Chủ đề 4 tiệm cận của đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 4 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM ▪ Định nghĩa 1 Cho hàm số xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ; hoặc ) Đường thẳng là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn ▪ Định nghĩa 2 Đường thẳng là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ( Dạng 1 Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa tham số P.

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM ▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng  a; � ;  �;b   �; � ) Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị y  y0 ; lim y  y0 hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: xlim � � x �� ▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng x  x0 đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim y  �; x � x0 lim y  �; x � x0 lim y  �; x � x0 lim y  � x � x0 II CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số không chứa tham số Phương pháp giải: Để tìm tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x  ta thực bước sau: ▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) hàm số y  f  x  ▪ Bước 2: Tìm giới hạn f  x  x tiến đến biên miền xác định ▪ Bước 3: Từ giới hạn định nghĩa tiệm cận suy phương trình đường tiệm cận Đặc biệt: Để tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x ta làm sau: g  x - Bước 1: Tìm tập xác định D - Bước 2: y; lim y kết luận tiệm cận ngang +) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính giới hạn: xlim � � x �� +) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức f  x dạng tối giản từ kết luận tiệm cận đứng g  x Chú ý: - Nếu bậc f  x  nhỏ bậc g  x  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang - Nếu bậc f  x  lớn bậc g  x  đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau: a) y  2 x  C  x2 b) y  x2  5x   C x2  5x  Lời giải  2 2 x x x  � y  tiệm cận ngang đồ y  lim  lim a) TXĐ: D  �\  1;1 Ta có: xlim ��� x ���1  x x ��� x 1 thị hàm số y  � nên x  x  1 đường tiệm cận đồ thị hàm số y  � xlim Mặt khác lim � 1 x �1 b) TXĐ: D  �\  1; 4 y  lim Ta có: xlim �1 x �1 2x2  5x  x2  5x   � (hoặc lim y  lim  �) nên đường thẳng x  x �1 x �1  x  1  x    x  1  x   tiệm cận đứng (C) Tương tự đường thẳng x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho 2  2x2  5x  x x  nên đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ y  lim  lim Lại có: xlim ��� x ��� x  x  x ��� 1  x x thị hàm số cho Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau a) y  x   2x x2  b) y  x2  4x  x 7 4 Lời giải a) TXĐ: D   3; � \  �1 Ta có: lim y  lim x �� x �� x   2x  � y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2    x   4x x   x2 Mặt khác lim y  lim x �1  lim  x �1 x �1 x   2x  lim x   x  lim x �1  x  1  x  1 x �1 x 1  4x  x  1  x   2x Ta có: lim y  lim x � 1 x � 1   � x  không tiệm cận đứng đồ thị hàm số x   2x  �� x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2  y  lim b) TXĐ: D  � Ta có: xlim ��� x ���  x  1  x  3 Lại có: y  x   16 x 7 4 x   2x  x  1  x  1   x2  4x  x2     �� Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang x    x  1  x  3  x    x  3    x    x  1 x3 Khi đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  3 f  x   � lim f  x   � Khẳng định sau khẳng Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có xlim �0 x �2 định đúng? A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng y  y  D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng x  x  Lời giải f  x   �� đồ thị hàm số cho có TCĐ x  Ta có xlim �0 f  x   �� đồ thị hàm số cho có TCĐ x  Chọn D Lại có xlim �2  Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A x  1, y  B x  1, y  C x  1, y  2 2x 1 x 1 D x  , y  1 Lời giải TXĐ: D  �\  1 y  �� x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Ta có: xlim � 1 2x   � y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số Chọn B x �� x  Mặt khác lim y  lim x �� Ví dụ 5: Trong hàm số nêu phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  y  đường tiệm cận? A y  2x  x 1 B y  x2 x 1 C y  Lời giải Đồ thị hàm số y  x x2 D y  x 1 x2 ax  b d a với ad  bc �0 nhận x   tiệm cận đứng y  tiệm cận ngang cx  d c c Chọn D x  3x  Ví dụ 6: Cho hàm số y  Khẳng định sau sai? x  2x  A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1; x  Lời giải TXĐ: D  �\  1;3  2 x  3x  x x 2� y2 y  lim  lim Ta có lim tiệm cận ngang đồ thị hàm số x �� x �� x  x  x �� 1  x x 2 y  �, lim y  � x  1; x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số Chọn A Lại có: xlim � 1 x � 3 Ví dụ 7: Đồ thị sau khơng có tiệm cận ngang? A y  x2  x 1 B y  x 1 x2  C y  x 1 x2 D y  x 1 Lời giải x 1 x  lim x  �� y  lim  lim Ta có lim đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Chọn A x �� x �� x  x �� x �� 1 x x Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A B TXĐ: D  �\  �4 Khi đó: y  C Lời giải x  3x  x  16 D x  3x   x  1  x   x 1   x  16  x  4  x  4 x  Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  4 Chọn D x2  5x  Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y  x2  A B C Lời giải D lim y  � x  x   x    x  1 x  �x��   �� TXĐ: D  �\  �1 Khi y  lim y  � x2   x  1  x  1 x  � �x� 1 Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 tiệm cận ngang y  Chọn A Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  x9 3 là: x2  x A B C Lời giải D TXĐ: D   9; � \  0; 1 Khi đó: y  x99 x9 3  x9 3  x x x  x  1  x  1 y  lim Suy xlim � 1 x � 1  x  1  x9 3   x9 3  � Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  1 Chọn D Ví dụ 11: Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A y  B x  C y  2 y  Lời giải x2  x   x x 1 D y  � 1  1 � x x �lim y  lim x  x   x  lim 0 x �  � x �  � x �  � x 1 � 1 � � x � Đồ thị hàm số có hai đường tiệm Ta có � �  1  1 � x2  2x   x x x y  lim  lim  2 �xlim �� x � � x �  � x 1 � 1 � x cận ngang y  y  Chọn C Ví dụ 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng? A y  x  3x  x 1 B y  x2 x2  C y  x  D y  x x 1 Lời giải Phân tích đáp án: Đáp án A Ta có y  x  3x   x  1  x     x  nên hàm số khơng có tiệm cận đứng x 1 x 1 Đáp án B Phương trình x   vơ nghiệm nên hàm số khơng có tiệm cận đứng Đáp án C Đồ thị hàm số y  x  khơng có tiệm cận đứng Đáp án D Đồ thị hàm số y  x có tiệm cận đứng x  1 Chọn D x 1 Ví dụ 13: Cho hàm số y  A x2  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận? x 1 B C Lời giải D Tập xác định hàm số D   �; 2 � 2; � Ta thấy x  �D � đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng lim y  � x x 4 �x �� x y  lim  lim  lim � � � y  1; y  1 � đồ thị hàm số có Và lim x �� x �� x  x �� lim y  1 � � x �� x � �x �� x� 1 � � x� x 1 hai đường tiệm cận ngang Chọn C x2  x  có tiệm cận? x Ví dụ 14: Đồ thị hàm số y  A B C Lời giải D TXĐ: D  �\  0 lim y  lim x �� x  x 1  lim x �� x x �� Và lim y  lim x �0 x �0 1  lim y  1 � �x �� x x2 �� � đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang lim y  x � �x �� x 1 x2  x   �� x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số Chọn A x x4 Ví dụ 15: Đồ thị hàm số y  A x2  B có tiệm cận? C Lời giải D TXĐ: D  �\  �2 � y  lim �xlim x � � ��� Ta có: � �lim y  lim x �� x � � � � x4 x2  x4 x2  1 � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  �1  1 lim y  �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  �2 x ��2 Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 16: Đồ thị hàm số y  A  x 1 có đường tiệm cận đứng? x  x  x  3 B C Lời giải D Hàm số có tập xác định: D   �; 2 \  0;1 Khi y   x 1 1 x    x  x  x  3 x  x  1  x  3  x  x  