a � x a f � x x �a g x � mx x a � Đặt , với m �0 y g x x a � 2; C Biết hàm số có đạo hàm tiếp tuyến với đồ thị y f 2 x 2 x C Oy có hệ số góc hàm số giao điểm giá trị sau 1 A B C D Khi m C Giả sử điểm M a ; b thuộc C mà từ kẻ Câu 42: Cho hàm số y x x có đồ thị C Tính a b tiếp tuyến đến A B C D 1 C : Câu 43: Có bao nhiểu điểm M trục Ox mà từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y x3 x cho có hai tiếp tuyến vng góc với A B C 243 | Phan Nhật Linh D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ Câu 44: Cho hàm y f x số xác CHUYÊN định có đạo hàm �, thỏa mãn � �f x � � f x 21x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x x 1 điểm có hồnh độ A y 3x B y 3x Câu 45: Cho hàm số y f x C y 3x D y 3x f x x2 2x 4 f x � xác định, có đạo hàm thỏa mãn f x �0, x �� y f x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x A y 2 x B y x C y x D y x Câu 46: Cho P : y m x2 H :y m x m �0 P Có giá trị m để tiếp tuyến H giao điểm chúng tạo với góc 60 ? A B C D �5 � A� ; � C Biết từ điểm �2 �kẻ ba tiếp Câu 47: Cho hàm số y x 3x có đồ thị tuyến đến đồ thị độ x1 ; x2 �3 A C Gọi k1 ; k2 hệ số góc hai tiếp tuyến điểm có hoành tiếp tuyến Gọi B E x1 ; k1 F x2 ; k2 d O; EF , Khi 3 C D C Trên C có cặp điểm A, B phân biệt Câu 48: Cho hàm số y x 3x có đồ thị cho tiếp tuyến điểm có hệ số góc k đường thẳng AB ln có điểm chung với đường trịn T : x 1 y2 2021; 2021 Số phần tử tập A 2024 Gọi K tập hợp giá trị k nguyên thuộc đoạn K là: B 2025 C 2019 Câu 49: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số A B Câu 50: Cho hàm số f x x3 12 x C2 Số giá trị tham số m A B y x3 3x C có đồ thị để đồ thị C1 D 4037 vng góc với trục tung? D C1 , hàm số g x m C2 C x2 có đồ thị tiếp xúc với D Tuyển chọn toán VD-VDC | 244 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN x 3x C : y x P : y ax bx a �0 Từ điểm A 4;1 kẻ tiếp Câu 51: Cho tuyến tới C Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến P có đỉnh I cắt Ox M k1;0 N k2 ;0 điểm Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IMN 25 161 19 A B 13 C 36 D y x ax b C Gọi M , N hai điểm phân biệt thuộc Câu 52: Cho hàm số có đồ thị C cho tiếp tuyến C M , N có hệ số góc Biết khoảng cách từ gốc P 2a a 2b tọa độ O đến đường thẳng MN Giá trị nhỏ biểu thức A B C D Câu 53: Cho hàm số f x x x 4m m g x f f x A Câu 54: Cho hàm số tiếp xúc với trục Ox B y f x Có giá trị tham số m để hàm số C D xác định liên tục �, thỏa mãn f ' x f x x2 3x x f 1 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ A y 16 x 44 B y 16 x 44 C y 16 x 20 Câu 55: Cho đa thức f x với hệ số thực thỏa mãn điều kiện D y 16 x 20 f x f x x , x �� Biết y f x tiếp tuyến điểm có hồnh độ x đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác đó? A B C D Câu 56: Cho hàm số y x x có đồ thị C Gọi A x A ; y