bai toan tim diem trong khong gian

18 4 0
bai toan tim diem trong khong gian

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chủ đề 18: BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN  Dạng 1: Tìm hình chiếu vng góc điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải:  Loại 1: Tìm hình chiếu vng góc H điểm A lên đường thẳng ∆    Tham số hóa điểm H ∈ ∆ ⇒ AH Do AH ⊥ ∆ ⇒ ΑH u∆ =0 , giải phương trình tìm giá trị tham số, từ suy tọa độ điểm H Chú ý: Nếu A′ điểm đối xứng A qua đường thẳng ∆ H trung điểm AA ′ Từ công thức trung điểm suy tọa độ điểm A′  Loại 2: Tìm hình chiếu vng góc H điểm A lên mặt phẳng (P)   Gọi d đường thẳng qua A vng góc với (P), ud = n( P ) từ ta viết phương trình đường thẳng d suy H= d ∩ ( P ) Chú ý: Nếu A′ điểm đối xứng A qua mặt phẳng (P) H trung điểm AA ′ Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x +1 y + z = = Tìm tọa độ điểm H −1 hình chiếu vng góc điểm A ( 2; −3;1) lên đường thẳng ∆ Lời giải:  Gọi H ( −1 + 2t ; −2 − t ; 2t ) ⇒ AH= ( 2t − 3;1 − t ; 2t − 1)   Cho ΑH u∆ =0 ⇔ ( 2t − 3;1 − t ; 2t − 1) ( 2; −1; ) =0 ⇔ ( 2t − 3) + ( t − 1) + ( 2t − 1) = ⇔ t = ⇒ H = (1; −3; ) Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( −2;1; −1) Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh D tứ diện Lời giải: PT mặt phẳng ( ABC ) : x + y+ z − =0 , phương trình đường thẳng qua D vng góc với (ABC) có   x + y −1 z +1 vectơ phương ud == = = n( P ) (1;1;1) ⇒ d : 1 ⇒ H =d ∩ ( ABC ) Gọi H ( −2 + t ;1 + t ; −1 + t ) ∈ d Do H ∈ ( P ) ⇒ −2 + t + + t − + t − = ⇔ t = Vậy H ( −1; 2;0 )  x = −t  Ví dụ 3: Hình chiếu vng góc M ( 2;0;0 ) lên đường thẳng  y= + t có tọa độ là: z= + t  A ( −2; 2;1) B ( −2;0;0 ) C ( 2;1; −1) D (1; 2; −1) Lời giải:   Gọi H ( −t ;3 + t ;1 + t ) ⇒ MH =− ( t − 2;3 + t;1 + t ) ; ud =− ( 1;1;1)   Cho MH ud = ⇔ t + + + t + + t = ⇔ t = −2 ⇒ H ( 2;1; −1) Chọn C Ví dụ 4: Hình chiếu vng góc M (1; 4; ) lên mặt phẳng (α ) : x + y + z − =0 có tọa độ là: A ( −1; 2;0 ) B ( 2; −1;0 ) C ( −2;3;1) D ( 3; 2; −1) Lời giải: x −1 y − z − Phương trình đường thẳng qua M vng góc với (α ) là: d : = = 1 H= d ∩ (α ) , gọi H (1 + t ; + t ; + t ) ∈ d ⇒ + t + + t + + t − =0 ⇔ t =−2 ⇒ H ( −1; 2;0 ) Chọn A Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (α ) : x + y − z − 27 =0 Điểm đối xứng với điểm M ( 2;1;0 ) qua mặt phẳng (α ) có tọa độ là: A ( 2; −1;0 ) B ( −2; −1;0 ) C (13;6; −4 ) D ( 6;13; −4 ) Lời giải: x − y −1 z Phương trình đường thẳng qua M vng góc với (α ) là: d : = = −1 H= d ∩ (α ) ⇒ H ( 4;7; −2 ) trung điểm MM ′ ⇒ M ′ ( 6;13; −4 ) Chọn D  x = + 2t  Ví dụ 6: Điểm đối xứng với điểm A (1; −2; −5 ) qua đường thẳng ( d ) :  y =−1 − t có tọa độ là:  z = 2t  A ( −2; −1;7 ) B ( −1; −2;5 ) C ( −3; 2;1) D (1; 2; −4 ) Lời giải: Gọi A′ điểm đối xứng A qua d  Gọi H (1 + 2t ; −1 − t ; 2t ) ta có: AH = ( 2t ;1 − t ; 2t + )   Cho ΑH ud =4t + t − + 4t + 10 =0 ⇔ t =−1 ⇒ H ( −1;0; −2 ) ⇒ A′ ( −3; 2;1) Chọn C Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 