x  3  x   Suy x  x  3       x   � x  Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn D Ví dụ 17: Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x  3; x  2 2x   x2  x  x2  5x  C x  3; x  Lời giải B x  3 D x  Hàm số có tập xác định D  �\  2;3 Ta có: y   x  1   x  x  3 x  5x   3x  5x   x    x  3  x   x2  x     3x  1  x  3  x   x2  x  Do có đường thẳng x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Chọn D Ví dụ 18: Tìm tất đường tiệm cận đồ thị hàm số y  A x  �1, y  B x  �1, y  x2   x2 1 C y  Lời giải D x  �1 Hàm số có tập xác định D  �\  �1 Ta có y  x2    x2 1 y  lim Khi lim x �� x ��  x2     x2    x    x  1 x2     x2 1  x    x  1  x 32  � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  Chọn C Ví dụ 19: Số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị y  A 2 B C Lời giải � �1 � � �;  � �� ; ��\  1 Tập xác định hàm số D  � � �2 � � x   3x  x2  x D  � x   3x2  3 �lim y  lim x � � �x �� x2  x � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  Khi � 2 x   x  � lim y  lim 3 � x � � x2  x �x �� y  �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Lại có: lim x �1 Suy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Chọn A Ví dụ 20: Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x  3 B x  1 x  3x   x  x2  x  C x  x  3 Lời giải D x  Hàm số có tập xác định D   3; � \  1  3x  1   x  3 3x   x  9x2  x  y    Khi x2  2x   x  x   3x   x   x  x   3x   x   � y 9x   x  3  3x   x3       Ta thấy  x  3 3x   x   � x  3 � Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  3 Chọn A x   2x  Hãy chọn mệnh đề x2  x  Ví dụ 21: Cho hàm số y  A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  y  B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng y  y  C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng đường thẳng x  D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  x  Lời giải �3 �  ; ��\  1;3 Ta có: D  � �2 � x    x  3 Khi y    2x   2x   x2  4x   2x  x   x   x  1    x   x  3 x   x  3  x  1  x  3 y  � nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Suy lim x �1 y  nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  Lại có: xlim �� Ví dụ 22: Cho hàm số y  A 2x  x2  2x  Đồ thị hàm số có tiệm cận? B C Lời giải D x3 � Hàm số xác định x  x   � � x  1 � � 3� x� 2 � lim y  � 2x  x� x � � � y  lim  lim �� � đồ thị hàm số có hai TCN Ta có lim x �� x �� lim y  2 � x  x  x �� x   x � � � x x2 x3 �x  x   � �� Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số số nghiệm hệ phương trình � x  1 � �2 x  �0 � đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số cho có bốn đường tiệm cận Chọn C Ví dụ 23: Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x  B x  2 TXĐ: D  �\  2;1 Khi đó:   x 1 C x  2 x  1 Lời giải  x  1 x   x2  x  y  x2  x  x 1  x  x   x  1  x    x   x2  x  x2  x  2   x2  x  2 x   x2  x   x  1  x    x  2  x   D x  x  x2  x   y  �� x  2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Chọn B Ta có: xlim � 2  Ví dụ 24: Đồ thị hàm số f  x   3x   x  x  có tiệm cận đứng tiệm cận ngang x  3x  A Tiệm cận đứng x  2, x  ; tiệm cận ngang y  B Tiệm cận đứng x  ; tiệm cận ngang y  C Tiệm cận đứng x  2, x  ; tiệm cận ngang y  2, y  D Tiệm cận đứng x  ; tiệm cận ngang y  2, y  Lời giải TXĐ: D  �\  1; 2 3x   x  x   � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  x �� x  3x  Ta có lim f  x   lim x ��   3x   x  x  3x   x4  x  3x   x  x   Mặt khác f  x   x  3x   x  3x   3x   x  x  � f  x  � f  x  x 8x4  x    3x  2 3x2   x4  x  x3  x  x   x    3x   x4  x       x  1  x3  x  x  1   x  1  x    3x   x  x    f  x   �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Chọn B Suy lim x �2  Dạng 2: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên Phương pháp giải: ▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định