bai giang goc trong khong gian

VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN BÀI GIẢNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng + Nắm phương pháp tính góc trường hợp cụ thể  Kĩ + Thành thạo bước tính góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng +   Vận dụng quy tắc tính góc vào giải tập liên quan Trang   I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Góc hai đường thẳng Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a' b' qua điểm song song trùng với a b Nhận xét: Để xác định góc hai đường thẳng a, b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng cịn lại Góc đường thẳng mặt phẳng   ,  P     d , d    AIH b) d   P    d a) d   P   d ,  P   90o ; (với d' hình chiếu d lên (P))   Chú ý: 0o  d ,  P   90o Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng TOANMATH.com Trang   a           ,     a , b b            Chú ý:   / /        ,     0o ;   ,      0o          Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác H nằm mặt phẳng  P  ; S' diện tích hình chiếu H' H mặt phẳng  P   góc hai mặt phẳng  P  P  S   S cos  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA GĨC Góc hai Góc đường thẳng Góc hai đường thẳng a, b d mặt phẳng (P) mặt phẳng Góc hai đường thẳng a b góc hai đường   d   P   d ,  P   90o ; thẳng a' b' qua a      b        ,     a ,b       điểm song song trùng với a b d  P   ,  P     d , d    A IH  d (với d' hình chiếu a  b   a, b   90o TOANMATH.com d lên (P)) Trang   II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Góc hai đường thẳng Phương pháp giải Để tính góc hai đường thẳng d1, d2 khơng gian ta thực sau Bước Chọn điểm O thích hợp (O thường nằm hai đường thẳng) Bước Từ O dựng đường thẳng d1 , d 2 song song (có thể trùng O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d1 , d 2 góc hai đường thẳng d1, d2 Lưu ý: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác: cos A    Cách khác: Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1, d2   u1.u2 Khi góc hai đường thẳng d1, d2 xác định cos  d1 , d     u1 u2 b2  c  a 2bc Ví dụ: Góc d1, d2 góc d1 , d 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Góc hai đường thẳng CD' A'C' A 30° B 90° C 60° D 45° Hướng dẫn giải       , AC   CD , AC   Ta thấy AC  / / AC  CD Do mặt hình lập phương nên đường chéo TOANMATH.com Trang   Ta có AC  CD  AD  a Suy ACD' nên  CD, AC     60o Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc  IJ , CD  A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải       , CD  SB , AB Từ giả thiết ta có IJ / / SB (do IJ đường trung bình SCB) AB / / CD  IJ   60o Mặt khác, ta lại có SAB nên SBA Suy  SB, AB   60o   IJ , CD   60o Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB  a, SA  a SA vng góc với (ABCD) Góc hai đường thẳng SB CD A 60° B 30° C 45° D 90° Hướng dẫn giải Ta có ABCD hình bình hành nên AB / / CD  SB, CD    SB, AB   SBA Do  Vì SA   ABCD   SA  AB  SAB vuông A  Xét tam giác vng SAB ta có tan SBA TOANMATH.com SA a   60o    SBA AB a Trang   SB, CD   60o Vậy  Chọn A Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA   ABCD  , SA  a, AB  a, BC  a Côsin góc tạo hai đường thẳng SC BD A 10 B C D 10 Hướng dẫn giải SC , BD    OM , BD  Kẻ OM / / SC   Ta có ABCD hình chữ nhật có AB  a, BC  a  AC  BD  2a BD SC SA2  AC a a ; BM  