2;3; −1) , B ( 0; −1; ) , C (1;0;3) Tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC : A ( 3;1;0 ) B (1;0;3)   Ta có: BC = u= BC C ( −2; −3;1) D ( 3; 2; −1) Lời giải: (1;1;1) x = t  Phương trình đường thẳng BC BC :  y =−1 + t  z= + t    Gọi H ( t ; −1 + t ; + t ) ∈ BC ta có: AH =( t − 2; t − 4; t + 3) ; uBC =(1;1;1) =0   AH uBC = ⇔ 3t − = ⇔ t = ⇒ H (1;0;3) Chọn B  Dạng 2: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d thỏa mãn điều kiện K cho trước Phương pháp giải: Tham số hóa tọa độ điểm M ∈ d vào điều kiện K để tìm giá trị tham số Từ suy tọa độ điểm M Ví dụ 1: Trong khơng gian với tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 4; ) ; B ( −1; 2; ) đường thẳng ∆: x −1 y + z 28 = = Tìm điểm M ∈ ∆ cho MA2 + MB = −1 Lời giải: x= − t  Phương trình tham số ∆ :  y =−2 + t  z = 2t  Gọi M (1 − t ; −2 + t ; 2t ) ∈ ∆ , ta có: MA2 + MB = 28 ⇔ t + ( t − ) + ( 2t − ) + ( − t ) + ( t − ) + ( 2t − ) = 28 2 2 ⇔ 12t − 48t + 48 = ⇔ t = ⇒ M ( −1;0; ) Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm Ox điểm A cho A cách đường thẳng d: x −1 y z + mặt phẳng ( P ) : x − y − z = = = 2 Lời giải:  Đường thẳng d qua điểm M (1;0; −2 ) có VTCP ud = (1; 2; ) Gọi A ( a;0;0 ) ∈ Ox ⇒ d ( A= ; ( P )) 2a = +1+ 2a ; d (= A; d )   ud ; AM    =  ud 8a − 24a + 36 Theo giả thiết ta có: d ( A; ( P ) ) = d ( A; d ) ⇔ 8a − 24a + 36 2a = ⇔ 4a − 24a + 36 = ⇔ a = 3 Vậy A ( 3;0;0 ) điểm cần tìm x y − z +1 hai điểm Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d= : = −1 A ( 2; −1;1) ; B ( 0;1; −2 ) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác ABM có diện tích nhỏ Lời giải: x = t  Đường thẳng d có phương trình tham số d :  y= − t  z =−1 + 2t  Gọi M điểm cần tìm Do M thuộc d M nên M ( t ;3 − t ; −1 + 2t )   AM =( t − 2; − t ; 2t − ) Ta có:    BM = ( t ; − t ; 2t + 1)    4−t ⇒  AM , BM  =   2−t 2t − 2t − t − t − − t  ; ;  = ( t + 8; t + 2; −4 ) 2t + 2t + t t 2−t  Do S ABM=    AM , BM =   2 Vậy S = 34 t =−5 ⇒ M ( −5;8; −11) ( t + 8) + ( t + ) + 16 = 2 1 2 ( t + ) + 34 ≥ 34 2 x −1 y − z −1 Ví dụ 4: Cho hai điểm A (1; −1; ) , B ( −1; 2;3) đường thẳng d : = = Tìm điểm 1 M ( a; b; c ) thuộc d cho MA2 + MB = 28 , biết c < A M ( −1;0; −3) B M ( 2;3; −3) 1 2 C M  ; ; −  6 3  2 D M  − ; − ; −   6 3 Lời giải: 1  Gọi M (1 + t ; + t ;1 + 2t ) 1 + 2t > ⇔ t > −  2  Khi MA2 + MB =t + ( t + 3) + ( 2t − 1) + t + ( 2t − ) =28 2 t = 1( loai ) 1 2 ⇔ 12t − 2t − 10 =0 ⇔  −5 ⇒ M  ; ; −  Chọn C t = 6 3  Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 5;8; −11) ; B ( 3;5; −4 ) ; C ( 2;1; −6 ) đường    x −1 y − z −1 thẳng d : = = Điểm M thuộc d cho MA − MB − MC đạt giá trị nhỏ Tính 1 P = xM + yM + zM A P = − 14 B P = 14 C P = 13 D P = − 13 Lời giải: Điểm M thuộc d nên M (1 + 2t ; + 2t ;1 + t )   MA = ( 2t − 4; 2t − 6; t + 12 )      Ta có:  MB =( 2t − 2; 2t − 3; t + ) ⇒ MA − MB − MC =( −2t − 1; −2t − 4; −t )    MC = ( 2t − 1; 2t + 1; t + )    ⇒ MA − MB − MC= ( 2t + 1) + ( 2t + ) + t = 2 2 9t + 20t + 