A , B xB ; yB ( x A �xB ) điểm C x x mà tiếp tuyến A , B song song với AB 2 Tích A B A 2 B C D Câu 57: Cho hàm số f x x x Cho điểm M a; b cho có hai tiếp tuyến đồ thị hàm y f x số qua điểm M , đồng thời hai tiếp tuyến vng góc với Biết điểm M ln thuộc đường trịn cố định, bán kính đường trịn A 245 | Phan Nhật Linh B C D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN C : y Câu 58: Trên đường thẳng d : y x có điểm kẻ đến đồ thị tiếp tuyến A B C D Vô số Câu 59: Cho hàm số y f x x3 x 1 f x f x 12 x xác định có đạo hàm � thỏa mãn x �� Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ tạo với hai trục Ox , Oy tam giác có diện tích S B A Câu 60: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số tam giác vuông cân A B D C y x x mà tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ D C C Câu 61: Cho hàm số y x ( m 1) x 3mx 2m có đồ thị m , biết đồ thị (Cm ) qua 2020; 2020 để (Cm ) hai điểm cố định A, B Có số nguyên dương m thuộc đoạn có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng AB ? A 4041 B 2021 C 2019 D 2020 ax b x có đồ thị cắt trục trung điểm A 0;1 , tiếp tuyến A có hệ số góc Câu 62: Cho hàm số 3 Khi giá trị a, b thỏa mãn điều kiện sau: y A a b B a b C a b D a b C điểm A 1; m Gọi S tập hợp tất giá trị Câu 63: Cho hàm số y x x có đồ thị C Số phần tử nguyên tham số m để qua A kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị S A Câu 64: Cho hàm số B y f x có đồ thị đường cong C D C , biết đồ thị f� x hình vẽ Tuyển chọn toán VD-VDC | 246 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN � g x cos f x g x f x g x � sin � � f x � � h ' x �� g x � �� � �� f x � g x sin � � f x cos f x g x � x g x g� x f x � � �f � � � � � � � �f � � x g x g� x f x � � � � � � � f x � � � � ��2.2 2.2 � � h 3 cos 4 2.2 2.2 sin � � � � �2 �� � 8 Câu 41 y g x Hàm số có đạo hàm x a suy hàm số liên tục x a lim g x lim g x � a a f �a m.a x �a � m.a � a Khi x �a �xf � x x �0 g x � y g x mx x � Suy , với m �0 Hàm số có đạo hàm x g x g 0 xf � x f �0 g �0 lim lim x0 x x �0 x �0 Ta có ; g x g 0 mx g �0 lim lim m x0 x �0 x �0 x y g x m f� 0 Hàm số có đạo hàm x suy C A 0; f Tiếp tuyến tiếp xúc với Xét hàm số y h x f 2 x 2 x , ta có � � � � f � 2 x 2 x � 2 x 2 x f � 2 x 2 x �2 x 2 x � � f � 0 � f � h� 0 0 2 Theo đề, hệ số góc tiếp tuyến , suy Ta ta m h� x Câu 42 � Ta có y 3 x Điểm M � C � M a; a 3a y k x a a 3a d k M Gọi đường thẳng qua hệ số góc có dạng: 3 � � x x k x a a 3a � C d Khi tiếp xúc với �3 x k có nghiệm Suy x3 x 3x x a a3 3a � x 3ax a3 xa � � � a � x � x a x a 1 � 265 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ Để từ M kẻ tiếp tiếp đến điểm Câu 43 M 0; Gọi điểm CHUN C 1 có nghiệm a a �a0 suy 2 Suy a b M a ;0 �Ox Khi tiếp tuyến d qua M a ;0 y k x a d C Điều kiện tiếp xúc � � x x k x a � 3 x 3x k � x 3x 3x x a � x 3x 3x x a �f� � x 1 x x x 1 � x � � x 1 x x x 1 x 1 x a 2 a 1 x a � � � x 1 x x � x a 1 x a � 2 x 3a x 3a � � � � x 1 � � � x 1 x 1 � � �� �� 2 x 3a x 3a x 3a x 3a 1 � � C có tiếp tuyến 1 phải có nghiệm phân biệt x �1 Để ��a � � � 3a 3a 2 � 3a 3a �� �� � �� a � 6a �0 � � �� �2. 