bai toan tim diem trong khong gian

Chủ đề 18: BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN  Dạng 1: Tìm hình chiếu vng góc điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải:  Loại 1: Tìm hình chiếu vng góc H điểm A lên đường thẳng ∆    Tham số hóa điểm H ∈ ∆ ⇒ AH Do AH ⊥ ∆ ⇒ ΑH u∆ =0 , giải phương trình tìm giá trị tham số, từ suy tọa độ điểm H Chú ý: Nếu A′ điểm đối xứng A qua đường thẳng ∆ H trung điểm AA ′ Từ công thức trung điểm suy tọa độ điểm A′  Loại 2: Tìm hình chiếu vng góc H điểm A lên mặt phẳng (P)   Gọi d đường thẳng qua A vng góc với (P), ud = n( P ) từ ta viết phương trình đường thẳng d suy H= d ∩ ( P ) Chú ý: Nếu A′ điểm đối xứng A qua mặt phẳng (P) H trung điểm AA ′ Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x +1 y + z = = Tìm tọa độ điểm H −1 hình chiếu vng góc điểm A ( 2; −3;1) lên đường thẳng ∆ Lời giải:  Gọi H ( −1 + 2t ; −2 − t ; 2t ) ⇒ AH= ( 2t − 3;1 − t ; 2t − 1)   Cho ΑH u∆ =0 ⇔ ( 2t − 3;1 − t ; 2t − 1) ( 2; −1; ) =0 ⇔ ( 2t − 3) + ( t − 1) + ( 2t − 1) = ⇔ t = ⇒ H = (1; −3; ) Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( −2;1; −1) Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện Lời giải: PT mặt phẳng ( ABC ) : x + y+ z − =0 , phương trình đường thẳng qua D vng góc với (ABC) có   x + y −1 z +1 vectơ phương ud == = = n( P ) (1;1;1) ⇒ d : 1 ⇒ H =d ∩ ( ABC ) Gọi H ( −2 + t ;1 + t ; −1 + t ) ∈ d Do H ∈ ( P ) ⇒ −2 + t + + t − + t − = ⇔ t = Vậy H ( −1; 2;0 )  x = −t  Ví dụ 3: Hình chiếu vng góc M ( 2;0;0 ) lên đường thẳng  y= + t có tọa độ là: z= + t  A ( −2; 2;1) B ( −2;0;0 ) C ( 2;1; −1) D (1; 2; −1) Lời giải:   Gọi H ( −t ;3 + t ;1 + t ) ⇒ MH =− ( t − 2;3 + t;1 + t ) ; ud =− ( 1;1;1)   Cho MH ud = ⇔ t + + + t + + t = ⇔ t = −2 ⇒ H ( 2;1; −1) Chọn C Ví dụ 4: Hình chiếu vng góc M (1; 4; ) lên mặt phẳng (α ) : x + y + z − =0 có tọa độ là: A ( −1; 2;0 ) B ( 2; −1;0 ) C ( −2;3;1) D ( 3; 2; −1) Lời giải: x −1 y − z − Phương trình đường thẳng qua M vng góc với (α ) là: d : = = 1 H= d ∩ (α ) , gọi H (1 + t ; + t ; + t ) ∈ d ⇒ + t + + t + + t − =0 ⇔ t =−2 ⇒ H ( −1; 2;0 ) Chọn A Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (α ) : x + y − z − 27 =0 Điểm đối xứng với điểm M ( 2;1;0 ) qua mặt phẳng (α ) có tọa độ là: A ( 2; −1;0 ) B ( −2; −1;0 ) C (13;6; −4 ) D ( 6;13; −4 ) Lời giải: x − y −1 z Phương trình đường thẳng qua M vng góc với (α ) là: d : = = −1 H= d ∩ (α ) ⇒ H ( 4;7; −2 ) trung điểm MM ′ ⇒ M ′ ( 6;13; −4 ) Chọn D  x = + 2t  Ví dụ 6: Điểm đối xứng với điểm A (1; −2; −5 ) qua đường thẳng ( d ) :  y =−1 − t có tọa độ là:  z = 2t  A ( −2; −1;7 ) B ( −1; −2;5 ) C ( −3; 2;1) D (1; 2; −4 ) Lời giải: Gọi A′ điểm đối xứng A qua d  Gọi H (1 + 2t ; −1 − t ; 2t ) ta có: AH = ( 2t ;1 − t ; 2t + )   Cho ΑH ud =4t + t − + 4t + 10 =0 ⇔ t =−1 ⇒ H ( −1;0; −2 ) ⇒ A′ ( −3; 2;1) Chọn C Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 2;3; −1) , B ( 0; −1; ) , C (1;0;3) Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC : A ( 3;1;0 ) B (1;0;3)   Ta có: BC = u= BC C ( −2; −3;1) D ( 3; 2; −1) Lời giải: (1;1;1) x = t  Phương trình đường thẳng BC BC :  y =−1 + t  z= + t    Gọi H ( t ; −1 + t ; + t ) ∈ BC ta có: AH =( t − 2; t − 4; t + 3) ; uBC =(1;1;1) =0   AH uBC = ⇔ 3t − = ⇔ t = ⇒ H (1;0;3) Chọn B  Dạng 2: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d thỏa mãn điều kiện K cho trước Phương pháp giải: Tham số hóa tọa độ điểm M ∈ d vào điều kiện K để tìm giá trị tham số Từ suy tọa độ điểm M Ví dụ 1: Trong khơng gian với tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 4; ) ; B ( −1; 2; ) đường thẳng ∆: x −1 y + z 28 = = Tìm điểm M ∈ ∆ cho MA2 + MB = −1 Lời giải: x= − t  Phương trình tham số ∆ :  y =−2 + t  z = 2t  Gọi M (1 − t ; −2 + t ; 2t ) ∈ ∆ , ta có: MA2 + MB = 28 ⇔ t + ( t − ) + ( 2t − ) + ( − t ) + ( t − ) + ( 2t − ) = 28 2 2 ⇔ 12t − 48t + 48 = ⇔ t = ⇒ M ( −1;0; ) Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm Ox điểm A cho A cách đường thẳng d: x −1 y z + mặt phẳng ( P ) : x − y − z = = = 2 Lời giải:  Đường thẳng d qua điểm M (1;0; −2 ) có VTCP ud = (1; 2; ) Gọi A ( a;0;0 ) ∈ Ox ⇒ d ( A= ; ( P )) 2a = +1+ 2a ; d (= A; d )   ud ; AM    =  ud 8a − 24a + 36 Theo giả thiết ta có: d ( A; ( P ) ) = d ( A; d ) ⇔ 8a − 24a + 36 2a = ⇔ 4a − 24a + 36 = ⇔ a = 3 Vậy A ( 3;0;0 ) điểm cần tìm x y − z +1 hai điểm Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d= : = −1 A ( 2; −1;1) ; B ( 0;1; −2 ) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác ABM có diện tích nhỏ Lời giải: x = t  Đường thẳng d có phương trình tham số d :  y= − t  z =−1 + 2t  Gọi M điểm cần tìm Do M thuộc d M nên M ( t ;3 − t ; −1 + 2t )   AM =( t − 2; − t ; 2t − ) Ta có:    BM = ( t ; − t ; 2t + 1)    4−t ⇒  AM , BM  =   2−t 2t − 2t − t − t − − t  ; ;  = ( t + 8; t + 2; −4 ) 2t + 2t + t t 2−t  Do S ABM=    AM , BM =   2 Vậy S = 34 t =−5 ⇒ M ( −5;8; −11) ( t + 8) + ( t + ) + 16 = 2 1 2 ( t + ) + 34 ≥ 34 2 x −1 y − z −1 Ví dụ 4: Cho hai điểm A (1; −1; ) , B ( −1; 2;3) đường thẳng d : = = Tìm điểm 1 M ( a; b; c ) thuộc d cho MA2 + MB = 28 , biết c < A M ( −1;0; −3) B M ( 2;3; −3) 1 2 C M  ; ; −  6 3  2 D M  − ; − ; −   6 3 Lời giải: 1  Gọi M (1 + t ; + t ;1 + 2t ) 1 + 2t > ⇔ t > −  2  Khi MA2 + MB =t + ( t + 3) + ( 2t − 1) + t + ( 2t − ) =28 2 t = 1( loai ) 1 2 ⇔ 12t − 2t − 10 =0 ⇔  −5 ⇒ M  ; ; −  Chọn C t = 6 3  Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 5;8; −11) ; B ( 3;5; −4 ) ; C ( 2;1; −6 ) đường    x −1 y − z −1 thẳng d : = = Điểm M thuộc d cho MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ Tính 1 P = xM + yM + zM A P = − 14 B P = 14 C P = 13 D P = − 13 Lời giải: Điểm M thuộc d nên M (1 + 2t ; + 2t ;1 + t )   MA = ( 2t − 4; 2t − 6; t + 12 )      Ta có:  MB =( 2t − 2; 2t − 3; t + ) ⇒ MA − MB − MC =( −2t − 1; −2t − 4; −t )    MC = ( 2t − 1; 2t + 1; t + )    ⇒ MA − MB − MC= ( 2t + 