CHỦ ĐỀ 19: BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 19: BÀI TỐN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI      Dạng 1: Tìm điểm M thuộc (P) cho u = aMA + bMB + cMC có u đạt Phương pháp giải: ax A + bxB + cxC   x1 = a+b+c      ay + byB + cyC  +Tìm điểm I thõa mãn hệ thức aIB + bIB + cIC = tọa độ điểm I là:  y1 = A a+b+c  az A + bz B + czC   z1 = a+b+c           Phân tích u = aMA + bMB + cMC = ( a + b + c ) MI + aIA + bIB + cIC = ( a + b + c ) MI (   Khi u = a + b + c MI ⇒ u ) ⇔ M hình chiếu vng góc I lên (P)   Viết phương trình đường thẳng IM qua I vng góc với (P) ⇒ uIM = n( P ) Khi = M ( P ) ∩ ( IM ) Ví dụ 1: Cho điểm A ( 2;1; −1) ; B ( 0;3;1) (P) : x + y − z + =0 Tìm điểm M thuộc (P) cho   a) MA + MB   b) 2MA − MB Lời giải    a) Gọi I (1; 2;0 ) trung điểm AB IA + IB =    Ta có: MA + MB = MI nhỏ ⇔ MI ⇔ M hình chiếu điểm I (P) x= 1+ t  Phương trình đường thẳng MI là:  y = + t ⇒ M (1 + t ; + t ; −t )  z = −t  Cho M ∈ ( P) ⇒ + t + + t + t + =0 ⇔ t =−2 ⇒ M ( −1;0; ) x A − xB  =  x1 = −1     y − yB = −1 ⇒  y1 = A b) Gọi I điểm thỏa mãn IA − IB = −  z A − zB   z1 = − = −3         Ta có: MA − MB = MI + IA − MI + IB = MI = MI nhỏ ⇔ M hình chiếu điểm I ( )  x= + t  (P) Phương trình đường thẳng MI là:  y =−1 + t ⇒ M ( + t ; −1 + t ; −3 − t )  z =−3 − t  Cho M ∈ ( P) ⇒ + t − + t + + t + =0 ⇔ t =−3 ⇒ M (1; −4;0 ) Ví dụ 2: Cho điểm A (1;0; −1) ; B ( 2; −2;1) C ( 0; −1;0 ) (P) : x − y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho    a) MA + MB + MC    b) MA − MB + 3MC Lời giải G (0;1; −2) a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇒      GA + GB + GC =     Ta có: MA + MB + MC= 3MG= 3MG ⇔ M hình chiếu G mặt phẳng (P) x = t  Phương trình đường thẳng MG là:  y =−1 − 2t ⇒ M ( t ; −1 − 2t ; −2 + 2t )  z =−2 + 2t  Cho M ∈ ( P) ⇒ t + 4t − + 4t − + = ⇔ t = ⇒ M ( 0;1; −2 ) x A − xB + xC  = −6  x1 = 2−4+3      y − yB + yC b) Gọi I điểm thỏa mãn IA − IB + 3IC =⇒ =  y1 = A − +  z A − z B + zC  = −6  z1 = 2−4+3   x =−6 + t  Phương trình đường thẳng MI là:  y = − 2t ⇒ M ( −6 + t ;5 − 2t ; −6 + 2t )  z =−6 + 2t  Cho M ∈ ( P) ⇒ −6 + t + 4t − 10 + 4t − 12 + = ⇔ t = 22  −32 89 10  ⇒M ; ;−  9  9 Ví dụ 3: Cho điểm A ( 4;1; −1) ; B ( 2;3; −2 ) C ( 6; 3; −12 ) (P) : x + y − z + =0 Tìm điểm M thuộc (P)    cho MA + 3MB − MC A OM = Độ dài đoạn thẳng OM là: B OM = C OM = Lời giải D OM = x A + xB − xC  = = x  + −1      y + yB − yC Gọi I điểm thỏa mãn IA + 3IB − IC =0 ⇒  y1 = A =2 + −  z A + z B − zC  =  z1 = + −1   x= + t  Phương trình đường thẳng MI là:  y =2 + 2t ⇒ M ( + t ; + 2t ;1 − t ) z = 1− t  Cho M ∈ ( P) ⇒ + t + 4t + + t − + =0 ⇔ t =−1 ⇒ M (1;0; ) ⇒ OM = Chọn A Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A ( −1; 2;3) ; B ( 3;0; −1) C (1; 4;7 ) (P) : x − y + z + = Gọi M ( a; b; c ) điểm thuộc mặt phẳng (P) cho MA2 + MB + MC nhỏ Giá trị biểu thức T = a + b + c A T = 10 B T = 17 C T = 21 D T = 26 Lời giải:     Gọi G (1; 2;3) trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC =          Ta có: MA2 + MB + MC = MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC ( ) ( ) ( )     = 3MG + MG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC ( ) = 3MG + GA2 + GB + GC nhỏ M hình chiếu G mặt phẳng (P) x −1 y − z − Phương trình MG: = = suy M = MG ∩ ( P) ⇒ M(0; 4;1) −2 Do T = a + b + c = 17 Chọn B Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng cho điểm A ( 0; −3;1) ; B ( 2;7;1) C (1;0;3)    mặt phẳng (P) có phương trình x + y − z − =0 Gọi M ( a; b; c ) (P) cho MA + MB + MC nhỏ Tính giá trị T =a + 2b − 3c A T = B T = C T = Lời giải: D T = −1 x A + xB + xC  = = x  1+1+        y + yB + yC Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB =IA + IB + IC =0 ⇒  y1 = A =2 ⇔ I (1;1; ) + + 1  z A + z B + zC  =  z1 = 1+1+            Khi MA + MB + 3MC = MI + IA + MI + IA + MI + IC = MI    Khi MA + MB + MC nhỏ ⇔ MI ⇔ M hình chiếu điểm I mặt phẳng (P) Ta có: IM : x −1 y z −1 = = ⇒ M =MI ∩ ( P) ⇒ M(2;1;0) T =4 Chọn B 1 −1 Dạng 2: Tìm điểm M thuộc (P) cho T = aMA2 + bMB + cMC đạt max Phương pháp giải:     +) Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức aIA + bIB + cIC =          +) Phân tích T = aMA + bMB + cMC = a MI + IA + b MI + IB + c MI + IC ( ) ( ) ( )     ⇒ ( a + b + c ) MI + MI aIA + bIB + cIC + aIA2 + bIB + cIC ( ) = (a + b + c) MI + aIA2 + bIB + cIC +) Nếu a + b + c > T đặt min; a + b + c < T đặt max Khi Tmax ; Tmin ⇔ MI → M hình chiếu vng góc I lên (P) Ví dụ 1: Cho điểm A ( −3;5; −5 ) ; B ( 5; −3; ) C (1;0;3) (P) : x + y + z = Tìm điểm M thuộc (P) cho a)= T MA2 + MB đạt giá trị nhỏ b)= T MA2 − MB đạt giá trị lớn Lời giải:    a) Gọi I trung điểm AB IA + IB = Ta có: T = MA2 + MB = MI + IA2 + IB đạt giá trị nhỏ ⇔ M hình chiếu vng góc I x= 1+ t  t ⇒ M (1 + t ;1 + t ;1 + t ) lên (P) Khi phương trình IM là:  y =+ z = 1+ t  Cho M ∈ ( P) ⇒ 3(1 + t ) =0 ⇔ t =−1 ⇒ M ( 0;0;0 ) x A − xB  13 =  x1 = 1−     y A − yB b) Gọi I điểm thỏa mãn IA − IB = ⇒  y1 = = −11 −  z A − zB  19 =  z1 = 1−        Ta có: T =MA2 − MB =MA − MB = MI + IA − MI + IB ( ) ( )    = − MI + MI ( IA − IB ) + IA2 − IB = − MI + IA2 − IB Do IA2 − IB không đổi nên Tmax ⇔ − MI lớn MI ⇔ M hình chiếu vng góc I x 13 + t =  lên (P) Khi phương trình IM là:  y = −11 + t ⇒ M (13 + t ; −11 + t ;19 + t ) =  z 19 + t Cho M ∈ ( P) ⇒ 21 + 3t =0 ⇔ t =−7 ⇒ M ( 6; −18;12 ) Ví dụ 2: Cho điểm A (1; 4;5 ) ; B ( 0; 3;1) C ( 2; −1;0 ) (P) : x − y − z − 15 = Tìm điểm M thuộc (P) cho a) T = MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ b) T = MA2 + MB − MC đạt giá trị lớn Lời giải: G (1; 2; 2) a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇒      GA + GB + GC =          Ta có: T = MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC ( ) ( ) ( )     = 3MG + MG (GA + GB + GC) + GA2 + GB + GC = 3MG + GA2 + GB + GC Do Tmin ⇔ M ⇔ M hình chiếu vng góc G lên (P)  x = + 3t  Khi phương trình MG là:  y =2 − 3t ⇒ M (1 + 3t ; − 3t ; − t )   z= − 2t Giải M ∈ ( P) ⇒ 9t + + 9t − + 4t − − 15 = ⇔ t = ⇒ M ( 4; −1;0 ) x A + xB − xC  =  x1 = 1+ −     y A + yB − yC b) Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB − IC ⇒  y1 = = −14 + −  z A + z B − zC  = −7  z1 = 1+ −  Biến đổi T = − MI + IA2 + IB − IC đạt giá trị lớn ⇔ MI ⇔ M hình chiếu vng góc I  x= + 3t  −14 − 3t ⇒ M ( + 3t ; −14 − 3t ; −7 − 2t ) lên (P) Khi phương trình MI là:  y =  z =−7 − 2t  −31  16 −61 −15  Giải M ∈ ( P) ⇒ 9t + 21 + 9t + 42 + 4t + 14 − 15 =0 ⇔ t = ⇒ M − ; ;  11  11 11 11  Ví dụ 3: Cho điểm A (1;1; −1) ; B ( 2; 0;1) C (1; −1; −1) (P) : x + y + z + = Biết điểm M thuộc (P) cho T =MA2 + MB − MC đạt giá trị nhỏ Tính độ dài OM A OM = B OM = C OM = D OM = Lời giải: x A + xB − xC  =  x1 = 1+ −1      y + yB − yC Gọi điểm I điểm thỏa mãn IA + IB − IC =0 ⇒  y1 = A =1 1+ −1  z A + z B − zC  =  z1 = 1+ −1  Biến đổi T= MI + IA2 − IB + IC đạt gía trị nhỏ ⇔ MI ⇔ M hình chiếu vng góc I  x= + t  t ⇒ M ( + t ;1 + t ;1 + t ) lên (P) Khi phương trình MI là:  y =+ z = 1+ t  Giải M ∈ ( P) ⇒ 3t + + =0 ⇔ t =−2 ⇒ M ( 0; −1; −1) ⇒ OM = Chọn C Ví dụ 4: Cho điểm A ( 0; 4; −2 ) ; B (1; 2; −1) (P) : x + y + z + = Biết điểm M thuộc (P) cho biểu thức MA2 − MB đạt giá trị lớn Tính OM A OM = B OM = C OM = D OM = Lời giải:    Gọi I điểm thỏa mãn IA − IB =⇒ I ( 2;0;0 ) Biến đổi MA2 − MB = − MI + IA2 − IB đạt giá trị lớn M hình chiếu vng góc I lên  x= + t  (P) Khi phương trình MI là:  y =−t ⇒ M ( + t ; −t ; t ) z = t  Cho M ∈ ( P) ⇒ + t + t + t + =0 ⇔ t =−1 ⇒ M (1;1; −1) ⇒ OM = Chọn B Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;1) ; B ( 2; −1;3) Điểm M mặt phẳng ( Oxyz ) cho MA2 − MB lớn Khi = T xM + yM có giá trị A T = B T = C T = −1 D T = Lời giải:     Gọi M điểm thỏa mãn IA − IB =0 ⇔ IA =2 IB ⇔ I ( 3; −4;5 )     Khi MA2 − MB = MI + IA − MI + IB ( ) ( )    = − MI + MI ( IA − IB ) + IA2 − IB = − MI + IA2 − IB lớn ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I mặt phẳng ( Oxy ) Suy M ( 3; −4;0 ) ⇒ T = −1 Chọn C Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz ,cho điểm A ( 4;1;5 ) ; B ( 3;0;1) ; C ( −1; 2;0 ) mặt phẳng      (P) : x − y + z + 37 = Điểm M (a;b;c) thuộc (P) cho S = MA.MB + MB.MC + MC.MA nhỏ Tính a+b+c A a+b+c=13 B a+b+c=9 C a+b+c=11 D a+b+c=1 Lời giải: 1 3 5 7   Gọi D  ; ;3  ; E 1;1;  ; F  ; ;  trung điểm AB, BC AC 2 2 2 2             AB Ta có: MA.MB = MD + DA MD + DB = MD + DA MD − DA = MD − AD = MD − ( )( Suy S = MD + ME + MF − ) ( )( ) AB + BC + AC nhỏ ⇔ MD + ME + MF nhỏ Gọi G ( 2;1; ) trọng tâm tam giác DEF ⇒ MD + ME + MF = 3MG + GD + GE + GF nhỏ ⇔ MGmin  x= + 3t  − 3t ⇔ M hình chiếu G (P) ⇒ MG :  y =  z= + 2t  Suy M= MG ∩ ( P) ⇒ M(−4;7; −2) ⇒ a + b + = c Chọn D Dạng 3: Tìm điểm M thuộc (P) cho ( MA + MB )min MA − MB max Phương pháp giải: +) Kiểm tra vị trí tương đối điểm A B so với mặt phẳng (P) +) Nếu A B phía (P) tốn ( MA + MB )min phải lấy đối xứng A qua (P) MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B dấu xảy ⇔ A′, M , B thẳng hàng hay = M A′B ∩ ( P) Bài tốn tìm MA − MB max , ta có MA − MB ≤ AB ⇒ M giao điểm trực tiếp đường thẳng AB (P) +) Nếu A B khác phía (P) tốn MA − MB max phải lấy đối xứng A qua (P) tốn tìm ( MA + MB )min ⇒ M giao điểm trực tiếp đường thẳng AB (P) Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −1;3; −2 ) ; B ( −3;7; −18 ) mặt phẳng ( P) : x − y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ Lời giải: Đặt f = x − y + z + 1= ta có: f ( A ) f ( B ) > ⇒ A,B phía với mặt phẳng (P) Gọi A′ điểm đối xứng A qua ( P) : x − y + z + = ⇒ AA′ : x +1 y − z + = = −1 Gọi I ( −1 + 2t ;3 − t ; −2 + t= ) AA′ ∩ ( P) suy 2(−1 + 2t ) − (3 − t ) − + t + =0 ⇔ t = ⇒ I (1; 2; −1) ⇒ A(3;1;0) Khi MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B dấu xảy ⇔ A′, M , B thẳng hàng  x= + u  Phương trình đường thẳng A′B  y =1 − u ⇒ M =A′B∩ (P) ⇒ M(3 + u;1 − u;3u)  z = 3u  Giải M ∈ ( P) ⇒ u =−1 ⇒ M(2; 2; −3) Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x − y + z − = điểm A ( 2;3;0 ) ; B ( 2; −1; ) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA − MB lớn Lời giải: Kí hiệu f = x − y + z − = Ta có f ( A ) f ( B ) < nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) x −2 y −3 z Gọi A′ điểm đối xứng A qua (P) Ta có: AA′ : = = −1 Khi I = AA′ ∩ ( P) ⇒ (2 + t;3 − t ; 2t ) ⇒ t + + t − + t − = ⇒ t = 5  ⇒ I  ; ;1 ⇒ A′(3; 2; 2) 2  Lại có MA − MB = MA′ − MB ≤ A′B dấu xảy ⇔ A′, M , B thẳng hàng  x= + u   13  Khi A′B  y =2 + 3u ⇒ M =A′B∩ (P) ⇒ M  ; ;  2  z =  Ví dụ 3: : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3;1;0 ) ; B ( −9; 4;9 ) mặt phẳng (P) có phương trình ( P) : x − y + z + = Gọi I (a;b;c) điểm thuộc mặt phẳng (P) cho IA − IB đạt giá trị lớn Khi tổng a +b +c A a + b + c = 22 B a + b + c =−4 C a + b + c =−13 D a + b + c = 13 Lời giải:  f ( xA ; y A ; z A ) = Đặt f ( x; y; z ) =2 x − y + z + ⇒  ⇒ f ( A) f ( B) =−72 <  f (x B ; y B ; z B ) = −12 Do hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) Gọi B′ điểm đối xứng B qua mặt phẳng (P) ⇒ ( BB′ ) : x +9 y −4 z −9 == −1 Điểm H ∈ (BB′) ⇒ H ( 2t − 9; − t ; t + ) ∈ ( P ) → 2(2t − 9) − (4 − t ) + t + + = ⇒ t = Ta có IA − IB = IA − IB′ ≤ A′B ⇒ IA − IB max = AB′ ⇒ I giao điểm AB′ mặt phẳng (P)   x − y −1 z Lại có AB′ =( −4; −1;13) ⇒ u( AB′) =(4;1; −13) ⇒ (AB′) : = = −13 Điểm I ∈ (AB′) ⇒ I ( 4t + 3; t + 1; −13t ) ∈ ( P ) → I (7; 2; −13) ⇒ a + b + c =−4 Chọn B Ví dụ 4: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình ( P) : x − y + z + = điểm A ( 0;1; −2 ) ; B ( 2;0; −3) Gọi M (a;b;c) điểm thuộc mặt phẳng (P) cho MA + MB nhỏ Tính giá trị T= a+b+c A T = −5 B T = − C T = −1 D T = Lời giải: Kí hiệu f = x − y + z + ta có f ( A ) f ( B ) > ⇒ nên A,B nằm phía với (P) Gọi A′ điểm đối xứng A qua mặt phẳng (P) Khi MA + MB = MA′ + MB′ ≥ A′B dấu xảy ⇔ A′, M , B thẳng hàng x y −1 z + ′: Phương trình AA= Gọi H= AA′ ∩ ( P ) , H ( t ;1 − t ; −2 + 2t ) = −1 Cho H ∈ ( P ) ⇒ t + t − + 4t − + = ⇐ t = 1  ⇒ H  ; ; −1 ⇒ A′(1;0;0) 2  x= 1+ t 9  8 Khi A′B :  y =0 ⇒ M =A′B ∩ ( P ) ⇒ M  ;0; −  ⇒ a + b + c =− Chọn B 5 5  z = −3t  Dạng 4: Bài tốn lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng có yếu tố cực trị Phương pháp đại số: • Gọi véc tơ pháp tuyến véc tơ phương mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập (a; b;c), (a + b + c ) > • Thiết lập phương trình quy ẩn (a theo b,c ngược lại) từ kiện mặt phẳng chứa đường, song song vuông góc Giả sử phương trình thu gọn ẩn a = f (b; c) • Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề yêu cầu, thay a = f (b; c) vào ta phương trình hai ẩn b;c • Xét hàm khoảng cách d = g ( b; c ) + Nếu c = b ≠ → d = d1 lưu lại giá trị khoảng cách d1 b b + Nếu c ≠ ⇒= d g= );t  g (t = c c Khảo sát hàm g ( t ) ta thu kết Chú ý: • Cơng thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d ( A;( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C   u∆ ; AM    • Cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d ( A; ∆ ) =  ; với M thuộc ∆ u∆    u∆1 ; u∆  M 1.M   • Cơng thức khoảng cách hai đường thẳng d ( ∆1 ; ∆ ) =   u∆1 ; u∆    Phương pháp hình học: Bài tốn 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất, với M điểm không thuộc d Phương pháp giải:  Đường thẳng d xác định qua điểm A có véc tơ phương ud d ( M ; ( P ) ) điểm K cố định Kẻ MH ⊥ ( P); MK ⊥ d ⇒ MH = Ta có d ( M ; ( P = ) ) MH ≤ MK d ⊂ ( P) Suy d max = MK Khi  ( P ) ⊥ ( M ; d ) Gọi (α ) mặt phẳng chứa M d ta có:   n(P) ⊥ u d       u d  u d ; MA     ⇒ n(P) =        u d ; MA  n(P) ⊥ nα =       Khi (P) qua A có véc tơ pháp tuyến là: n(P) =  u d  u d ; MA      Ta có: ud =  ( −1;1; ) ; uOy ( 0;1;0 ) đường thẳng d qua M (1; −2;0 )     1; −5; ) =−1(1;5; −2 ) ⇔ n( P ) =ud ; ud ; uOy   =−   ( max  Mặt phẳng ( P ) qua điểm M có véc tơ pháp tuyến= n (1;5; −2 ) ( Để ( P ) ;Oy ) Phương trình mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Do ( P ) qua điểm A ( 6; −3;0 ) Chọn A Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; −1) ; B ( −1;1; ) Gọi ( Q ) phương trình mặt phẳng qua điểm A, B cho ( Q ) tạo với mặt phẳng ( Oxy ) góc nhỏ Khoảng cách từ gốc O đến mặt phẳng ( Q ) bằng: 35 A d = B d = 70 10   Ta có: AB =( −2; −1;3) ; n(Oxy ) ( 0;0;1) ( Để ( P ) ;Oxy ) C d = 70 70 D d = 70 35 Lời giải:     ⇔ nQ = AB;  AB; n(Oxy )   =− ( 6; −3; −5) =− ( 6;3;5)   Phương trình mặt phẳng ( Q ) là: x + y + z − = ⇒ d ( O; ( Q ) ) = 62 + 32 + 52 = 70 Chọn B 10 Bài tốn 2: Viết phương trình đường thẳng d ′ qua A nằm ( P ) cho góc đường thẳng d d ′ nhỏ (hoặc tạo với mặt phẳng ( Q ) cho trước góc lớn nhất) Phương pháp giải: ( - TH1: d ;d′ ) Qua A dựng đường thẳng ∆  d , ∆ lấy điểm I, hạ IH ⊥ ( P ) ⇒ A, I , H cố định, điểm K thay đổi = ; d ′) = ; d ′) = IAK α ( d ( ∆ Mà sin= α IK IH (Do IK ≥ IH ) suy α ⇔ H ≡ K hay d ′ qua A H ≥ IA IA Khi d ′ hình chiếu vng góc ∆ ( P )       = ⇔ ud ′  n( P ) ;= nAIH   n( P ) ;  n( P ) ; ud          n ;  n ; nQ   - TH2: d ⇔ ud ′ = ; (Q )   ( P)  ( P) max ( ;d′ Ta có: d ) ) ( (   Tổng kết:    (      n ;  n ; ud   ⇔ ud ′ =  ( P)  ( P)       n ; n ; n   ⇔ ud ′ = d ; (Q )  ( P )  ( P ) (Q )   max d ;d′ ) ) Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; −1; ) mặt phẳng ( P ) : x − y − z + = Lập phương trình đường thẳng d qua A; song song với ( P ) đồng thời tạo với đường ∆ : x +1 y −1 z = = −2 góc nhỏ Lời giải:  Gọi (α ) mặt phẳng chứa A song song với ( P ) ⇒ n(α ) = ( 2; −1; −1) Khi d nằm (α ) cho góc d ∆ nhỏ ( ) Ta có: d ;∆      n ; u∆ ; n   = ⇔ ud = (α )   −2 (1; −5;7 )  (α )  x −1 y +1 z − Phương trình đường thẳng d là: d : = = −5 Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; −1; ) hai đường x −1 y − z + x −3 y −2 z +3 Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A đồng thời cắt d: = = ;d′ : = = −1 −1 2 đường d cho góc ∆ d ′ nhỏ nhất? Lời giải: Gọi ( P ) mặt phẳng chứa A d  Đường thẳng d qua điểm A (1; 2; −2 ) có VTCP là= ud ( 2;1; −1)    Khi n( P ) =  AM ; ud  = − (1;0; ) Đường thẳng ∆ ⊂ ( P )      Ta có: ∆ ⇔ u∆ =  n( P ) ;  n( P ) ; ud ′   = ( 8; −10; −4 ) = ( 4; −5; −2 ) ;d′   ( ) Phương trình đường thẳng là: d : x +1 y z +1 = = −5 −2 Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình đường thẳng d qua A (1;0; −2 ) cắt ∆: x −1 y +1 z − cho góc d mặt phẳng ( P ) : x − y + z − =0 lớn nhất? = = −2 Lời giải: Đường thẳng d nằm mặt phẳng ( Q ) chứa A ∆   Đường thẳng ∆ qua điểm M (1; −1; ) có VTCP u∆ = ( 3; 2; −2 ) , AM ( 0; −1; )     Ta có: n(Q ) = AM ; u∆  =− ( −6;12;3) ⇒ n(Q ) =( −2; 4;1) (  Để d; ( P) ) max     ⇔ ud = n(Q ) ;  n(Q ) ; n( P )   =− ( 30; −3; −48) =−3 (10;1;16 )   Khi phương trình đường thẳng d : x −1 y z + = = 10 16 Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng ∆ qua A (1;0;1) , nằm mặt phẳng ( P ) : x + y − z − =0  x y −1 z +1 tạo với đường thẳng d= góc nhỏ Biết u = ( 5; b;c ) : = 2 −1 véc tơ phương đường thẳng ∆ Tìm b + c A b + c =−6 B b + c =   Ta có: n( P ) = ( 2;1; −1) ; ud = ( 2; −1; ) ( )  Để d; ∆ C b + c =−3 D b + c = Lời giải:      13   n ;  n ; ud   = 10;7; 13 ⇔ u∆ = − − = − ( )  ; − ;  P P ( ) ( )    2 2  13 Do đó: b =− ; c = ⇒ b + c =3 Chọn D 2 x y−2 z Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −1;1) , đường thẳng ∆ : = , mặt = 2 Gọi d đường thẳng điểm qua A nằm ( P ) tạo với ∆ góc bé phẳng ( P ) : x − y + z − = α Tính sin α A 78 B   Ta có: n( P ) = (1; −1;1) ; u∆ = (1; 2; ) ( )  Để d; ∆ C Lời giải:     ⇔ ud = n( P ) ;  n( P ) ; u∆   =− ( 2; −7; −5) =− ( 2;7;5)   D 75 x − y +1 z −1 Phương trình đường thẳng d là: d : = =   + 14 + 10 78 Khi cos α = cos u∆ ; ud = = ⇒ sin α =1 − cos α = Chọn B 9 22 + + 52 ( ) Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d đường thẳng song song với ( P ) : x − y + z − = , đồng thời tạo với mặt phẳng ( Oyz ) góc lớn ϕ Tính P = sin ϕ A P = B P = 2 C P =   Gọi Q ≡ ( Oyz ) ⇒ n(Q ) =(1;0;0 ) ; n( P ) =(1; −2; ) ( Ta có ϕ =d ; (Q ) ) max Lời giải:     ⇔ ud = n( P ) ;  n( P ) ; n(Q )   =− ( 8; −2; ) =−2 ( 4;1; −1)     Suy sin = ϕ cos ud ; n(= Q) ( D P = ) 2 Chọn B = 18 Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − =0 , điểm A ( 2;3;0 ) thuộc mặt phẳng ( P ) đường thẳng d : x +1 y z −1 Đường thẳng d ′ qua A nằm ( P ) cho = = 1 −1 góc đường thẳng d d ′ nhỏ qua điểm điểm sau: A ( 0;0;1) B ( 2; 4;1)   Ta có: n( P ) = ( 2; −1;1) ; ud = (1; −1;1) ( ) ′ Do d;d      ⇔ ud=′  n( P ) ;  n( P ) ; ud =   C (1;1;0 ) D (1; 2;1) Lời giải: ( 2; 2; −2=) (1;1; −1) ⇒ d′ : x −2 y −3 z = = −1 1 Vậy d ′ qua hai điểm (1; 2;1) Chọn D Ví dụ 8: Cho mặt phẳng d: ( P ) : x − y + z − =0 điểm A ( 2;1;1) thuộc mặt phẳng ( P ) đường thẳng x −1 y z +1 Đường thẳng d ′ qua A nằm ( P ) cho góc đường thẳng d d ′ nhỏ = = −1 2 cắt mặt phẳng ( Oyz ) điểm E Tính P = OE A P = 14 B P = C P = 10 Lời giải:     Ta có: n( P ) = ( −1; 2; ) ⇒  n( P ) ; ud  = ( 4;3; −1) (1; −1;1) ; ud = D P = 14 ( ) ′ Ta có: d;d     x − y −1 z −1 ⇔ ud ′ = n( P ) ;  n( P ) ; ud   =− ( 2; −5; −7 ) ⇒ d′ : = =   −5 −7 10 Chọn C Vậy d ′ cắt mặt phẳng x = điểm E ( 0;6;8 ) ⇒ OE = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2; ) , B ( 5; 4; ) mặt phẳng ( P) : x + y − z + = Nếu M thay đổi thuộc ( P ) giá trị nhỏ MA2 + MB A 60 B 50 C 200 D 2968 25 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −5; 2; ) , B ( −1;6; ) Mặt phẳng   ( P) : x + y − z − = Gọi M ( a; b;c ) điểm thuộc ( P ) thỏa mãn MA + 3MB nhỏ nhất, tính giá trị tích abc B A −20 C 12 D 24 Câu 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 5;8; −11) , B ( 3;5; −4 ) ; C ( 2;1; −6 ) mặt cầu (S) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = Gọi M ( x M ; y M ; z M ) điểm ( S ) cho biểu thức 2    P xM + yM MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ Tính = A P = B P = C P = −2 D P = Câu 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A (1;0; ) , B ( 0; −1;6 ) mặt phẳng ( P) : x + y − z + 12 = Gọi M điểm di động mặt phẳng ( P ) Tìm giá trị lớn MA − MB A B 10 C D 10 Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A ( 2; −1;1) , B (1; −1;0 ) đường thẳng x −1 y −1 z −1 Gọi M điểm thuộc đường thẳng d cho diện tích tam giác MAB nhỏ Tính d: = = giá trị biểu thức Q = x M + y M + z M A Q = 29 B Q = 53 18 C Q = 49 18 D Q = 101 36 Câu 6: Trong không gian vớihệ trục Oxyz , cho hai điểm M ( 0;1;3) , B (10;6;0 ) mặt phẳng ( P ) có phương trình ( P) : x − y + z − 10 = Điểm I ( −10; a; b ) thuộc mặt phẳng ( P ) cho IM − IN lớn Tính tổng T = a + b A T = B T = C T = D T = Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x + y + z + = hai điểm   A ( 3;1;1) , B ( 7;3;9 ) Gọi M ( a; b;c ) điểm mặt phẳng (α ) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Tính S =a − 2b + 3c A S = −6 B S = 19 C S = D S = Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −3;5; −5 ) , B ( 5; −3;7 ) mặt phẳng (P) : x + y + z − = Lấy điểm M ( a; b;c ) mặt phẳng (α ) cho MA2 + MB đạt giá trị nhỏ Tính S = a + b + c A S = B S = C S = D S = Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0; −2; −3) , B ( −4; −4;1) ;C ( 2; −3;3) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng Oxz cho MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ A ( 0;0;3) B ( 0;0; ) C ( 0;0;1) D ( 0;0; −1) Câu 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A ( 2;0; −1) , B (1;0; −1) , C ( 0;1;0 ) Gọi M điểm thuộc mặt phẳng Oxy cho AM − BM + 2CM đạt giá trị lớn Tính độ dài đoạn thẳng OM A 13 B 29 C 26 D Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3;1;0 ) , B ( −9; 4;9 ) mặt phẳng (P) : x − y + z + = Gọi I ( a; b;c ) điểm thuộc mặt phẳng ( P ) cho IA − IB đạt giá trị lớn Khi tổng a + b + c A a + b + c = 22 B a + b + c =−4 C a + b + c =−13 D a + b + c = 13 Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2; −3; ) , B ( 3;5; ) Tìm tọa độ điểm M trục Oz cho MA2 + MB đạt giá trị nhỏ A M ( 0;0; 49 ) B M ( 0;0;0 ) C M ( 0;0;67 ) D M ( 0;0;3) Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho A (1; 2;3) B ( 3; 2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua A cách B khoảng lớn A x − z − = B x + y + z − 10 = C x + y + z − 10 = D x − z + = Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = 36 mặt phẳng 2 (P) : x + y − z + m = Tìm m để mặt phẳng ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn A m = −20 B m = C m = 36 D m = 20 Câu 15: Cho mặt cầu (S) : x + y + z − x − y + z − =0 Tìm tất giá trị thực tham số m để mặt phẳng (P) : x + y − z − m = cắt mặt cầu ( S ) theo đường có chu vi lớn A m = B m = −13 C m = 13 D m = −1 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm M (1; 2;3) cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C cho T = 1 đạt giá trị nhỏ + + 2 OA OB OC A ( P ) : x + y + z − 14 = B ( P ) : x − y + z − = C ( P ) : x + y + z − 18 = D ( P ) : x + y + z − 10 = x −4 y −5 z Câu 17: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : = = Xét mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ M ( 0;0;0 ) đến ( P ) đạt giá trị lớn Xác định tọa độ giao điểm N ( P ) trục Oz A N ( 0;0; −9 ) B N ( 0;0;9 ) C N ( 0;0;3) Câu 18: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : D N ( 0;0;6 ) x −1 y z − điểm M (1;7;3) Viết = = 2 phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ M đến ( P ) đạt giá trị lớn A x − y + z − = B x + y − z − 10 = C x + y + z − 15 = D x − y − z + = Câu 19: Trong không gian với hệ trục Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm M ( 2;1;3) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz điểm A, B, C không trùng với O cho biểu thức 1 đạt giá trị nhỏ + + 2 OA OB OC A x + y + z − 10 = B x − y + z − 14 = C x + y + z − 14 = D x + y − z − 14 = Câu 20: Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi vuông góc Một điểm M cố định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) a, b, c Biết tồn mặt phẳng ( P ) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Tính giá trị nhỏ A Vmin = 9abc B Vmin = abc C Vmin = 27 abc D Vmin = abc Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A (1; 2; −3) đường thẳng  x +1 y − z Tìm véc tơ phương u đường thẳng ∆ qua M, vng góc với đường thẳng d d:= = −1 2 đồng thời cách điểm A khoảng bé   A B = u ( 2; 2; −1) = u ( 3; 4; −4 )  C u = ( 2;1;6 )  D u = (1;0; ) Câu 22: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M ( 2; 2; −3) N ( −4; 2;1) Viết phương trình cho khoảng cách từ N đến ∆ đạt đường thẳng ∆ qua M, song song với mặt phẳng ( P ) : x + y + z = giá trị nhỏ A ∆ : x−2 y−2 z +3 = = −2 −4 B ∆ : x−2 y−2 z +3 = = −1 −1 C ∆ : x−2 y−2 z +3 = = −2 −8 D ∆ : x−2 y−2 z +3 = = −2 −3 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : a x + by + cz + d = ( a + b + c > ) qua hai điểm M ( 5;1;3) N (1;6; ) Biết khoảng cách từ điểm P ( 5;0; ) đến mặt phẳng (α ) đạt giá trị lớn Tính giá trị biểu thức S = A S = 14 B S = a+b+c+d a + b2 + c2 14 C = 14 D S = 10 14 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN    Câu 1: Gọi I ( 3;3;3) trung điểm AB IA + IB =       T = MA2 + MB = MA + MB = MI + IA + MI + IB ( ) ( ) = MI + IA2 + IB nhỏ ⇔ MI Khi M hình chiếu vng góc I ( P ) ⇒ IM ⊥ ( P ) Suy MI m in = d ( M ; ( P ) ) = 2.3 + − + +1+1 = 12  12  2 ⇒ Tmin =   + IA + IB = 60 Chọn A  6    Câu 2: Gọi I điểm thỏa mãn IA + 3IB =0 ⇒ I ( −2;5; )    Khi MA + 3MB = MI nhỏ ⇔ MI ⇔ M hình chiếu I ( P )  x =−2 + t  Phương trình đường thẳng IM qua I vng góc với ( P ) là:  y = + t ⇒ M ( −2 + t ;5 + t ; − 2t )  z= − 2t  Cho M ∈ ( P ) ⇒ t − + + 4t − − = ⇔ t =1 ⇒ M ( −1;6;0 ) ⇒ abc = Chọn B       Câu 3: Gọi điểm G ( x; y; z ) cho GA − GB − GC = ⇔ BA = GC ⇒ G ( 0; −2;1) Xét măt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) = tâm I ( 4; 2; −1) bán kính R =  Ta có IG = ( 4; −4; ) ⇒ IG = 2 42 + ( −4 ) + 22 = > R ⇒ G nằm mặt cầu ( S )         Ta có MA − MB − MC = − MG + GA − GB − GC = MG = MG ⇒ MG nhỏ ⇔ I , M , G thẳng x = hàng hay M trung điểm IG ⇒ M ( 2;0;0 ) ⇒  M Chọn D ⇒P= y =  M Câu 4: Kí hiệu f =x + y − z + 12 Ta có f ( A ) f ( B ) < nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng ( P ) Gọi điểm đối xứng A qua mặt phẳng ( P ) Ta có: AA′ : x −1 y z − = = Khi I = AA′∩ ( P ) ⇒ I (1 + t ; 2t ; − 2t ) ∈ ( P ) 2 ⇒ t + + 4t + 4t − + 12 =⇒ t= −1 ⇒ I ( 0; −2; ) ⇒ A′ ( −1; −4;6 ) Lại có MA − MB = MA′ − MB ≤ A′B dấu xảy ⇔ A′, M , B thẳng hàng A′B =10 Chọn B Vậy MA − MB max =   Câu 5: Gọi M (1 + t ;1 + 2t ;1 + 3t ) ∈ d ⇒ AM ( t − 1; 2t + 2;3t ) ; AB ( −1;0; −1) Ta có S MAB = =   1  AM AB  =   ( −2t − 2; −2t − 1; 2t + ) = ( 2t + ) + ( 2t + 1) + ( 2t + ) 2 −20 −5 49  −2 −3  12t + 20t + nhỏ ⇔ t= = ⇒ M  ; ;  ⇒ Q= Chọn C 24 18 6  Câu 6: Đặt f = x − y + z − 10 ⇒ f ( M ) f ( N ) > ⇒ M , N nằm phía với mặt phẳng ( P ) Ta có: IM − IN ≤ MN ⇔ M , N , I thẳng hàng  x = 10t  Phương trình đường thẳng MN là:  y =1 + 5t ⇒ I =MN ∩ ( P ) =( −10; −4;6 )  z= − 3t  Suy T = a + b = Chọn D Câu 7: Gọi I ( 5; 2;5 ) trung điểm AB   Ta có: MA + MB = MI nhỏ ⇔ MI ⇔ M hình chiếu vng góc I  x= + t (α ) : x + y + z + = ⇒ MI :  y = + t ⇒ M ( + t; + t;5 + t )  z= + t  Cho M ∈ (α ) ⇒ t + + t + + t + + =0 ⇔ t =−5 ⇒ M ( 0; −3;0 ) ⇒ S =6 Chọn A Câu 8: Gọi I (1;1;1) trung điểm AB Ta có: MA2 + MB 2= MI + IA2 + IB 2= MI + IA2 nhỏ ⇔ MI ⇔ M hình chiếu x= 1+ t  vng góc I ( P ) : x + y + z − =0 ⇒ MI :  y =+ t ⇒ M (1 + t ;1 + t ;1 + t ) z = 1+ t  Giải M ∈ ( P ) ⇒ t = ⇒ M ( 2; 2; ) ⇒ S = Chọn D     Câu 9: Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB + IC =0 ⇒ I ( 0; −3;1) Biến đổi MA2 + MB + MC 2= MI + IA2 + IB + IC nhỏ ⇔ MI ⇔ M hình chiếu vng góc I ( Oxz ) ⇒ M ( 0;0;1) Chọn C Câu 10: Đặt T =MA2 − 5MB + MC     3  Gọi I điểm thỏa mãn IA − IB + IC = ⇒ I  ; −1; −2  2  Biến đổi T = −2 MI + IA2 − IB + IC lớn ⇔ MI ⇔ M hình chiếu vng góc I 13 3  Oxy ⇒ M  ; −1;0  ⇒ OM = Chọn A 2  Câu 11: Đặt f = x − y + z + ⇒ f ( A ) f ( B ) < ⇒ M , N nằm khác phía so với ( P ) : x − y + z + =0 x − y −1 z Gọi A′ điểm đối xứng A qua mặt phẳng ( P ) ta có: AA′ : = = −1 Khi K =AA′∩ ( P ) ⇒ K ( + 2t ;1 − t ; t ) ∈ ( P ) : 4t + + t − + t + =0 ⇒ t =−1 Do K (1; 2; −1) ⇒ A′ ( −1;3; −2 ) Lại có IA − IB = IA′ − IB ≤ A′B dấu xảy ⇔ A′, I, B thẳng hàng  x =−1 + 8u  Khi A′B :  y =3 − u ⇒ I =A ' B ∩ ( P) ⇒ I ( 7; 2; −13) ⇒ a + b + c =−4 Chọn B  z =−2 − 11u  Câu 12: Gọi M ( 0;0; t ) ⇒ MA2 + MB = + + ( t − ) + + 25 + ( t − ) = 2t − 12t + 67 nhỏ ⇔ t = −b 12 = = ⇒ M ( 