1 3a 1 3a �0 � �a �1 Do f� 1 nên để có hai tiếp tuyến vng góc với f � x1 f � x2 1 , với x1 , x2 Vì nghiệm Ta có 1 1 f � x1 f � x2 3x12 3x22 x1x2 x12 x22 2 2 � 1 x1 x2 � 9 �x1 x2 x1x2 � � � 1 x1x2 x1 x2 18 x1x2 3a � x1 x2 � � � �x x 3a 1 áp dụng định lý vi-et ta có � ta Từ phương trình Thay vào 2 3a �3a � �3a � 28 1 9.� 9 �a � � � 18 � � � � � 27a 28 27 � 28 � M� ;0 � 27 � � Vậy �f x � � f x 21x Câu 44 Xét phương trình � � f 1 f 1 � f 1 Với x �f x � � f x 21x Mặt khác � Tuyển chọn tốn VD-VDC | 266 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN � 3� x f � x 21 �f x � �f � � 3� 1 f � 1 21 � f � 1 21 � f � 1 �f 1 � �f � Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x0 y f� 1 x 1 f 1 � y x 1 � y 3x Câu 45 Lấy đạo hàm hai vế phương trình f x x x f x 1 ta được: 2 f x f � x 2x 2 f x 2 x2 x f � x 2 2 � �f f �2 f 2 f 0 1 x x Thay , vào ta được: � Trừ vế theo vế ta được: f f 2 f 2 f 0 �� �f f � �� �f f � � � �f f � � �f f �� �� �f f �f f � �� �f f � � �f � � f 0 f 2 f 2 f 2 �f Vậy nhận f f Với suy ra: � 4 f � � f � f f 16 Với suy ra: � ta được: Thay x , x 2 vào f 0 f 2 8 f � � � 0 f 2 f � 2 0 f � 2 �2 f f � � �� � 2 f f � �8 f � 8 f � 0 �2 f f � � 0 f � 2 �8 f � �� 0 f � 8 �4 f � � 2 �f � �� 2 �f � PTTT Câu 46 2; f : y x 2 � y 2x x2 m � xm� A m;1 x Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: m tọa độ giao điểm x2 2x m m � y1' H : y2 � y2' 2 x m m x Xét k1 ; k2 m m Do ta có hệ số góc tiếp tuyến A P : y1 Vì góc hai tiếp tuyến 60 nên k k tan 600 � m m � m � 1 k1k2 � 33 1 m m 267 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn Câu 47 � Ta có y 3x x Gọi M a; a 3a thuộc đồ thị C y 3a 6a x a a 3a d M Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số �5 � �5 � A� ; � �d � 3a 6a � a � a 3a �2 � Do �2 � �5 � � 3a 6a � a � a3 3a �2 � a3 � �� 4a 9a 1 � � 4a3 21a 30a x ; x �3 1 Do nên x1; x2 nghiệm phương trình � x1 � x1 x x � � �4 x1 x1 � � �1 4 �� �� � 3x �k1 x1 x1 �k x1 x � k1 1 � � 4 Ta có Tương tự k2 3x2 E x1; k1 F x2 ; k2 nên , thuộc đường thẳng có phương trình 9 d O; EF 3x y � 3x y 32 4 Khi Câu 48 Đường trịn T : x 1 y có tâm I 1; , bán kính R y x3 x � y ' x x � y '' x Điểm uốn M 1; M 1; Phương trình tiếp tuyến A B có hệ số góc k � A, B đối xứng qua Phương trình đường thẳng AB qua M có dạng: y a ( x 1) Ta có C : Đường thẳng AB có điểm chung với đường tròn �۳2 a � a2 T � d I ; AB �R x 1 � � x x a Phương trình hoành độ giao điểm: x x a( x 1) � � phải có hai nghiệm phân biệt khác , hay: Để tồn hai điểm