1) + ( 2t + ) + t = 2 2 9t + 20t + 17= 53  10  53 ≥ 9t +  + 9  10 14  11  Dấu đẳng thức xảy t = − ⇒ M =− ;− ;−  ⇒ P = − Chọn A  9  9 9  Dạng 3: Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho MA = MB = MC Phương pháp giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình= ⇒ giải hệ phương trình tìm tọa độ  AC.OM  M ∈ ( P )   điểm M Ví dụ 1: Cho ba điểm A ( 0;1; ) , B ( 2; −2;1) , C ( −2;0;1) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Tìm điểm M (P) cho MA = MB = MC Lời giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  AC.OM =  M ∈ ( P )   ( 2; −3; −1)( x; y; z ) = x =   ⇔ ( −2; −1; −1)( x; y; z ) = ⇔  y = Vậy M ( 2;3; −7 ) 2 x + y + z =  z = −7   Ví dụ 2: Cho ba điểm A (1;3;1) , B ( 3;1;5 ) , C ( 5;1; −1) mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = Tìm điểm M (P) cho MA = MB = MC Lời giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  AC.OM =  M ∈ ( P )   12 ( 2; −2; )( x; y; z ) = x =   ⇔ ( 4; −2; −2 )( x; y; z ) = ⇔  y = Vậy M ( 4; 2; ) 3 x − y − z =  z =  Ví dụ 3: Cho ba điểm A (1;1;3) , B ( 3; −1;1) , C ( 2; 2; −1) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Tìm điểm M (P) cho MA = MB = MC Lời giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  AC.OM =  M ∈ ( P )   ( 2; −2; −2 )( x; y; z ) = x =   ⇔ (1;1; −4 )( x; y; z ) = −1 ⇔  y = Vậy M ( 2;1;1) 2 x − y + z = z =   Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 4;3;0 ) ; B ( −2;5; −2 ) ; C ( 0; −1;0 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − =0 Điểm A a + b + c = M ( a; b; c ) ∈ ( P ) thỏa mãn MA = MB = MC , tính a + b + c B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Lời giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  AC.OM =  M ∈ ( P )   ( −6; 2; −2 )( a; b;c ) = a =   ⇔ ( −4; −4;0 )( a; b;c ) =−12 ⇔ b =2 ⇒ a + b + c =0 Chọn B  2a + b + c = c = −3    Dạng 4: Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho MA = MB điểm M thỏa mãn điều kiện K cho trước Phương pháp giải: Cách 1: Do MA = MB ⇒ điểm M thuộc mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực AB (mặt phẳng qua trung điểm AB vuông góc với AB) Khi M ∈ d = ( P ) ∩ ( Q ) , ta tham số hóa điểm M theo ẩn t vào điều kiện K để tìm tọa độ điểm M Để viết phương trình đường thẳng d giao tuyến (P) (Q) ta cho x = t tìm y z theo ẩn t Cách 2: Gọi tọa độ M ( x; y; z ) giải hệ phương trình ẩn phương trình M ∈ ( P ) ; M ∈ ( Q ) điều kiện K để tìm tọa độ điểm M Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;0;1) , B ( 0; −2;3) mặt phẳng Tìm điểm M (P) cho ( P ) : 2x − y − z + = MA = MB = Lời giải: Phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực AB qua I (1; −1; ) có VTPT   n = AB =( −2; −2; ) suy ( Q ) : x + y − z + = ⇒ M ∈ ( P ) ∩ ( Q )  = y  y + z = 2t +  Cho x = ⇔ t⇒  y − z =−t − = z  t +1 3t  t  ⇒ M  t ; + 1; +    t +3 Ta có: MA2 =( t − ) t= ⇒ M ( 0;1;3) 2 t   3t   +  + 1 +  +  =9 ⇔ t + 3t =0 ⇔   12  