Các bài toán về góc trong không gian và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Góc giữa hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng Cụ thể Cho hai mặt phẳng[.]
Các tốn góc khơng gian cách giải I LÝ THUYẾT Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Cụ thể: Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng c Ta có: a ( ) b ( ) ( ) , ( ) = a,b a ⊥ c b ⊥ c ( ) ( ) Chú ý: Góc hai mặt phẳng góc khơng tù (0°≤ φ ≤90° với φ góc hai mặt phẳng) Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b Góc đường thẳng góc có số đo từ 0° đến 90° 3 Góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) Chú ý: Nếu φ góc đường thẳng d mặt phẳng (α) ta ln có 0 90 II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Góc hai mặt phẳng Phương pháp giải: Góc hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0, (Q): A’ x + B’y + C’z + D’ = ký hiệu (( P ); ( Q )) với o ((P),(Q)) 90o Ta xác định góc cách tính cơsin góc hai mặt phẳng hệ thức cos((P),(Q)) = AA' + BB' + CC' | n1.n | = | n1 | | n | A + B2 + C2 A'2 + B'2 + C'2 Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) AA’ + BB’ + CC’ = Ví dụ 1: Tính cơsin góc hai mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – = (Q): 3x + y – 2z + 2017 = A −1 14 B 14 C 14 D −5 14 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có n1 = (1; − 2; 3) véc tơ pháp tuyến (P), n = ( 3; 1; − ) véc tơ pháp tuyến (Q) Khi đó: Cos ( ( P ) , ( Q ) ) = n1.n n1 | n = 1.3 + (−2).1 + 3.(−2) 1+ + 9 +1+ = 14 Chọn C Góc hai đường thẳng Phương pháp giải: Góc hai đường thẳng (d) (d’) có vectơ phương u1 = (a;b;c) u = (a ';b';c') xác định cách tính cơsin góc hai đường thẳng theo cơng thức: cos = cos ( d,d ') = aa '+ bb'+ cc' | u1.u | = | u1 | | u | a + b + c2 a '2 + b'2 + c'2 (0o 90o ) Đặc biệt: (d) ⊥ (d ') aa’ + bb’ + cc’ = Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = + 5t x − y +1 z − : = = d : y = + 2t Góc đường thẳng đường z = − 3t thẳng d A 45 B 60 C 30 D 90 Hướng dẫn giải: Ta có vectơ phương u = (1;2;3) , vectơ phương d v = ( 5;2; −3) Ta thấy u.v = 1.5 + 2.2 + 3.( −3) = ⊥ d Góc d 90 Chọn D Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải: Góc đường thẳng d có vectơ phương u = (a;b;c) mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến n = ( a;b;c ) xác định cách tính sin góc đường thẳng mặt phẳng theo công thức: Aa + Bb + Cc | u.n | = | u | | n | A + B2 + C2 a + b2 + c2 (0o 90o ) sin = sin ( d, ( ) ) = cos(u, n) = Đặc biệt: (d) / /() (d) () Aa + Bb + Cc = Ví dụ 3: Cho M (-3; -1; 3) N (-1; 0; 4) mặt phẳng (P): x + 2y – z + = Tính góc đường thẳng MN mặt phẳng (P) A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: Ta có MN = ( ; ; 1) Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n = (1 ; ; − 1) ) ( sin MN, ( P ) = ( MN.n = MN n | 2.1 + 1.2 + 1.( −1) | 22 + 12 + 12 12 + 22 + ( −1) = = ) Suy MN, ( P ) = 30 Chọn A III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Gọi góc hai đường thẳng AB, CD Khẳng định sau khẳng định đúng: A cos = AB.CD AB CD B cos = AB.CD AB CD C cos = AB.CD AB,CD AB.CD D cos = AB CD x = + t x = − t Câu 2: Cho hai đường thẳng d1 : y = − + t d : y = Góc hai z = − + t z = đường thẳng d1 d2 là: A 30 B 120 C 150 D 60 Câu 3: Cho đường thẳng : x y z = = mặt phẳng (P): 5x + 11y + 2z – = −2 Góc đường thẳng mặt phẳng (P) là: A 60 B − 30 C 30 D − 60 Câu 4: Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 0, (Q): x + 2y – 2z – = Cơsin góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) bằng: A B − C 3 D − 3 Câu 5: Cho mặt phẳng (P): 3x + 4y + 5z + = đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x – 2y + = ( ) : x – 2z – = Gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Khi đó: A 60 B 45 C 30 D 90 Câu 6: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – = Điểm A (1; – 2; 2) Có mặt phẳng qua A tạo với mặt phẳng (P) góc 45 A Vô số B C D Câu 7: Hai mặt phẳng tạo với góc 60 ? A (P) : 2x + 11y – 5z + = (Q) : x + 2y – z – = B (P) : 2x + 11y – 5z + = (Q) : -x + 2y + z – = C (P) : 2x - 11y + 5z - 21 = (Q) : 2x + y + z – = D (P) : 2x - 5y + 11z – = (Q) : -x + 2y + z – = Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A (-3; -4; 5), B (2; 7; 7), C (3; 5; 8), D (-2; 6; 1) Cặp đường thẳng tạo với góc 60 ? A DB AC B AC CD C AB CB D CB CA Câu : Tính cosin góc hai mặt phẳng (P) : 5x – y + 2z – = (Q) : 2x + 5y + z – 2017 = A −1 10 B 13 30 C −13 30 D 10 Câu 10: Cho hai điểm A (1; -1; 1) B (2; -2; 4) Có mặt phẳng chứa A, B tạo với mặt phẳng () : x – 2y + z – = góc 60 A B C D Vô số ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp A D C A A A B C B C án ... mặt phẳng ( ) : x – 2y + = ( ) : x – 2z – = Gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Khi đó: A 60 B 45 C 30 D 90 Câu 6: Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – = Điểm A (1; – 2; 2) Có mặt phẳng... tạo với mặt phẳng (P) góc 45 A Vơ số B C D Câu 7: Hai mặt phẳng tạo với góc 60 ? A (P) : 2x + 11y – 5z + = (Q) : x + 2y – z – = B (P) : 2x + 11y – 5z + = (Q) : -x + 2y + z – = C (P) : 2x - 11y... (2; -2; 4) Có mặt phẳng chứa A, B tạo với mặt phẳng () : x – 2y + z – = góc 60 A B C D Vô số ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp A D C A A A B C B C án