bai toan ve goc trong khong gian

CHỦ ĐỀ 5: BÀI TỐN VỀ GĨC Vấn đề 1: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa góc hai đường thẳng Trong không gian cho đường thẳng a, b Từ điểm O ta vẽ đường thẳng a ′ , b′ song song với a b Ta nhận thấy điểm O thay đổi góc đường thẳng a ′ b′ không thay đổi Do ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc đường thẳng a b khơng gian góc đường thẳng a ′ b′ qua điểm song song với a b Cách xác định góc hai đường thẳng Để xác định góc đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại     Nếu u vecto phương đường thẳng a v vecto phương đường thẳng b u; v = α ( ) góc đường thẳng a b α ≤ α ≤ 90° 180° − α 90° < α ≤ 180° Nếu đường thẳng a b song song trùng góc chúng 0° Góc đường thẳng góc có số đo ≤ α ≤ 90° Phương pháp tính góc hai đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng không gian cần nhớ công thức sau: = ■ Định lý hàm số cosin tam giác ABC: cos BAC = Tương tự ta có: cos ABC AB2 + AC2 − BC2 2.AB.AC 2 BA + BC2 − AC2  = CA + CB − AB cos ACB 2.BA.BC 2.CA.CB   = ( AB2 + AC2 − BC2 ) Chú ý: AB.AC= AB.AC cos BAC   ■ Tính góc hai đường thẳng AB CD ta tính góc hai vectơ AB CD dựa vào công thức     AB.CD   AB.CD cos AB;CD =   ⇒ cos ( AB;CD ) =   từ suy góc hai đường thẳng AB CD AB CD AB CD ( ) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Gọi M, N trung điểm AB SC Tính cosin góc hai đường thẳng AN CM Lời giải Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy AM = CE = a ( ) ( )  ==  Khi AE / /CM ⇒ AE;CM AN; AE ϕ Mặt khác SC =SA + AC2 = 2a ⇒ độ dài đường trung tuyến AN = AN SC a = a.AE = CM = 2 Do ∆ABC nên CM ⊥ AM ⇒ AMCE hình chữ nhật Khi CE ⊥ AE mà CE ⊥ SA ⇒ CE ⊥ ( SAE ) ⇒ CE ⊥ SE EN ∆SEC vng E có đường trung tuyến = SC a = AN + AE − NE 3 = > ⇒ cos= ϕ 2.AN.AE 4         Cách 2: Ta có: AN = AS + AC ;CM = AM − AC = AB − AC 2  Ta có: cos NAE = ( )           1 a −3a Khi AN.CM = AS + AC  AB − = AC  AB.AC − = AC2 a cos 60° = − 2 2  ( ) −3a SC a Lại có: AN = = a;CM = ⇒ cos= ϕ = 2 a a Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp tốn trở nên dễ ràng nhiều! Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = a; AC = a BC = a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AB Lời giải Cách 1: Gọi M, N, P trung điểm SA, SB AC Khi MP / /SC   ⇒ SC; AB = MP; MN  N / /AB  ( Ta có: MN = ) ( ) AB a SC a = = = ; MP 2 2 Mặt khác ∆SAC vuông S ⇒ SP = BP = AC a = 2 BA + BC2 AC2 a − = a ⇒ BP = 2 Suy PN = PS2 + PB2 SB2 3a a − = ⇒ NP = 4 ( ) MN + MP − NP   = 120° ⇒ ϕ = SC; = − ⇒ NMP AB = 60° 2.M N.MP             Cách 2: Ta có: AB = SB − SA ⇒ AB.SC = SB − SA SC = SB.SC − SA.SC = Khi cos NMP ( ) 1 a2 2 2 2 = − (SB + SC − AC ) − (SA + SC − AB ) = 2 −a 2 Suy cos ( SC; AB ) == ⇒ ( SC; AB ) = 60° a.a Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có= AB x= x= y= y= z= z Tính góc hai , CD ; AC , BD , BC , AD đường thẳng BC AD   Ta có: BC.DA = Lời giải        BC DC + CD = CB.CD − CB.CD ) ( 1 CB2 + CD − BD ) − ( CB2 + CA − AB2 = AB2 + CD − BD − CA ) ( ) ( 2   BC.DA x + x + y − y 2 Khi cos ( BC; DA ) = = BC.DA 2z1z = ( ( ( ) ) )  α = BC; AD    ta có: Đặc biệt: Nếu AB = AD = z ta đặt β = AB;CD = CD = x; AC = BD = y BC    γ = AC; BD  x − y2 = cos α = ;cos β z2 y2 − z2 z2 − z2 = ;cos γ x2 y2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh 2a, SA ⊥ ( ABCD ) SB = a Gọi M trung điểm AB N trung điểm BC Tính cosin góc đường thẳng SM DN Lời giải ■ Cách 1: Do SA ⊥ ( ABCD ) Ta có: SA = SB2 − AB2 = a Gọi E trung điểm AD I trung điểm AE Dễ thấy BNDE hình bình hành MI đường trung bình tam giác ABE Khi DN / /BE / /MI Tacó: AM = a;= AI AE a = 2 5a Mặt khác: SM =SA + AM =2a ;SI = 5a SM + MI − SI 10   MI =AI + AM = Do cosSMI = = = cos(SM; DN) 2.SM.MI          ■ Cách 2: Ta có: SM.DN= SM SN − SD= SM.SN − SM.SD ) ( = 1 SM + SN − MN ) − ( SM + SD − MD ) ( 2 Mặt khác: SN = SA + AN = SA + AB2 + BN = 6a , MN = AC = a 2,SD = 5a , MD = 5a   2a 2a 10 Do SM.DN = 2a ⇒ cos ( SM; DN ) == = SM.DN a 2.a 5 AB a;= AD a 2, SA ⊥ ( ABCD ) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có= SA=2a a) Tính cosin góc hai đường thẳng BC SD b) Gọi I trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng SB AI Lời giải    a) Do BC / /AD ⇒ (SD; BC) = (SD; AD) = SDA AD AD = ∆SAD vuông A ⇒ cosSDA = = 2 SD AD + SA b) Gọi M, K trung điểm AB SA MK đường trung bình tam giác SAB Khi MK / /SB , mặt khác MC / /AI   Suy (SB; AI) = (MK;CM) Ta có: MK = SB = SA + AB2 a ; MC= = 2 MB2 + BC2 = 3a ; KC = KM + MC2 − KC2 1 =  Khi cosKMC = − ⇒ cos SB; AI = 2.KM.MC 5          Cách khác: Ta có: SB.AI = SB SI − SA = SB.SI − SB.SA ( ( = ) 1 SB2 + SI − IB2 ) − ( SB2 + SA − AB2 ) ( 2 ) KA + AC2 = 2a 25a 3a Do SB2 =5a ;SI =SA + AD + DI = ; AI = AD + DI = =IB   a2 SB.AI   a Suy SB.AI = ⇒ cos ( SB; AI ) === SB.AI a 3a 2 = 60° Tam giác SAB cân S thuộc Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 30° Tính cosin góc a) SD BC b) DH SC, với H chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD) Lời giải = 60° ⇒ ∆ABC cạnh a a) Do AB = BC = a , ABC Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cân S nên SH ⊥ AB ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Mặt khác  ⇒ SH ⊥ ( ABC ) = AB ( SAB ) ∩ ( ABCD ) ∆ABC nên CH = ) ( a  = 30° , SC; ( ABC ) = SCH Ta= có: SH HC= tan 30° a = 60° ⇒ BAD = 120° ⇒ HD= Do ABC SH + HA = Suy SA = ( a , SD = ) ( AH + AD − 2AH.AD cos120°= a SH + HD = a ) + DA − SA  =,   DS Mặt khác AD / /BC ⇒ BC;SD AD;SD = cosSDA = 2.DS.DA ( )  =5 Do cos BC;SD      b) Ta có SC.DH = SC SH − SD= ( )     SC.SH − SC.SD 1 3a 2 2 2 = SH + SC − HC − SC + SD − CD = − ( ) 2( )   3a SC; DH Mặt khác: SC = SH + HC2 = a ⇒ cos ( SC; DH ) = =4 = SC.DH 14 a a DH / /BI  Cách khác: Gọi I trung điểm CD ⇒  a , gọi M trung điểm SD = BI = DH  MI/ / SC  ⇒ SC a Lại có: BD = a ; SB = MI = =  2 Do BM = SH + HB2 = a 2 2 BD + BS2 SD 5a  = MI + IB − MB =3 17 − = ⇒ cos MIB 4 2.IM.IB 14 ( )  = 17 Suy cos DH;SC 14 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có = AD 2AB = 2CD = 2a SA ⊥ ( ABCD ) Biết SC tạo với đáy góc 60° Tính cosin góc giữa: a) BC SD b) AI SD với I trung điểm CD Lời giải AB2 + BC2 = a a) Ta có: AC = ) (   60° Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SC; SCA ( ABC ) == tan 60° a Khi= SA AC= ( ) ( )  =  Do AD / /BC ⇒ BC;SD AD;SD  Mặt khác cos ADS = = AD AD =    SD SA + AD 2a 10 = c = os( BC;SD ) 6a + 4a b) Gọi E trung điểm AD ⇒ AE = ABCE hình vuông cạnh a DE = BC =⇒ a Do = CE AD ⇒ ∆ACD vuông C a          1 Lại có: AI.SD = SI − SA SD =SI.SD − SA.SD = ( SI + SD − DI ) − ( SA + SD − AD ) 2 Ta có: CD = CE + ED = a ⇒ ID = ( ) Trong AI = AC2 + CI = 5a 17a ⇒ SI = SA + AI = 2   3a 3a Do AI.SD = 3a ⇒ cos ( AI;SD ) == = AI.SD a 10 MI / /SD a 10 SC  Cách khác: Gọi M trung điểm SC ⇒  = , AM = a SD a 10 , AI = 2 = = MI   2 + IA − AM  IM Khi MIA = = 2.IM.IA Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu điểm A′ xuống mặt đáy (ABC) trung với trung điểm BC Biết cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60° a) Tính tan góc tạo B′C′ A′C b) Cosin góc tạo CC′ AB Lời giải a) Gọi H trung điểm BC ( ) ( )    ′C′; A′C = BC; ′CH Ta có: BC/ / B′C′ ⇒ B A′C =A ( )   ′; ( ABC ) = ′H = Mặt khác A′H ⊥ ( ABC ) ⇒ AA AA 60° a 3a ′H AH tan 60 ⇒ A= = ° 2 = AH  ′= Xét tam giác vuông A′HC ta có: tan A CH ( A′H = HC )  ′; A′C = Vậy BC CC′; AB ) = AA′; AB ) b) Do CC′ / /AA′ ⇒ ( ( Ta có: A′A = A′B = AH + HA = a A′H + HB2 = Vậy cos ( CC′; AB ) = a 10 AA′2 + AB2 − A′B2  ′AB = ⇒ cos A = 2.AA′.AB Vấn đề 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ■ Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 90° (hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a ′ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng vượt 90° ■ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Cách tìm hình chiếu a ′ a mặt phẳng (P) ta làm sau: Tìm giao điểm M= a ∩ ( P ) Tìm điểm A tùy ý đường thẳng a ( A ≠ M ) xác định hình chiếu vng góc H A mặt phẳng (P) Khi đó, a ′ đường  thẳng qua hai điểm A M Ta= có: β ( a; = ( P ) ) AMH  HM cos β = AM  AH  Xét tam giác vng AMH ta có:  tan β = (trong d ( A; ( P ) ) khoảng cách từ điểm A MH   AH d ( A; ( P ) ) = β = sin  AM AM đến mặt phẳng (P))  Dạng 1: Góc cạnh bên mặt đáy Tìm góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy (ABC) Như HA hình chiếu vng góc SA (ABC) ( )   Vậy SA; SA; HA ) = SA H ( ABC ) = ( Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, có = AB a;= BC a Biết SA ⊥ ( ABC ) , SB tạo với đáy góc 60° M trung điểm BC a) Tính cosin góc SC mặt phẳng (ABC) b) Tính cosin góc SM mặt phẳng (ABC) Lời giải ) (  = a) Do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SB; SBA 60° ( ABC ) =  a tan Do = SA AB tan= SBA = 60° a Ta có: AC =  AB2 + BC2 = 2a; ( SC; ( ABC ) ) = SCA AC  Khi đó: cosSCA = = SC AC 2a = SA + AC2 = 3a + 4a 2 = b) Do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SM; ( ABC ) ) = SMA ϕ a 3 a Ta có: AM = AB + BM = a +   = 2   Khi cos = ϕ AM = SM AM = SA + AM 133 19 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có = AB 2= a; AD a Tam giác (SAB) thuộc mặt phẳng vng góc với đáy a) Tính góc SB, SC mặt phẳng (ABCD) b) Gọi I trung điểm BC Tính tan góc SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi H trung điểm AB ta có: SH ⊥ AB ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Mặt khác  ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) = AB ( SAB ) ∩ ( ABCD ) Tam giác SAB cạnh 2a nên SH = a 3, HC = HB2 + BC2 = a ) (  = Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SB; SBH 60° ( ABCD ) =    tan SCH = ( ABCD ) ) = SCH (SC; SH = HC 2 a a b) Ta có: HI = HB2 + BI = a +   = 2 ( ) SH