hàm số ▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy giới hạn x đến beien miền xác định ▪ Bước 3: Kết luận Chú ý: Đồ thị hàm số y  f  x nhận đường thẳng x  a tiệm cận đứng hàm số xác định x  a g  x f  x   x  a  h  x   y  m  n h  x  , k  x  khơng có nghiệm x  a g  x   x  a  m k  x  n (Tức số lần lặp lại nghiệm x  a g  x  nhiều số lần lặp lại nghiệm x  a f  x  ) Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: x � � � Tổng số tiệm cận ngang số tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho f(x) A B C Lời giải D �lim f  x   � TCN : y  �x �� � f  x   � TCN : y  � Chọn C Ta có �xlim �� � lim f  x   �� TC�: x  � �x �1 Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  hàm số xác định �\  1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau Mệnh đề đúng? � �m  � � � � A �m � � � � m  2 � m2 � � �m  2 B � � � � m � � � � � m2 � C � m  2 � D 2  m  x  m2 x  m  Câu 50: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  có tiệm cận x2 đứng A �\  1; 3 B � � 2� 1;  � C �\ � � Câu 51: Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y  � 3� 1;  � D �\ � � 2x 1  mx  2x  1  x  4m  1 có tiệm cận A  0 B  �; 1 � 1; � C  �; 1 � 0 � 1; � D � mx  Câu 52: Có giá trị m để đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận? x  3x  A B C Câu 53: Tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số y  D 2x 1  mx  x  1  x2  4m  1 có đường tiệm cận A  �; 1 � 0 � 1; � B � C  0 � 1; � D  �; 1 � 1; � Câu 54: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  1 x 1 x  mx  3m có hai tiệm cận đứng � 1� 0; � A � � 2� B  0; � 1� � C � ; � 2� � � 1� 0; � D � � 2� Câu 55: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  1 x 1 x    m  x  2m có hai tiệm cận đứng? A B C Câu 56: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y  D 5x  x  2mx  2m  đường tiệm cận A 2  m  B 2  m  C 1  m  D 1  m  có hai Câu 57: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x 1 x2  2x  m  x 1 có bốn đường tiệm cận A m � 5; 4 \  4 B m � 5; 4 C m � 5;  \  4 D m � 5; 4 \  4 Câu 58: Cho đồ thị hàm bậc ba y  f  x  hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số x y  x  3 x  x x� �f  x   f  x  � � có đường tiệm cận đứng? A B C D Câu 59: Cho hàm số y  ax3  bx  cx  d ,  a �0  có đồ thị hình bên Hỏi đồ thị hàm số g  x   f  x  x  1 x  x  3 có đường tiệm cận đứng? A B C D Câu 60: Cho hàm số bậc ba f  x   ax  bx  cx  d có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi đồ thị  x  3x   x  hàm số g  x    x  5x  4 f  x  x � f  x f  x A có đường tiệm cận đứng? � +  � + � � B C D Câu 61: Cho hàm bậc bốn y  f  x  có bảng biến thiên sau x � f�  x  +  � + � � f  x 0  Hỏi đồ thị hàm số y  f  x  x2  x �  x5  x  10 x3  5x  8x   �f  x   f  x  � � có tiệm cận đứng ngang? A B C D Câu 62: Cho hàm số y  x2 có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tiếp tuyến x2 (C) cắt hai đường tiệm cận (C) hai điểm A, B Giá trị nhỏ chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB A 2 B 8 C 2 D 4 Câu 63: Cho hàm số y  x 1 có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Xét tam giác x2 ABI có hai đỉnh A,B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài A B C D 2 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: y   x    x  1  x  4  x  4  x 1 � TCĐ: x  4 Chọn C x4 Câu 2: Ta có tiệm cận đứng x  Chọn B Câu 3:  x  1  x  x   y  x  1  x   x2  x   � TCĐ: x  2 Chọn A x2 Câu 4: Ta có tiệm cận đứng x  2 2x 1 � lim y  lim  � TCN : y  � x �  � x �  � � x2 � I  2;  Chọn A Lại có � x  �lim y  lim  � TCN : y  x �� x  �x �� � lim y  lim  � TCN : y  � x �� x  �x �� Chọn D Câu 5: Ta có � �lim y  lim  � TCN : y  x �� x  �x ��  4x � lim y  lim  2 � TCN : y  2 � x� � x  �x �� Chọn D Câu 6: Ta có � �lim y  lim  x  2 � TCN : y  2 