0;0;3) Chọn D 2a 2.2 Câu 13: Gọi H hình chiếu B (α ) Ta có BH ≤ BA ⇒ BH max = AB Dấu xảy AB ⊥ (α )  Lại có AB= ( 2;0; −2 ) ⇒ Phương trình mặt phẳng (α ) x−z+2= Chọn D Câu 14: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 4;7; −1) , bán kính R = R2 − d ( I ; ( P )) Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến ⇒ r = −20 Chọn A Để rmax ⇔ d ( I ; ( P ) ) nhỏ ⇔ ( P ) qua I ⇒ m = Câu 15: ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( x + 3) = 16 có tâm I (1; 2; −3) , bán kính R = 2 Yêu cầu toán ⇔ ( P ) qua tâm I ⇒ + 3.2 − ( −3) − m = ⇔ m = 13 Chọn C Câu 16: Gọi phương trình mặt phẳng Vì ( P) ( P) : x y z + + = , với A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) a b c 1 1  1 1 qua M suy = + + ⇔ ≤  + +  (12 + 22 + 32 ) ⇔ + + ≥ a b c a b c 14 a b c  Ta có T = 1 1 1 1 + + = + + ≥ Suy T ≥ 2 14 OA OB OC a b c 14 Dấu xảy khi= a 14;= b 7;= c 14 x y 3z Vậy ( P ) : + + = Chọn A 14 14 Câu 17: Gọi H, K hình chiếu M ( P),(d ) Khi d ( M ; ( P ) ) = MH ≤ MK ⇒ d ( M ; ( P ) )max = MK Gọi (α ) mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d   n( P ) ⊥ ud    Suy    = ud ; MA với A ( 4;5;0 ) ∈ ( d ) n( P ) ⊥ n(α )     ud ; ud ; MA  Mà ⇒ n( P ) =     ud = (1; 2;3)  ⇒ n( P ) = (1;1; −1)    MA = ( 4;5;0 ) Do phương trình mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = Vậy N =P ∩ Oz → N ( 0;0;9 ) Chọn B Câu 18: Gọi H, K hình chiếu M ( P ) , ( d ) Khi d ( M ; ( P ) ) = MH ≤ MK ⇒ d ( M ; ( P ) )max = MK Gọi (α ) mặt phẳng qua M chứa đường thẳng d   n( P ) ⊥ ud    Suy    = ud ; MA với A (1;0; ) ∈ ( d ) n( P ) ⊥ n(α )     ud ; ud ; MA  ⇒ n( P ) =    Mà  ud = ( 2;1; )  ⇒ n( P ) = ( 2; −6;1) ⇒ x − y + z − =    MA = ( 0; −7; −1) Chọn A Câu 19: Gọi phương trình mặt phẳng Vì ( P) ( P) : x y z + + = , với A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) a b c 1 1  1 1 qua M suy = + + ⇔ ≤  + +  ( 22 + 12 + 32 ) ⇔ + + ≥ a b c a b c 14 a b c  Ta có T = 1 1 1 1 + + = + + ≥ Suy T ≥ 2 14 OA OB OC a b c 14 a 7;= b 14;= c Dấu xảy khi= 14 x y 3z Vậy ( P ) : + + = Chọn C 14 14 Câu 20: Ta có M ( a; b; c ) Phương trình mặt phẳng là: ( P ) : A ( x − b ) + B ( y − c ) + C ( z − a ) = Ab + Bc + Ca   Ab + Bc + Ca   Ab + Bc + Ca   Khi A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  0;0;  A B C       Thể tích khối tứ diện OABC là: ( 3 ABC.abc Ab + Bc + Ca ) ( V= OA.OB.OC = ≥ 6 ABC ABC ) 27 abc 9abc == Chọn A   Câu 21: Gọi ( P ) mặt phẳng qua M vng góc với d n( P= d ) u= ( 2; 2; −1)       n ;  AM ; n   AM ( −3; −4; ) Khi ∆ ⊂ ( P ) Ta có: d ( A;d )min ⇔ u∆ = ( P)    ( P)      Suy u∆ = n( P ) ;  AM ; n( P )   (1;0; ) Chọn D =   Câu 22: Gọi ( Q ) mặt phẳng qua M , song song với mặt phẳng ( P ) : x + y + z = suy   n= n= (Q ) ( P) ( 2;1;1) Khi  −2 ( 3;0; −2 ) ∆ ⊂ ( Q ) Ta có: MN = ( −6;0; ) =     d ( N; ∆ )min ⇔ u∆ = n(Q ) ;  MN ; n(Q )   =−2 (10; −4; −16 ) =−4 ( 5; −2; −8 )   Phương trình đường thẳng ∆ : x−2 y−2 z +3 = = Chọn C −2 −8 Câu 23: Gọi phương trình đường thẳng MN là: ∆ : x − y −1 z − = = −5 Gọi H ( + 4t ;1 − 5t ;3 + t ) ∈ MN hình chiếu vng góc điểm P đường thẳng MN  Khi đó: PH=  ( 4t;1 − 5t; −1 + t ) ; uMN = ( 4; −5;1)     −6  Giải PH uMN = 16t + 25t − + t − = ⇔ t = ⇒ PH  ; ;  7 7     −6  Ta có: d ( P; (α ) ) ≤ PH , dấu xảy ⇔ PH ⊥ (α ) ⇒ n(α ) = PH =  ; ;  = ( 2;1; −3) 7 7  Phương trình mặt phẳng (α ) là: x + y − z − = Gọi I (1;1;1) Khi đó= S d ( I; (α = )) = 14 14 Chọn C ... −1 y − z − Phương trình MG: = = suy M = MG ∩ ( P) ⇒ M(0; 4;1) −2 Do T = a + b + c = 17 Chọn B Ví dụ 5: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng cho điểm A ( 0; −3;1) ; B ( 2;7;1) C (1;0;3)... =0 ⇔ t =−1 ⇒ M (1;1; −1) ⇒ OM = Chọn B Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;1) ; B ( 2; −1;3) Điểm M mặt phẳng ( Oxyz ) cho MA2 − MB lớn Khi = T xM + yM có giá trị A T = B... MA   =−9(1; −4;1)    Do mặt phẳng ( P ) cần tìm qua A (1;0; ) có n(P) (1; −4;1) ⇒ ( P) : x − y + z − = x −1 y +1 z − Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz cho điểm M ( 5;1;6 ) đường