A, B phương trình ' a � � 3 a �0 � � a 3 , suy ra: k y ' x1 y ' x2 3a Gọi x1 , x2 hai nghiệm Tuyển chọn toán VD-VDC | 268 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ �k �1 � �3 � �k 3 �3 �� � �� k �� k �3 �� � k 3 � � CHUYÊN k �9 � � 3 k �3 � 2021; 2021 Với k �9 , ta có 2013 giá trị k nguyên thuộc đoạn 2021; 2021 Với 3 k �3 , ta có giá trị k nguyên thuộc đoạn Vậy tập K gồm 2019 phần tử Câu 49 f x x3 x � f � x x2 � x � Đặt Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x đồ thị hàm số có tiếp tuyến vng góc với trục Oy tiếp tuyến qua � � �1 � ; 2� � ; 2� � �và � � hai điểm cực trị đồ thị hàm số � Câu 50 Hai đồ thị C1 C2 tiếp xúc hệ sau có nghiệm �x3 12 x m x (1) � � , x � 2;2 �f x g x � � mx x 12 (2) � � x g� x � �f � x2 m x3 12 x Từ ta có x2 x 12 x x2 Thay vào ta được: � 3x 12 x x 12 x x � x 12 x x 48 269 | Phan Nhật Linh x3 12 x x2 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN 2 x 12 x x 48 x x 12 0, x � 2;2 Ta có nghiệm nên phương trình vơ m để đồ thị C1 C2 tiếp xúc với Vậy khơng có giá trị tham số x 3x y x2 x 1 x 1 Câu 51 Ta có: Tập xác định: D �\ 1 y� 1 x 1 A 4;1 y k x 4 qua điểm d : C nghiệm hệ phương trình: Hồnh độ tiếp điểm d � �x x k x � � � k 1 (1) � x � 2 x2 k x 4 � x k x 1 3k x 1 x 1 Ta có: Tiếp tuyến C � 2 � � 1 � x 1 3k � x x 3k x � x 1 � � � x 1 x 1 3k � x 1 thay vào, ta có: � x2 �2 3k � �2 10 k 2� �k � � 12k 9k 8k � � � 9k 4k �2 10 � �2 10 � M� ;0 � ;0 � � �N� � � � � � � Suy , P : y ax bx nên ta có phương trình P : y 18 x x Vì M , N thuộc �2 80 � I � ; � MN 10 I đỉnh P nên �9 �; Ta có IMN cân I Gọi H chân đường cao IMN hạ từ đỉnh I Ta có IH d I , MN d I , Ox 80 Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp IMN HM IH MN IH � � � IM IM IM Ta có: sin NIM 2sin HIMcosHIM Tuyển chọn toán VD-VDC | 270 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN 2R Câu 52 MN IM IH HM sin � NIM IH IH �80 � �2 10 � � � � � �9 � � � 161 161 80 18 R 36 Vậy � Ta có: y x 3ax C M , N có hệ số góc nên hoành độ M , N nghiệm phương Do tiếp tuyến � 3x 3ax � x ax trình y� � 2� g x a �x a b � y � � x ax Chia đa thức cho đa thức phần dư � � � 2� y x ax �x a � � a �x a b 2 � � � � Hay � yM xM axM b � � � �y x3 ax b N N N Tọa độ M N thỏa mãn hàm số đề cho, nên ta có: � � � � 2� 1 � � 2� a �xM a b � a �xM a b �yM x M axM �xM a � � 2 � � �� � � � � � 1 � 2� �y x ax �x a � � a �xN a b � 1 a � xN a b N N N N � � � � �� � 2 � � � Hay � � 2� MN : � a �x y a b � � Khi phương trình đường thẳng MN ab d O; MN � � ab b a a 2 4 � 2� a � � � � Theo giả thiết Từ ta có Dấu " " xảy a �1 Vậy GTNN cần tìm Câu 53 P 2a a 2b 3a ab b a 2a a �7 Cách xm � f x � x m x m 4 � � � g x � x 4m � Ta có TH1: m m � m �f x m 1 � �f x m f x x2 4x � g x f x f x � �f x � � x 4x 2 tiếp xúc với trục Ox m 1 , khơng có nghiệm chung