bai giang khoang cach trong khong gian

BÀI GIẢNG KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng + Nắm khái niệm khoảng cách hai đường thẳng, khoảng cách hai mặt phẳng + Nắm vững tính chất khoảng cách  Kĩ + Xác định hình chiếu điểm đến đường thẳng mặt phẳng + Biết cách tính khoảng cách trường hợp I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho điểm O đường thẳng  Gọi H hình chiếu vng góc O  Khi khoảng cách OH gọi khoảng cách từ điểm O đến  d  O,    OH Nhận xét: OH  OM , M   Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Cho mặt phẳng   điểm O Gọi H hình chiếu O mặt phẳng   Khi khoảng cách OH gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng   d  O,     OH Nhận xét: OH  OM , M      Trang   Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng Cho đường thẳng  mặt phẳng   song song với Khi khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng   gọi khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng   d  ,     d  M ,    với M   Khoảng cách hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng      song song với Khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng gọi khoảng cách hai mặt phẳng      d    ,      d  M ,      d  N ,    với M    , N     Khoảng cách hai đường thẳng Cho hai đường thẳng chéo a,b Độ dài đoạn vng góc chung MN a b gọi khoảng cách hai đường thẳng a b d  a, b   MN TOANMATH.com Trang   SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d  O,    OH Khoảng cách từ điểm đến mặt d  O,     OH phẳng Khoảng cách từ đường thẳng d   ,     d  M ,    đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai đường d    ;      d  M ;     M    d  a, b   MN thẳng chéo TOANMATH.com Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Phương pháp giải Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến Ví dụ Khối chóp S ABC có đáy tam giác vuông mặt phẳng  P  cân B AB  a, SA   ABC  Góc cạnh bên SB mặt phẳng  ABC  60O Tính khoảng cách từ A đến  SBC  Hướng dẫn giải Bước Xác định hình chiếu H O   +) Dựng mặt phẳng  P  chứa O vng góc với Ta có AH  SB; AH  BC  AH   SBC   AH  d  A  SBC     +) Tìm giao tuyến    P    +) Kẻ OH    H    Khi d  O;     OH Tam giác SAB vng A nên Bước Tính OH Lưu ý: Tính chất tứ diện vng Giả sử OABC tứ diện vuông O  OA  OB; OB  OC; OC  OA 1 a  2  AH  2 AH SA AB H hình chiếu O mặt phẳng  ABC  Khi ta có 1 1    2 OH OA OB OC TOANMATH.com Trang   Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a,cạnh bên SA vng góc với đáy Biết khối chóp S ABC tích a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  Hướng dẫn giải Gọi I, K hình chiếu vng góc A BC SI Ta có AI  BC ; SA  BC  AK   SBC   AK  d  A,  SBC   Ta có V  a ; S ABC  a2  SA  4a Trong tam giác vuông SAI, ta có 1 4a 195    AK  65 AK SA AI Ví dụ Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật với AD  a Tam giác A ' AC vuông cân A’ thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết A ' A  a Tính khoảng cách từ D’ đến mặt phẳng  A ' ACC ' Hướng dẫn giải Trong  A ' AC  , kẻ A ' I  AC Vì  A ' AC    ABCD   A ' AC    ABCD   AC nên A ' I   ABCD  Vì DD ' AA ' nên DD '   A ' ACC '  d  D ',  A ' AC    d  D,  A ' AC   Kẻ DH  AC Ta có AC  A ' A  2a  CD  a Suy d  D,  A ' AC    DH  a Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Mệnh đề sau đúng? TOANMATH.com Trang   A Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  độ dài đoạn AH với H điểm mặt phẳng  P  B Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  độ dài đoạn AH với AH   P  C Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  độ dài nhỏ đoạn AH D Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  độ dài đoạn AH với H hình chiếu vng góc A  P  Câu 2: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC tam giác cạnh a, SA  2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  57 a A 57a B C 57 a D 57 a 12 Câu 3: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC tam giác cạnh a, SA  2a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  A a B 2a 3a C D 3a Câu 4: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC tam giác cạnh a, SA  2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SAB  A a B a 3a C D 3a   90o , BA  BC  a; AD  2a Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang,  ABC  BAD Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc tạo SC  SAD  30o Khoảng cách từ A đến  SCD  A a B a C a D a Câu 6: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC tam giác cạnh a, SA  2a Gọi G trọng tâm ABC Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SBC  A 57 a B 57a C 57 a D 57 a 18 Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với BC  a 2,  ABC  60o Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  SAB  A a B a 2 C a D 2a Câu 8: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC tam giác vuông B, BC  2a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  TOANMATH.com Trang   A a B 3a C 2a D 3a Câu 9: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC tam giác vuông B, AB  a, BC  2a Biết góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABC  45o Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  A a 2 B a C a 3 D a Câu 10: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , ABC tam giác vuông B, AB  a, BC  2a, SA  a Gọi G trọng tâm tam giác SAB Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SAC  A 5a B 5a 15 C 5a 15 D 5a Câu 11: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  A a B a 3 C 2a D a Câu 12: Cho tứ diện ABCD, biết khoảng cách A đến mặt phẳng  BCD  a Diện tích tam giác ABC A 3a B 3a C 3a D 3a 2 Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD hình vng cạnh a Biết góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD  60o Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  A 3a B 3a C a D 3a Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD hình vng cạnh a, SA  a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  A 3a B 2a C 21a D 21a Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD hình chữ nhật với AB = a, BC= 2a, SA=3a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) A 6a TOANMATH.com B 21a C 5a D 21a Trang   Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có  SAB   SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD hình vng cạnh a, SA  a Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SBD  3a A 2a B 21a C 21a D Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD hình vng tâm O có cạnh a Biết góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  60o Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  3a A 3a B C a 3a D Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có  SAB   SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD   120o , biết SC hợp với đáy góc 45o Khoảng cách từ B đến mặt phẳng hình thoi cạnh a, BAD  SCD  3a A 2a B C 21a 21a D Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a, ABCD hình thoi ABC  60o Gọi G trọng tâm tam giác SBC Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SCD  cạnh a,  A 21a B 21a C 21a 21 21a D Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA   ABCD  SA  a Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC  A a B a C a 2 D a Câu 21: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA   ABCD  SA  a Khoảng cách từ tâm G SAB đến mặt phẳng  SAC  A a B a C a D a Câu 22: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C, SA   ABCD  , AC  a AB  a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  A a B a C a D a Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với nhau, AB  a, AC  b, AD  c Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  TOANMATH.com Trang   1 1   a b2 c2 A 1   a b2 c2 B a  b2  c C D a  b2  c2 Câu 24: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, BC  a 3, SA   ABCD  Góc SC mặt đáy 45o Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SCD  A a B a 21 C 2a 21 D a Câu 25: Cho hình chóp S ABC có đáy ABCD tam giác cạnh a Cạnh bên SB vng góc mặt phẳng  ABC  SB  2a Gọi M trung điểm cạnh BC Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAM  A a 5 B a C a D 2a 17 17 Câu 26: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vng cân A với AB  AC  3a Hình chiếu vng góc B ' lên mặt đáy điểm H thuộc BC cho HC  HB Biết cạnh bên lăng trụ 2a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  B ' AC  A 2a B a C 3a D a Câu 27: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' có cạnh a Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  A ' CD  A a B a C a D a 2 Câu 28: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a, BC  2a, BB '  a Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACC ' A ' A a B a C 2a 5 D 2a Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O,   60o , SO   ABCD  , SO  a Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC  a, BAD A a B a C a D cạnh a 39 13 Câu 30: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh   60o , SO   ABCD  , SO  a Khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng  SBC  a, BAD A a B a C a D a 39 13 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-B 3-D 4-C 5-A 6-D 7-A 8-C 9-A 10-B 11-D 12-A 13-B 14-D 15-A 16-D 17-A 18-D 19-C 20-B TOANMATH.com Trang   21-C 22-D 23-A 24-C 25-D 26-B 27-D 28-C 29-B 30-C Lời giải chi tiết Câu Gọi M trung điểm BC, H hình chiếu vng góc A SM  BC  AM  BC   SAM    SBC    SAM  Ta có:   BC  SA  AH   SBC   d  A;  SBC    AH Ta có AM  a Xét SAM vng A có 1 1 19 a 57    2   AH  2 2 AH AS AM 4a 3a 12a Câu Do SA   ABC    SAB    ABC  Dựng CN  AB  CN   SAB   d  C ;  SAB    CN Do ABC cạnh a nên CN  Vậy d  C ;  SAB    a a Câu Do SA   ABC    SAB    ABC  Dựng CN  AB  CN   SAB   d  C ;  SAB    CN Do ABC cạnh a nên CN  a Do M trung điểm BC nên d  M ;  SAB    a d  C ;  SAB    Câu Gọi E trung điểm AD Khi ABCE hình vng cạnh a Suy CE  AD Lại có CE  SA    Do CE   SAD   CSE SC ,  SAD    30o Lại có: SC.sin 30o  CE  a  SC  2a TOANMATH.com Trang 10   Ta có Suy HE CH    HE  2a AB BC 1    HF  2 HF HE B'H2 Mặt khác d  B,  B ' AC   