x� � x  �x �� Câu 7: Đồ thị hàm số y  x2 có TCĐ x  Chọn A x 1 Câu 8: Ta có tiệm cận đứng x  1 Chọn B Câu 9: Đồ thị hàm số y  2x  có TCĐ x  Chọn A x 1 Câu 10: Dễ thấy đồ thị hàm số y  log x có TCĐ x  Chọn B Câu 11: y   x  1  x    x  2  x  2  Câu 12: y   x  1  x  5  x  1  x   � TCĐ: x  1; x  x 1 � TCĐ: x  2 Chọn A x2 lim y  � TCN : y  � �x �� Mặt khác � Chọn C lim y  � TCN : y  � �x �� Câu 13: Đồ thị hàm số y  Câu 14: y  x2  4x  có hai tiệm cận đứng x  2, x  Chọn D x2  5x  1 1 x  � đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  Chọn D x 1 1 x Câu 15: Đồ thị hàm số log x khơng có tiệm cận ngang Chọn B Câu 16: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  x  3 , tiệm cận ngang y  Chọn C Câu 17: y  x2  x  x  có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  Chọn B  x2 1 x 1 Câu 18: Đồ thị hàm số y  Đồ thị hàm số y  1 2x có đường tiệm cận 1 x 1  � y  tiệm x  �2 Mặt khác lim có đường tiệm cận đứng x ��  x 4 x cận ngang đồ thị hàm số Do đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận Chọn B  x2 Câu 19: TXĐ: D  � Ta có: x lim y  lim x � � x2  x ��  lim x �� 1 1 x  1, lim y  lim x �� x �� x x2   lim x �� 1  1 x  1 Suy đồ thị có hai đường tiệm cận ngang y  �1 khơng có tiệm cận đứng Chọn B Câu 20: Xét hàm số y  Mặt khác lim y  lim x �� x �� x 1  � Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  x2  Vậy đồ thị hàm số y  Câu 21: Hàm số y  x 1 x 1  � Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  �3 x   x  3  x   x 1 có đường tiệm cận Chọn A x2  x2 1 có bậc tử số lớn bậc mẫu số nên đồ thị khơng có tiệm cận x2 ngang Chọn C Câu 22: TXĐ: D  � y  lim Ta có: xlim �� x �� x 1 x 1 x 1  1, lim y  lim  lim  1 x � � x �� x  x ��  x  x 1 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  �1 Chọn C Câu 23: TXĐ: D  �\  1; 3 Khi đó: y  2x  4x  � lim y  �, lim y  �� Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng x � 3  x  1  x  3 x�1 x  1, x  3 2  2 x2  4x 1 x x  � y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  lim  lim Mặt khác lim x �� x �� x  x  x �� 1  x x Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn A �1 � Câu 24: TXĐ: D  �\ � ; � �2 x  x   x  1  x   x    � Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Khi đó: y  2 x  x   x  1  x   x  1 x  Chọn A Câu 25: Ta có: f  x   Khi lim y  lim x � � x �� x   x  3x  x   x  3x  x    x  3x  x   x  3x  lim x �� 3x  2 1 x   x  3x 3x  4  1 x x  2 � y  2 tiệm cận ngang đồ 3 3 x thị hàm số Mặt khác lim y  lim x �� x   x  3x  lim x �� 3x  x ��  1  1 x x  2 � y  2 3 3 x tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang Chọn D Câu 26: TXĐ: D   2; 2 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang y  lim Mặt khác xlim �2  x �2 2x 1  x  2   x   � lim  y  lim  x � 2  x � 2  2x 1  x  2   x   � Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  �2 Chọn A  6; � Câu 27: TXĐ: D  � � �\  1 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang  x2  �� Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  Chọn D x �1  x  1  x   Mặt khác lim y  lim x �1 Câu 28: TXĐ: D   2;  Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Mặt khác lim y  lim x �2 x �2  x2  lim x  x  x �2    x   x  2  x    x  3  lim x �2 x2  �� x  tiệm cận  2 x x3 đứng đồ thị hàm số Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Chọn B Câu 29: TXĐ: D   1;1 \  0 Lại có: lim y  lim x �0 x �0  x2  �� x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  x  2 y Không tồn giới hạn xlim � 2  Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn D � �1 � � �;  � �� ; ��\  1 Câu 30: Tập xác định hàm số D  � � �2 � � � x   3x2  lim y  lim 3 � x � � �x �� x2  x � Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  Khi � 2 x   3x  � lim y  lim 3 � x �  � x �  � x2  x � y  �� Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Lại có: lim x �1 Suy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Chọn A Câu 31: TXĐ: D  �\  2 1 1 2 x 1 x  1, lim y  lim x   lim  x  1 Ta có: lim y  lim  lim x �� x �� x  x �� x � � x �� x  x �� 2 1 1 x x 1 Suy y  �1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2   �� x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2 Mặt khác lim y  lim x �2 x �2 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn C Câu 32: TXĐ: D   1;1 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang y x 1  x2  x 1    x   x  1 x 1 � Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  Chọn A 1 x Câu 33: TXĐ: D   2;1 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Ta có: y  x 1   x   x  2  1 x � Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2 Chọn D x2  5; � Câu 34: TXĐ: D  � � �\  1;1 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Mặt khác y  x  x2   1  5 x 2   x  1  x2  5 x 2    x2  � Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Chọn A � �� � 3� �3 11 �;  \  � Ta có: n  y  1   Câu 35: TXĐ: D  � ��� ; ��� � � � �2 5 � �� Mặt khác lim y  lim x �� x �� x2  2 x 1  x  4x   lim x �� 2x  3 1  x  4x2  x  1 � Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang lim y  lim  lim x �� x� � x �� 2x  2 x y  �� x   tiệm cận đứng đồ thị hàm số Lại có: lim �3 � x �� � �2 � Vậy m  3, n  � m.n  Chọn A 5 Câu 36: TXĐ: D   2; � \  2 y  lim Ta có: xlim � � x � � x 1 x x2 y  lim Mặt khác lim x �2 x�2  lim x 1 x x2 1 x � � x 1  x x2  � y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số  �� đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn C Câu 37: Đồ thị hàm số y  3x  có tiệm cận ngang y  Chọn A x 1 y  3, lim y  � y  3, y  đường tiệm cận ngang Câu 38: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy xlim � � x � � đồ thị hàm số y  �� x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số Mặt khác lim x �1 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn A Câu 39: Xét phương trình f  x    � f  x   Dựa vào BBT suy phương trình f  x   Do đồ thị hàm số y  có nghiệm phân biệt có đường tiệm cận đứng Chọn B f  x  Câu 40: TXĐ: D  � Ta có: y  x  x    x  1 x2  x   x2   4x  x2  x   x2  4 y  lim Khi đó: xlim � � x � � x 4   4 x x x  1, lim y  lim x � � x � � 4 x  4   4 x x x  1 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  �1 Chọn A Câu 41: TXĐ: D  �\  �2;0 Khi đó: y   x  1  x   sin x  x  1 sin x   x  2  x  2 x  x  2 x Ta có: lim y  �, lim y  lim x � 2  x �0 x �0 x  sin x 1     x2 x 2 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2 Chọn A Câu 42: y 1 x 1   � x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f  x   3x  x 1 f  x  2 x 1 Chọn C Câu 43: Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x  1 1  tiệm cận ngang y     � 2a  � a; Gọi M � �  C   a � a 1 � Khi d1 d  a  1 ta có: d1  d  M ; 1   a  d  d  M ;    2a  2  a 1 a 1  Chọn C a 1 Câu 44: Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng x  1 1  tiệm cận ngang y     � 2a  � a; Gọi M � �  C   a � a 1 �  1 ta có: d1  d  M ; 1   a  d  d  M ;    Theo bất đẳng thức Cosi ta có: d1  d  a  �2 a  Dấu xảy � a   �  a  1  � a 1  a 1 a0 � � � a  2 � � M  0;3 � M  2;1 � Do x0  nên M  2;1 � x0  y0  2   1 Chọn B � a 1 � � 3� a; a � �là điểm thuộc đồ thị hàm số Câu 45: Gọi M � � � � 2a  � � 2� Phương trình tiếp tuyến M là: y  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1  2a  3  x  a  a 1 d 2a  3 �3 � , tiệm cận ngang y  � I � ; � 2 �2 � 2a  2  a 1 a 1   a 1  2a   2a  a Khi d  I;d     2a   Do  a  3 Vậy d max   a 3  2� 2 2 1  2a  3  2a    2a   2a  2  2a  3  2a 3 2  1 d  2a   2   2a  3 Chọn A Câu 46: Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng phương trình g  x   m  x  1  có nghiệm phân m0 � �m  �� Chọn