TH2: m �4۹ m g x 1 có nghiệm kép phương trình có Nên tiếp xúc với Ox phương trình nghiệm kép 271 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN 1 2 m2 3m 0, m �� có nghiệm kép � x x 3m m có nghiệm kép mà � nên khơng thỏa mãn có nghiệm kép � x x 5m m2 có nghiệm kép, mà ta có: � m 5m 0, m �� nên không thỏa mãn Vậy m thỏa mãn yêu cầu Cách xm � f x � � f x x x 4m m f� x x x 4m � nên 2 � �f f x Ox � � x f � g x f x có nghiệm � �f � tiếp xúc với trục � m2 f x 2 � � �f m 4m m VN � � �f m 4m m VN ��f x m �� ��f x m �� x2 �� ��f x �� có nghiệm �m2 Vậy m thỏa mãn Câu 54 f ' x Ta có: f x x x x � xf ' x f x x3 x � xf x ' x3 x � xf x x3 x dx x x3 C Suy ra: f 1 � f 1 C � C Do nên với x Suy ra: xf x x x � f x x x Tiếp tuyến điểm có hồnh độ có phương trình là: y f ' x f � y 16 x 12 � y 16 x 20 Câu 55 Ta có: f x f x x , x �� 1 t x � f t f t t , t ��� f x f x x , x �� Đặt � f x f x x2 � � f ( x) x x � f x f x x � ta có: � Từ f (1) ; f '(1) 3 Suy ra: Suy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y y f x điểm có hồnh độ x là: 4 x 1 � y x 3 3 Tuyển chọn toán VD-VDC | 272 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN �1 � � 2� B� 0; � A � ;0 � 3� � � � Tiếp tuyến cắt trục hoành cắt trục tung 1 S OA.OB 2 Suy diện tích tam giác OAB là: x � y y 1 D �\ 1 x 1 x x Câu 56 Hàm số Tập xác định: Ta có: m n � yA yB x m x n m 1 ; n 1 Gọi A ; B ( m �n m ; n �1 ) 1 � 2 m 1 n 1 A B Tiếp tuyến song song với tiếp tuyến m 1 n 1 m n (lo¹i) � � �� 2 � � � m 1 n 1 m n mn2 � � AB 2 � AB � m n 2 n � �m � � �m n � 2 m n m n 4mn � m n � m n 4mn 8 2 � mn m n � � mn m n � 1 � � � � 4 mn 1 4mn 4mn � 4mn 8 2 mn mn Thay m n vào ta được: � mn � mn 1 mn 1 � � 2mn mn 2mn 1� � � mn � mn 2mn 2mn � mn � mn � x A xB Vậy tích x A xB 2 Câu 57 Xét đường thẳng : y k x a b tiếp tuyến đồ thị hàm số qua M , y f x hệ sau có nghiệm: � � � x k x a b x x ak b x kx ak b � � � � x � x � x x ,( x �0) � � �� � 1 � �x kx � 1 k 1 k � x � x � x �1 ak b �1 ak b �x � � �� � �x b ak 2 � � a k ab k b 1 k � � � 1 1 có hai Qua M có hai tiếp tuyến hai tiếp tuyến vng góc với nghiệm phân biệt k1 , k2 thoả mãn k1.k2 1 � b2 1,(a �0) � a b a2 O 0;0 Khi M thuộc đường trịn tâm có bán kính 273 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ Câu 58 CHUYÊN � M a;2a 1 Gọi M �d A x0 ; y0 , x0 �1 C tiếp điểm tiếp tuyến d1 kẻ từ M với 4 x 3 � y x x0 2 x0 y y� x0 x x0 y0 x0 1 Phương trình tiếp tuyến d1 : 4 x 3 2a a x0 2 x0 x0 1 Vì M �d1 nên Gọi � 2a 1 x0 1 4 a x0 x0 3 x0 1 � a.x02 a x0 3a , x0 �1 1 C tiếp tuyến � 1 có nghiệm x0 �1 Từ M kẻ đến Trường hợp 1: a 1 � x0 Suy a thỏa mãn Trường hợp 2: a �0 , PT có nghiệm kép x0 �1 �� a 1 � � � � a a 3a �a � � �� � �2 a a 1 �a �1 � � �1 � � � a thỏa mãn �a � 2a � Trường hợp 3: a �0 , PT có hai nghiệm phân biệt có nghiệm � � 2 a a � �1 