d  H ,  B ' AC    HE.B ' H HE  B ' H 2  2a BC  HC Do d  B,  B ' AC    HF  a Câu 27 Ta có: AB CD  AB   A ' CD  Khi đó: d  B,  A ' CD    d  A,  A ' CD   Gọi O tâm hình vng ADD ' A ' Vì CD  AA ' CD  AD nên CD   ADD ' A ' Suy CD  AO Mà AO  A ' D nên AO   A ' CD  Suy d  A,  A ' CD    AO  Vậy d  B,  A ' CD    AD ' a  2 a Câu 28 Kẻ BH  AC  H  AC  Lại có BH  AA '  AA '   ABCD   Suy BH   ACC ' A '  d  B;  ACC ' A '   BH Xét ABC vng B có: 1 2a     BH  BH AB BC 4a Vậy d  B;  ACC ' A '   2a Câu 29 Kẻ OK  BC  BC   SOK  Trong mặt phẳng  SOK  : Kẻ OH  SK  OH   SBC   d  O,  SBC    OH   60o nên ABD Vì ABD có AB  AD, BAD a Suy BD  a  BO  TOANMATH.com Trang 18   Suy AO  AB  BO  a  a2  a Trong OBC vng O có: 1 13 a 39     OK  2 OK OB OC 3a 13 Trong SOK vuông O có: 1 16 a     OH  2 OH OS OK 3a Vậy d  O,  SBC    OH  a Câu 30 Kẻ OK  BC  K  BC  , OH  SK  H  SK  Ta có: AD BC  AD   SBC  Khi d  AD,  SBC    d  M ,  SBC   (với M giao điểm AD OK) Kẻ MN OH  N  SK  Ta có  SOK    SBC  theo giao tuyến SK nên OH   SBC  Suy MN   SBC  Suy d  AD,  SBC    d  M ,  SBC    MN  2OH  a Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài tốn Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b trường hợp a  b Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 19   Dựng mặt phẳng   chứa b vng góc với a Ví dụ Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác A vuông B, AB  a, BC  2a ; cạnh bên SA vuông Dựng AB  b b góc với đáy SA  2a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC Hướng dẫn giải AB đoạn vuông góc chung a b  AB  SA Ta có:  Suy AB đoạn vng góc  AB  BC chung SA BC Vậy d  SA, BC   AB  a Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a; cạnh bên SA vng góc với đáy; SC hợp với đáy góc 45o Tính khoảng cách hai dường thẳng SC BD Hướng dẫn giải Ta có: AC hình chiếu vng góc SC lên  ABCD    45o Suy  SC ,  ABCD    SCA  BD  AC  BD  SC Lại có:   BD  SA Gọi O  AC  BD Dựng OH  SC H OH  SC Ta có:  Suy OH la đoạn vng góc chung BD SC OH  BD Suy d  BD, SC   OH Xét tam giác OHC vng H có: OH  OC sin 45o  TOANMATH.com 2a a  2 Trang 20   Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng  SBC  vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA,BC Hướng dẫn giải Kẻ AH  BC 1 Ta có AH  AB a a  , SH  2 Vì SA   ABC  , BC   ABC   SA  BC   Từ 1   suy BC   SHA  Trong  SAH  , kẻ HK  SA  K  SA  Suy HK đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo SA BC Xét tam giác SHA vng H có Vậy d  SA, BC   1 16 a     HK  2 HK HS HA 3a a Bài tốn Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khơng vng góc  Phương pháp giải Cách Dựng mặt phẳng   chưa b song song với a Chọn điểm M thích hợp a, dựng MH    H Qua H, dựng đường thẳng a '/ / a , cắt b B Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A AB đoạn vng góc chung a b Cách Dựng mặt phẳng   vng góc với a M Dựng hình chiếu b’ b lên   Dựng hình chiếu vng góc H M lên b’ Từ H, dựng đượng thẳng song song với a, cắt b B Qua B, dựng đường thẳng song song với MH, cắt a A AB đoạn vng góc chung a b  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD  SA  AB  a, BC  a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 21   Ví CD   SAB  nên d  CD, SB   d  CD,  SAB    d  D,  SAB   Ta có: AD  AB AD  SA Suy AD   SAB  Khi d  D,  SAB    DA  a Vậy d  CD; SB   a Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A, AB  