17= 53  10  53 ≥ 9t +  + 9  10 14  11  Dấu đẳng thức xảy t = − ⇒ M =− ;− ;−  ⇒ P = − Chọn A  9  9 9  Dạng 3: Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho MA = MB = MC Phương pháp giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình= ⇒ giải hệ phương trình tìm tọa độ  AC.OM  M ∈ ( P )   điểm M Ví dụ 1: Cho ba điểm A ( 0;1; ) , B ( 2; −2;1) , C ( −2;0;1) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Tìm điểm M (P) cho MA = MB = MC Lời giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  AC.OM =  M ∈ ( P )   ( 2; −3; −1)( x; y; z ) = x =   ⇔ ( −2; −1; −1)( x; y; z ) = ⇔  y = Vậy M ( 2;3; −7 ) 2 x + y + z =  z = −7   Ví dụ 2: Cho ba điểm A (1;3;1) , B ( 3;1;5 ) , C ( 5;1; −1) mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = Tìm điểm M (P) cho MA = MB = MC Lời giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  AC.OM =  M ∈ ( P )   12 ( 2; −2; )( x; y; z ) = x =   ⇔ ( 4; −2; −2 )( x; y; z ) = ⇔  y = Vậy M ( 4; 2; ) 3 x − y − z =  z =  Ví dụ 3: Cho ba điểm A (1;1;3) , B ( 3; −1;1) , C ( 2; 2; −1) mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Tìm điểm M (P) cho MA = MB = MC Lời giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2  Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  AC.OM =  M ∈ ( P )   ( 2; −2; −2 )( x; y; z ) = x =   ⇔ (1;1; −4 )( x; y; z ) = −1 ⇔  y = Vậy M ( 2;1;1) 2 x − y + z = z =   Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 4;3;0 ) ; B ( −2;5; −2 ) ; C ( 0; −1;0 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − =0 Điểm A a + b + c = M ( a; b; c ) ∈ ( P ) thỏa mãn MA = MB = MC , tính a + b + c B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Lời giải:    OB − OA2  AB.OM =     OC − OA2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  AC.OM =  M ∈ ( P )   ( −6; 2; −2 )( a; b;c ) = a =   ⇔ ( −4; −4;0 )( a; b;c ) =−12 ⇔ b =2 ⇒ a + b + c =0 Chọn B  2a + b + c = c = −3    Dạng 4: Tìm điểm M mặt phẳng (P) cho MA = MB điểm M thỏa mãn điều kiện K cho trước Phương pháp giải: Cách 1: Do MA = MB ⇒ điểm M thuộc mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực AB (mặt phẳng qua trung điểm AB vuông góc với AB) Khi M ∈ d = ( P ) ∩ ( Q ) , ta tham số hóa điểm M theo ẩn t vào điều kiện K để tìm tọa độ điểm M Để viết phương trình đường thẳng d giao tuyến (P) (Q) ta cho x = t tìm y z theo ẩn t Cách 2: Gọi tọa độ M ( x; y; z ) giải hệ phương trình ẩn phương trình M ∈ ( P ) ; M ∈ ( Q ) điều kiện K để tìm tọa độ điểm M Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;0;1) , B ( 0; −2;3) mặt phẳng Tìm điểm M (P) cho ( P ) : 2x − y − z + = MA = MB = Lời giải: Phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực AB qua I (1; −1; ) có VTPT   n = AB =( −2; −2; ) suy ( Q ) : x + y − z + = ⇒ M ∈ ( P ) ∩ ( Q )  = y  y + z = 2t +  Cho x = ⇔ t⇒  y − z =−t − = z  t +1 3t  t  ⇒ M  t ; + 1; +    t +3 Ta có: MA2 =( t − ) t= ⇒ M ( 0;1;3) 2 t   3t   +  + 1 +  +  =9 ⇔ t + 3t =0 ⇔   12  t =− ⇒ M  − ; ;  2      7 7 Ví dụ 2: Cho ba điểm A ( 3;1; ) , B ( −1;1;0 ) , C ( 0;1; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x + z − = Tìm điểm M (P) cho MA = MB MC = 11 Lời giải: Phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực AB qua I (1;1;1) có VTPT:   n =AB =− ( 4;0; −2 ) =−2 ( 2;0;1) ⇒ ( Q ) : x + z − =0 x = 3 x + z − =  Khi điểm M = ⇔  y =⇒ t M (1; t;1) ( P ) ∩ (Q ) :  2 x + z − = z =  t= ⇒ M (1;0;1) 2 Lại có: MC =1 + ( t − 1) + =11 ⇔ ( t − 1) =1 ⇔  t= ⇒ M (1; 2;1) Ví dụ 3: Cho ba điểm A (1;0; −2 ) , B ( −1; 2; ) , C ( 4;5;3) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 10 = Tìm điểm M (P) cho MA = MB MB ⊥ MC Lời giải:  Trung điểm AB I ( 0;1;1) AB =− ( 2; 2;6 ) =−2 (1; −1; −3) Phương trình mặt phẳng trung trực AB là: ( Q ) : x − y − z + = Khi điểm = M ( P ) ∩ ( Q ) Cho  x + y =−3t + 10  x =3 z =t ⇒  ⇔ ⇒ M ( 3; −3t + 7; t )  x − y =3t −  y =−3t +   Mặt khác MB ⊥ MC ⇒ MB.MC = ⇔ ( −4;3t − 5; −t + )(1;3t − 2;3 − t ) = t = ⇒ M ( 3; 4;1)  ⇔ −4 + ( 3t − )( 3t − ) + ( − t )( − t ) = ⇔ 10t − 28t + 18 = ⇔   9 t= ⇒ M  3; ;    5 Ví dụ 4: Cho hai điểm A ( 2; −1;1) ; B ( 0;3;3) mặt phẳng ( P ) : x − z = Điểm M ( a; b;c ) (P) thỏa mãn MA = MB = 10 Biết xM > , tính giá trị biểu thức T = a + b + c A T = −9 B T = 14 C T = −12 Lời giải:  Trung điểm AB I (1;1; ) AB =− ( 2; 4; ) =−2 (1; −2; −1) Phương trình mặt phẳng trung trực AB là: ( Q ) : x − y − z + = D T =  z = 2t 2t = z  Khi điểm = M ( P ) ∩ ( Q ) Cho x = t⇒ ⇔ −t + (với xM = t > ) y = 2 y = x − z +  2 2  −t   −t  Suy M  t ; + ; 2t  , lại có: MA2 =( t − ) +  +  + ( 2t − 1) =90  2  2  ⇔ t = 21 21 315 t >0 t − t− = 0⇔ t= ⇒ M ( 5; −1;10 ) → 4 t = −3 Vậy a + b + c = 14 Chọn B Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 3;5; ) , B ( 3;1; ) mặt phẳng ( P ) : x − y − z − =0 Điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cân C có diện tích 17 Biết điểm C có cao độ dương Độ dài OC bằng: A OC =  AB = B OC = C OC = 67 D OC = 65 Lời giải: ( 0; −4;0 ) , gọi I ( 3;3; ) trung điểm AB CI ⊥ AB (do tam giác ABC cân C) Do CA = CB ⇒ C thuộc mặt phẳng trung trực (Q) AB có phương trình ( Q ) : y = =  y 3= y Gọi C ∈ ( P ) ∩ ( Q ) :  ⇔ z −1 x−z  x − y −= = Gọi C ( t ;3; t − ) ta có: S ABC = 1 CI AB = 2 ( t − 3) + ( t − ) = 17 ⇔ ( t − 3) + ( t − )= 17 2 t = ⇔ 2t − 22t + 56 =9 ⇔  ⇒ C ( 7;3;3) , C ( 4;3;0 ) t = Vì zC > ⇒ C ( 7;3;3) ⇒ OC =67 Chọn C Ví dụ 6: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 2;7;3) ; B ( 4;5;3) mặt phẳng ( P ) : x − y − z =−4 Điểm C (P) cho tam giác ABC Tính A P = 66 B P = 30 P = OCmax C P = 76 D P = Lời giải:  Gọi M trung điểm AB ta có M ( 3;6;3) ; AB ( 2; −2;0 ) Do CA = CB nên C thuộc mặt phẳng trung trực AB có phương trình ( Q ) : x − y =−3 Do tam giác ABC nên BC = AB ⇒ BC = AB ⇔ ( x − ) + ( y − ) + ( z − 3) = Giải hệ phương phương trình 2  x − y − z =−4 z = z 1,= x 2,= y =   ⇒  x + =y ⇔  x − y =−3 z 1,= x 4,= y =   2 2 x y z x x − + − + − = − + − = 4 ) ) ( ( ( ) ) ) ( (   Vậy C ( 2;5;1) , C ( 4;7;1) điểm