a �� �� a.1 a 3a � �a � a thỏa mãn Kết hợp trường hợp suy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Câu 59 Phương trình tiếp tuyến y f� 1 x 1 f 1 d đồ thị hàm số y f x điểm có hồnh độ có dạng f� 1 f 1 f x f x 12 x x �� * Ta cần tìm Xét phương trình: f 1 Ta tìm : * , ta được: f f 1 1 Thay x vào x vào * , ta được: f 1 f Thay 1 suy f 1 Từ f� 1 : Ta tìm * , ta được: f � 2x f � x 24 x x �� ** Đạo hàm hai vế ** , ta được: f � 0 f � 1 3 Thay x vào x 1 f � 12 vào ** , ta được: f � Thay Tuyển chọn tốn VD-VDC | 274 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ 3 Từ 4 suy Như vậy, tiếp tuyến f� 1 d CHUN có phương trình là: y x 1 � y x �1 � A � ;0 � B 0; 2 Gọi A , B với Ox Oy , ta �2 �và 1 � OA S OA.OB , OB Vậy 2 d giao điểm Câu 60 Ta có y� f� x ( x 1)2 Phương trình tiếp tuyến (C ) : x x điểm M x0 ; y0 �(C ) ( x0 �1 ) có dạng y y f� x0 x x0 y0 Do tiếp tuyến cắt Ox,Oy hai điểm A,B tam giác OAB cân nên tiếp tuyến � 1 � x x0 � � � � � x0 2 � 1(vn) � � x 1 vng góc với đường thẳng y x y x Suy � Với x0 phương trình tiếp tuyến y x loại A trùng O Với x0 2 phương trình tiếp tuyến y x Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn ycbt Câu 61 Hàm số viết lại thành x Một điểm điểm cố định đồ thị hàm số phương trình x M x0 ; y0 x m x3 x y x0 m x03 x0 y0 phải nghiệm với m , xảy � x0 1; y0 � �x0 x0 �� �3 x0 2; y0 �x0 x0 y0 � uuur A 1;1 , B 2;5 � AB 1;4 Giả sử hệ số góc đường thẳng AB k Đặt f x x3 (m 1) x 3mx 2m Để đồ thị hàm số có điểm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng AB hệ số góc tiếp điểm phải Ta có k� 1 f� x Điều xảy có nghiệm f� x 3x 2(m 1) x 3m 1 f� x � 3x 2(m 1) x 3m 1 4 Phương trình 275 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN � 7 � � � 7 � �0 � m �� �; ; �� ��� � � 1 có nghiệm � � � � Phương trình 7 �0.03 m � 2020;2020 1;2;3; ;2020 Với nên số nguyên dương Vậy có 2020 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu 62 TXĐ: D �\ 1 Điểm A 0;1 a b y� x 1 Ta có: y ax b b 1 � b 1 x nên 1 thuộc đồ thị hàm số A 0;1 Tiếp tuyến có hệ số góc 3 nên a y� 3 � a 3 � Vậy a b Câu 63 A 1; m y k x 1 m Đường thẳng d qua điểm hệ số góc k có phương trình C hệ phương trình Đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị � �x x k x 1 m (1) � 3x x k (2) có nghiệm x � x3 x x x x 1 m � x3 x m Thay vào ta có: A 1; m C � phương trình có ba nghiệm Qua điểm kẻ tiếp tuyến tới đồ thị y f x x3 x phân biệt � hai đồ thị hàm số y m cắt ba điểm phân biệt Ta có bảng biến thiên hàm số y x x sau: y f x Từ bảng biến thiên hàm số suy Vậy có tất giá trị nguyên tham số m thoả mãn yêu cầu toán Câu 64 Từ đồ thị f� x suy f� 1 C Phương trình tiếp tuyến đồ thị y f� 1 x 1 f 1 � y f 1 điểm có hồnh độ là: C là: f x f 1 Phương trình hồnh độ giao điểm tiếp tuyến đồ thị f� x suy f � 1 f � 3 Ta có bảng biến