a, BC  2a, mặt bên ACC’A’ hình vng Gọi M, N, P trung điểm AC , CC ', A ' B ' H hình chiếu A lên BC Tính khoảng cách hai đường thẳng MP HN Hướng dẫn giải Ta xét cặp mặt phẳng song song chứa MP NH Xét tam giác ABC vng ta A có: 1 1 a       AH  2 2 2 AH AB AC AB BC  AB 3a Kẻ MK BC  K  AB  , PQ B ' C '  Q  A ' C ' Ta có PM   MKPQ  HN   BCC ' B '  Do MK BC MQ CC ' nên  MKPQ    BCC ' B ' Khi d  MP, NH   d   MKPQ  ,  BCC ' B '   AH  BC Do   AH   BCC ' B '  AH  CC '  CC '   ABC  , AH   ABC   TOANMATH.com Trang 22   Suy AH   KMQP   I   AH  KM Vậy d  MP, NH   d   MPKQ  ,  BCC ' B '   IH  AH a  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hai đường thẳng d1 d chéo Mệnh đề sau đúng? A Khoảng cách d1 d khoảng cách từ điểm A d1 đến d B Khoảng cách d1 d khoảng cách từ điểm B d đến d1 C Khoảng cách d1 d độ dài đoạn AB với AB vng góc với d1 d D Khoảng cách d1 d khoảng cách từ điểm A d1 đến mặt phẳng  P  chứa d d1 song song với  P  Câu 2: Mệnh đề sau đúng? A Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với đường thẳng B Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng C Một đường thẳng đường vông góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với hai đường thẳng D Hai đường thẳng chéo có vơ số đường vng góc chung Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD A a B 2a C 3a D a Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng  ABCD  SH  a Khoảng cách hai đường thẳng DM SC A 57 a 19 B 3a 19 C 3a D a   60o Khoảng Câu 5: Hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  AA '  AD  a  A ' AB   A ' AD  BAD cách hai đường thẳng chứa cạnh đối diện tứ diện A ' ABD A a B 2a C 3a D a Câu 6: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng  SBC  vng góc với mặt đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a B 2a C a D a Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy SA vng góc với đáy, ABCD hình vng cạnh a Biết góc SB mặt đáy 60o Khoảng cách hai đường thẳng BD SC TOANMATH.com Trang 23   10a A 10a 10 B C 30a 10 30a D Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có tam giác ABC vuông cân A, AB  a, CC '  2a Khoảng cách hai đường thẳng AA1 BC1 A a 6a B C 3a a 2 D Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có tam giác ABC vuông cân A, AB  a, CC '  2a Khoảng cách hai đường thẳng AC BC1 A 5a B 5a C 5a a D Câu 10: Cho hình chóp tam giác S ABC có tất cạnh a Khoảng cách hai dường thẳng SA BC A a 2 B a C a a D Câu 11: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA  a, OB  a 2, OC  2a Khoảng cách hai đường thẳng OA BC A Câu 2a 5 12: B Cho hình 2a 3 chóp S ABCD C có đáy a ABCD D a hình thang vng A D, SA   ABCD  , AD  DC  SA  a Khoảng cách hai đường thẳng AD SB A a 2 B a C a D a Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BB ' CD A a B a C a 2 D a Câu 14: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AA ' BD A a B a C a 2 D a Câu 15: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc cạnh AB cho HA  HB Góc hai đường  ABC  60o Khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a A a 42 B a 42 C a 24 thẳng SC mặt phẳng D a 42 Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vuông A, AB  a, BC  a Khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC ' TOANMATH.com Trang 24   A a B a C a D a Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có mặt bên  SAB  tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy, ABCD hình chữ nhật với AB  a, BC  2a Khoảng cách hai đường thẳng AC SD A 17 a 17 B 17 a 17 C 17 a 34 D 17 a 17   60o , có SO vng Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi tam O, cạnh a, góc BCD góc với mặt phẳng  ABCD  SO  a Khoảng cách hai đường thẳng AD SB A 57 a 19 B 57a 19 C 57 a 19 D 57 a Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng  ABC  trọng tâm tam giác ABC góc cạnh bên mặt đáy 60o Khoảng cách hai đường thẳng BC A ' B ' A a B a 2a C D 2a Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng  ABC  trọng tâm tam giác ABC góc cạnh bên mặt đáy 60o Khoảng cách hai đường thẳng BC AA ' A 3a B a C 3a D 3a ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-B 3-B 4-B 5-B 6-D 7-C 8-D 9-B 10-A 11-B 12-C 13-B 14-C 15-D 16-D 17-B 18-C 19-A 20-C Lời giải chi tiết Câu Gọi K trung điểm CD CD  AK  CD   ABK  Suy  CD  BK Dựng HK  AB  HK  d  AB; CD  Xét tam giác BHK vng H, ta có  a   a 2 a HK  BK  BH          2 2 Vậy d  AB; CD   TOANMATH.com a Trang 25   Nhận xét: Đối với tứ diện cạnh a khoảng cách giửa cặp cạnh đối diện a Suy Câu  DM  NC  DM   SHC   DM  SC Ta thấy   DM  SH   MD  NC Ta có: MAD  NDC   ADM  DCN Do SH   ABCD  nên MD  SH  MD   SHC  Kẻ HK  SC  K  SC  Suy HK đoạn vuông góc chung DM SC nên d  DM , SC   HK Ta có: HC  CD 2a  HK  CN Do d  DM , SC   SH HC SH  HC 2  3a 19 3a 19 Câu   60o Vì AB  AA '  AD  a  A ' AB   A ' AD  BAD nên tứ diện A ' ABD tứ diện cạnh a khoảng cách hai đường thẳng chứa cạnh đối diện tứ diện A ' ABD 2a (theo kết câu 3) Câu Gọi H trung điểm BC nên BC a a  , SH   ABC  , SH  2 AH  Gọi K hình chiếu vng góc H SA  HK  SA Ta có: BC   SAH   BC  HK  d  SA; BC   HK Xét tam giác SHA vuông H Ta có 1 16 a     HK  2 HK SH AH 3a Vậy d  SA; BC   a Câu TOANMATH.com Trang 26     60o Do SA   ABCD  nên  SB;  ABCD    SBA Do tam giác SAC vuông A nên   a SA  AB.tan SBA Gọi O tâm hình vuông ABCD  BD  AC  BD   SAC  Ta có:   BD  SA Trong mặt phẳng  SAC  , dựng OH  SC Suy d  BD; SC   OH Dựng AK OH  OH  AK Xét tam giác SAC vuông A: 1 30a     AK  2 AK AS AC 6a Vậy d  BD; SC   30a 10 Câu Do BB1 AA1 nên AA1   BCC1 B1  Suy d  AA1 ; BC1   d  AA1 ;  BCCC1    d  A;  BCCC1   Do  BCCC1    ABC  , dựng AH  BC ,  H  BC  Suy AH   BCC1 B1  Xét tam giác ABC vuông A : AH  Vậy d  AA1 ; BC1   a BC  2 a Câu Gọi O giao điểm AB1 A1 B Do AC A1C1 nên AC   BA1C1  Suy d  AC ; BC1   d  AC ; BA1C1   d  A;  BA1C1    d  B1 ;  BA1C1   (do O   BA1C1  O trung điểm AB1 ) Dựng B1 H  A1 B 1  A C  A1 B1 Ta có:  1  A1C1   ABB1 A1   A1C1  AA1 TOANMATH.com Trang 27    A1C1  B1 H   Từ (1) (2) ta có: B1 H   A1 BC1   d  B1 ;  A1 BC1    B1 H Xét tam giác A1 BB1 vuông B1 : 1 5a     B1 H  2 B1 H  A1 B1   BB1  4a Vậy d  BC1 ; AC   5a Câu 10 Gọi I, K trung điểm BC SA Ta có: BC  SI ( SBC đều) BC  AI ( ABC đều) Do BC   SAI   BC  IK 1 Mặt khác SI  IA  SAI cân I Có IK đường trung tuyến nên IK  AB   Từ (1) (2) suy IK đoạn vng góc chung cùa SA BC Do d  SA; BC   IK Xét AKI vuông K có:  a   a 2 a IK  AI  AK          2 2 Vậy d  SA; BC   a Câu 11 Kẻ OH  BC  H  BC 1 Ta có: OA  OB OA  OC Suy OA   OBC   OA  OH   Từ (1) (2) suy OH đoạn vng góc chung cùa OA BC Do d  OA; BC   OH Xét OBC vng O có: 1 2a     OH  2 OH OB OC 4a Vậy d  OA; BC   2a Câu 12 TOANMATH.com