t =− ⇒ M  − ; ;  2      7 7 Ví dụ 2: Cho ba điểm A ( 3;1; ) , B ( −1;1;0 ) , C ( 0;1; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x + z − = Tìm điểm M (P) cho MA = MB MC = 11 Lời giải: Phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực AB qua I (1;1;1) có VTPT:   n =AB =− ( 4;0; −2 ) =−2 ( 2;0;1) ⇒ ( Q ) : x + z − =0 x = 3 x + z − =  Khi điểm M = ⇔  y =⇒ t M (1; t;1) ( P ) ∩ (Q ) :  2 x + z − = z =  t= ⇒ M (1;0;1) 2 Lại có: MC =1 + ( t − 1) + =11 ⇔ ( t − 1) =1 ⇔  t= ⇒ M (1; 2;1) Ví dụ 3: Cho ba điểm A (1;0; −2 ) , B ( −1; 2; ) , C ( 4;5;3) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 10 = Tìm điểm M (P) cho MA = MB MB ⊥ MC Lời giải:  Trung điểm AB I ( 0;1;1) AB =− ( 2; 2;6 ) =−2 (1; −1; −3) Phương trình mặt phẳng trung trực AB là: ( Q ) : x − y − z + = Khi điểm = M ( P ) ∩ ( Q ) Cho  x + y =−3t + 10  x =3 z =t ⇒  ⇔ ⇒ M ( 3; −3t + 7; t )  x − y =3t −  y =−3t +   Mặt khác MB ⊥ MC ⇒ MB.MC = ⇔ ( −4;3t − 5; −t + )(1;3t − 2;3 − t ) = t = ⇒ M ( 3; 4;1)  ⇔ −4 + ( 3t − )( 3t − ) + ( − t )( − t ) = ⇔ 10t − 28t + 18 = ⇔   9 t= ⇒ M  3; ;    5 Ví dụ 4: Cho hai điểm A ( 2; −1;1) ; B ( 0;3;3) mặt phẳng ( P ) : x − z = Điểm M ( a; b;c ) (P) thỏa mãn MA = MB = 10 Biết xM > , tính giá trị biểu thức T = a + b + c A T = −9 B T = 14 C T = −12 Lời giải:  Trung điểm AB I (1;1; ) AB =− ( 2; 4; ) =−2 (1; −2; −1) Phương trình mặt phẳng trung trực AB là: ( Q ) : x − y − z + = D T =  z = 2t 2t = z  Khi điểm = M ( P ) ∩ ( Q ) Cho x = t⇒ ⇔ −t + (với xM = t > ) y = 2 y = x − z +  2 2  −t   −t  Suy M  t ; + ; 2t  , lại có: MA2 =( t − ) +  +  + ( 2t − 1) =90  2  2  ⇔ t = 21 21 315 t >0 t − t− = 0⇔ t= ⇒ M ( 5; −1;10 ) → 4 t = −3 Vậy a + b + c = 14 Chọn B Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 3;5; ) , B ( 3;1; ) mặt phẳng ( P ) : x − y − z − =0 Điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cân C có diện tích 17 Biết điểm C có cao độ dương Độ dài OC bằng: A OC =  AB = B OC = C OC = 67 D OC = 65 Lời giải: ( 0; −4;0 ) , gọi I ( 3;3; ) trung điểm AB CI ⊥ AB (do tam giác ABC cân C) Do CA = CB ⇒ C thuộc mặt phẳng trung trực (Q) AB có phương trình ( Q ) : y = =  y 3= y Gọi C ∈ ( P ) ∩ ( Q ) :  ⇔ z −1 x−z  x − y −= = Gọi C ( t ;3; t − ) ta có: S ABC = 1 CI AB = 2 ( t − 3) + ( t − ) = 17 ⇔ ( t − 3) + ( t − )= 17 2 t = ⇔ 2t − 22t + 56 =9 ⇔  ⇒ C ( 7;3;3) , C ( 4;3;0 ) t = Vì zC > ⇒ C ( 7;3;3) ⇒ OC =67 Chọn C Ví dụ 6: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 2;7;3) ; B ( 4;5;3) mặt phẳng ( P ) : x − y − z =−4 Điểm C (P) cho tam giác ABC Tính A P = 66 B P = 30 P = OCmax C P = 76 D P = Lời giải:  Gọi M trung điểm AB ta có M ( 3;6;3) ; AB ( 2; −2;0 ) Do CA = CB nên C thuộc mặt phẳng trung trực AB có phương trình ( Q ) : x − y =−3 Do tam giác ABC nên BC = AB ⇒ BC = AB ⇔ ( x − ) + ( y − ) + ( z − 3) = Giải hệ phương phương trình 2  x − y − z =−4 z = z 1,= x 2,= y =   ⇒  x + =y ⇔  x − y =−3 z 1,= x 4,= y =   2 2 x y z x x − + − + − = − + − = 4 ) ) ( ( ( ) ) ) ( (   Vậy C ( 2;5;1) , C ( 4;7;1) điểm cần tìm suy OCmax = 66 Chọn A Ví dụ 7: Cho hai điểm A ( 0;1; −1) ; B ( 2;3;1) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Điểm M có hoành độ nguyên nằm (P) cho tam giác MAB cân M có diện tích Tính P = OM A P = B P = 21 C P = 21 D P = Lời giải:  Gọi I trung điểm AB ta có I (1; 2;0 = ) ; AB  MI ⊥ AB (1;1;1) ⇒   AB = 2; 2; ) (= Do MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực AB có phương trình ( Q ) : x + y + z − = −3  = y t−   y − z =−2t −  2 ⇒ M  t ; −3 t − ; t +  Khi = M ( P ) ∩ ( Q ) , cho x = t⇒ ⇒   2 2   y + z =−t +  z= t +  2 Lại có: S ABC = 1 MI AB = MI = ⇒ MI = 2 t = 2 7t 25  3t   t  ⇔ ( t − 1) +  − −  +  +  = 32 ⇔ + 9t − = 0⇔ t = − 25 2 2 2      Do M có hồnh độ ngun nên M (1; −2; ) ⇒ OM = 21 Chọn B Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z − =0 điểm A ( 3; −1; −3) ; B ( 5;1;1) Điểm C thuộc (P) cho mặt phẳng (ABC) vng góc với (P) diện tích tam giác ABC Tính P = OCmax A P = B P = 26 C P = 13 D P = Lời giải:     Mặt phẳng (Q) chứa AB vng góc với (P) nên có VTPT là: = nQ  AB; n= P (1;1; −1) Do phương trình mặt phẳng (Q) là: x + y − z − = ⇒ C ∈ ( Q ) ⇒ C = ( P ) ∩ ( Q ) x = t x + y − z − =  Phương trình giao tuyến (Q) (P) xét hệ  t Cho x =⇒ y = x − y − z − =  z =−5 + t  Gọi C ( t ;0; t − ) Ta có S ABC =    AB; AC  = ( 2t − ) =   2 C ( 5;0;0 ) OC = Vậy  ⇒ ⇒= = Chọn A P OCmax C ( 3;0; −2 ) OC = 13 t −4 = t = 3⇔ t = BÀI TẬP TỰ LUYỆN  x= − 4t  Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 − t điểm A (1;1;1)  z =−1 + 2t  Tìm tọa độ hình chiếu A′ A d A A′ ( 2;3;1) B A′ ( −2;3;1) C A′ ( 2; −3;1) D A′ ( 2; −3; −1) Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho A ( 0; −1; ) B (1;0; −2 ) hình chiếu vng góc điểm x y +1 z − ( P ) : x − y − z − = Tính S = a + b + c I ( a; b; c ) ∆ : = = −1 A + B + C D + Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M (1; 2;3) Tìm tọa độ hình chiếu M lên Ox A (2;0;0) B (1;0;0) C (3;0;0) D (0;2;3) Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;1;1) , B ( 2; −1; ) C ( 3; 4; −4 ) Giao điểm M trục Ox với mặt phẳng (ABC) A M (1;0;0 ) B M ( 2;0;0 ) C M ( 3;0;0 ) D M ( −1;0;0 ) Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( −7; −6;1) Tìm tọa độ A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) A A′ (1; 2; −3) B A′ (1; 2;1) C A′ ( 5; 4;9 ) Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : D A′ ( 9;0;9 ) x +1 y z−2 hai điểm = = −2 −1 A ( −1;3;1) , B ( 0; 2; −1) Tìm tọa độ C thuộc d cho diện tích tam giác ABC 2 A C ( −5; −2; ) B C ( −3; −2;3) C C ( −1;0; ) D C (1;1;1) Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 4;0;0 ) , B ( 6; b;0 ) (với b > 0) AB = 10 Điểm C thuộc tia Oz cho thể tích tứ diện OABC 8, tọa độ điểm C A (0;1;2) B (0;0;-2) C (0;0;2) D (0;0;3) Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2;0 ) , B ( −2;3;1) , đường thẳng ∆: x −1 y z + == Tung độ điểm M ∆ cho MA = MB A − 19 B − 19 12 C 19 Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) : D − 19 x + y −1 z + hai điểm = = −2 A ( −2;1;1) , B ( −3; −1; ) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ( ∆ ) cho tam giác MAB có diện tích A M ( −2;1; −5 ) M ( −14; −35;19 ) B M ( −1; 4; −7 ) M ( 3;16; −11) C M ( −2;1; −5 ) M ( 3;16; −11) D M ( −1; 4; −7 ) M ( −14; −35;19 ) Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 0;1;0 ) , B ( 2; 2; ) đường thẳng x y − z +1 Tìm tọa độ M ∆ cho ∆MAB có diện tích nhỏ ∆: = = −1  26  A M  ; ;  9 9  36 51 43  B M  ; ;   29 29 29  C M ( 4; −1;7 )  25  D M  ; ; −   13 13 13   x= + t  t Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆1 ) :  y = z = t  ( ∆2 ) : x−2 y−2 z = = Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆ 2 A M ( 9;6;6 ) M ( 6;3;3) B M ( 5; 2; ) M ( 2;0;0 ) C M (10;7;7 ) M ( 0; −3; −3) D M ( −2; −5; −5 ) M (1; −2; −2 ) Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) : Gọi C giao điểm ( P ) : x − y+ z = x −1 y z + = = mặt phẳng −1 ∆ với (P), M thuộc ∆ Tìm M biết MC = A M (1;0; −2 ) M ( 5; 2; −4 ) B M ( 3;1; −3) M ( −3; −2;0 ) C M (1;0; −2 ) M ( −3; −2;0 ) D M ( 3;1; −3) M ( −1; −1; −1) Câu 13: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x y −1 z Xác định tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng cách = = 1 từ M đến ∆ OM A M ( −1;0;0 ) M ( 2;0;0 ) B M ( 3;0;0 ) M (1;0;0 ) C M (1;0;0 ) M ( −2;0;0 ) D M ( 4;0;0 ) M ( 2;0;0 ) Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm Ox điểm M cách đường thẳng (d ) : x −1 y z + mặt phẳng ( P ) : x − y − z = = = 2 A M ( 3;0;0 ) B M ( −3;0;0 ) C M ( 2;0;0 ) D M ( −2;0;0 ) Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; ) , B ( −1; 2; ) đường thẳng ∆: x −1 y + z = = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA2 + MB nhỏ −1 A M (1; −2;0 ) B M ( 2; −3; −2 ) C M ( −1;0; ) D M ( 3; −4; −4 ) Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; −1) , B ( 7; −2;3) đường thẳng d: x−2 y z−4 Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ = = −2 A M ( −2; 4;0 ) B M ( 2;0; ) C M ( 3; −2;6 ) D M ( 4; −4;8 ) Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;0; ) , B (1; −1;1) , C ( 2; 2; −1) đường thẳng ∆ :    x −1 y z − == Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA + MB − MC đạt giá trị nhỏ 1 5 7 A M  ; ;  3 3  1 B M  − ; − ;   3 3  5 C M  2; ;   2  1 5 D M  − ; − ;   3 3 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2;1;0 ) , B (1; 2; ) , C (1;1;0 ) mặt phẳng ( P ) : x + y+ z − 20 =0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) 3  A M  ; ;1 2  5 2 B M  ; ;  3 3 5  C M  ; ; −1 2  D M ( −1; 4;6 ) Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 9; −3;5 ) , B ( a; b; c ) Gọi M, N, P giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz) Biết M, N, P nằm đoạn AB cho AM = MN = NP = PB Giá trị a+b+c A -21 B -15 C 15 D 21 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Gọi A′ ( − 4t ; −2 − t ; −1 + 2t ) ∈ d hình chiếu vng góc A d   Ta có: AA′ = ( − 4t ; −3 − t ; −2 + 2t ) ud =( −4; −1; )   Khi AA′.ud = 16t − 20 + t + + 4t − = ⇔ 21t = 21 ⇔ t = ⇒ A′ ( 2; −3;1) Chọn C Câu 2: Do IB ⊥ ( P ) ⇒ I thuộc đường thẳng qua B vng góc với (P)  x = + 2t   ⇒ I (1 + 2t ; −t ; −2 − 2t ) ⇒ AI =( 2t + 1; −t + 1; −2t − ) Ta có: IB :  y =−t  z =−2 − 2t     Mặt khác= u∆ ( 4;1; −1) ta có AI u∆= ( 2t + 1) + ( −t + 1) + 2t + 4= ⇔ 9t + =0 ⇔ t =−1 ⇒ I ( −1;1;0 ) ⇒ S =a + b + c =0 Chọn C Câu 3: Tọa độ hình chiếu M lên Ox M ′ (1;0;0 ) Chọn B     Câu 4: Ta có: AB = (1; −2;1) ; AC = ( 2;3; −5 ) ⇒  AB AC  = ( 7;7;7 ) = (1;1;1) Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x + y + z − = Khi giao điểm M trục Ox với mặt phẳng (ABC) là: M ( 3;0;0 ) Chọn C   Câu 5: Phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với (P) có VTCP u n( P ) ( 2; 2; −1) =  x =−7 + 2t  Suy ∆ :  y =−6 + 2t , gọi H ( 2t − 7; 2t − 6;1 − t ) ∈ ∆ hình chiếu vng góc A′ xuống (P) z= − t  Ta có: H ∈ ( P ) ⇒ 4t − 14 + 4t − 12 + t − + =0 ⇔ 9t =18 ⇔ t =2 Do đó: H ( −3; −2; −1) , điểm A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) nên H trung điểm AA′ ⇒ A′ (1; 2; −3) Chọn A   Câu 6: Gọi C ( −1 − 2t ; −t ; + t ) ∈ d suy AC = ( −2t ; −t − 3; t + 1) ; AB = (1; −1; −2 ) Ta có: S ABC=   1  AB AC = ( 3t + 7; −3t + 1;3t + 3)=   2 ( 3t + ) + ( 3t − 1) + ( 3t + 3) 2 = 27t + 54t + 59 =2 ⇔ 27t + 54t + 27 =0 ⇔ 27 ( t + 1) =0 ⇔ t =−1 Do C (1;1;1) Chọn D b >0 2 = 10 ⇔ AB= 22 + b= 40 ⇔ b= 36 → = b Câu 7: Ta có: AB Vì C thuộc tia Oz nên C ( 0;0; t )( t > ) ⇒ ( OAC ) : y = 1 d ( B; ( OAC ) ) SOAC = .4.t = ⇔ t = 3    OA; OB  OC → tham số t Ngồi bạn sử dụng cơng thức VOABC =  6 Lại có: VO ABC = Vậy C ( 0;0; ) Chọn C Câu 8: Gọi M (1 + 3t ; 2t ; −2 + t ) ∈ ∆ ta có: MA =MB ⇔ MA2 =MB ⇔ 9t + ( 2t − ) + ( t − ) = 2 ( 3t + 3) + ( 2t − 3) + ( t − 3) 2 −19 −19 ⇔ −8t − 4t + = 18t − 12t − 6t + 27 ⇔ 12t = −19 ⇒ t = ⇒ yM = 2t = Chọn A 12 Câu 9: Gọi M ( −2 + t ;1 + 3t ; −5 − 2t ) ∈ ∆   Ta có: AM = ( t ;3t ; −6 − 2t ) ; AB = ( −1; −2;1) Suy S ABC=   1  AM ; AB =   ( −t − 12; t + 6; t )= ( t + 12 ) + ( t + ) + t 2= t = ⇔ 3t + 36t + 180 = 180 ⇔  ⇒ M ( −2;1; −5 ) M ( −14; −35;19 ) Chọn A t = −12   Câu 10: Gọi M ( t ;3 − t ; −1 + 2t ) ∈ ∆ ta có: AM= ( t ; − t ; −1 + 2t ) ; AB = ( 2;1; ) Khi S ABC = =   1  AM ; AB  = ( −4t + 5; 2t − 1;3t − ) =   2 ( 4t − 5) + ( 2t − ) + ( 3t − ) 2 −b 72 36  36 51 43  29t − 72t + 45 đạt giá trị nhỏ ⇔ t = = = ⇒ M  ; ;  Chọn B 2a 2.29 29  29 29 29  Câu 11: Gọi M ( + t ; t ; t ) ∈ ∆1  Đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2; 2;0 ) có vectơ phương u2 = ( 2;1; ) Ta có: d (= M ; ∆2 )    AM ; u2    =  u2 ( t + 1; t − 2; t ) ; ( 2;1; )  = +1+ (t − 4) + + ( t − 5) = t =  M ( 9;6;6 ) ⇔ 2t − 18t + 45 =9 ⇔  ⇒ Chọn A t =  M ( 6;3;3) Câu 12: Gọi C (1 + 2t ; t ; −2 − t ) ∈ ∆ , C ∈ ( P ) nên 2t + − 2t − − t =0 ⇔ t =−1 ⇒ C ( −1; −1; −1) Gọi M (1 + 2u; u; −2 − u ) ∈ ∆ ta có: MC =6 ⇔ ( 2u + ) + ( u + 1) + ( u + 1) =6 u = −2  M ( −3; −2;0 ) Chọn C ⇔ ( u + 1) =6 ⇔  ⇒ u =  M (1;0; −2 ) Câu 13: Gọi M ( t ;0;0 ) ta có: OM = t 2  Đường thẳng ∆ qua A ( 0;1;0 ) có vectơ phương u = ( 2;1; ) d (= M ; ∆)    MA; u    =  u ( t ; −1;0 ) ; ( 2;1; )  = +1+ Do OM = d ( M ; ∆ ) ⇔ t = + 4t + ( t + ) = 5t + 4t + ⇔ 4t − 4t − = ⇔ 5t + 4t + t = −1 t =  Do M ( −1;0;0 ) M ( 2;0;0 ) Chọn A Câu 14: Gọi M ∈ Ox → M ( t ;0;0 ) ⇒ d  M ; ( P )  =t    Lấy A (1;0; −2 ) ⇒ AM =( t − 1;0; ) ⇒  AM ; u  =( −4; − 2t ; 2t − )    AM ; u    Khi đó, khoảng cách từ điểm M → ( d ) d  M ; ( d )  =  u Theo ra, ta có ( −4 ) + ( − 2t ) + ( 2t − ) 12 + 22 + 22 2 t ⇔ t= Vậy M ( 3;0;0 ) Chọn A = Câu 15: Gọi M ∈ ∆ → M (1 − t ; −2 + t ; 2t )   Ta có MA = ( t ;6 − t ; − 2t ) MB = ( −2 + t ; − t ; − 2t ) Suy MA2 + MB = t + ( − t ) + ( − 2t ) + ( −2 + t ) + ( − t ) + ( − 2t ) 2 2 = 12t − 48t + 76 = 12 ( t − 4t + ) + 28 = 12 ( t − ) + 28 ≥ 28 ⇒ {MA2 + MB } = 28 Dấu xảy t = → M ( −1;0; ) Chọn C Câu 16: Gọi M ∈ d → M ( + 3t ; −2t ; + 2t )   Ta có MA = ( −1 − 3t ; + 2t ; −5 − 2t ) MB = ( − 3t ; −2 + 2t ; −1 − 2t ) = Khi MA + MB = 17t + 34t + 30 + 17t − 34t + 30 17 ( t − 1) + 13 + 17 ( t + 1) + 13 ≥ 2 ( 17 ) + ( 13 )= 2 120 Suy {MA + MB}min = 120 Dấu xảy t= → M ( 2;0; ) Chọn B Câu 17: Gọi M ∈ ∆ → M (1 + 2t ; t ; + t )    Ta có MA = ( −1 − 2t ; −t ; −t ) , MB = ( −2t ; −1 − t ;1 − t ) , MC = (1 − 2t ; − t ; −3 − t )    Khi MA + MB − MC = ( −3 − 2t ; −6 − t ;8 − t )    Suy T = MA + MB − MC = 6t + 8t + 109= 319 319 ≥ ( 3t + ) + 3 Do Tmin = 319  1 5 Dấu xảy t = − Vậy M  − ; − ;  Chọn D 3  3 3 Câu 18: Gọi (Q) mặt phẳng qua C song song với (P) Vì ( Q ) / / ( P ) nên ( Q ) : x + y + z + c = Mà C ∈ ( Q ) ⇒ + + c =0 ⇒ c =−2 Do đó, phương trình mặt phẳng (Q) x + y + z − =  x= − t  Ta có AB = ( −1;1; ) ⇒ phương trình đường thẳng AB :  y = + t  z = 2t  5  Vậy D = ( Q ) ∩ AB → D  ; ; −1 Chọn C 2  Câu 19: Ta có A, M, N, P, B thẳng hàng AM = MN = NP = PB nên N trung điểm AB, điểm M P trung điểm AN NB b−3  a +9 b−3 c +5 Ta có: N  ; ; = ⇔ b =  ∈ ( Oxz ) ⇒ 2   a+9 c+5    + −3 +  Suy M  ; ;  ∈ ( Oxy ) ⇒ z N =0 ⇔ c =−15 2     c+5  a+9   +a b +c Mặt khác P  ; ; A= −3  ∈ ( Oyz ) ⇒ xP =⇔ 2     Do a + b + c =−15 Chọn B  ... 2: Trong không gian Oxyz, cho A ( 0; −1; ) B (1;0; −2 ) hình chiếu vng góc điểm x y +1 z − ( P ) : x − y − z − = Tính S = a + b + c I ( a; b; c ) ∆ : = = −1 A + B + C D + Câu 3: Trong không gian. .. Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2;0 ) , B ( −2;3;1) , đường thẳng ∆: x −1 y z + == Tung độ điểm M ∆ cho MA = MB A − 19 B − 19 12 C 19 Câu 9: Trong không gian. .. 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm Ox điểm M cách đường thẳng (d ) : x −1 y z + mặt phẳng ( P ) : x − y − z = = = 2 A M ( 3;0;0 ) B M ( −3;0;0 ) C M ( 2;0;0 ) D M ( −2;0;0 ) Câu 15: Trong