a 15    SIH Mặt khác SI; = = a 3: = ( ABCD ) = SIH SI Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD = a Biết SA ⊥ ( ABCD ) đường thẳng SB tạo với đáy góc 45° a) Tính cosin góc tạo cạnh SC, SD mặt đáy (ABCD) b) Gọi I trung điểm CD, tính tan góc tạo SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi O trung điểm AD ⇒ OABC hình thoi cạnh a ⇒ CO = a = AD ⇒ ∆ACD vuông C = Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SB; ( ABCD ) ) = SBA 45° Do= SA AB= tan 45° a  AC = AD − CD = a ⇒ cos ( SC; ( ABC ) ) = cosSCA = AC = SC AC = SA + AC2 ( a 3 = a + 3a )   cos SD; = = ( ABCD ) cosSDA AD = SA + AD 2 b) Ta có: AI = 2 AC + CI = a 13 a 3a +   = 2  Do tan ( SI; ( ABCD= = ) ) tan SIA SA = AI 13  Dạng 2: Góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao Tìm góc cạnh bên SB mặt phẳng (SHA) với ( SHA ) ⊥ ( ABH ) Dựng BK ⊥ AH , có BK ⊥ SH ⇒ BK ⊥ ( SHA ) Suy K hình chiếu vng góc B mặt phẳng (SAH)  Vậy ( SB;= = SB;SK ) BSK (SAH ) ) ( AB a,= AD a 3,SA ⊥ ( ABCD ) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có= Biết SC tạo với đáy góc 60° Tính cosin góc tạo bởi: a) SC mặt phẳng (SAB); SC mặt phẳng (SAD) b) SD mặt phẳng (SAC) Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD Do BD ⊥ ( SOA ) AH ⊥ SO Dựng AH ⊥ SO ⇒  ⇒ AH ⊥ ( SBD ) AH ⊥ BD  = ASO  Chọn C Khi góc SA (SBD) ASH Câu 16: Do tam giác ABC SBC nên SH ⊥ BC ; AH ⊥ BC SH = AH = a  Do SH ⊥ ( ABC ) ⇒ góc SA (ABC) SAH SH = = Mà tan SAH = ⇒ SAH 45° Chọn C AH Câu 17: Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác ABCD hình chữ nhật nên BC ⊥ AB  Suy BC ⊥ ( SAB ) ⇒ góc SC (SAB) CSB Chọn B Câu 18: Gọi H hình chiếu vng góc điểm S mặt phẳng (ABC)    Theo giả thiết ta có: SAH = ABH = SCH Khi ∆SAH = HB = HC ∆SBH = ∆SCH ⇒ HA = Vậy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chọn B Câu 19: Gọi S.ABC hình chóp tam giác hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trọng tâm tam giác ABC Gọi H trọng tâm tam giác ABC M trung điểm AC Khi đó= BH 2 AB AB = AM = 3 = 60° ⇒ BH= SBcos 60°= a ⇒ AB 3= a Lại có: SBH ⇒ AB = = = P 3AB a ⇒ chu vi đáy P hình chóp 3a Chọn C  Câu 20: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SC; ( ABCD ) ) = SCA Do ABCD hình vng cạnh a ⇒ AC = a Tam giác SAC vuông S nên SC = Khi cos= α SA + AC2 = 2a AC Chọn D = SC Câu 21: Gọi H trung điểm BC SH ⊥ ( ABC ) AH = BC a = 2 a a Lại có: HB = ⇒ SH = SB2 − HB2 = 2 SH  , tan SAH  Góc SA (ABC) SAH = = HA = 60° Chọn C Do SAH Câu 22: Do SAB tam giác nên H trung điểm cạnh AB Ta có: SH ⊥ AD mà ABCD hình vng nên AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ ( SBA ) Trong tam giác SAB dựng đường cao BK ⇒ K trung điểm SA  Lại có: AD ⊥ BK ⇒ BK ⊥ ( SAD ) ⇒ α =BDK a Đặt AB =⇒ a BD = a 2; BK = Do sin= α BK a = :a = BD Chọn D BD ⊥ AC Câu 23: Do  ⇒ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ SA Do góc BD (SAC) 90° IK / /SA Mặt khác  (tính chất đường trung bình) KJ / / SC Suy ( IJK ) / / ( SAC ) ⇒ BD ⊥ ( IJK ) Vậy góc BD (IJK) 60° ⇒ C sai Chọn C BC ⊥ SA Câu 24: Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAH ) BC ⊥ AH BC ⊥ SA Tương tự  ⇒ BC ⊥ ( SAK ) ⇒ điểm S, A, H, K đồng phẳng BC ⊥ SK BH ⊥ SA Lại có:  ⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SC