Trang 28   Kẻ AH  SB  H  SB 1 Ta có: AD  AB AD  SA  SA   ABCD   Suy AD   SAB   AD  AH   Từ (1) (2) suy AH đoạn vng góc chung cùa AD SB Do d  AD; SB   AH Xét SAB vng A có: a 1     AH  AH SA SB 3a Vậy d  AD; SB   a Câu 13 Ta có BC  BB ' BC  CD Suy BC đoạn vng góc chung BB ' CD Do d  BB '; CD   BC  a Câu 14 Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có: AO  BD AO  AA ' Suy AO đoạn vuông góc chung AA ' BD Do d  AA '; BD   AO  AC a  2 Câu 15   60o Ta có  SC ,  ABC     SC , HC   SCH ABC nên CI  a với I trung điểm AB a a a Ta có BH  ; BI   IH  Suy CH  IH  IC  7a SCH vng H có SH  HC.tan 60o  21a Kẻ Ax BC Gọi N K hình chiếu vng góc H Ax SN Suy BC   SAN  Ta có: BA  3 AH nên d  SA, BC   d  B,  SAN    d  H ,  SAN   2 Ta có Ax   SHN  nên Ax  HK Do HK   SAN  TOANMATH.com Trang 29   Suy d  H ,  SAN    HK AH  2a a , HN  AH sin 60o  3 HK  SH HN SH  HN Vậy d  SA, BC    a 42 12 a 42 HK  Câu 16 Vì AA '   BCC ' B ' nên d  AA '; BC '  d  AA ';  BCC ' B '   d  A;  BCC ' B '  Kẻ AH  BC  H  BC  Mà AH  BB '  BB '   ABC   Suy AH   BCC ' B ' Do d  A;  BCC ' B '   AH Xét ABC vuông A có: AC  BC  AB  a 1 a     AH  2 AH AB AC 2a Vậy d  AA '; BC '  a Câu 17 Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, H trung điểm AB Do  SAB    ABCD  SH  AB nên SH   ABCD  Gọi I giao điểm HD AC  ID  IH Gọi G trọng tâm SAB Suy IG SD  SD   AGC   d  SD; AC   d  SD;  AGC    d  D;  AGC    2d  H ;  AGC   Dựng HK  AC  AC   GHK  Dựng HP  GK  HP   GAC  Suy d  H ;  GAC    HP Ta có AH  AB a BC a a  ; HO   a; SH   HG  SH  2 2 TOANMATH.com Trang 30   Xét tam giác GHK vuông H: 1 1 1 17       2 2 2 HP HK HG HA HO HG a Suy HP  17 a 17 Vậy d  SD; AC   17 a 17 Câu 18 Ta có: SB   SBC  AD / /  SBC  Do d  AD, SB   d  AD,  SBC   Qua O kẻ MN  BC  M  AD, N  BC  Ta có: BC  MN BC  SO (vì SO   ABCD  ), suy BC   SMN  Mà BC   SBC    SMN    SBC  theo giao tuyến SN Kẻ MH  SN  H  SN   MH   SBC  Khi ta có d  AD, SB   d  M ,  SBC    MH Ta có S SMN   MH  1 MN SO  MH SN 2 MN SO MN SO  SN SO  ON ˆ  60o suy tam giác BCD d  D, BC   a  MN Do tam giác BCD có CD  CB  a BCD Vậy d  AD, SB   d  M ,  SBC    MH  2a 57 19 Câu 19 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, theo giả thiết A ' G   ABC    AA ';  ABC     A ' AG  60o Xét tam giác A ' AG vuông G: a tan 60o  a A ' G  AG.tan  A ' AG  Do BC   A ' B ' C ' nên d  BC ; A ' B '   d  BC ;  A ' B ' C '    A ' G  a Vậy d  BC ; A ' B '  a Câu 20 TOANMATH.com Trang 31   Gọi G trọng tâm tam giác ABC AA ';  ABC     A ' AG  60o Theo giả thiết A ' G   ABC  , suy  Xét tam giác A ' AG vuông G: a A ' G  AG.tan  A ' AG  tan 60o  a Gọi M trung điểm BC  BC  AM   BC   A ' AM   BC  A ' G Dựng MN  AA '  d  BC ; AA '  MN Xét tam giác AMN vuông N:   a sin 60o  3a Vậy d  BC ; AA '  3a MN  AM sin NAM 4 TOANMATH.com Trang 32 ... a  BO  TOANMATH.com Trang 18   Suy AO  AB  BO  a  a2  a Trong OBC vng O có: 1 13 a 39     OK  2 OK OB OC 3a 13 Trong SOK vuông O có: 1 16 a     OH  2 OH OS OK 3a Vậy d ... vng góc với đáy Biết A '' A  a Tính khoảng cách từ D’ đến mặt phẳng  A '' ACC '' Hướng dẫn giải Trong  A '' AC  , kẻ A '' I  AC Vì  A '' AC    ABCD   A '' AC    ABCD   AC nên A '' I ... AH Xét SAB vuông A nên 1 a    AH  2 2 AH AS AB Câu 10 Do SA   ABC  nên  SAC  ABC  Trong mặt phẳng  ABC  , dựng BH  AC Ta có BH   SAC  Suy d  B;  SAC    BH Xét ABC vuông