MA2  AB   a, OM    2 2 2 2   OM  BO  BM   cos SC  cos MOB , BD  2OM BO 5 BO    Chọn B Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, C'D' Góc hai đường thẳng MN AP A 45° B 30° C 60° D 90° Hướng dẫn giải Giả sử hình lập phương có cạnh a MN , AP    AC , AP  Do MN / / AC nên  TOANMATH.com Trang    Ta cần tính góc PAC a a Vì A'D'P vng D' nên AP  AD  DP  a     2 2 2 a 5 3a AA'P vuông A' nên AP  AA  AP  a       2 CC'P vuông C' nên CP  CC 2  C P  a  a2 a  Ta có AC đường chéo hỉnh vuông ABCD nên AC  a Áp dụng định lý Côsin tam giác ACP ta có:   cos CAP    CAP   45o  90o CP  AC  AP  AC AP.cos CAP   45o hay  Suy  AC , AP   CAP MN , AP   45o Chọn A Lưu ý: Cách khác: tính trực tiếp      MN AP Áp dụng công thức cos MN , AP    MN AP   Ta tính   3a MN AP    2a MN AP    Suy cos MN , AP    MN , AP   45o   Ví dụ Cho lăng trụ ABC.DEF có cạnh đáy a, chiều cao 2a Cosin góc tạo hai đường thẳng AC BF A 10 B C D 10 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang   Gọi M, N, K trung điểm đoạn thẳng BC, CF, AB  MN / / BF Khi    AC , BF    MN , MK  MK AC / /  Xét tam giác MNK, ta có: 1 a BF  BC  CF  a  4a  ; 2 2 a a MK  AC  , CK  ; 2 MN  3a a  a2  NK  KC  NC  a 5a a   4    ME  MN  EN  Suy cos EMN ME.MN a a 5 2 2   Vậy cos  AC , BF   cos EMN 10 Chọn A Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC AD, biết AB  CD  a, MN  a Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm AC  IM / / AB   Ta có    AB, CD    IM , IN   IN / / CD    Đặt MIN Xét tam giác IMN có IM  AB a CD a a  , IN   , MN  2 2 Theo định lí cơsin, ta có: TOANMATH.com Trang   2 a a a 3        IM  IN  MN         120o      MIN cos   a a IM IN 2 2 AB, CD   60o Vậy  Cách khác:    Ta có  AB, CD    IM , IN  nên ta tính cos IM , IN    MN  IN  IM     MN  IN  IM    IM  IN  IN IM       IM  IN  MN a2  Suy IN IM  Vậy cos  AB, CD   Do  AB, CD   60o Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (tham khảo hình vẽ bên) Góc đường thẳng AD BB1 A 30° B 60° C 45° D 90° Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Góc hai đường thẳng BA' B'D' A 45° B 90° C 30° D 60° Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có I, J tương ứng trung điểm BC BB' Góc hai đường thẳng AC IJ A 45° B 60° C 30° D 120° Câu Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  tam giác ABC vuông B, SA  a, AB  a, BC  a Gọi I trung điểm BC Cơsin góc đường thẳng AI SC A  B C D Câu Cho tứ diện OABC có OA  OB  OC  a; OA, OB, OC vuông góc với đơi Gọi I trung điểm BC Góc hai đường thẳng AB OI A 45° B 30° C 90° D 60° Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD Biết AB  CD  a MN  a Góc hai đường thẳng AB CD TOANMATH.com Trang   A 30° B 90° C 120° D 60° Câu Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M, N trung điểm AD BC Biết MN  a 3, góc hai đường thẳng AB CD A 45° B 90° C 60° D 30° Câu Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm BC Cơsin góc hai đường thẳng AB DM A B C D Câu Cho tứ diện S.ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a; BC  a Góc hai đường thẳng AB SC A 0° B 120° C 60° D 90° Câu 10 Cho tứ diện ABCD có tất cạnh m Các điểm M, N trung điểm AB CD Góc đường thẳng MN với đường thẳng BC A 30° B 45° C 60° D 90° Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng Bài toán Bài tập củng cố lý thuyết Phương pháp giải Nắm vững lý thuyết để xác định góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện ABCD có cạnh BA, BC, BD vng góc với đơi Góc đường thẳng CD mặt phẳng (ADB) góc  A CDA  B CAB  C BDA  D CDB Hướng dẫn giải CB  BD Ta có   CB   ABD  CB  BA Do BD hình chiếu CD (ABD)  Suy góc CD (ABD) CDB Chọn D Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SB vng góc (ABC) Góc SC với (ABC) góc A SC AC B SC AB C SC BC D SC SB Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 10    ABC    ABC   BC  Do  AB   ABC  ; AB  BC nên  ABA   góc hợp hai mặt   AB   ABC  ; AB  BC phẳng (A'BC) (ABC) Xét A'BC vuông A ta có tan   AA a   BA a Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, SA  a SA   ABC  , AB  BC  a Góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) A 45° B 30° C 60° D 90° Hướng dẫn giải Ta có  SAC    SBC   SC Gọi F trung điểm AC BF   SAC   KB, KF   BKF Dựng BK  SC K  SC   BKF     SAC  ,  SBC     a a FK SA FC.SA a   FK    Dễ thấy CFK ∽ CSA  FC SC SC a   FB  BFK vng F có tan BKF FK a 2   BKF   60o a Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 60° Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi  góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Nếu tan   góc (SAC) (SBC) A 30° B 90° C 60° D 45° Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 22   Gọi O tâm đáy K hình chiếu vng góc O SC  BD  AC nên BD   SAC   BD  SO Do   BD  SA    Suy góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) góc SOA Ta có tan   SA   SA  OA  a OA  SC  BD nên SC  BK Do   SC  OK  Suy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) BKO  Ta có tan BKO BO BO   OK d  A, SC  2 BO SA AC  2 2  2  SA2  AC   60o Suy BKO Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác (SAB) vuông góc với (ABCD) Gọi  góc tạo (SAC) (SCD) Giá trị cos A B C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 23   Gọi H, M trung điểm AB, CD Vì SAB tam giác (SAB) vng góc với (ABCD) nên SH   ABCD  Kẻ AK  SC  K  SC  , DI  SC  I  SC  , IP / / AK  P  AC  Suy    IP, ID  Ta có HC  HD  a a SM CD a 14 , SC  SD  a 2, SM   DI   2 SD a 14 a 3a CI  SK  CD  DI   CK  4 2a CI a 14 KI CPI ∽ CAK  IP  AK  , AP  AC  CK 12 CK CSA  SCD  AK  DI  Áp dụng định lí cơsin, ta có APD có PD  AP  AD  AP AD.cos 45o   IPD có cos PID a IP  ID  DP  2.IP.ID Vậy cos   Chọn C Bài tốn Xác định góc hai mặt phẳng cách dùng đinh lý hình chiếu Phương pháp giải Dùng định lý diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác H (P) S' diện tích hình chiếu H (P')  góc S (P) (P') S   S cos  hay cos   S Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích tam giác MNP a2 Góc hai mặt phẳng (MNP) (ABCD) A 60° B 30° C 45° D 120° Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 24   Gọi  số đo góc hai mặt phẳng (MNP) (ABCD) Ta có hình chiếu vng góc tam giác MNP lên (ABCD) ABC Áp dụng cơng thức hình chiếu diện tích ta có S  ABC  S MNP cos   1 AB.BC  a cos   cos      60o 2 Vậy góc hai mặt phẳng (MNP) (ABCD) 60° Chọn A Ví dụ Cho tam giác ABC vng cân A có AB  a, đường thẳng d vng góc với (ABC) điểm A ta lấy điểm D Góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) trường hợp DBC tam giác A arccos B arccos C arccos D arccos Hướng dẫn giải Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) Theo cơng thức diện tích hình chiếu đa giác, ta có: S ABC  S DBC cos  Mà S DBC  1 a2 DB.DC.sin 60o  a 2.a  2 2 Mặt khác S ABC  Suy cos   1 AB AC  a 2 S ABC 3     arccos 3 S DBC Chọn B   120o , Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a, BAC cạnh bên BB  a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'I vng A Cơsin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) A 15 10 B 30 10 C 10 30 D 15 30 Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Cơsin cho ABC ta có: BC  AB  AC  AB AC.cos A  a  a  2a cos120o  3a TOANMATH.com Trang 25   Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: 2 a 13a  a  5a BA2  2a ; AI  a     ; BI  3a   4 2 Ta có: BA2  AI  2a  Ta có: S ABI  S ABC  5a 13a   BI  ABI vuông A 4 1 a a 10 AI AB  a  2 a2 a sin120o  Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) Ta có cos   S ABC SABI  a2 3 30  24   10 a 10 10 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA   ABCD  , gọi O tâm hình vng ABCD Khẳng định sau sai? A Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc  ABS  B Góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) góc SOA  C Góc hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) góc SDA D  SAC    SBD  Câu Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy (ABC), tam giác ABC vng cân A có đường cao AH  H  BC  Gọi O hình chiếu vng góc A lên (SBC) Khẳng định sau đúng? A SA   ABC  B  SAH    SBC  C O  SC  D Góc (SBC) (ABC) SBA Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích tam giác ABC Gọi M, N, P thuộc cạnh AA', BB', CC' diện tích tam giác MNP 10 Góc hai mặt phẳng (ABC) (MNP) A 60° TOANMATH.com B 30° C 90° D 45° Trang 26   Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB  2a, AD  DC  a SA   ABCD  Tan góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) A B C D Câu Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh đáy a Gọi M điểm cạnh AA' cho 3a AM  Tan góc hợp hai mặt phẳng (MBC) (ABC) A B C Câu Cho hình chóp S.ABC có chiều cao a, thể tích đáy A 75° B 60° C 45° D 3a Góc tạo mặt bên mặt D 30° Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A Cạnh bên SA vng góc mặt phẳng đáy SA  a Biết AB  AD  DC  2a Góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) A  B  C  D  12 Câu Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi  góc tạo hai mặt phẳng (SAC)và (SCD) Giá trị cos A 21 B 21 14 C 21 D 21 Câu Cho lăng trụ đứng OAB.O'A'B' có đáy tam giác vuông cân OA  OB  a, AA  a Gọi M, P trung điểm cạnh OA, AA' Diện tích thiết diện cắt lăng trụ (B'MP) A a 15 12 TOANMATH.com B 5a 15 12 C 5a 15 D a 15 Trang 27   ĐÁP ÁN Dạng Góc hai đường thẳng 1- D 2- D 3- B 4- C 5- D 6- D 7- C 8- B 9- C 10- B Câu  AD   ABB1 A1   AD  BB1   AD, BB1   90o Ta có  BB  ABB A    1 Câu Vì BD / / BD nên góc hai đường thẳng BA' B'D' góc hai đường thẳng BA' BD Ta có ABCD.A'B'C'D' hình lập phương nên A'BD tam giác Khi góc hai đường thẳng BA' BD  ABD  60o Câu Gọi K trung điểm AB Vì ABCD hình vng nên KI / / AC Suy góc AC IJ góc KI IJ Ta có IK  1 AC ; IJ  BC ; KJ  AB 2 Vì ABCD.A'B'C'D' hình lập phương nên AC  BC  AB  KI  IJ  JK   60o Suy IJK tam giác đều, nên KIJ Vậy góc AC IJ 60° Câu Gọi H trung điểm SB ta có SC / / HI Góc đường thẳng AI SC góc đường thẳng AI HI AH  SB  AB  SA2 a  ; 2 a2 AI  AB  BI  a   a 2 HI  SC  2 SA2  AC a  3a   a; AI  AH  HI 2 HI AIH   Suy tam giác AHI vuông H , cos  AI TOANMATH.com Trang 28   AIH  Vậy cơsin góc đường thẳng AI SC cos  Câu Vì tứ diện OABC có OA  OB  OC  a; OA, OB, OC vng góc với đơi nên ta dựng hình lập phương AMNP.OBDC (như hình vẽ) với I trung điểm BC ;  I   OD  BC Cạnh hình lập phương a nên AB  AN  NB  a tam giác ABN Dễ thấy OI / / AN nên góc hai đường thẳng AB OI góc AB AN 60° Câu Gọi E trung điểm BD  AB / / NE Vì  nên góc hai đường thẳng AB CD góc CD / / ME hai đường thẳng NE ME Trong tam giác MNE ta có: a a 3a   4  1   ME  NE  MN  cos MEN a ME.NE 2 2   120o Suy MEN Vậy góc hai đường thẳng AB CD 60° Câu Gọi P trung điểm AC, ta có PM / / CD PN / / AB suy AB, CD    PM , PN   Dễ thấy PM  PN  a Xét PMN ta có:  cos MPN PM  PN  MN a  a  3a   PM PN 2.a.a   120o  MPN Suy  AB, CD   180o  120o  60o Câu Gọi N trung điểm AC Khi AB / / MN nên  DM , AB    DM , MN  TOANMATH.com Trang 29   Dễ dàng tính DM  DN  a a MN  2 Trong tam giác DMN, ta có: a2   DM  MN  DN  cos DMN  DM MN a a 2  Vì cos DMN 2 3  nên cos  DM , MN   Vậy cos  DM , AB   6 Câu Gọi M, N, P trung điểm BC, SB, SA Góc AB SC góc PN MN Ta có: MN  a a  NP; PC  BP   PM  PC  CM 2 2 a 3 a 2 a              60o Vậy góc AB SC 60° Suy MNP tam giác  MNP Câu 10       Đặt AD  a, AB  b, AC  c          Khi đó, ta có a  b  c  m a, b  b, c  c, a  60o          m Ta có a.b  b.c  c.a  Vì M, N trung điểm AB CD nên       MN  AD  BC  a  c  b 2  MN             m2 m  2 2  MN  a  b  c  2a.c  2a.b  2b.c  2          m2 MN BC   cos  MN , BC      MN BC  a  c  b b  c  2 MN BC    m2 2  m m Vậy góc hai đường thẳng MN BC 45° Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng 1- C 2- A 3- A 4- D 5- C 6- A 7- D 8- A 9- B 10- B 11- B HƯỚNG DẨN GIẢI CHI TIẾT TOANMATH.com Trang 30   Câu Từ giả thiết ta có SA   ABCD  Suy AC hình chiếu SC mặt phẳng (ABCD)  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA Do  Câu  AB  BC Từ giả thiết ta có   AB   BCD   AB  CD AC ,  BCD     AC , BC    ACB Do  Câu Vì SA vng góc với đáy nên:  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA  Trong hình vng ABCD có AC  a Theo giả thiết, ta có SA  2a Suy SAC vuông cân A   45o Vậy SCA Câu  Ta có  SC ,  ABCD     SC , OC   SCO Xét tam giác vuông SCO có:  cos SCO OC   61o52   SCO SC Câu Vì BB   ABC  nên AB hình chiếu vng góc AB' (ABC)  AB AB,  ABC     AB, AB   B Suy  Tam giác ABB' vuông B nên:   tan BAB BB AA   60o    BAB AB AB Câu TOANMATH.com Trang 31   Do hình chóp S.ABC nên ta có SG   ABC  với G trọng tâm ABC  Do góc SA mặt phẳng (ABC) SAG Gọi F trung điểm BC ta có AF  Suy AG  3a 2 AF  a 3 Xét SAG vuông G ta có:  cos SAG AG a 3   30o    SAG SA 2a Vậy góc SA mặt phẳng (ABC) 30° Câu  BC  AB  Ta có   BC   SAB  nên góc  CSB BC SA   Ta có tan   10 5a BC   SB   SA  a SB 10  Góc SO (ABCD) góc SOA   SOA   SA    60o Ta có tan SOA AO a 2 a Câu Dựng MN / / AB  N  BD  , AB   BCD  M trung điểm AD nên MN   BCD  N trung điểm DB Suy CN hình chiếu vng góc CM mặt phẳng (BCD) Vậy góc CM mặt phẳng (BCD) góc hai đường thẳng CN CM   MN  a  Ta có: tan  CM , CN   tan MCN CN a 3 Câu Gọi O  AC  BD  SO   ABCD  Gọi H trung điểm OD Xét SOD có MH đường trung bình nên MH / / SO Suy MH   ABCD  TOANMATH.com Trang 32   Hình chiếu đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) BH  góc nhọn)  ( MBH BM ,  ABCD     BM , BH   MBH Suy  Xét tam giác vuông ABD có: BD  AB  AD   BH   2a    2a  2  2a 3 2a BD  OD  BD  2a 2 Xét tam giác vng SOD có: SO  SD  OD   2a    2a   2a a 2a MH  Suy MH  SO  Ta có tan MBH   BH 2a 2 Câu 10  Ta có góc SB mặt phẳng (SAC) góc BSO Xét SOB vng O có SO  SA2  OA2  a , SB  SA2  AB  a 2 a SO    30o    BSO Vậy cos BSO SB a 2 Câu 11 SH  HC  a  a2 a  a Vì SA  AB  a  AH  Vì SA2  AH  SH nên SAB vuông cân A hay SA  AB  SAB    ABCD   Ta có  SAB    ABCD   AB  SA   ABCD   SA  AB  Hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) AC   tan   tan SCA   SA  a  Suy  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA AC a 2 Dạng Góc hai mặt phẳng 1- C 2- B TOANMATH.com 3- A 4- A 5- C 6- C 7- A 8- D 9- B Trang 33   HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu  SAD    ABCD   AD   Ta có:  AB  AD, AB   ABCD     SAD  ,  ABCD    SAB   SA  AD, SA   SAD  Vậy đáp án C sai Câu  SAB    SAC   SA  Ta có  SAC    ABC   SA   ABC    SAB    ABC  Gọi H trung điểm BC  AH  BC mà BC  SA  BC   SAH    SBC    SAH  Khi O hình chiếu vng góc A lên (SBC)   D sai Suy O  SH   SBC  ,  ABC    SHA Câu Có ABC hình chiếu  MNP lên mặt phẳng (ABC) Theo cơng thức diện tích hình chiếu có S   S cos  với S   S ABC ; S  S MNP     ABC  ;  MNP   Suy cos   S   Suy   60o S 10 Câu Ta có  SBC    ABCD   BC Dễ dàng chứng minh được: AC  BC   BC   SAC   BC  SC    SBC  ,  ABCD    SCA  tan SCA SA a   AC a 2 Câu Gọi D trung điểm BC Ta có  MBC    ABC   BC ; BC  AD; BC  AM  BC   AMD  TOANMATH.com Trang 34    Do    DM , AD   MDA  MBC  ,  ABC     Vì tam giác MAD vuông A nên tan   AM 3a   AD a Câu Gọi M trung điểm BC, suy AM  BC (vì ABC đều) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy SO   ABC  SO  a  Khi góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC) góc SMO 3V 3a Ta có VS ABC  SO.S ABC  S ABC  S ABC   3a SO a Mặt khác S ABC  AB  3a  AB  3a Xét ABC có OM  1 AM  3a  a 3  Xét SOM vuông O nên tan SMO SO a   45o    SMO OM a Câu Gọi M trung điểm AB Ta có tứ giác ADCM hình vng CM   SAB  Trong (SAB) kẻ MK  SB K  Khi đó, ta có SB   CMK  nên   SAB  ;  SBC    MKC Từ BMK ∽ BSA ta suy MK  SA.BM  MK  SB  Trong MKC vng M có tan MKC MC  MK  Suy MKC Câu Gọi H hình chiếu O cạnh SC ta có     SDC  ,  SAC    OHD  OHD vuông O OD  a; OH  Vậy cos   a 7a nên DH  2 OH 21  DH TOANMATH.com Trang 35   Câu Gọi R giao điểm MP OO', Q giao điểm B'R với OB Thiết diện tứ giác MPB'Q, ta có OQ RO a    OQ  OB RO 3 Tứ giác AMQB hình chiếu vng góc tứ giác PMQB' mặt phẳng (OAB) nên S PMQB  S AMQB cos  với  góc tạo hai mặt phẳng (OAB) (MPB'Q) Ta có: S AMQB  SOAB  SOMQ  2 a  a  a 12 12  MQ  OH Hạ OH  MQ, ta có:   MQ   OHR   MQ  HR  MQ  OR  ( OHR  nhọn) Vậy   OHR OH   OH  Ta có: cos   cos OHR RH OH  OR  a 13 a2 a2  13  Vậy S PMQB  15 5a 15 12 TOANMATH.com Trang 36 ... TOANMATH.com Trang 19   Bước Tìm giao tuyến d (P) (Q) Bước Chọn điểm O d, từ đó: +) Trong (P) dựng Ox  d +) Trong (Q) dựng Oy  d Ox, Oy  Khi đó:    ,       Lưu ý: Việc xác định... giác ADCM hình vng CM   SAB  Trong (SAB) kẻ MK  SB K  Khi đó, ta có SB   CMK  nên   SAB  ;  SBC    MKC Từ BMK ∽ BSA ta suy MK  SA.BM  MK  SB  Trong MKC vng M có tan MKC MC... DẠNG BÀI TẬP Dạng Góc hai đường thẳng Phương pháp giải Để tính góc hai đường thẳng d1, d2 khơng gian ta thực sau Bước Chọn điểm O thích hợp (O thường nằm hai đường thẳng) Bước Từ O dựng đường