BH ⊥ AC BH ⊥ SC Khi  ⇒ SC ⊥ ( BHK ) ⇒ SC ⊥ HK BK ⊥ SC Mặt khác HK ⊥ BC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ Số đo góc HK (SBC) 90° Chọn B Câu 25: Do CC′ ⊥ ( ABCD ) ⇒ CC′  ′AC ⇒ tan= α = C AC góc A′C (ABCD) góc Chọn B Câu 26: Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác ABCD hình chữ nhật nên BC ⊥ AB  Suy BC ⊥ ( SAB ) ⇒ góc SC (SAB) α =CSB Khi tan= α BC = SB BC a = = a SA + AB Chọn C Câu 27: Gọi O tâm hình vng ABCD SO ⊥ ( ABCD ) Gọi H trung điểm OC Do M, H trung điểm SA, OC ⇒ MH đường trung bình ∆SAO ⇒ MH / /SO = ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MNH 45° Lại có: AC = Do đó: = HN a 3a a ⇒ HC = AC = ;CN = HC2 + CN − 2CH.CN.cos= 45° a 10 ∆MHN vuông cân H ⇒ HM = HN = ⇒ SO= 2MH= a 10 a 10 Chọn C BC ⊥ SA Câu 28: Ta có  ⇒ BC ⊥ ( SAH ) BC ⊥ AH BC ⊥ SA Tương tự  ⇒ BC ⊥ ( SAK ) ⇒ điểm S, A, H, K đồng phẳng BC ⊥ SK BH ⊥ SA Lại có:  ⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SC BH ⊥ AC BH ⊥ SC Khi  ⇒ SC ⊥ ( BHK ) ⇒ α= 90° Chọn D BK ⊥ SC Câu 29: Ta có SM ⊥ ( ABCD ) Dựng NK ⊥ MC  NK ⊥ SM Khi  ⇒ NK ⊥ ( SMC )  NK ⊥ CM Lại có:= SM ⇒ SN= a a ;= MN = BD 2 SM + MN 2= Mặt khác CM= a BM + CB2 = a ;SABCD = a a2 a2 3a SAMN = AM.AN = ;SBMC = SDNC = ⇒ SNMC = SABCD − SAMN − SMBC − SNCD = 8 Khi NK = 2SNMC NK Chọn D = ⇒ sin= ϕ = CM 10 SN Câu 30: Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) BC ⊥ SH Khi  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) BC ⊥ AB Dựng AK ⊥ SB ⇒ AK ⊥ ( SBC ) Do AD / /BC ⇒ AD / / ( SBC ) a ⇒ d ( D; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) = AK = SD = SH + HD = SH + AH + AD = a  Khi sin (= SD; ( SAB ) ) d ( D; ( SBC ) ) = SD Chọn D BC ⊥ SA Câu 31: Ta có  ⇒ BC ⊥ AP BC ⊥ AB Lại có: AP ⊥ SB ⇒ AP ⊥ ( SBC ) ⇒ AP ⊥ SC Tương tự AQ ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( APQ ) Dựng AN ⊥ SC  Gọi I = CM ∩ NQ ⇒ CN ⊥ ( APQ ) ; ( CM; ( APQ ) ) = CIN = Ta có cos NCI SC2 + CM − SM 2.SC.CM Trong= SC a= 5;SM a CM = SC2 + CD SD  = 10 − = a ⇒ cos NCI 10 = = = ⇒ sin NCI − cos NCI = cos CIN cos ϕ Chọn A 10 ( ) ( ) Câu 32: Do d1 ⊥ ( α ) , d ⊥ ( β ) ⇒ ( α ) ; ( β ) =d ;d Chọn B Câu 33: Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC BC ⊥ ( SBA ) Mặt khác BC ⊥ AB ⇒  ⇒ góc mặt phẳng BC ⊥ ( SBC ) ∩ ( ABC )  Chọn B (SBC) mặt phẳng (ABC) góc SBA Câu 34: Dựng AK ⊥ BC , tam giác ABC nên = AK AB = a BC ⊥ ( SKA ) SA ⊥ BC Lại có:  ⇒ ⇒ góc tạo hai mặt phẳng AK ⊥ BC BC ⊥ ( SBC ) ∩ ( ABC )  (SBC) (ABC) góc SKA = Mặt khác tan SKA SA  ≈ 49, 6° Chọn B = ⇒ SKA AK Câu 35: ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD O BD ⊥ ( SOA ) Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA ⇒  = BD ( SBD ) ∩ ( ABC ) SA a  ⇒ tan SOA = Suy ( SOA = = (SBD ) ; ( ABCD ) ) = AO a = 45° Chọn C Vậy ( (SBD ) ; ( ABCD )=) SOA Câu 36: Ta có cơng thức:= S′ Scos ϕ Trong ϕ góc mặt phẳng (P) (ABC) Do đó:= SA′B′C′ SABC cos ϕ Chọn B Câu 37: Do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆ABC hình chiếu ∆SBC mặt phẳng ( ) (ABC) Mặt khác ϕ = ( SBC ) ; ( ABC ) Ta có cơng thức: = SABC SSBC cos ϕ Chọn A Câu 38: ABCD hình vng nên AC ⊥ BD O Lại có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ ( SOA )  Chọn A Do ( (SBD ) ; ( ABCD ) ) = SOA Câu 39: Gọi = d (SAB ) ∩ (SCD ) Do AB / /CD ⇒ d / /AB / /CD Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AB Lại có: AD ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SAD ) Vì d / /AB ⇒ d ⊥ ( SAD ) ⇒ góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc SA SD Chọn A Câu 40: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AB Lại có: AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SAD ) Do góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) 90° Chọn C Câu 41: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD Mặt khác CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SDA )  Mà CD = (SCD ) ∩ ( ABCD ) ⇒ ( (SCD ) ; ( ABCD ) ) =SDA SA =  =° Lại có: tan SDA 60 Chọn B =3 ⇒ SAD AD Câu 42: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD Mặt khác CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SDA ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SAD ) ⇒ góc hai mặt phẳng (SCD) (SAD) 90° Chọn A Câu 43: ABCD hình vng nên BD ⊥ AC Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD Do BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC Lại có: OH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHD ) Mà SC = ( SBC ) ∩ ( SCD ) ⇒ góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) góc BH DH Chọn D  = ϕ , ∆SBC nên Câu 44: Ta có ( (SBC ) ; ( ABCD ) ) = SMO SM = a Lại có: AM = ⇒ tan = ϕ a AM a ⇒ OM = = SO = OM SM − OM = 2 Chọn A OM Câu 45: Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ CD Dựng OK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SKO ) ⇒ góc mặt bên (SCD) mặt  phẳng đáy chóp SKO ∆SCD cạnh a ⇒ SK =  Do tan SKO = a AD a = ;OK = 2 SK − OK = OK SO = OK Chọn C Câu 46: Tam giác ABC vuông cân B nên AC = AB Suy AB = a Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC ) (  Do BC ⊥ ( SBA ) ⇒ ( SBC ) ; ( ABC ) = SBA SA a =  =° Lại có: tan SBA = =3 ⇒ SBA 60 Chọn A AB a SA ⊥ ( BAD )  Câu 47:  ⇒ ( SAB ) ; ( SAD ) = BAD = SA ( SAB ) ∩ ( SAD ) ) ( = 60° Do AB= AD= BD= 2a ⇒ ∆ABD nên BAD Vậy ( (SAB ) ; (SAD )=) 60° Chọn A Câu 48: Do ( ABCD ) / / ( A′B′C′D′ ) ) ( ( ) Do ( A′BD ) ; ( A′B′C′ ) = ( A′BD ) ; ( ABC ) = ϕ Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ AO ⊥ BD Mặt khác BD ⊥ AA′ ⇒ BD ⊥ ( A′AO )  ′OA Do ϕ =A AA′ = a AA′ a  Đặt AB= a ⇒  = ϕ = a suy tan OA a OA =  2 ⇒ tan = ϕ ⇒ ϕ ≈ 54°44′ Chọn A  CAB Câu 49: SA ⊥ ( CAB ) ⇒ ( (SAC ) ; (SAB ) ) = = 60° Chọn C Do tam giác ABC nên CAB Câu 50: Do ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD Mặt khác SC ⊥ ( ABCD ) ⇒ SC ⊥ BD Do BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC ) Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBD) 90° Chọn C Câu 51: Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ CD Dựng OK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SKO ) ⇒ góc mặt bên (SCD) mặt phẳng = ϕ đáy chóp SKO Đặt AB = AD = a ⇒ SC = 2a Ta có: OK = ⇒ SK= AD a a ;CK = = 2 a 15 SC2 − CK 2= Khi cos= ϕ OK = SK ⇒ ϕ ≈ 75°2′ Chọn A 15 Câu 52: Dựng MK ⊥ CD , SM ⊥ ( ABCD ) ⇒ SM ⊥ CD = CD ( SCD ) ∩ ( ABCD ) Khi ta có:  CD ⊥ ( SKM ) ) ( = SCD ) ; ( ABCD ) = SKM ⇒ ( ϕ Do ∆SAB nên SM = ⇒ tan= ϕ AM = MK a , MK = AD = a ⇒ ϕ ≈ 40°53′ Chọn C = SOBC SSBC cos