C biệt khác 1 � � �g  1  4m  �0 �m �1 Câu 47: Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang m Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận � Phương trình g  x   mx  x   có nghiệm phân biệt � m �0 � khác � � ۹1 3m �g  m  �0 �  Câu 48: Do lim y  lim x �� x �� � � m �0 � m Chọn B � � � m � x 1  � y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  2mx  Để đồ thị (C) có đường tiệm cận có phải có đường tiệm cận đứng Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng � g  x   x  2mx   có nghiệm phân biệt khác 1 �� m2 � � � �   m 40 � �m  2 �� � �� Chọn C � �g  1   2m �0 m � � � x2  � y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số x �� x  mx  Câu 49: Do lim y  lim x �� Để đồ thị (C) có đường tiệm cận phải có đường tiệm cận đứng Đồ thi hàm số có tiệm cận đứng � g  x   x  mx   có nghiệm phân biệt khác �� m2 � � �  m 40 � �� m  2 �� � �� Chọn A � �g  1   2m �0 m� � � 2 Câu 50: TXĐ: D  �\  2 2 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng � Phương trình g  x   x  m x  m   không nhận x  2 m �1 � � nghiệm � g  2    2m  m  �0 � � Chọn D m � � � 2 Câu 51: Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang y  Suy để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng 2 TH1: m �0 phương trình:  mx  x  1  x  4mx  1  vô nghiệm 1 m  m 1 � � �� �� � m �� 1  m  4m   � � TH2: Phương trình: x  4mx   vơ nghiệm Phương trình: mx  x    * có nghiệm � 4m   1  m  � � �m  đơn x  � � 1�� m0 m  �  * � x   � x  � � � Kết hợp trường hợp suy m  Chọn A mx  x2  m � y  lim  lim Câu 52: Ta có: lim Đồ thị hàm số ln có tiệm cận x �� x �� x  x  x �� 1  x x m ngang đường thẳng y  m Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận có tiệm cận có tiệm cận đứng Ta có: y  mx  mx   , đặt f  x   mx  x  3x   x  1  x   �f  1  � Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng � �f    m 1  � � 4m   � m 1 � � 1� � � � m �� 1; � Chọn B � m �4 � Câu 53: Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang y  Suy để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng 2 TH1: m �0 phương trình:  mx  x  1  x  4m  1  vô nghiệm m 1 � 1 m  � � �� �� � m  4m   m   � � � TH2: Phương trình: x  4m   vơ nghiệm Phương trình: mx  x    * có nghiệm 4m   � � đơn x  � � � m0 m  �  * � x   � x  � � Kết hợp trường hợp suy m � 0 � 1; � Chọn C Câu 54: Ta thấy  x     x �1 Do đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng � x  mx  3m  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 �1 � 0 � �� � x1 � x2�2۳�� �x  x  �0    � �     m    3m   � � �x1 x2 �x x  x  x  �0 �1 � m  12m  � m � �  2m �0 � m � 1� 0; Chọn A � � 2� � Câu 55: Ta thấy  x    x �1 Do đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng � x    m  x  2m  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 �1 �    m  1  8m  � 0 � � � � �x1  x2 �2 � �x1  x2 �2 � �x  x  �0 �x x  x  x  �0    � �1 2 � m  10m   �  m �2 �  �m �2 � � 2m    m   �0 � Kết hợp m ��� m   2, 1, 0 Chọn C y  lim Câu 56: Ta có xlim � � x � � y  lim Mặt khác xlim �� x � � x  lim 5 x �� 2m 2m  x  2mx  2m  1  x x2 5 5x  5x  x  2mx  2m   lim x �� 5 x m 2m   1  x x2  5 Do đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang y  �5 Để đồ thị hàm số có đứng hai đường tiệm cận phải khơng có tiệm cận đứng Khi phương trình x  2mx  2m   vơ nghiệm có nghiệm kép TH1: Phương trình x  2mx  2m   vô nghiệm �  �  m  m   � 2  m  0 � � TH2: Phương trình x  2mx  2m   có nghiệm kép x  � � (hệ �9 � �9 � � � 2m � � 2m   � �5 � �5 � � phương trình vơ nghiệm) Vậy 2  m  giá trị cần tìm Chọn A y  lim Câu 57: Ta có xlim � � x � � lim y  lim x � � x � � x 1 2x  2x  m  x 1  lim x �� x  m   1 x x x 1 x 1 x  lim  x �� m 2x  2x  m  x 1    1  x x x 1 1 1 1 Do đồ thị hàm số ln có đường tiệm cận ngang Để độ thị hàm số có đường tiệm cận phương trình � �x �1 �x �1 x2  2x  m  x   � 2x2  2x  m  x  � � 2 � � 2 x  x  m   x  1 �g  x   x  x  m   � có nghiệm phân biệt khác � g  x  có nghiệm � x1  x2 �1 ۹ x1 ; x2 �   m 1  � m  5 � m  5 � �x   x   � � 60 �1 �6  � �� �� �� � m � 5; 4 \  4 Chọn D  x1  1  x2  1 �0 �x1 x2   x1  x2   �0 �m   �0 � �g  1  4  m �0 � � m �4 m �4 � � � �� x0 � �� �x  x �0 x �1 � �� Câu 58: Hàm số xác định � x f x f x  � � �     �f x �f x  ��0 � � � � �   �  y  x  1  x  3 f  x � �f  x   � � x 1 x Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Phương trình f  x   có nghiệm kép x  3 nghiệm x  x1 � 1;0  Phương trình f  x   có nghiệm x  1 nghiệm x2 , x3  1 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận x  0, x  3, x  x2 , x  x3 Chọn D Câu 59: Dựa vào đồ thị hàm số ta có: f  x   a  x  1  x   a  Do g  x   f  x  x  1 x  x  3  a x  x   x  1  x  1  x  3  a x  x   x  1  x  3 Khi tập xác định hàm số D   2; � \  3 Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Chọn B  x   3ax  2bx  c  3a  x  1  x    3a  x  3x   Câu 60: Ta có f � Đồng vế ta có: 2b  9a, c  6a � f  x   ax  9a x  6ax  d � 10 a � � � f    � �a  a  6a  d  � 19 �� �� Mặt khác � 20 �f    � 8a  18a  12a  d  � d � � 19 � x Giải phương trình f  x   � � � x2 � �1 ��1 �  ; ��\ � ;1; � Hàm số có tập xác định D  � 2 ��� x Khi đó: g  x   x  3x   x   5x  4 f  x    x  1  x   x 2x   1  x   f  x  Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x   2x   x  1  x   f  x  , x  Chọn C 2 Câu 61: Dựa vào BBT ta có: f  x   ax  x  1  x   Ta có: y   f  x  x2  x �  x    x  1  x  1 �f  x   � �  ax  x  1  x   x  x �  x    x  1  x  1 �f  x   � � ax x  x �  x    x  1  x  1 �f  x   � � xa � Dựa vào BBT suy phương trình f  x   có nghiệm � xb � �a  � b2 � x  2 � � x 1  x    x  1  x  1  � � Với điều kiện x  x �0 phương trình � �f  x   2� � � xa � xb � Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Mặc khác bậc tử số nhỏ bậc mẫu số nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn C Câu 62: Đồ thị hàm số y  x2 có tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y  � I  2;1 x2 � a2� Gọi M �a; �� C  với a �2 suy phương trình tiếp tuyến M là: � a2� y 4  a  2  x  a  a2 a2 d �x  � 4 a2 � Ta có: d �x  � �y   �  a  2  x  a  a  � �y  � 4 a2 d �y  � � y  � �  a  2  x  a  a  � Khi IA  � a6� A� 2; � � a2� � a  �� B  2a  2;1 A� 2; � � a2� a6 1  , IB  2a  � IA.IB  16 a2 a2 Do IAB vuông I nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB R  Mặt khác IA2  IB�  IA.IB 32 R 32 AB  IA2  IB 2 2 Giá trị nhỏ chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB bằng: Cmin  2 Rmin  4 Chọn A Câu 63: Giao điểm đường tiệm cận I  2;1 tâm đối xứng đồ thị hàm số Hàm số cho hàm đồng biến, có trục đối xứng đường phân giác đường tiệm cận có phương trình y  x y   x Do tính chất đối xứng nên: AB  d : y   x � AB : y  x  m Phương trình hồnh độ giao điểm (C) AB là: �x �2 x 1  xm� � x2 �g  x   x   m  1 x  2m   �    m  1   2m  1  � Điều kiện để AB cắt (C) điểm phân biệt là: � �g  2  �0 �x1  x2  m  Khi gọi A  x1 ; x1  m  ; B  x2 ; x2  m  , theo Viet ta có: � �x1 x2  2m  Tam giác ABC cân I suy IH  � m3  3 AB � d  I ; AB   AB 2 2 2  x1  x2  �  m  3  �  m  2m   8m   �x1  x2   x1 x2 � �  � m2  6m  � AB   m  6m  3  Chọn B ... 6: Cho hàm số y  Khẳng định sau sai? x  2x  A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng... tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm số Phương pháp giải: ▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm mẫu số tử số từ suy đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y để tìm đường tiệm cận ngang đồ. ..  A B C D Câu 40 : Đồ thị hàm số y  x  x   x  có tiệm cận ngang? A B C Câu 41 : Số đường tiệm cận đưng đồ thị hàm số y  A B Câu 42 : Cho đồ thị hàm số y  f  x   đồ thị hàm số y  A x 