thiên hàm số y f x Từ đồ thị Tuyển chọn toán VD-VDC | 276 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y f 1 cắt đồ thị hàm số ba điểm có hồnh 2 2 độ a , , b với a 1 b Suy b a Vậy a b 10 Câu 65 � Ta có y 3x x C x0 ; y0 tiếp điểm Gọi d tiếp tuyến với 2 d : y y0 y � x0 x x0 � d : y x0 3x0 3x0 x0 xx B 0; b �d � b x03 3x02 x0 3x02 x0 � x3 x b � b 2 x3 3x 1 0 0 f x 2 x x f� x 6 x x Đặt Ta có x0 � f� x � � �x Bảng biến thiên b 1 � �� 1 có nghiệm x0 b � u câu tốn � phương trình b � 10;10 Vậy có 17 số nguyên thỏa yêu cầu toán Câu 66 A 1; m y k x 1 m Phương trình đường thẳng qua có hệ số góc k có dạng tiếp xúc với C � hệ phương trình sau có nghiệm � �x x k x 1 m �� � 2 x3 x m * 3x x k � C � phương trình * có ba nghiệm phân biệt Để có tiếp tuyến với Xét hàm số 277 | Phan Nhật Linh g x 2 x x CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ g� x 6 x � x �1 CHUYÊN Bảng biến thiên: Yêu cầu đề 3 m S 2; 1;0;1;2;3;4 Suy m Vậy có giá trị nguyên Câu 67 � Ta có y x Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số x3 x k x 1 � x3 x k x 1 C đường thẳng d : � x 1 x x k x 1 � x 1 x x k x 1 x 1 � � � �2 � �2 x x2k � x x k 0(*) � Để đường thẳng d cắt đồ thị C ba điểm phân biệt M , N , P phương trình phải có � k � 4k � � � � k �0 k �0 � � nghiệm phân biệt x1, x2 �1 hay � �x1 x2 � x x 2 k Khi theo định lý Viet thì: �1 2 � � Hệ số góc tiếp tuyến điểm N , P y ( x1 ) 3( x1 1); y ( x2 ) 3( x2 1) C N, P vng góc với y� ( x1 ) y� ( x2 ) 1 Để tiếp tuyến � 3( x12 1).3( x22 1) 1 � ( x1x2 ) ( x12 x22 ) 1 � (2 k )2 [1 2(2 k )] � k 2k 9 � k1,2 3 �2 1 � k1.k2 Vậy tích giá trị k thoả mãn y� Câu 68 Ta có x 1 Tiếp tuyến với đồ thị C qua A 0; a Δ : y kx a Tuyển chọn toán VD-VDC | 278 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 ĐỀ: HÀM SỐ CHUYÊN �x �x kx a � * � � k Δ tiếp xúc với C hệ phương trình � � x 1 có nghiệm Từ hệ * ta có x2 3x a � a 1 x a x a 0 ** x 1 x 1 Yêu cầu toán tìm a để phương trình ** có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 2a � P x1.x2 � a 1 � � x1 x2 �S x x a 0 x1 x2 a 1 Ta có � � � � �a �1 � � a �1 a �1 a �1 � � � � � 0 �� 3a � � a 2 � � �� a �P S �9a � � � � � � 0 0 a � 3 � Yêu cầu toán tương đương �P S 2018; 2018 a 0;2;3;4; ;2018 Do a nguyên thuộc đoạn nên Vậy có 2018 giá trị thỏa u cầu tốn 279 | Phan Nhật Linh ... x0 ; y0 �(C ) � y0 x0 �3 x0 Lấy y 16 � x x0 x0 d x0 C điểm M x0 3 Phương trình tiếp tuyến x 16 x0 x0 17 16 x 3 � y �3 x0 x0 x0... 8m 14 201 k1 k2 1 k k 202 0 202 0k1 202 0 k2 202 0 � 201 k1 k2 202 0 k1k2 k1 k2 k1k2 Có � 201 k1 k2 k1 k2 202 0 � 202 k1 k2 202 0 � k1 k2 10 � m ... thẳng y tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x đồ thị hàm số có tiếp tuyến vng góc với trục Oy tiếp tuyến qua � � �1 � ; 2� � ; 2� � �và � � hai điểm cực trị đồ thị hàm số � Câu 50 Hai đồ thị