ϕ  Câu 53: Ta có= SOAB SSAB cos ϕ với ϕ= 30° góc tạo mặt bên mặt đáy S =  OAC SSAC cos ϕ = Sđ Sxq cos = ϕ 90.cos 30° ≈ 78cm Do diện tích đáy Chọn D Câu 54: Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ BD Mặt khác BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( MBD ) ⊥ ( SAC ) nên góc hai mặt phẳng (MBD) (SAC) 90° Chọn C Câu 55: Ta có= BD (SBD ) ∩ ( ABCD ) Dựng AH ⊥ BD , mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD ) (  Do BD ⊥ ( SHA ) ⇒ ( SBD ) ; ( ABCD ) = SHA AB.AD 2a SA  == Lại có: AH = =⇒ tan SHA AH AB2 + AD Chọn A Câu 56: Ta có ( ABC ) / / ( A′B′C′ ) ) ( ( ) ⇒ ( A′BC ) ; ( A′B′C′ ) = A′BC ) ; ( ABC ) ( Lại có AB ⊥ BC mà AA′ ⊥ BC  → BC ⊥ ( A′AB ) ( )  ′BA Khi ( A′BC )= ; ( ABC ) ( = A′B; AB ) A AB   ′BA = = ′BA = Tam giác A′AB vng A, có cos A ⇒A 60° A′B Vậy ϕ= 60° Chọn D Câu 57: Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Gọi M, N trung điểm BC, BM Ta có AM ⊥ BC mà HN / /AM ⇒ HN ⊥ BC ( )  Lại có SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHN ) ⇒ ( SBC ) ; ( ABC ) = SNH Tam giác SHN vuông H, có = tan SNH SH AM a a  ≈ 63°26′ =SH : = =2 ⇒ SNH : HN 2 Vậy ϕ ≈ 63°26′ Chọn D Câu 58: Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có MA ⊥ BD ; AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( MAO ) ) (  Khi ( MBD ) ; (= ABCD ) ( = MO;OA ) MOA Tam giác MAO vng A, có = tan MOA MA AA′ = = OA AC  ≈ 35°15′ Chọn A ⇒ MOA Câu 59: Gọi M trung điểm AB ⇒ ADCM hình vng Khi AC = a ; AM ⊥ AB AB =2a ⇒ AC ⊥ BC ) (  Mà SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ; ( ABCD ) = SCA  Tam giác SAC vng S, có tan SCA = Vậy tan ( (SBC ) ; ( ABCD ) ) = SA = AC 2 Chọn B Câu 60: Ta có SA đường cao ⇒ SA ⊥ ( ABC ) AB ( SAB ) ∩ ( ABC ) = Lại có ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA;  AC ( SAC ) ∩ ( ABC ) = ) (  Suy ( SAB )= ; ( SAC ) ( = AB; AC ) BAC  Tam giác ABC vng B, có tan BAC = ( BC = AB )  ⇒ BAC = 30°  → ( SAB ) ; ( SAC= ) 30° Chọn D Câu 61: Ta có SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) SB ( SBC ) ∩ ( SAB ) = Lại có ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC ;  AB ( ABCD ) ∩ ( SAB ) =  Suy ( = = SB; AB ) SBA (SBC ) ; ( ABCD ) ) (  Tam giác SAB vng A, có tan SBA = ( ) SA = AB  ⇒ SBA = 60°  → ( SBC ) ; ( ABCD= ) 60° Chọn B Câu 62: Gọi M trung điểm BC  ∆ABC cân A  → AM ⊥ BC (1)  ∆BCD cân D  → DM ⊥ BC (2) ) (  Từ (1), (2) suy BC ⊥ ( ADM ) ⇒ ( ABC ) ; ( BCD ) = AMD Tam giác ABM vuông M ⇒ AM= AB2 − BM = a 2 Tam giác BDM vuông M ⇒ DM= BD − BM = a 2 a a ; AD = 2 Xét tam giác ADM có AM = DM = 2  =AM + DM − AD = = Suy cos AMD − ⇒ AMD 120° 2.AM.DM ) ( Vậy ( ABC ) ; ( BCD ) = 180° − 120°= 60° Chọn B Câu 63: Kẻ AH ⊥ BD ( H ∈ BD ) mà SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAH ) SH ( SAH ) ∩ ( SBD ) =  Ta có  ⇒ ( SBD ) ; ( ABCD ) = SHA ∩ = SAH ABCD AH ( ) ( )  ) ( Tam giác ABD vuông A, có AH = AB.AD a = AB2 + AD  Tam giác SAH vuông A, có tan SHA = SA = Chọn C AH Câu 64: Chọn ϕ= 60° Gọi O tâm hình vng ABCD ) (   =60° ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA; SA; AO ) =SAO ( ABCD ) =( = Tam giác SAO vng O, có tan SAO SO a ⇒ SO = OA → AB ⊥ ( SMO ) Gọi M trung điểm AB  ( ) = α Suy ( SAB ) ; ( ABCD ) = ( SM;OM ) = SMO  Tam giác SMO vng O, có tan SMO = ⇒ tan = α tan ϕ Chọn B SO = OM AB = Câu 65: Chọn AA′ = 4AB = 2AD = ⇒ AA′ = 4;  AD = Kẻ AH ⊥ BD ( H ∈ BD ) mà AA′ ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( A′AH ) A′H ( A′AH ) ∩ ( A′BD ) =  ′AH Ta có  ⇒ ( A ( A′BD ) ; ( ABCD ) ) = ′ ∩ = A AH ABCD AH ( ) ( )  Tam giác ABD vng A, có AH = AB.AD = AB2 + AD A′A = Chọn A AH  Tam giác A′AH vng A, có tan SHA = Câu 66: Gấp miếng bìa ta hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ Theo giả thiết, ta có AA′ = 30 , ABCD hình vng cạnh 10 Ta có AD ⊥ AB ; AA′ ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( ADD′A′ ) ( )  ′AD ABC′D′ ) ; ( ABCD ) = D′A; AD ) = D ⇒ ( ( DD′ = AD  ′= Tam giác D′AD vuông D, có tan D AD  ′AD= arctan 3= 71°33′ Vậy ϕ ≈ 71°33′ Chọn D Suy D Câu 67: Đặt SA = SB = SC = a   Tam giác SAB có ASB = 120°  →= AB   Tam giác SBC có BSC = 90°  → BC =   Tam giác SCA có CSA = 60°  → AC = Suy AC2 + BC AB2 ⇒ ∆ABC vng C = Do đó, hình chiếu H S (ABC) trung điểm AB Gọi M trung điểm BC ⇒ HM / /AC ⇒ HM ⊥ BC ) (  Mà SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHM ) ⇒ ( SBC ) ; ( ABC ) = SMH  Tam giác SHM vuông H, có tan SMH = SH = HM  Vậy SMH = 45°  → ( ) ) 45° Chọn C (SBC ) ; ( ABC= Câu 68: Đặt SA = SB = SC = a   Tam giác SAB có ASB = 120°  →= AB   Tam giác SBC có BSC = 90°  → BC =   Tam giác SCA có CSA = 60°  → AC = 2 Suy AC2 + BC = AB2 ⇒ ∆ABC vuông C Do đó, hình chiếu H S (ABC) trung điểm AB Gọi M trung điểm AC ⇒ HM / /BC ⇒ HM ⊥ AC ) (  Mà SH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( SHM ) ⇒ ( SAC ) ; ( ABC ) = SMH SH = HM  Tam giác SHM vuông H, có tan SMH = ) ( Vậy tan ( Chọn A SBC ) ; ( ABC ) = Câu 69: Kẻ OH ⊥ SC ( H ∈ SC ) mà BD ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( HBD ) HD ; ( HBD ) ∩ ( SBC ) = HB Ta có ( HBD ) ∩ ( SCD ) = ) ( 60°  Suy ( = = =  SBC ) ; ( SCD BH; DH ) ( ) BHD ° 120° 180° − 60= = 60° mà BH  TH1 BHD a = DH ⇒ ∆HBD ⇒ BH = 2 Tam giác SAB vuông A  SA + AB x2 + a2 → SB = = Tam giác SBC vuông B ⇒ 1 = 2+ BH SB BC2 1 ⇔= +  → vô nghiệm (loại) 2 x a a + a ( ) a   TH2 BHD = 120° mà BH = DH ⇒ BH = a : = 2 Tam giác SAB vuông A  → SB = SA + AB = x2 + a2 Tam giác SBC vuông B ⇒ 1 1 1 = + ⇔ = + ⇒ x= a Chọn A 2 2 BH SB BC x +a a a ( ) ) ( = Câu 70: SA ⊥ ( AMN ) ⇒ ( SAM ) ; ( SAN ) = MAN 45°  + MAN  + NAD  =°  + NAD  =° Lại có BAM 90 ⇒ BAM 45 ( ) =  Khi đó= tan 45° tan BAM + NAD  + tan NAD  tan BAM   − tan BAM.tan NAD BM ND + y a−x a−y AB AD ⇔ − a − x a −= ⇔= + BM ND a a a a 1− AB AD ⇔ a − ( a − x )( a − y )= a ( 2a − x − y ) ⇔ 2a + xy= 2a ( x + y ) Chọn A ... cos= ϕ = 2 a a Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng cơng cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp toán trở nên dễ ràng nhiều! Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC... SA SD =SI.SD − SA.SD = ( SI + SD − DI ) − ( SA + SD − AD ) 2 Ta có: CD = CE + ED = a ⇒ ID = ( ) Trong AI = AC2 + CI = 5a 17a ⇒ SI = SA + AI = 2   3a 3a Do AI.SD = 3a ⇒ cos ( AI;SD ) ==... M Ta= có: β ( a; = ( P ) ) AMH  HM cos β = AM  AH  Xét tam giác vng AMH ta có:  tan β = (trong d ( A; ( P ) ) khoảng cách từ điểm A MH   AH d ( A; ( P ) ) = β = sin  AM AM đến mặt phẳng