cần tìm suy OCmax = 66 Chọn A Ví dụ 7: Cho hai điểm A ( 0;1; −1) ; B ( 2;3;1) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Điểm M có hoành độ nguyên nằm (P) cho tam giác MAB cân M có diện tích Tính P = OM A P = B P = 21 C P = 21 D P = Lời giải:  Gọi I trung điểm AB ta có I (1; 2;0 = ) ; AB  MI ⊥ AB (1;1;1) ⇒   AB = 2; 2; ) (= Do MA = MB nên M thuộc mặt phẳng trung trực AB có phương trình ( Q ) : x + y + z − = −3  = y t−   y − z =−2t −  2 ⇒ M  t ; −3 t − ; t +  Khi = M ( P ) ∩ ( Q ) , cho x = t⇒ ⇒   2 2   y + z =−t +  z= t +  2 Lại có: S ABC = 1 MI AB = MI = ⇒ MI = 2 t = 2 7t 25  3t   t  ⇔ ( t − 1) +  − −  +  +  = 32 ⇔ + 9t − = 0⇔ t = − 25 2 2 2      Do M có hồnh độ ngun nên M (1; −2; ) ⇒ OM = 21 Chọn B Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z − =0 điểm A ( 3; −1; −3) ; B ( 5;1;1) Điểm C thuộc (P) cho mặt phẳng (ABC) vng góc với (P) diện tích tam giác ABC Tính P = OCmax A P = B P = 26 C P = 13 D P = Lời giải:     Mặt phẳng (Q) chứa AB vng góc với (P) nên có VTPT là: = nQ  AB; n= P (1;1; −1) Do phương trình mặt phẳng (Q) là: x + y − z − = ⇒ C ∈ ( Q ) ⇒ C = ( P ) ∩ ( Q ) x = t x + y − z − =  Phương trình giao tuyến (Q) (P) xét hệ  t Cho x =⇒ y = x − y − z − =  z =−5 + t  Gọi C ( t ;0; t − ) Ta có S ABC =    AB; AC  = ( 2t − ) =   2 C ( 5;0;0 ) OC = Vậy  ⇒ ⇒= = Chọn A P OCmax C ( 3;0; −2 ) OC = 13 t −4 = t = 3⇔ t = BÀI TẬP TỰ LUYỆN  x= − 4t  Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :  y =−2 − t điểm A (1;1;1)  z =−1 + 2t  Tìm tọa độ hình chiếu A′ A d A A′ ( 2;3;1) B A′ ( −2;3;1) C A′ ( 2; −3;1) D A′ ( 2; −3; −1) Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho A ( 0; −1; ) B (1;0; −2 ) hình chiếu vng góc điểm x y +1 z − ( P ) : x − y − z − = Tính S = a + b + c I ( a; b; c ) ∆ : = = −1 A + B + C D + Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M (1; 2;3) Tìm tọa độ hình chiếu M lên Ox A (2;0;0) B (1;0;0) C (3;0;0) D (0;2;3) Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1;1;1) , B ( 2; −1; ) C ( 3; 4; −4 ) Giao điểm M trục Ox với mặt phẳng (ABC) A M (1;0;0 ) B M ( 2;0;0 ) C M ( 3;0;0 ) D M ( −1;0;0 ) Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( −7; −6;1) Tìm tọa độ A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) A A′ (1; 2; −3) B A′ (1; 2;1) C A′ ( 5; 4;9 ) Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : D A′ ( 9;0;9 ) x +1 y z−2 hai điểm = = −2 −1 A ( −1;3;1) , B ( 0; 2; −1) Tìm tọa độ C thuộc d cho diện tích tam giác ABC 2 A C ( −5; −2; ) B C ( −3; −2;3) C C ( −1;0; ) D C (1;1;1) Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A ( 4;0;0 ) , B ( 6; b;0 ) (với b > 0) AB = 10 Điểm C thuộc tia Oz cho thể tích tứ diện OABC 8, tọa độ điểm C A (0;1;2) B (0;0;-2) C (0;0;2) D (0;0;3) Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2;0 ) , B ( −2;3;1) , đường thẳng ∆: x −1 y z + == Tung độ điểm M ∆ cho MA = MB A − 19 B − 19 12 C 19 Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) : D − 19 x + y −1 z + hai điểm = = −2 A ( −2;1;1) , B ( −3; −1; ) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ( ∆ ) cho tam giác MAB có diện tích A M ( −2;1; −5 ) M ( −14; −35;19 ) B M ( −1; 4; −7 ) M ( 3;16; −11) C M ( −2;1; −5 ) M ( 3;16; −11) D M ( −1; 4; −7 ) M ( −14; −35;19 ) Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 0;1;0 ) , B ( 2; 2; ) đường thẳng x y − z +1 Tìm tọa độ M ∆ cho ∆MAB có diện tích nhỏ ∆: = = −1  26  A M  ; ;  9 9  36 51 43  B M  ; ;   29 29 29  C M ( 4; −1;7 )  25  D M  ; ; −   13 13 13   x= + t  t Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆1 ) :  y = z = t  ( ∆2 ) : x−2 y−2 z = = Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆1 cho khoảng cách từ M đến ∆ 2 A M ( 9;6;6 ) M ( 6;3;3) B M ( 5; 2; ) M ( 2;0;0 ) C M (10;7;7 ) M ( 0; −3; −3) D M ( −2; −5; −5 ) M (1; −2; −2 ) Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ∆ ) : Gọi C giao điểm ( P ) : x − y+ z = x −1 y z + = = mặt phẳng −1 ∆ với (P), M thuộc ∆ Tìm M biết MC = A M (1;0; −2 ) M ( 5; 2; −4 ) B M ( 3;1; −3) M ( −3; −2;0 ) C M (1;0; −2 ) M ( −3; −2;0 ) D M ( 3;1; −3) M ( −1; −1; −1) Câu 13: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x y −1 z Xác định tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng cách = = 1 từ M đến ∆ OM A M ( −1;0;0 ) M ( 2;0;0 ) B M ( 3;0;0 ) M (1;0;0 ) C M (1;0;0 ) M ( −2;0;0 ) D M ( 4;0;0 ) M ( 2;0;0 ) Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm Ox điểm M cách đường thẳng (d ) : x −1 y z + mặt phẳng ( P ) : x − y − z = = = 2 A M ( 3;0;0 ) B M ( −3;0;0 ) C M ( 2;0;0 ) D M ( −2;0;0 ) Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 4; ) , B ( −1; 2; ) đường thẳng ∆: x −1 y + z = = Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA2 + MB nhỏ −1 A M (1; −2;0 ) B M ( 2; −3; −2 ) C M ( −1;0; ) D M ( 3; −4; −4 ) Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; −1) , B ( 7; −2;3) đường thẳng d: x−2 y z−4 Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ = = −2 A M ( −2; 4;0 ) B M ( 2;0; ) C M ( 3; −2;6 ) D M ( 4; −4;8 ) Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;0; ) , B (1; −1;1) , C ( 2; 2; −1) đường thẳng ∆ :    x −1 y z − == Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA + MB − MC đạt giá trị nhỏ 1 5 7 A M  ; ;  3 3  1 B M  − ; − ;   3 3  5 C M  2; ;   2  1 5 D M  − ; − ;   3 3 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 2;1;0 ) , B (1; 2; ) , C (1;1;0 ) mặt phẳng ( P ) : x + y+ z − 20 =0 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) 3  A M  ; ;1 2  5 2 B M  ; ;  3 3 5  C M  ; ; −1 2  D M ( −1; 4;6 ) Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 9; −3;5 ) , B ( a; b; c ) Gọi M, N, P giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz) Biết M, N, P nằm đoạn AB cho AM = MN = NP = PB Giá trị a+b+c A -21 B -15 C 15 D 21 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Gọi A′ ( − 4t ; −2 − t ; −1 + 2t ) ∈ d hình chiếu vng góc A d   Ta có: AA′ = ( − 4t ; −3 − t ; −2 + 2t ) ud =( −4; −1; )   Khi AA′.ud = 16t − 20 + t + + 4t − = ⇔ 21t = 21 ⇔ t = ⇒ A′ ( 2; −3;1) Chọn C Câu 2: Do IB ⊥ ( P ) ⇒ I thuộc đường thẳng qua B vng góc với (P)  x = + 2t   ⇒ I (1 + 2t ; −t ; −2 − 2t ) ⇒ AI =( 2t + 1; −t + 1; −2t − ) Ta có: IB :  y =−t  z =−2 − 2t     Mặt khác= u∆ ( 4;1; −1) ta có AI u∆= ( 2t + 1) + ( −t + 1) + 2t + 4= ⇔ 9t + =0 ⇔ t =−1 ⇒ I ( −1;1;0 ) ⇒ S =a + b + c =0 Chọn C Câu 3: Tọa độ hình chiếu M lên Ox M ′ (1;0;0 ) Chọn B     Câu 4: Ta có: AB = (1; −2;1) ; AC = ( 2;3; −5 ) ⇒  AB AC  = ( 7;7;7 ) = (1;1;1) Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x + y + z − = Khi giao điểm M trục Ox với mặt phẳng (ABC) là: M ( 3;0;0 ) Chọn C   Câu 5: Phương trình đường thẳng ∆ qua A vng góc với (P) có VTCP u n( P ) ( 2; 2; −1) =  x =−7 + 2t  Suy ∆ :  y =−6 + 2t , gọi H ( 2t − 7; 2t − 6;1 − t ) ∈ ∆ hình chiếu vng góc A′ xuống (P) z= − t  Ta có: H ∈ ( P ) ⇒ 4t − 14 + 4t − 12 + t − + =0 ⇔ 9t =18 ⇔ t =2 Do đó: H ( −3; −2; −1) , điểm A′ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P) nên H trung điểm AA′ ⇒ A′ (1; 2; −3) Chọn A   Câu 6: Gọi C ( −1 − 2t ; −t ; + t ) ∈ d suy AC = ( −2t ; −t − 3; t + 1) ; AB = (1; −1; −2 ) Ta có: S ABC=   1  AB AC = ( 3t + 7; −3t + 1;3t + 3)=   2 ( 3t + ) + ( 3t − 1) + ( 3t + 3) 2 = 27t + 54t + 59 =2 ⇔ 27t + 54t + 27 =0 ⇔ 27 ( t + 1) =0 ⇔ t =−1 Do C (1;1;1) Chọn D b >0 2 = 10 ⇔ AB= 22 + b= 40 ⇔ b= 36 → = b Câu 7: Ta có: AB Vì C thuộc tia Oz nên C ( 0;0; t )( t > ) ⇒ ( OAC ) : y = 1 d ( B; ( OAC ) ) SOAC = .4.t = ⇔ t = 3    OA; OB  OC → tham số t Ngồi bạn sử dụng cơng thức VOABC =  6 Lại có: VO ABC = Vậy C ( 0;0; ) Chọn C Câu 8: Gọi M (1 + 3t ; 2t ; −2 + t ) ∈ ∆ ta có: MA =MB ⇔ MA2 =MB ⇔ 9t + ( 2t − ) + ( t − ) = 2 ( 3t + 3) + ( 2t − 3) + ( t − 3) 2 −19 −19 ⇔ −8t − 4t + = 18t − 12t − 6t + 27 ⇔ 12t = −19 ⇒ t = ⇒ yM = 2t = Chọn A 12 Câu 9: Gọi M ( −2 + t ;1 + 3t ; −5 − 2t ) ∈ ∆   Ta có: AM = ( t ;3t ; −6 − 2t ) ; AB = ( −1; −2;1) Suy S ABC=   1  AM ; AB =   ( −t − 12; t + 6; t )= ( t + 12 ) + ( t + ) + t 2= t = ⇔ 3t + 36t + 180 = 180 ⇔  ⇒ M ( −2;1; −5 ) M ( −14; −35;19 ) Chọn A t = −12   Câu 10: Gọi M ( t ;3 − t ; −1 + 2t ) ∈ ∆ ta có: AM= ( t ; − t ; −1 + 2t ) ; AB = ( 2;1; ) Khi S ABC = =   1  AM ; AB  = ( −4t + 5; 2t − 1;3t − ) =   2 ( 4t − 5) + ( 2t − ) + ( 3t − ) 2 −b 72 36  36 51 43  29t − 72t + 45 đạt giá trị nhỏ ⇔ t = = = ⇒ M  ; ;  Chọn B 2a 2.29 29  29 29 29  Câu 11: Gọi M ( + t ; t ; t ) ∈ ∆1  Đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2; 2;0 ) có vectơ phương u2 = ( 2;1; ) Ta có: d (= M ; ∆2 )    AM ; u2    =  u2 ( t + 1; t − 2; t ) ; ( 2;1; )  = +1+ (t − 4) + + ( t − 5) = t =  M ( 9;6;6 ) ⇔ 2t − 18t + 45 =9 ⇔  ⇒ Chọn A t =  M ( 6;3;3) Câu 12: Gọi C (1 + 2t ; t ; −2 − t ) ∈ ∆ , C ∈ ( P ) nên 2t + − 2t − − t =0 ⇔ t =−1 ⇒ C ( −1; −1; −1) Gọi M (1 + 2u; u; −2 − u ) ∈ ∆ ta có: MC =6 ⇔ ( 2u + ) + ( u + 1) + ( u + 1) =6 u = −2  M ( −3; −2;0 ) Chọn C ⇔ ( u + 1) =6 ⇔  ⇒ u =  M (1;0; −2 ) Câu 13: Gọi M ( t ;0;0 ) ta có: OM = t 2  Đường thẳng ∆ qua A ( 0;1;0 ) có vectơ phương u = ( 2;1; ) d (= M ; ∆)    MA; u    =  u ( t ; −1;0 ) ; ( 2;1; )  = +1+ Do OM = d ( M ; ∆ ) ⇔ t = + 4t + ( t + ) = 5t + 4t + ⇔ 4t − 4t − = ⇔ 5t + 4t + t = −1 t =  Do M ( −1;0;0 ) M ( 2;0;0 ) Chọn A Câu 14: Gọi M ∈ Ox → M ( t ;0;0 ) ⇒ d  M ; ( P )  =t    Lấy A (1;0; −2 ) ⇒ AM =( t − 1;0; ) ⇒  AM ; u  =( −4; − 2t ; 2t − )    AM ; u    Khi đó, khoảng cách từ điểm M → ( d ) d  M ; ( d )  =  u Theo ra, ta có ( −4 ) + ( − 2t ) + ( 2t − ) 12 + 22 + 22 2 t ⇔ t= Vậy M ( 3;0;0 ) Chọn A = Câu 15: Gọi M ∈ ∆ → M (1 − t ; −2 + t ; 2t )   Ta có MA = ( t ;6 − t ; − 2t ) MB = ( −2 + t ; − t ; − 2t ) Suy MA2 + MB = t + ( − t ) + ( − 2t ) + ( −2 + t ) + ( − t ) + ( − 2t ) 2 2 = 12t − 48t + 76 = 12 ( t − 4t + ) + 28 = 12 ( t − ) + 28 ≥ 28 ⇒ {MA2 + MB } = 28 Dấu xảy t = → M ( −1;0; ) Chọn C Câu 16: Gọi M ∈ d → M ( + 3t ; −2t ; + 2t )   Ta có MA = ( −1 − 3t ; + 2t ; −5 − 2t ) MB = ( − 3t ; −2 + 2t ; −1 − 2t ) = Khi MA + MB = 17t + 34t + 30 + 17t − 34t + 30 17 ( t − 1) + 13 + 17 ( t + 1) + 13 ≥ 2 ( 17 ) + ( 13 )= 2 120 Suy {MA + MB}min = 120 Dấu xảy t= → M ( 2;0; ) Chọn B Câu 17: Gọi M ∈ ∆ → M (1 + 2t ; t ; + t )    Ta có MA = ( −1 − 2t ; −t ; −t ) , MB = ( −2t ; −1 − t ;1 − t ) , MC = (1 − 2t ; − t ; −3 − t )    Khi MA + MB − MC = ( −3 − 2t ; −6 − t ;8 − t )    Suy T = MA + MB − MC = 6t + 8t + 109= 319 319 ≥ ( 3t + ) + 3 Do Tmin = 319  1 5 Dấu xảy t = − Vậy M  − ; − ;  Chọn D 3  3 3 Câu 18: Gọi (Q) mặt phẳng qua C song song với (P) Vì ( Q ) / / ( P ) nên ( Q ) : x + y + z + c = Mà C ∈ ( Q ) ⇒ + + c =0 ⇒ c =−2 Do đó, phương trình mặt phẳng (Q) x + y + z − =  x= − t  Ta có AB = ( −1;1; ) ⇒ phương trình đường thẳng AB :  y = + t  z = 2t  5  Vậy D = ( Q ) ∩ AB → D  ; ; −1 Chọn C 2  Câu 19: Ta có A, M, N, P, B thẳng hàng AM = MN = NP = PB nên N trung điểm AB, điểm M P trung điểm AN NB b−3  a +9 b−3 c +5 Ta có: N  ; ; = ⇔ b =  ∈ ( Oxz ) ⇒ 2   a+9 c+5    + −3 +  Suy M  ; ;  ∈ ( Oxy ) ⇒ z N =0 ⇔ c =−15 2     c+5  a+9   +a b +c Mặt khác P  ; ; A= −3  ∈ ( Oyz ) ⇒ xP =⇔ 2     Do a + b + c =−15 Chọn B ... 2: Trong không gian Oxyz, cho A ( 0; −1; ) B (1;0; −2 ) hình chiếu vng góc điểm x y +1 z − ( P ) : x − y − z − = Tính S = a + b + c I ( a; b; c ) ∆ : = = −1 A + B + C D + Câu 3: Trong không gian. .. Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2;0 ) , B ( −2;3;1) , đường thẳng ∆: x −1 y z + == Tung độ điểm M ∆ cho MA = MB A − 19 B − 19 12 C 19 Câu 9: Trong không gian. .. 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm Ox điểm M cách đường thẳng (d ) : x −1 y z + mặt phẳng ( P ) : x − y − z = = = 2 A M ( 3;0;0 ) B M ( −3;0;0 ) C M ( 2;0;0 ) D M ( −2;0;0 ) Câu 15: Trong

Ngày đăng: 12/10/2022, 22:44

Hình ảnh liên quan

Ví dụ 3: Hình chiếu vng góc củ aM (2;0;0) lên đường thẳng 3 1 - bai toan tim diem trong khong gian

d.

ụ 3: Hình chiếu vng góc củ aM (2;0;0) lên đường thẳng 3 1 Xem tại trang 2 của tài liệu.

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan