Tài liệu góc và khoảng cách trong không gian

CHỦ ĐỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH A KIẾN THỨC CƠ BẢN I GÓC: Góc hai mặt phẳng , (Q): A’x + B’ y + C’z + D’ = ký Góc hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = hiệu: 0o ≤ (( P), (Q)) ≤ 90o , xác định hệ thức AA' + BB' + CC' cos(( P), (Q)) = A + B + C A' + B' + C' Đặc biệt: ( P) ⊥ (Q) ⇔ AA'+ BB'+CC ' = Góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng a) Góc hai đường thẳng (d) (d’) có vectơ phương u = (a; b; c) u ' = (a ' ; b' ; c' ) là φ cos φ = aa '+ bb '+ cc ' 2 2 (0 o ≤ ϕ ≤ 90 o ) a +b + c a' +b' + c' Đặc biệt: (d ) ⊥ (d ' ) ⇔ aa '+bb'+cc' = b) Góc đường thẳng d có vectơ phương u = (a; b; c) mp (α ) có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) sin ϕ = cos(n , u ) = Aa + Bb + Cc 2 2 2 (0 o ≤ ϕ ≤ 90 o ) A +B +C a +b +c Đặc biệt: (d ) //(α) (d ) ⊂ (α ) ⇔ Aa + Bb + Cc = II KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song a) Khoảng cách từ đến mặt phẳng M ( x0 ; y ; z ) (α ) có phương trình Ax + by + Cz + D = là: d(M,(P)) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C b) Khoảng cách hai mp song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - khoảng cách hai đường thẳng a) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng dqua điểm Mocó vectơ phương u :    M M; u    d (M , d ) =  u b) Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng c) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: dđi qua điểm M có vectơ phương u d’ qua điểm M’ có vectơ phương u ' là:    u; u ' M M   d ( d , d ') =   u; u '   Trang 1/31 d) Khoảng cách từ đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến đường thẳng B KỸ NĂNG CƠ BẢN - Nhớ vận dụng công thức tính khoảng cách từ mợt điểm đến mặt phẳng; biết cách khoảng cách hai mặt phẳng song song - Nhớ vận dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; biết cách tính khoảng cách hai đường thẳng song song; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song - Nhớ vận dụng cơng thức góc hai đường thẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng - Áp dụngđược góc và khoảng cách vào toán khác C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A (1; 2; ) đến mặt phẳng (α ) : x + y − 2z − = bằng: 13 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song A Câu B C 2x − y − 2z − = và D (α ) : (β ) : x − y − z + = 10 D 3 Khoảng cách từ điểm M ( 3; 2; 1) đến mặt phẳng (P): Ax + Cz + D = , A.C.D ≠ Chọn khẳng A Câu B định đúngtrong các khẳng định sau: 3A + C + D A d ( M , ( P)) = A2 + C C d ( M , ( P )) = Câu Câu 3A + C A2 + C C B d ( M , ( P)) = D d ( M , ( P)) = A + B + 3C + D A2 + B + C 3A + C + D 32 + 12 x= 1+ t  Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (α ) : x − y − z − = và đường thẳng d:  y= + 4t  z = −t  A B C D 3 Khoảng cách từ điểm A ( 2; 4; 3) đến mặt phẳng (α ) : x + y + z + =0 và ( β ) : x = lần lượt là d ( A, (α )) , d ( A, ( β )) Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau: Câu Câu A d ( A, (α ) ) = d ( A, ( β ) ) B d ( A, (α ) ) > d ( A, ( β ) ) C d ( A, (α ) ) = d ( A, ( β ) ) D d ( A, (α ) ) = d ( A, ( β ) ) Tìm tọa độ điểm Mtrên trục Oy cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): x − y + 3z − = nhỏ nhất?   D M  0; ;0    Khoảng cách từ điểm M ( −4; −5;6 ) đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng: A M ( 0; 2; ) B M ( 0; 4;0 ) C M ( 0; −4; 0) A và B và C và D và Trang 2/31 Câu Tính khoảng cách từ điểm A ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( P) : Ax + By + Cz + D = , với A.B.C.D ≠ Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A d ( A,( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 C d ( A,( P) ) = Câu Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + C B d ( A,( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 D d ( A,( P) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C A2 + B + C Tính khoảng cách từ điểm B ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P): y + = Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A y0 B y0 C y0 + D y0 + Câu 10 Khoảng cách từ điểm C ( −2; 0; ) đến mặt phẳng (Oxy) bằng: A B C D Câu 11 Khoảng cách từ điểm M (1;2;0 ) đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) Chọn khẳng định saitrong các khẳng định sau: A d ( M ,(Oxz ) ) = B d ( M ,(Oyz ) ) = C d ( M ,(Oxy ) ) = D d ( M ,(Oxz ) ) > d ( M ,(Oyz ) ) Câu 12 Khoảng cách từ điểm A ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = , với D ≠ bằng và chỉ khi: A Ax0 + By0 + Cz0 ≠ − D B A ∉ ( P) − D C Ax0 + By0 + Cz0 = D Ax0 + By0 + Cz0 = Câu 13 Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (Q) bằng Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A (Q): x + y + z – = B (Q): x + y + z – = 0 D (Q): x + y + z – 3 = C (Q): x + y  – z + = Hướng dẫn giải Dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, sau đó tính khoảng cách lần lượt mỗi trường hợp và chọn đáp án đúng x= 1+ t  Câu 14 Khoảng cách từ điểm H (1; 0;3) đến đường thẳng d1 :  y = 2t , t ∈ R và mặt phẳng  z= + t  (P): z − = lần lượt là d ( H , d1 ) và d ( H , ( P )) Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A d ( H , d1 ) > d ( H ,( P) ) B d ( H ,( P) ) > d ( H , d1 ) C d ( H , d1 ) = 6.d ( H ,( P) ) D d ( H ,( P) ) =  x= + t  Câu 15 Tính khoảng cách từ điểm E (1;1;3) đến đường thẳng d :  y= + 3t , t ∈ R bằng:  z =−2 − 5t  A 35 B   Câu 16 Cho vectơ u ( −2; − 2; ) ; v ( 35 D 35   2; 2; Góc vectơ u vectơ v bằng: C ) Trang 3/31 A 135° B 45° C 60° D 150°  x= + t  x= − t   Câu 17 Cho hai đường thẳng d1 :  y =− + t d2 :  y = Góc hai đường thẳng d1 d2 z =  z =− + t   là: A 30° B 120° C 150° D 60° x y z Câu 18 Cho đường thẳng ∆ := = mặt phẳng (P): x + 11y + z − = Góc đường −2 thẳng ∆ mặt phẳng (P) là: A 60° B − 30° D − 60° C 30° Câu 19 Cho mặt phẳng (α ) : x − y + = z − 0; ( β ) : x + y − 2= z − Cosin góc mặt phẳng (α ) mặt phẳng ( β ) bằng: B − 3 3 Câu 20 Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + 5z + = đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng A C D − (α ) : x − 2= y + 0; ( β ) : x − 2= z − Gọi ϕ góc đường thẳng d mặt phẳng (P) Khi đó: A 60° B 45° C 30° D 90° Câu 21 Cho mặt phẳng (α ) : x − y + z − = Điểm A(1; – 2; 2) Có mặt phẳng qua A tạo với mặt phẳng (α ) góc 45° A Vơ số B C Câu 22 Hai mặt phẳng tạo với góc 60° A ( P ) : x + 11y − 5z + = 0 (Q) : x + y − z − = B ( P ) : x + 11y − 5z + = 0 (Q) : − x + y + z − = D C ( P ) : x − 11y + 5z − 21 = (Q) : x + y + z − = D ( P ) : x − 5y + 11z − = 0 (Q) : − x + y + z − =     Câu 23 Cho vectơ u(1; 1; − 2), v(1; 0; m) Tìm m để góc hai vectơ u, v có số đo 45° Một học sinh giải sau:   − 2m Bước 1: Tính cos u, v = m +   − 2m Bước 2: Góc u, v có số đo 45° nên = m + ( ) ⇔ −= 2m 3(m + 1) (*) 3(m + 1) Bước 3: Phương trình (*) ⇔ (1 − 2m)=  m= − ⇔ m − 4m − = ⇔   m= + Bài giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Đúng Câu 24 Cho hai điểm A(1; − 1; 1); B(2; − 2; 4) Có mặt phẳng chứa A, Bvà tạo với mặt phẳng (α ) : x − y + z − = góc 60° A B C D Vô số Trang 4/31 Câu 25 Gọi α góc hai đường thẳng AB, CD Khẳng định sau khẳng định đúng:     AB.CD AB.CD A cos α =   B cos α =   AB CD AB CD      AB.CD  AB.CD   C cos α =   D cos α =    AB, CD  AB CD   Câu 26 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB ', CD, A ' D ' Góc hai đường thẳng MP C’N là: B 120o C 60o D 90o A 30o Câu 27 Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc ∆ ABC cân, cạnh bên a, AD = 2a Cosin góc hai đường thẳng BD DC là: A B − C D Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2, AC = ∆SAC vuông cân A K trung điểm cạnh SD Hãy xác định cosin góc đường thẳng CK AB? 22 22 gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A(−3; − 4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8); D(−2; 6; 1) Cặp đường thẳng tạo với góc 60° ? A 17 Câu 29 Trong không B 11 với C D A DB AC B AC CD C AB CB D.CB CA Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz góc 30° ? A 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 2) − = B ( x − 2) + 2( y − 1) − (z + 1) − = C 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 2) = D 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 1) − = Câu 31 Cho mặt phẳng (P ) :3 x + y + 5z + = Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x − 2= y + 0; ( β ) : x − 2= z − Góc d (P) là: A 120° B 60° C 150° D 30°   Câu 32 Gọi α góc hai vectơ AB, CD Khẳng định sau đúng:    AB.CD    A cosα =   AB CD   AB.CD C sin α =   AB CD   AB.CD B cos α =   AB CD   AB.DC D cosα =   AB DC Câu 33 Cho ba mặt phẳng (P ) : x − y + 2= z + 0; (Q) : x − y − z= − 1; ( R) : x + y + z= −2 Gọi α1; α ; α góc hai mặt phẳng (P) (Q), (Q) (R), (R) (P) Khẳng định sau khẳng định A α1 > α > α B α > α > α1 C α > α > α1 D α1 > α > α Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng (α ) : x + y + z + m = vàđiểm A (1;1;1) Khi m nhận giá trị sau để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α ) 1? A − B − C − −8 D Trang 5/31 Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng (α ) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A ( −2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; ) Khi khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ABC ) A 61 12 B.4 C 12 61 61 D.3 y = Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) N ( 0;0; −1) , Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ  2 x − y − z − = mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − = mợt góc bằng 45O Phương trình mặt phẳng ( P ) y = y = A  B  0 2 x − y − z − = 2 x − y − z + = 0 2 x − y − z + = 2 x − z + = C  D  0 2 x − y − z − = 2 x − z − = Câu 37 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −2; 0; 1) , đường thẳng d qua điểm A tạo với trục Oy góc 45O Phương trình đường thẳng d y z −1 x+2  2= = −1 A  y z −1 x+2 =  = −1 −  y z +1 x−2  2= = −1 B  y z +1 x−2 =  = −1 −  x+2  2= C  x−2  2=  y z −1 x+2 =  = −1 − D  y z +1 x−2 = =  −1  Câu 38 Trong y z −1 = −1 y z +1 = −1 không gian Oxyz cho mặt Khi mặt phẳng phẳng ( Q ) : x − y + z − = ( P ) : x + y + z − =0 ( R ) vng góc với mặt phẳng ( P ) phẳng mặt ( Q ) cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( R ) , có phương trình A x − z − 2 = B x − z − 2 = C x − z + 2 = x − z + 2 = D   x − z − 2 = Câu 39 Tập hợp điểm M ( x; y; z ) không gian Oxyz cách hai mặt phẳng thoả mãn: ( P ) : x + y − z − =0 ( Q ) : x + y − z + = A x + y − z + = C x + y − z + = Câu 40 Tập hợp điểm B x + y − z + = D x + y − z − = M ( x; y; z ) không gian Oxyz 0 mặt phẳng ( Q ) :2 x + y + z + = ( P ) : x − y − 2z − = A x + y + z + = C x − y − = cách hai mặt phẳng thoả mãn:  x + 3y + 4z + = B  3 x − y − = D x + y + z + = Trang 6/31 Câu 41 Trong không gian Oxyz cho điểm M thuộc trục Oxcách hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z − =0 ( Oyz ) Khitọa độ điểm     ;0;0  ;0;0   A   1+   −1  +1   −1   C  ;0;0 ;0;0          M     ;0;0   ;0;0  B   1−  1+   1−  ;0;0     x − y −1 z − đường thẳng d : = = −2 1+  D  ;0;0     Câu 42 Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −2; ) Điểm M thuộc đường thẳng d cho M cách A khoảng 17 Tọa độ điểm M A ( 5;1; ) ( 6; 9; ) B ( 5;1; ) ( −1; −8; −4 ) C ( 5; −1; ) (1; −5;6 ) D ( 5;1; ) (1; −5;6 ) Câu 43 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có đỉnh A (1; 2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;1) D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A, B cho khoảng cách từ C đến ( P) khoảng cách từ D đến ( P ) là  x − y + z − =0 A   x + 3z − = B x + z − =  x + y + z − 15 = D   x + 3z − = Câu 44 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng C x + y + z − 15 = x −1 y + z tạo với trục Oy góc có số đo lớn Điểm sau thuộc d:= = −1 −2 mp ( P ) ? A E ( −3;0; ) B M ( 3;0; ) C N ( −1; −2; −1) D F (1; 2;1) Câu 45 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 0; − 1; ) , N ( −1; 1; 3) Gọi ( P ) góc có số đo nhỏ mặt phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) :2 x − y − z − = Điểm A (1; 2;3) cách mp ( P ) khoảng 11 C D 3 11 Câu 46 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ( P ) : x − y + z − =0 đường thẳng A B x +1 y z + x −1 y − z +1 = = ; ∆2 : = = 1 −2 Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ số nguyên, M cách ∆ ∆1 : ( P ) Khoảng cách từ điểm A M đến mp ( Oxy ) B 2 C D Câu 47 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;5;0 ) ; B ( 3;3;6 ) đường thẳng x +1 y −1 z Gọi C điểm đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC nhỏ d: = = −1 Khoảng cách điểm A C A 29 B 29 C 33 D Trang 7/31 Câu 48 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A (10; 2;1) đường thẳng x −1 y z −1 Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d = = cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm M ( −1; 2;3) đến mp ( P ) d: 97 13 76 790 B C 15 13 790 Câu 49 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A 29 29 A ( 2;5;3) đường thẳng D x −1 y z − Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A = = 2 đến ( P ) lớn Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng ( P ) d: 11 18 11 B C D 18 18 hai đường Câu 50 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = A  x= − t ′ x= 1+ t   ; d ' :  y = + t′ thẳng d :  y = t   z= + 2t  z = − 2t ′  Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với ( P ) ; cắt d , d ′ tạo với d góc 30O Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A B C D − ) ; C (1; 2; 2 − ) Gọi Câu 51 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;0;1) ; B ( 3; 2;0 Câu 52 ( P ) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn biết ( P ) khơng cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? H( B F ( 3; 0; −2 ) C  E (1;3;1) D  0;3;1 A  G ( −2; 0; 3) ) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) b, c dương mặt phẳng ( P ) : y − z + =0 Biết mp ( ABC ) vng góc với mp ( P ) d ( O, ( ABC ) ) = , mệnh đề sau đúng? A b + c = B 2b + c = C b − c = 1 D 3b + c = Câu 53 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) ; B ( 0;1;1) ; C (1;0; − ) cho giá trị biểu thức T =MA2 + MB + 3MC nhỏ Điểm M ∈( P ) : x + y + z + = khoảng bằng Khi đó, điểm M cách ( Q ) :2 x − y − z + = 121 101 B 24 C D 54 54 Câu 54 Cho mặt phẳng (α ) : x + y −= z − 0; ( β ) : x + y + 11 = z − Góc mặt phẳng A (α ) mặt phẳng ( β ) bằng A 120° B 30° C 150° D 60° Trang 8/31 Câu 55 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x + y − = Điểm H(2; 1; 2) hình chiếu vng góc gốc tọa độ O mặt phẳng (Q) Góc hai mặt phẳng (P) (Q) A 45° B 30° C 60° D 120°        π Câu 56 Cho vectơ= Gócgiữa vectơ v vectơ u − v bằng: u 2;= v 1; u= ,v A 60° B 30° C 90° D 45° Câu 57 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( )  x − y − 3z + = x − y +1 z −1 Góc đường thẳng d đường thẳng d: = = , ∆:  x − 2y + z + = ∆ A 90° B 30° C 0° D 180° Câu 58 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − y − z − 10 = 0; đường x − 1− y z + thẳng d : = = Góc đường thẳng d mặt phẳng (α ) bẳng B 90° C 60° D 45° A 30° Câu 59 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua A(3; – 1;1), nằm x y−2 z = = (P): x – y + z – = góc 45 hợp với đường thẳngd: 2 x = x = 3+t + 3t   A ∆1 :  y =− + t , t ∈ R; ∆ :  y =− − 2t , t ∈ R  z=  z= − 5t   x = x = +2t + 15t   B ∆1 :  y =− + t , t ∈ R; ∆ :  y =− + 38t , t ∈ R  z=  z= + 23t   x = x = 3+t + 15t   C ∆1 :  y =− + t , t ∈ R; ∆ :  y =− − 8t , t ∈ R  z=  z= − 23t   x = x = 3− t + 15t   D ∆1 :  y =− − t , t ∈ R; ∆ :  y =− − 8t , t ∈ R z = z = 1+ t − 23t   Câu 60 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh Gọi M, N, P trung điểm cạnh A ' B ', BC , DD ' Góc đường thẳng AC’ mặt phẳng (MNP) A 30° B 120° C 60° D 90° Câu 61 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi(P) mặt phẳng chứa đường thẳng  x = + 2t  d :  y= − t tạo với trục Ox góc có số đo lớn nhất.Khi đó, khoảng cách từ điểm  z = 3t  A (1; −4; ) đến mp ( P ) A 12 35 35 B C 20 D Trang 9/31 Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 2;1; −12 ) , N ( 3;0; ) Gọi ( P ) mặt góc có số đo nhỏ Điểm phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) :2 x + y − z + = A ( 3;1;0 ) cách mp ( P ) khoảng A 13 13 B 22 11 C Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho D ( P ) : x + y − z − =0 22 hai đường thẳng x −1 y −1 z − x −2 y −3 z + = = ; ∆2 : = = 1 −5 Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ số dương, M cách ∆ ∆1 : ( P ) Khoảng cách từ điểm A M đến mp( P ) B C D Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; −4;3) ; B (1;0;5 ) đường thẳng  x = −3t  d :  y= + 2t Gọi C điểm đường thẳng d  sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ  z = −2  Khoảng cách điểm C gốc toạ độ O A B 14 C 14 Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm d: D A ( 2;5;3) đường thẳng x −1 y z − Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d = = 2 cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm B ( 2;0; − 3) đến mp ( P ) A B C D 18 18  x= + 3t  Câu 66 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 4; −3; ) đường thẳng d :  y= + 2t  z =−2 − t  Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn Tính khoảng cách từ điểm B ( −2;1; −3) đến mặt phẳng ( P ) A B C D 38 Câu 67 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; 1; − ) ; B ( −1; 2; 1) ; C ( −3; 4; 1) Gọi ( P) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn biết (P) khơng cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? A F ( −1; 2;0 ) B  E ( 2; −2;1) C  G ( 2;1; −3) D  H (1; −3;1) Câu 68 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; c ) Biết mp ( ABC ) vng góc với mp ( P ) a, c dương mặt phẳng ( P ) :2 x − z + = d ( O, ( ABC ) ) = A a + c = , mệnh đề sau đúng? 21 B a + c = C a − c = D 4a − c = Trang 10/31 Câu 21 Cho mặt phẳng (α ) : x − y + z − = Điểm A(1; – 2; 2) Có mặt phẳng qua A tạo với mặt phẳng (α ) góc 45° A Vơ số B Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  vectơ Gọi nβ ( a; b; c ) cos ( (α ),( β ) ) =   cos = nα , nβ ( ) pháp   nα nβ =   nα nβ C tuyến D mặt 3.a− 2.b + 2.c phẳng = + (−2) + a + b2 + c2 2 2 (β ) cần lập 2 17(a2 + b2 + c ) ⇒ 2(3a − 2b + 2c)= Phương trình có vơ số nghiệm  Suy có vơ số vectơ nβ (a; b; c) véc tơ pháp tuyến ( β ) Suy có vơ số mặt phẳng ( β ) thỏa mãn điều kiện toán [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình Giả sử tồn mặt phẳng ( β ) thỏa mãn điều kiện toán (Đi qua A tạo với mặt phẳng (α ) góc 45° ) Gọi ∆ đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (α ) Sử dụng phép quay theo trục ∆ với mặt phẳng ( β ) Ta vô số mặt phẳng ( β ') thỏa mãn điều kiện toán Câu 22 Hai mặt phẳng tạo với góc 60° A ( P ) : x + 11y − 5z + = 0 (Q) : x + y − z − = B ( P ) : x + 11y − 5z + = (Q) : − x + y + z − = C ( P ) : x − 11y + 5z − 21 = 0 (Q) : x + y + z − = D ( P ) : x − 5y + 11z − = (Q) : − x + y + z − = Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng   nP nQ cos ( ( P ),(= Q) )  = = °  cos60 n n P Q Xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) (Q) Thay giá trị vào biểu thức để tìm giá trị Dùng chức CALC máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính tốn nhanh     Câu 23 Cho vectơ u(1; 1; − 2), v(1; 0; m) Tìm m để góc hai vectơ u, v có số đo 45° Một học sinh giải sau:   − 2m Bước 1: Tính cos u, v = m +   Bước 2: Góc u, v có số đo 45° nên ( ) ⇔ −= 2m − 2m m + = 3(m + 1) (*) 3(m + 1) Bước 3: Phương trình (*) ⇔ (1 − 2m)= Trang 17/31  m= − ⇔ m − 4m − = ⇔   m= + Bài giải hay sai? Nếu sai sai bước nào? A Sai bước B Sai bước C Sai bước D Đúng Hướng dẫn giải Phương trình (*) bình phương hai vế biến đổi tương đương thỏa mãn − 2m ≥ Bài toán thiếu điều kiện để bình phương dẫn đến sai nghiệm m= + Câu 24 Cho hai điểm A(1; − 1; 1); B(2; − 2; 4) Có mặt phẳng chứa A, Bvà tạo với mặt phẳng (α ) : x − y + z − = góc 60° A B C Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]   AB(1; − 1; 3), nα (1; − 2; 1)  Gọi nβ (a; b; c) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( β ) cần lập   nα nβ   cos nα , nβ = =   ( (α ),(β )) cos nα nβ ( D Vô số ) = 1.a− 2.b + 1.c = 2 2 2 + (−2) + a + b + c ⇒ 2(a − 2b + c)2 = 3(a2 + b2 + c ) (1) Mặt khác mặt phẳng ( β ) chứa A, B nên:   nβ AB = ⇔ a − b + 3c = ⇔ a = b − 3c (2) Thế vào (1) ta được: 2b2 −13bc + 11c =  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt Suy có vectơ nβ ( a; b; c ) thỏa mãn Suy có mặt phẳng [Phương pháp trắc nghiệm] Dựng hình Câu 25 Gọi α góc hai đường thẳng AB, CD Khẳng định sau khẳng định đúng:     AB.CD AB.CD B cos α =   A cos α =   AB CD AB CD      AB.CD  AB.CD   C cos α =   D cos α =    AB, CD  AB CD   Hướng dẫn giải Áp dụng công thức lý thuyết Câu 26 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB ', CD, A ' D ' Góc hai đường thẳng MP C’N là: A 30o B 120o Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) C 60o D 90o Trang 18/31 Suy B(a; 0; 0); C (a; a; 0); D(0; a; 0) A '(0; 0; a); B '(a; 0; a); C '(a; a; a); D '(0; a; a)  a   a  a M  a; 0;  ; N  ; a;  ; P  0; ; a  2  2         a a    a − a ; ; ; NC ' = ; 0; a ⇒ MP.NC ' = Suy MP =     2  2  ⇒ ( MP, NC ') = 90° Câu 27 Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc ∆ ABC cân, cạnh bên a, AD = 2a Cosin góc hai đường thẳng BD DC là: A B − C D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) Suy B(a; 0; 0); C (0; a; 0); D(0; 0; 2a)   Ta có DB(a; 0; − 2a); DC (0; a; − 2a)   DB DC   = = cos(= DB, DC ) cos( DB ; DC )   DB DC Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2, AC = ∆SAC vuông cân A K trung điểm cạnh SD Hãy xác định cosin góc đường thẳng CK AB? A B 17 Hướng dẫn giải 11 C Vì ABCD hình chữ nhật nên AD = 22 D z Suy B(0; 2; 0); C (1; 2; 0); D(1; 0; 0) S 1 5 S 0; 0; ; K  ; 0;  2       Suy CK  − ; − 2;  ; AB ( 0; 2; )  2     CK AB   cos (= CK , AB ) cos CK ; AB = =    CK AB ) ( Câu 29 Trong 22 AC − CD = Chọn hệ trục tọa độ cho A ≡ O(0; 0; 0) ( ) K A 22 x D B y C tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A(−3; − 4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8); D(−2; 6; 1) Cặp đường thẳng tạo với góc 60° ? khơng A DB AC Hướng dẫn giải gian với hệ B AC CD C AB CB D.CB CA   Tính tọa độ vectơ sau thay vào cơng thức: cos(d , d ') = cos(ud , ud ' để kiểm tra Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz góc 30° ? Trang 19/31 A 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 2) − = B ( x − 2) + 2( y − 1) − (z + 1) − = C 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 2) = D 2( x − 2) + ( y − 1) − (z − 1) − = Hướng dẫn giải  Gọi phương trình mặt phẳng (α ) cần lập có dạng A( x − 2) + B( y − 1) + C (z + 1) = 0; n ( A; B; C )  Oz có vectơ phương k(0; 0; 1)  n.k   sin 30° Áp dụng công thức sin((α ),= Oz) = n.k Sau tìm vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị A vào để viết phương trình mặt phẳng Câu 31 Cho mặt phẳng (P ) :3 x + y + 5z + = Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (α ) : x − 2= y + 0; ( β ) : x − 2= z − Góc d (P) là: A 120° Hướng dẫn giải B 60° C 150° D 30°  Ta có nP (3; 4; 5)    nd = nα , nβ  (2; 1; 1) =     nP ud Áp dụng công thức sin((= P ), d ) =   nP ud   Câu 32 Gọi α góc hai vectơ AB, CD Khẳng định sau đúng:    AB.CD    A cosα =   AB CD   AB.CD C sin α =   AB , CD   AB.CD B cos α =   AB CD   AB.DC D cosα =   AB DC Hướng dẫn giải Áp dụng công thức lý thuyết Câu 33 Cho ba mặt phẳng (P ) : x − y + 2= z + 0; (Q) : x − y − z= − 1; ( R) : x + y + z= −2 Gọi α1; α ; α góc hai mặt phẳng (P) (Q), (Q) (R), (R) (P) Khẳng định sau khẳng định A α1 > α > α B α > α > α1 C α > α > α1 D α1 > α > α Hướng dẫn giải Áp dụng công thức tính góc hai mặt phẳng Sử dụng máy tính bỏ túi để tính góc so sánh giá trị với VẬN DỤNG Câu 34 Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng (α ) : x + y + z + m = vàđiểm A (1;1;1) Khi m nhận giá trị sau để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α ) 1? B − C − −8 5+ m  m + =3  m =−2 = ⇔ 1⇔  Hướng dẫn giải: d ( A, (α ) ) =  m + =−3  m =−8 A − D Trang 20/31 Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng (α ) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A ( −2;0;0 ) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; ) Khi khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ABC ) 61 12 Hướng dẫn giải A B.4 C 12 61 61 D.3 x y z 12 61 + + =1 ⇔ x − y − z + 12 =0 ; d ( O, ( ABC ) ) = −2 61 2: Tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng Cách 1: (α ) : Cách góc, 1 1 61 12 61 = 2+ + = ⇒ d ( O, ( ABC ) ) = 2 144 61 d ( O, ( ABC ) ) OA OB OC y = Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) N ( 0;0; −1) , Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ  2 x − y − z − = mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − = mợt góc bằng 45O Phương trình mặt phẳng ( P ) y = A  2 x − y − z − = 2 x − y − z + = C  2 x − y − z − = Hướng dẫn giải y = B  2 x − y − z + = 2 x − z + = D  2 x − z − =  Gọi vectơ pháp tuyến mp ( P ) và ( Q ) lần lượt nP ( a; b; c ) ( a + b + c ≠ ) ,  nQ ( P ) qua M (1;0;0 ) ⇒ ( P ) : a ( x − 1) + by + cz = ( P) qua N ( 0;0; −1) ⇒ a + c = ( P)   cos 45O hợp với ( Q ) góc 45O ⇒ cos nP , nQ =⇔ ( ) Với a = ⇒ c = chọn b = phương trình ( P ) : y = a −b 2a + b a = = ⇔ 2  a = −2b Với a = −2b chọn b =−1 ⇒ a =2 phương trình mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = Câu 37 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −2; 0; 1) , đường thẳng d qua điểm A tạo với trục Oy góc 45O Phương trình đường thẳng d y z −1 x+2 = =  −1 A  y z −1 x+2 =  = −1 −  y z +1 x−2 = =  −1 B  y z +1 x−2 =  = −1 −  x+2  2= C  x−2  2=  y z −1 x+2 =  = −1 − D  y z +1 x−2  2= = −1  y z −1 = −1 y z +1 = −1 Hướng dẫn giải Trang 21/31 Cách 1:  j ( 0;1;0 ) M ( 0; m;0 ) ∈ Oy , Điểm    cos 45O ⇔ Oy , AM ( 2; −m; −1) cos AM , j = ) ( vectơ phương trục m = ⇔m= ± nên có đường m2 + thẳng: x+2 y z −1 x + y z −1 ; = = = = −1 −1 −        1 Cách 2: u1 2; 5; −1 ⇒ cos u1 , j = ; u2 2; − 5; −1 ⇒ cos u2 , j = 2 ( ) ( ) ( ) ) ( Đường thẳng d qua điểm A ( −2;0;1) nên chọn đáp án A Câu 38 Trong khơng gian Oxyz cho mặt Khi mặt phẳng phẳng ( Q ) : x − y + z − = ( P ) : x + y + z − =0 ( R ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) phẳng mặt ( Q ) cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( R ) , có phương trình A x − z − 2 = B x − z − 2 = 0 C x − z + 2 = x − z + 2 = D   x − z − 2 = Hướng dẫn:     nP (1;1;1) , nQ (1; −1;1) ⇒  nP , nQ  = ( 2;0; −2 ) Mặt phẳng ( R ) : x − z + D =0 ⇒ d ( O, ( R ) ) = D = =2 ⇒   D = −4 D Vậy phương trình mp ( R ) : x − z + 2= 0; x − z − 2= M ( x; y; z ) không gian Câu 39 Tập hợp điểm Oxyz cách hai mặt phẳng thoả mãn: ( P ) : x + y − z − =0 ( Q ) : x + y − z + = B x + y − z + = A x + y − z + = D x + y − z − = C x + y − z + = Hướng M ( x; y; z ) dẫn: d ( M , ( P )) = d ( M , (Q )) ⇔ x + y − 2z − Ta có x + y − 2z + = ⇔ x + y − 2z − = x + y − 2z + ⇔ x + y − 2z + = Câu 40 Tập hợp điểm M ( x; y; z ) không gian Oxyz 0 mặt phẳng ( Q ) :2 x + y + z + = ( P ) : x − y − 2z − = A x + y + z + = C x − y − = Hướng dẫn giải cách hai mặt phẳng thoả mãn:  x + 3y + 4z + = B  3 x − y − = D x + y + z + = Cho điểm M ( x; y; z ) , d ( M , ( P ) ) = d ( M , (Q )) ⇔ x − y − 2z − 2x + y + 2z + =  x + 3y + 4z + = ⇔ 3 x − y − = Trang 22/31 Câu 41 Trong không gian Oxyz cho điểm M thuộc trục Oxcách hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z − =0 ( Oyz ) Khitọa độ điểm     ;0;0  ;0;0   A   1+   −1  +1   −1   C  ;0;0 ;0;0          M     ;0;0   ;0;0  B   1−  1+  1+  D  ;0;0      1−  ;0;0     Hướng dẫn giải: Điểm M ( m;0;0 ) ∈ Ox ; d ( M , ( P= )) d ( M , ( P )) ⇔ m−3 = m  m=  m − = m 1+ ⇔ ⇔   m − =−m m = −  x − y −1 z − Câu 42 Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 3; −2; ) đường thẳng d : = = −2 Điểm M thuộc đường thẳng d cho M cách A khoảng 17 Tọa độ điểm M A ( 5;1; ) ( 6; 9; ) B ( 5;1; ) ( −1; −8; −4 ) C ( 5; −1; ) (1; −5;6 ) D ( 5;1; ) (1; −5;6 ) Hướng dẫn giải  Cách 1: M ( + 2t ;1 + 3t ; − 2t ) ∈ d ; AM ( + 2m;3 + 3m; −2 − 2m )  M ( 5;1; ) m = ⇒ AM = 17 ⇔ 17 (1 + m ) =17 ⇔  ⇒  m = −2  M (1; −5;6 ) Cách 2: Kiểm tra điểm thuộc đường thẳng d có cặp điểm đáp án B C thuộcđường thẳng d Dùng cơng thức tính độ dài AM suy đáp án C thỏa mãn Câu 43 Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện ABCD có đỉnh A (1; 2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;1) D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A, B cho khoảng cách từ C đến ( P) khoảng cách từ D đến ( P ) là  x − y + z − =0 A   x + 3z − = B x + z − = C x + y + z − 15 = 0  x + y + z − 15 = D   x + 3z − = Hướng dẫn giải: Trường hợp 1: ( P ) qua AB song song với CD , đó:   ( P ) có vectơ pháp tuyến  AB, CD  =( −8; −4; −14 ) C ∉( P ) ⇒ ( P ) : x + y + z − 15 = Trường hợp 2: ( P ) qua AB cắt CD trung điểm I đoạn CD Ta    có I (1;1;1) ⇒ AI ( 0; −1;0 ) , vectơ pháp tuyến ( P )  AB, AI  = ( 2;0;3) nên phương trình ( P ) : x + 3z − =0 VẬN DỤNG CAO Trang 23/31 Câu 44 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng x −1 y + z tạo với trục Oy góc có số đo lớn Điểm sau thuộc d:= = −1 −2 mp ( P ) ? A E ( −3;0; ) B M ( 3;0; ) C N ( −1; −2; −1) D F (1; 2;1) Hướng dẫn giải:    Gọi n ( a; b; c ) ; n ≠ VTPT ( P ) ; α góc tạo ( P ) Oy , α lớn sinα lớn    Ta có n vng góc với u d nên n ( b + 2c; b; c )   = sin α cos = n, j b ( ) 2b + 5c + 4bc Nếu b = sinα = Nếu b ≠ sin α =  5c  +   + b   Khi đó, sinα lớn c = − b ⇒ chọn b = 5; c = − Vậy, phương trình mp ( P ) x + y − z + = Do ta có N ∈( P ) Câu 45 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 0; − 1; ) , N ( −1; 1; 3) Gọi ( P ) góc có số đo nhỏ mặt phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) :2 x − y − z − = Điểm A (1; 2;3) cách mp ( P ) khoảng A B C 11 11 D Hướng dẫn giải:    ( P ) có VTPT n vng góc với MN ( −1; 2;1) nên n ( 2b + c; b; c ) Gọi α góc tạo ( P ) ( Q ) , α nhỏ cosα lớn Ta có cosα = b 5b + 2c + 4bc Nếu b = cosα = Nếu b ≠ cosα = c   + 1 + b  Khi đó, cosα lớn c =− 1⇒ chọn b = 1; c = − b Vậy, phương trình mp ( P ) x + y − z + = Do d ( A, ( P ) ) = Câu 46 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho ( P ) : x − y + z − =0 đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 = = ; ∆2 : = = 1 −2 Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ số nguyên, M cách ∆ ∆1 : ( P ) Khoảng cách từ điểm A Hướng dẫn giải: M đến mp ( Oxy ) B 2 C D Trang 24/31 Gọi M ( t − 1; t ;6t − ) , t ∈   M 0M , u    Ta có d (= M , ∆2 ) d ( M , ( P )) ⇔ = d ( M , ( P ))  u 11t − 20 với M (1;3; − 1) ∈∆ ⇔ 29t − 88t + 68 = t = t ∈ t =1 ⇔  53 → t =  35 Vậy, M ( 0; − 1;3) ⇒ d ( M , (Oxy ) ) = Câu 47 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;5;0 ) ; B ( 3;3;6 ) đường thẳng x +1 y −1 z Gọi C điểm đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC nhỏ d: = = 2 −1 Khoảng cách điểm A C A 29 B 29 C 33 Hướng dẫn giải: Ta có đường thẳng AB d chéo Gọi C điểm d H hình chiếu vng góc C đường thẳng AB Vì S ABC = AB ⋅ CH = 11 ⋅ CH nên S ABC nhỏ CH nhỏ ⇔ CH đoạn vng góc chung đường thẳng AB  và d D B A H 29 Ta có C (1; 0; ) ⇒ AC = C Câu 48 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A (10; 2;1) đường thẳng d: x −1 y z −1 Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d = = cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm M ( −1; 2;3) đến mp ( P ) 76 790 97 13 B C 15 13 790 Hướng dẫn giải: ( P ) mặt phẳng qua điểm A song song với A D 29 29 d đường thẳng d nên ( P ) chứa đường thẳng d ′ qua H điểm A song song với đường thẳng d Gọi H hình chiếu A d , K hình chiếu H ( P ) K Ta có d ( d ,   ( P= ) ) HK ≤ AH ( AH  không đổi) ⇒ GTLN d (d , ( P)) AH ⇒ d ( d , ( P ) ) lớn AH  vng góc với ( P ) P d' A Khi đó, gọi ( Q ) mặt phẳng chứa A d ( P ) vng góc với ( Q ) Trang 25/31    ⇒= n P u d , n= Q  ( 98;14; − 70 ) ⇒ ( P ) :7 x + y − z − 77 = ⇒ d ( M , ( P ) ) = 97 15 Câu 49 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm d: A ( 2;5;3) đường thẳng x −1 y z − Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A = = 2 đến ( P ) lớn Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng ( P ) 11 18 11 B C 18 18 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu A d ; K hình chiếu D A A A ( P ) Ta có d ( A,   ( P= ) ) AK ≤ AH (Không đổi) ⇒ GTLN d (d , ( P)) AH d ( A, ( P ) ) lớn K  ≡ H K Ta có H ( 3;1; ) , ( P ) qua H ⊥ AH ⇒ ( P) : x − y + z − = P d' H 11 18 18 hai đường Câu 50 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Vậy d ( M , ( P ) ) = x= 1+ t  x= − t ′   thẳng d :  y = t ; d ' :  y = + t′  z= + 2t  z = − 2t ′   Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với ( P ) ; cắt d , d ′ tạo với d góc 30O Tính cosin góc tạo hai đường thẳng Hướng dẫn giải: A B C D  Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm, nP là VTPT của mặt phẳng ( P ) Gọi M (1 + t ; t ; + 2t ) giao điểm ∆ d ; M ′ ( − t ′;1 + t ′;1 − 2t ′ ) giao điểm ∆ d'  Ta có: MM ' ( − t ′ − t ;1 + t ′ − t ; − − 2t ′ − 2t )   M ∉( P ) MM ′ // ( P ) ⇔    ⇔ t ′ =− ⇒ MM ′ ( − t ; −1 − t ;3 − 2t )  MM ′ ⊥ nP   Ta có= cos30O cos MM ′, u d= ⇔ ( ) t = ⇔ 36t −108t + 156 t = −1 −6t + Trang 26/31 =  x 5=  x t′   t ; ∆2 : y = −1 Vậy, có đường thẳng thoả mãn ∆1 :  y =+ z =  t′  10 + t z = Khi đó, cos ( ∆1 , ∆ ) = − ) ; C (1; 2; 2 − ) Gọi Câu 51 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;0;1) ; B ( 3; 2;0 ( P ) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn biết ( P ) không cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? H( B F ( 3; 0; −2 ) C  E (1;3;1) D  0;3;1 A  G ( −2; 0; 3) ) Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm đoạn BC ; điểm B′, ,  C′ I ′ B I hình chiếu B, , C I ( P ) C Ta có tứ giác BCC ′B′ hình thang II ′ đường trung bình ⇒ d ( B, ( P ) ) + d ( C , ( P ) ) = BB′ + CC ′ = II ′ B' Mà II ′ ≤ IA (với IA không đổi) Do vậy, d ( B, ,  ( P ) ) + d ( C ( P ) ) lớn I ′ ≡ A  IA với ⇒ ( P ) qua A vuông góc P I' C' A I ( 2;0; −1) ⇒ ( P ) : − x + z − = ⇒ E (1;3;1) ∈ ( P ) Câu 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) b, c dương mặt phẳng ( P ) : y − z + =0 Biết mp ( ABC ) vuông góc với mp ( P ) d ( O, ( ABC ) ) = , mệnh đề sau đúng? A b + c = B 2b + c = C b − c = 1 D 3b + c = Hướng dẫn giải: Ta có phương trình mp( ABC ) x y z + + = 1 b c 1 − = ⇒ b = c (1) b c 1 1 Ta có d ( O, ( ABC ) ) = ⇔ = ⇔ + =8(2) 1 b c 1+ + b c Từ (1) (2) ⇒ b = c = ⇒ b + c =1 Câu 53 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) ; B ( 0;1;1) ; C (1;0; − ) ( ABC ) ⊥ ( P ) ⇒ cho giá trị biểu thức T =MA2 + MB + 3MC nhỏ Điểm M ∈( P ) : x + y + z + = khoảng bằng Khi đó, điểm M cách ( Q ) :2 x − y − z + = A 121 54 B 24 C D 101 54 Trang 27/31 Hướng dẫn giải: Gọi M ( x; y; z ) Ta có T = x + y + z − x − y + z + 31 2  2  2    145 ⇒ T=  x −  +  y −   z +   + 3  3     T MI + ⇒= 145 2 1 với I  ; ; −  3 2 ⇒ T nhỏ MI nhỏ ⇒ M hình chiếu vng góc I ( P ) 13  ⇒ M − ;− ;−  18 18    BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 54 Cho mặt phẳng (α ) : x + y −= z − 0; ( β ) : x + y + 11 = z − Góc mặt phẳng (α ) mặt phẳng ( β ) bằng A 120° B 30° C 150° D 60° Câu 55 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x + y − = Điểm H(2; 1; 2) hình chiếu vng góc gốc tọa độ O mặt phẳng (Q) Góc hai mặt phẳng (P) (Q) A 45° B 30° C 60° D 120°        π Câu 56 Cho vectơ= Gócgiữa vectơ v vectơ u − v bằng: u 2;= v 1; u= ,v A 60° B 30° C 90° D 45° Câu 57 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( )  x − y − 3z + = x − y +1 z −1 Góc đường thẳng d đường thẳng d: = = , ∆: x − y + z + =  ∆ A 90° B 30° C 0° D 180° Câu 58 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − y − z − 10 = 0; đường x − 1− y z + thẳng d : = = Góc đường thẳng d mặt phẳng (α ) bẳng A 30° B 90° C 60° D 45° Câu 59 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua A(3; – 1;1), nằm x y−2 z = = (P): x – y + z – = góc 45 hợp với đường thẳngd: 2 x = x = 3+t + 3t   A ∆1 :  y =− + t , t ∈ R; ∆ :  y =− − 2t , t ∈ R  z=  z= − 5t   x = x = +2t + 15t   B ∆1 :  y =− + t , t ∈ R; ∆ :  y =− + 38t , t ∈ R  z=  z= + 23t   x = x = 3+t + 15t   C ∆1 :  y =− + t , t ∈ R; ∆ :  y =− − 8t , t ∈ R  z=  z= − 23t   Trang 28/31 x = x = 3− t + 15t   D ∆1 :  y =− − t , t ∈ R; ∆ :  y =− − 8t , t ∈ R   1+ t − 23t z = z = Câu 60 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh Gọi M, N, P trung điểm cạnh A ' B ', BC , DD ' Góc đường thẳng AC’ mặt phẳng (MNP) A 30° B 120° C 60° D 90° Câu 61 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , gọi(P) mặt phẳng chứa đường thẳng  x = + 2t  d :  y= − t tạo với trục Ox góc có số đo lớn nhất.Khi đó, khoảng cách từ điểm  z = 3t  A (1; −4; ) đến mp ( P ) 12 35 35 20 6 C D Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 2;1; −12 ) , N ( 3;0; ) Gọi ( P ) mặt A B góc có số đo nhỏ Điểm phẳng qua M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) :2 x + y − z + = A ( 3;1;0 ) cách mp ( P ) khoảng A 13 13 B 22 11 C Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho D ( P ) : x + y − z − =0 22 hai đường thẳng x −1 y −1 z − x −2 y −3 z + = = ; ∆2 : = = 1 −5 Gọi M điểm thuộc đường thẳng ∆1 , M có toạ độ số dương, M cách ∆ ∆1 : ( P ) Khoảng cách từ điểm A M đến mp( P ) B C D Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; −4;3) ; B (1;0;5 ) đường thẳng  x = −3t  d :  y= + 2t Gọi C điểm đường thẳng d  sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ  z = −2  Khoảng cách điểm C gốc toạ độ O A B 14 C 14 Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm d: D A ( 2;5;3) đường thẳng x −1 y z − = = Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d 2 cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm B ( 2;0; − 3) đến mp ( P ) A B C D 18 18 Trang 29/31  x= + 3t  Câu 66 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 4; −3; ) đường thẳng d :  y= + 2t  z =−2 − t  Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn Tính khoảng cách từ điểm B ( −2;1; −3) đến mặt phẳng ( P ) A B C D 38 Câu 67 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1; 1; − ) ; B ( −1; 2; 1) ; C ( −3; 4; 1) Gọi ( P) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn biết (P) khơng cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? A F ( −1; 2;0 ) B  E ( 2; −2;1) C  G ( 2;1; −3) D  H (1; −3;1) Câu 68 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; c ) Biết mp ( ABC ) vng góc với mp ( P ) a, c dương mặt phẳng ( P ) :2 x − z + = d ( O, ( ABC ) ) = A a + c = , mệnh đề sau đúng? 21 B a + c = C a − c = D 4a − c = Câu 69 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( −2; 2; 3) ; B (1; −1; 3) ; C ( 3; 1; − 1) cho giá trị biểu thức T = MA2 + MB + 3MC nhỏ Điểm M ∈( P ) : x + z − = khoảng bằng Khi đó, điểm M cách ( Q ) : − x + y − z − = A B.2 C D 3 Câu 70 Tính khoảng cách từ điểm H(3; – 1;– 6) đến mặt phẳng (α ) : x + y − z + = B C 3 D 3 Câu 71 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): x + y + z = 0 và (Q) x + y + z + = A 7 B C Câu 72 Khoảng cách từ điểm K(1;2;3) đến mặt phẳng (Oxz) bằng A B C A D D  x = + 5t  Câu 73 Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (α ) : x + y + z + = và đường thẳng d:  y= − 2t  z = −4t  B C D 3 với trục Oz đến mặt phẳng Câu 74 Khoảng cách từ giao điểm A của mặt phẳng ( R) : x + y + z − = (α ) : x + y + z + = bằng A A B C D  x = − 3t  z − 0, (Q) : x = + y + z và đường thẳng d:  y= + t Câu 75 Cho hai mặt phẳng ( P) : x + y +=  z =−1 + t  Trang 30/31 Gọi d (d , ( P)) , d (d , (Q)) , d (( P), (Q)) lần lượt là khoảng cách giữa đường thẳng d và (P), d và (Q), (P) và (Q) Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A d (d , ( P)) = B d (d , (Q)) = C d (( P), (Q)) = D d (d , (Q)) = x= 1+ t  Câu 76 Khoảng cách từ điểm C (−2;1;0) đến mặt phẳng (Oyz) và đến đường thẳng ∆ :  y= + t lần  z= + 2t  lượt là d1 và d Chọn khẳng định đúng các khẳng định sau: B B d1 = d d1 > d C d1 = D d =1 Câu 77 Khoảng cách từ điểm B(1;1;1) đến mặt phẳng (P) bằng Chọn khẳng định đúngtrong các khẳng định sau: A (P): x + y  – z + = B (P): x + y + z – = B (P): x + y + z – = D (P): x + y + z – 3  = Câu 78 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) :2 x − y + z + = mặt phẳng Tập hợp điểm M cách mặt phẳng (α ) ( β ) ( β ) :2 x − y + z + = A x − y + z + = B x − y − z + = C x − y + z − = D x + y + z + = (α ) : x − y + z + =0 Tập hợp điểm cách mặt phẳng (α ) ( β ) phẳng ( β ) : x − y + z + = Câu 79 Trong không gian x − y + = A  3 x + y + z + = x − y + = C  3 x − y + z + = Oxyz cho mặt phẳng mặt x − y + = B  3 x − y + z + = x + y + = D  3 x − y + z + = Trang 31/31 ... thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng; biết cách khoảng cách hai mặt phẳng song song - Nhớ vận dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; biết cách tính khoảng cách hai... Câu 43 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có đỉnh A (1; 2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;1) D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A, B cho khoảng cách từ C đến ( P) khoảng cách từ... song song với đường thẳng d = = cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm M ( −1; 2;3) đến mp ( P ) d: 97 13 76 790 B C 15 13 790 Câu 49 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho