CHỦ ĐỀ 6 BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Vấn đề 1 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG ( Dạng 1 Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao Xét bài toán Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên Kẻ ta có Suy ra Cách tính Ta có Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC có Biết a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng Lời giải a) Dựng ta có Do đó b) Dựng Ta có Trong đó V.
CHỦ ĐỀ 6: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Vấn đề 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Dạng 1: Khoảng cách từ điểm mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao Xét tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt bên SHB Kẻ AH HB ta có: AK HB � � AK SHB � AK SH � Suy d A; SHB AK Cách tính: Ta có: d A; SHB AK S AHB HB � AB sin � ABK AH sin AHK Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC có AB 3a, BC 2a, � ABC 60� Biết SA ABC a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC Lời giải CH AB � � CH SAB a) Dựng CH AB ta có: � CH SA � Do d C ; SAB CH CB sin � ABH 2a sin 60� a b) Dựng CK AC � CK SAC Ta có: d B; SAC CH � 2S ABC AB.BC sin ABC AC AC � Trong AC AB BC BA.BC cos B � AC a � d B; SAC 3a.2a.sin 60� 3a 21 a Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với B a, AD a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung tâm AB a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SHD b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng SHC Lời giải a) Do tam giác SAB cân S nên SH AB Ta có: HA HD a Mặt khác SAB ABCD � SH ABCD Dựng AE DH � AE SHD � d A; SHD AE Mặt khác AE AH AD AH AD 2 a 39 13 b) Dựng DK CH � d D; SHC DK Ta có: CH HB BC Do d D; SHC a 13 1 a2 , S HCD CD.d H ; CD a.a 2 2 2S HCD 2a 39 CH 13 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD 3a , AB BC 2a Biết SA ABCD a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC Lời giải a) Dựng CE AD � CE SAD Khi d C ; SAD CE , ABCE hình vng cạnh 2a nên CE AE 2a � d C; SAD 2a b) Dựng DH AC � DH SAC Khi d D; SAC DH � 45� Ta có: ABCE hình vng nên CAD Do DH ADsin 45� 3a 3a 2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm H tam giác ABD a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SHD Lời giải a) Do H trọng tâm tam giác ABD � H �AC Gọi O tâm hình vng ABCD � BO AC Mặt khác BO SH � BO SAC Khi d B; SAC BO 5a b) Dựng CK HD � CK SHD � d C ; SHD CK Gọi I trung điểm AB H DI �AO 2S ICD 2 S ABCD Khi đó: CK DI DI 25a DA2 AI 25a 2 �5a � 25a � � �2 � 2a Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a , với AB 2a Biết SA ABCD mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 60� a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAB b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng SAC Lời giải a) Tứ giác ABCD nửa lục giác cạnh a nên nội tiếp đường trịn đường kính AB 2a Dựng CH AB � CH SAB � d C ; SAB CH a Mặt khác � ABC 60�� CH BC sin 60� Vậy d C ; SAB a b) Dựng DK AC � DK SAC � d D; SAC DK � 120� � a sin 30� a ,� ACB 90�� � ACD 30�� DK CD sin DCK Do DCB Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có diện tích 2, AB 2, BC Gọi M trung điểm CD, hai mặt phẳng SBD SAM vng góc với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAM Lời giải Ta có S ABCD SABC SMAB � S ABC SMAB � � S ABC AB.BC.sin � ABC � sin ABC 2 Do � ABC 45�� � ADM 45� Áp dụng định lý Cosin tam giác ADM, ta có: 10 AM AD DM AD.DM cos � ADM Gọi H giao điểm AM BD � SH ABCD Kẻ BK vng góc với AM, K �AM � BK AM 1 Ta có SAM � SBD SH � SH ABCD � SH BK 2 Từ 1 , � BK SAM � d B; SAM BK 2.S MAB 10 Mặt khác S MAB BK AM � BK AM 10 Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC BD 2a Tam giác A’BD vuông cân A’ nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt phẳng A ' AB tạo với đáy góc 60� Tính khoảng cách d B '; A ' BD Lời giải Gọi H tâm hình chữ nhật ABCD � HA HC � A ' H BD (Do A ' BD cân A’) Do A ' BD ABCD � A ' H ABCD Ta có: A ' H BD a (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền nửa cạnh ấy) A ' MH 60� Dựng HM AB � AB A ' HM � � +) Khi đó: HM tan 60� A ' H � HM � AD HM a 2a � AB 2a 3 Do: A ' D / / B ' C � B ' C / / A ' BD � d B '; A ' BD d C ; A ' BD Ta có: CE CD.CB 2a 2a Vậy d B '; A ' BD BD 3 Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên Xét tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên SAB Dựng HE AB, E �AB ta có: AB SH � � AB SHE 1 � AB HE � Dựng HF SE , F �SE Từ 1 HF AB Do HF SAB � d H ; SAB HF Cách tính: Xét tam giác SHE vng H có đường cao HF ta có: Hay HF HE.SH HE SH 1 2 HF HE SH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B có AB a, BC a Biết SA 2a SA ABC a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC b) Gọi M trung điểm AC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBM Lời giải a) Ta có : AB BC , mặt khác BC SA � BC SAB AH SB � � AH SBC Dựng AH SB � � AH BC � SA AB Khi d A; SBC AH SA2 AB 2a b) Dựng AE BM , AF SE ta có: AE BM � � BM SAE � BM AF � AE BM � AF SE � � AF SBM Khi đó: � AF BM � Ta có: AB a, AC AB AC 2a Do BM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên BM a AC AM AB a � ABM cạnh a � AE 2 Khi d A; SBM AE.SA AE SA 2 2a 57 19 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a , SA ABC Đường thẳng SB tạo với đáy góc 60� a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCM , với M trung điểm cạnh AB Lời giải � 60� a) Do SA ABC � � SB; ABC SBA Do SA AB tan 60� 2a AB Dựng AE BC , ABC nên a BC SA � � BC AF Dựng AF SE , mặt khác � BC AE � � AF SBC � d A; SBC AF SA AE SA2 AE 2a 21 b) Do M trung điểm AB nên CM AB Mặt khác CM SA � CM SAM Dựng AH SM � AH SMC Khi d A; SMC SA AM SA2 AM 2a Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Biết OA a, OB b, OC c Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ABC Lời giải OC OA � � OC OAB � AB OC Do � OC OB � Dựng OE AB, OF CE suy OF BC Khi OF ABC � d O; ABC OF Mặt khác: Do 1 1 1 2 2 OF OC OE OE OA OB 1 1 2 2 d O; ABC a b c Vậy d abc a b b2c c 2a 2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B cạnh bên SB vng góc với mặt phẳng đáy Cho biết SB 3a, AB 4a, BC 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC A 12a 61 61 B 4a 12a 29 29 Lời giải C D 3a 14 14 Ta có: BS, BA, BC đơi vng góc với nên ta có: 1 1 1 61 2 2 2 AB AC 9a 16a 4a 144a d B; SAC SB Do d B; SAC 12a 61 Chọn A 61 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B AB a, BC a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H cạnh AC Biết SH a , tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng SAB SAC Lời giải Dựng HE AB HF SE ta có d H ; SAB HF Mặt khác HE đường trung bình tam giác ABC nên HE BC a 2 Khi d H ; SAB HF HE.SH HE SH 2 a 21 Tương tự dựng HM BC , HN SM � d H ; SBC HN Mặt khác HM AB a � HN 2 SH HM SH HM a Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB a, AD 2a , SA vng góc với đáy SA a a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD SBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD Lời giải BC SA � � BC AN a) Dựng AN SB Do � BC AB � AN SBC � d A; SBC AN Vậy A; SBC a SA AB SA2 AB Tương tự d A; SCD AM SA AD SA AD 2 2a b) Dựng AE BD, AF SE Ta chứng minh d A; SBD d AF Vì AS AB AD � 1 1 2a �d 2 d AB AD SA Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm H AB Biết SD 3a a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng SBD Lời giải a) Ta có: HD AH AD a Mặt khác SH SD DH 2a Dựng HM CD, HN SM � d H ; SCD HN Do AHMD hình chữ nhật nên AD HM 2a Khi d H ; SCD SH HM SH HM a b) Dựng HE BD; HF SE d H ; SBD HF Ta có: AC 2a � OA a � HE Do OA a 2 1 2a 2a � HF � d H ; SBD HF 2 HF SH HE 3 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm AB Biết SH vng góc với mặt đáy, mặt phẳng SCD tạo với đáy góc 60� Tính a) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD b) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng SBC Lời giải a) Do ABC nên CH AB � CH CD � 60� CH SHC � SCH , CH a Ta có: SH CH tan 60� HK BC , HK Mặt khác: HF 3a a ; HF SK � HF SBC HK SH HK SH Khi d H ; SBC 42a 14 a 42 14 b) Dựng HE SC ta có: HE SCD Ta có: HE HC.SH HC SH 3a 3a � d H ; SCD HE 4 Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B có AB BC AD Mặt phẳng SAB SAD vng góc với mặt đáy Biết SA 2a đường thẳng SD tạo với mặt phẳng SAC góc 30� tính a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Lời giải � SAB ABCD � � SA ABCD a) Do � SAD ABCD � Đặt AB BC CE AB AD x , gọi E trung điểm AC ta có: AD � ACD vng C (tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền tam giác vng) +) Khi ta có: SC x 4a , CD x CD SA � � CD SAC +) Mặt khác: � CD AC � Do � SD; SAC � DSC �� 30� tan 30 � DC SC x 2 x 4a Dựng AK SC � AK SCD � d A; SCD AK 2 SA AC SA AC 2 4x2 2a 4a x a �BC SA � BC AH b) Dựng AH SB , ta có: � �BC AB Mặt khác: AH SB � AH SBC Do AH AB.SA AB SA 2 2a 2a � d A; SBC AH 5 Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAD tam giác vng cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA a SB tạo với đáy góc 30� Gọi H trung điểm AD Tính khoảng cách sau: a) d H ; SBC b) d H ; SAC Lời giải a) Gọi H trung điểm AD ta có: SH AD Lại có: SAD ABCD � SH ABCD Mặt khác: AD SA 2a � SH � SBH �30 � HB tan 30 SH a AD a HB a Khi đó: AB HB AH a �HE BC Dựng � ta có: BC HF từ suy HF SBC � d H ; SBC HF �HE SE Ta có: 1 a � HF d H ; SBC 2 HF SH HE b) Dựng HN AC � AC SHN , dựng HI SN � HI SAC Dựng DM AC � DM 2a a � HN � HI Do d H ; SAC HI HN SH HN SH 2 a a Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân AD / / BC có AB BC CD a , AD 2a , SA vng góc với đáy Biết mặt phẳng SCD tạo với mặt phẳng ABCD góc 60� Tính cách khoảng cách sau: a) d A; SCD b) d A; SBC Chọn A Câu 12: Kẻ AE BC, AF SE �BC AE � BC (SAE) � BC AF Ta có � �BC SA a Mà AF SE � AF (SBC) Ta có AE 1 1 3a 4h ah � AF 2 2 2 3a AF SA AE h 3a h 3a 4h Chọn B Câu 13: Ta có d(A, CC') AC a Chọn B Câu 14: Gọi O trung điểm A’C’ B’D’ B 'D ' A 'C ' � � B'D' (AA 'C ') � B 'D ' AO Ta có � B 'D ' AA ' � �a � a d(A, B'D') AO AA ' A 'O a � �2 � � � � 2 Chọn A Câu 15: Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC � SH (ABC) Gọi M trung điểm BC 2 3a Ta có AH AM a 3 d(S, (ABC)) SH SA AH a 7 a 3 2 2a Chọn B AB BC � � AB (SBC) � d(A, (SBC)) AB Câu 16: � AB SC � Chọn B 1 Câu 17: Ta có d(K, (ABCD)) d(S, (ABCD)) SC a Chọn A 2 Câu 18: Có vơ số đường thẳng cắt ∆1 M cắt ∆2 N Ta có d(∆1,∆2) ≤ MN, dấu xảy � MN đoạn vng góc chung ∆1 ∆2 Chọn A Câu 19: Theo giả thiết tốn ta có: d(1, ()) d( 2, ()) d(1, 2) d((), ()) Mặt khác : d((),()) �MN, M �1, N � Do khẳng định C sai Chọn C Câu 20: Do 1 / /( ) , mặt phẳng () chứa 1 cắt () theo giao tuyến � 1 / / Mặt phẳng (1; 2) �() () nên d( 1, 2) d(1, ()) Chọn A Câu 21: Do song song với mặt phẳng () nên khoảng cách từ đến () khoảng cách từ điểm đến () Bằng khoảng cách từ mặt phẳng () đến ( ) với () mặt phẳng chứa song song với () khoảng cách từ mặt phẳng () đến () với () mặt phẳng chứa song song với ( ) Các khẳng định A, C D Khẳng định B sai Chọn B Câu 22: Các khẳng định A, B C Khẳng định sai D Chọn D Câu 23: d khoảng cách đường thẳng nằm () đến hình chiếu vng góc lên () suy khẳng định C D sai Chọn D Câu 24: Ta có AB / /CD � AB / /(CDD 'C ') : nên d(A, (CDD 'C ')) d(B, (CDD 'C ')) � A Do (ABCD) / /(A ' B'C ' D ') nên d((ABCD), (A ' B'C 'D ')) d(B, (A 'B'C 'D ')) d((ABCD), (A ' B'C' D ')) d(AC, (A ' B'C 'D ')) � B,D Khẳng định sai C Chọn C Câu 25: Ta có: AB / /CD � AB / /(SCD) � d(A, (SCD)) d(B, (SCD)) � A Tương tự CD / /(SAB) � d(C, (SAB)) d(D, (SAB)) Do AC�BD O OA = OC � d(A;(SBD)) d(C;(SBD)) suy B C Khẳng định sai D Chọn D Câu 26: Dễ thấy AB'/ /C 'D � AB'/ /(C DD 'C ') nên d(AB', (C DD 'C ')) d(A;(C DD 'C ')) d Mặt khác ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương nên AD (C DD 'C ') � d AD a Chọn A Câu 27: Ta có d((ABCD), (A ' B'C 'D ')) AA ' CC ' c d(BB', (ACC' A ')) d(B;(ACC'A') Dựng BH AC , mặt khác BH AA ' � BH (ACC'A') AB.BC Khi d(BB', (ACC ' A ')) BH BA BC2 ab a b2 Dễ thấy AB'/ /C 'D � AB'/ /(CDD 'C ') nên d(AB',(CDD 'C')) d(A;(CDD 'C ')) AD BC b Khẳng định sai D Chọn D A ' B '/ /CD ' � � (BA 'C ') / /(ACD ') Câu 28: Dễ thấy � BC '/ /AD ' � Do d((BA 'C ');(ACD ')) d(B;(ACD ')) Mặt khác BD cắt AC trung điểm O BD suy d((BA 'C ');(ACD ')) d(B;(ACD ')) AC DO � � AC DE Dựng DE D'O , mặt khác � AC DD' � Do DE (D 'AC) � d d(D; (D 'AC) DE Trong DO DO.DD ' DO2 DD '2 DB a a ; DD ' a � d Chọn A 2 Câu 29: Ta có: SA (ABCD) � SA AD Mặt khác AD AB � SA (SAB) Do CD / /(SAB) � d(CD, (SAB)) d(D; (SAB)) DA a Chọn A Câu 30: Do AB / /CD � AB / /(SCD) Khi d(AB, (SCD)) d(A;(SCD)) Dựng AH SD , ta có SA (ABCD) � SA CD CD SA � � CD (SAH) � CD AH Do � CD AD � Lại có AH SD � AH (SCD) Suy d(A : (SCD)) AH SA.AD SA AD 2 a 2 Chọn C Câu 31: Gọi O tâm hình thoi ABCD OA = OC suy OM đường trung bình ∆SAC � OM//SA � OM (ABCD) � OM OA Do ABCD hình thoi nên OA BD � OA (MBD) Khi d(SA;(MBD)) d(A;(MBD)) AO ) ) Mặt khác: ABC 120o � BAD 60o �VABD cạnh a Nên AO ABsin 60o a a Chọn C �d 2 Câu 32: Do AB / / CD � AB/ /(SCD) Suy d(B;(SCD)) d(A;(SCD)) d CD SA � � CD (SAD) Ta có: � CD AD � Dựng AH SD � AH (SCD) Khi d d(A;(SBC)) AH SA.AD SA AD 2 a Chọn A Câu 33: Do AD / / BC � AD/ /(A'BC) Suy d(B;(A'BC)) d(A;(A'BC)) Dựng AH A 'B , lại có BC (A'AB) � BC AH Do AH (A 'BC) � d(A; (A'BC)) AH Lại có: AH AA '.AB AA ' AB 2 a 2 Vậy d(D;(A' BC)) d(A;(A'BC)) a Chọn C Câu 34: Ta có: G trọng tâm tam giác SAC � SG = 3MG Mặt khác MG �(SBC) S � d M MS d G GS 2 2a a Suy d G d M Chọn B 3 Câu 35: Do S.ABCD hình chóp có O tâm đáy nên đáy hình vng tâm O SO (ABCD) Dựng OE BC , mặt khác SO BC � BC (SOE) Dựng OF SE � OF (SBC) � d(O;(SBC)) OF Ta có: OE � OF AB a ;SO AB a 2 SO.OE SO2 OE a 5 2a Chọn C Mặt khác DB 2OB � d(D;(SBC)) 2d(O; (SBC)) Câu 36: Gọi H, M trung điểm AB, CD Ta có SH AB � SH (ABCD), HM CD � CD (SHM) Kẻ HK SM(K �SM) mà HK CD � HK (SCD) Tam giác SHM vuông H, có HK SH.HM SH HM a 21 Mặt khác AB / /CD � AB / /(SCD) a 21 Chọn B ) ) ) Câu 37: Ta có SC;(ABCD) SC; A C SCA 60o ) Tam giác SAC vng A, có SA AC.tan SCA 2a � d d;(SCD) d H; (SCD) Kẻ AH SB(H �SB) mà BC (SAB) � AH (S BC) Tam giác SAB vng A, có AH SA.AB SA AB 2 2a 39 13 Vì G trọng tâm VABC � d G; (SBC) d A;(SBC) Vậy khoảng cách cần tìm d 2a 39 Chọn B 39 Câu 38: Gọi H trung điểm AC � BH AC Mà SA BH � BH (SAC) � d B;(SAC) BH Tam giác SAB vng A, có AI SA.AB SA AB 2 Tam giác SAI vuông I, có SI SA AI Suy a a 3a IS 3 3a � d I; (SAC) d B; (SBC) SB 4 Chọn C ) Câu 39: ABCD nửa lục giác � ABC 120o ; AC CD Kẻ AH SC(H �SC) mà CD AH � AH (SCD) ) Tam giác ABC có AB BC a; ABC 120o � AC a Tam giác SAC vuông A, có AH SA.AC SA AC a a Vậy d B; (SCD) d A; (SCD) Chọn C ) ) Câu 40: Ta có BAD 120o � ABC 60o �VABC Gọi M trung điểm BC � AM BC � BC (SAM) ) ) ) Suy (SBC); (ABCD) SM; AM SMA 30o Kẻ AK SM(K �SM) mà BC AK � AK (SBC) Tam giác AKM vuông K, có AK AM.sin 30o a Lại có AD / /BC � AD / /(SBC) � d D; (SBC) d A;(SBC) a Chọn D Câu 41: Gọi O trọng tâm ∆ABC, M trung điểm BC Suy SO (ABC), OM BC � BC (SMO) Kẻ OH SM(H �SM) mà BC OH � OH (SBC) Ta có AM 3a a AB � OA AM a;OM AM 2 3 Tam giác SAO vng O, có SO SA OA a Tam giác SMO vuông O, có OH Lại có SO.OM SO OM a AM 3a 3� d A; (SBC) 3d O; (SBC) 3OH OM 3a Mặt khác E trung điểm AB � d E;(SBC) d A;(SBC) 10 Chọn C ) ) SA AB � � AB (SAC) � SB;(SAC) BSA 45o Câu 42: � AC AB � Suy tam giác SAB vuông cân A → SA = AB = a Xét hình chóp S.ABC, ta 1 1 a 21 � d A;(SBC) 2 d A;(SBC) SA AB AC Lại có SA 2a 2a 21 a : � d M; (SBC) d A;(SBC) MS 3 21 Chọn A Câu 43: Kẻ AH BD(H �BD) mà A 'O BD � AH (A 'BD) � d A;(A 'BD) AH Tam giác ABD vng A, có AH AB.AD a BD Vậy d A;(A ' BD) d B';(A 'BD) a Chọn D Câu 44: Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm BC Suy SO (ABCD), OM BC � BC (SMO) ) ) ) Khi (SBC); (ABCD) (SM;OM) SMO 60o Kẻ OH SM(H ή SM) OH (SBC) ) OH a Tam giác OHM vng H, có sin HMO � OH OM Vì G trọng tâm tam giác ABC � GC OC 4 4a a Chọn B � d G; (SBC) d O; (SBC) OH 3 Câu 45: Gọi H, K trung điểm AC, BC Ta có SH AC � SH (ABC) HK / /AB � HK BC BC HE � � HE (SBC) Kẻ HE SK(E �SK) � � SK HE � Tam giác ABC vuông B, có AC Tam giác SHK vng H, có HE AB ) 2a � SH a cosBAC SH.HK SH HK a 39 13 Lại có G trung điểm SA, H trung điểm AC a 39 Chọn C HK d G; (SBC) d A; (SBC) 13 Câu 46: Gọi E trung điểm AD � ABCE hình vng � AC CD mà SA CD � CD (SAC) Kẻ AK SC(K �SC) � AK (SCD) SA.AC Tam giác SAC vng A, có AK SA AC2 a a Do d B; (SCD) d A; (SCD) 2 Mà H hình chiếu A SB � HS SB 2a a Suy d H;(SCD) d B; (SCD) Chọn C 32 Câu 47: Kẻ HK SB(K �SB) � HK (SBC) Vì HB 3HA � HA a, HB 3a � HC BH BC2 5a ) ) ) Ta có SC;(ABCD) SC; HC SCH 45o � SH HC 5a Tam giác SBH vuông B, có ) ) ) SC;(ABCD) SC; HC SCH 45o � SH HC 5a Khi d H;(SBC) BH 10a 34 � d A;(SBC) d A;(SBC) AB 17 1 10a 34 5a 34 Vậy d O; (SBC) d A; (SBC) 2 17 17 Chọn B Câu 48: Kẻ SH AB(H ή AB) SH (ABCD) Kẻ HK BD(K �BD) � BD (SBD) ) ) ) Do (SBD);(AB CD) SK; HK SKH 60o Kẻ HE SK(E �SK) � HE (SBD) Ta có SA 2 SB2 AB2 �VSAB vuông S Suy SH SA.SB a 3 BH � BH SB2 SH � AB 2 AB ) HE a Tam giác SHE vuông E, có sin HSK � HE SH Khi d H;(SBD) d A;(SBD) Vậy d C;(SBD) AB 4a a � d A;(SBD) BH 3 a Chọn A Câu 49: Do SA (ABC) SC tạo với (ABC) góc 45° ) nên SCA 45o Ta có: AC AB2 BC2 2a � SA AC tan 45o 2a Gọi M, N trung điểm AB AC G1G / /MN / /BC � d(G1G 2;(SBC)) d(G1;(SBC)) d 2 Mặt khác G1S MS � d G1 d M mà MB AB 3 � d M d(A; (SBC)) Suy d G1 d(A; (SBC)) BC AB � � BC (SAB) � BC AH Dựng AH SB , � BC SA � Mặt khác AH SB � AH (SBC) � d(A;(SBC)) AH Suy d SA.AB SA AB2 2a 2a Chọn C Câu 50: Ta có: A’B cắt AB’ trung điểm I đường Do d(BC, (AB'C')) d(B;(AB'C ')) d(A ';(AB'C ')) d B'C ' A ' B' � Dựng A 'F AB ' ta có: � B'C ' AA ' � A'F AB ' � � B 'C ' (A ' B 'A) Lại có � � A 'F (AB 'C ') A'F BC � Khi đó: d A ' F AB'.AA ' AB'2 AA '2 Trong AB’ tạo với mặt ) A 'BA 60o � AA ' A 'Bsin 60o 2a sin 60o a phẳng đáy Mặt khác AB AB'co s60o a Suy d A 'F AB'.AA ' AB'2 AA '2 a Chọn C Câu 51: Dựng AE BD; AF A'E ) ) a Do ABC 120o � BAD 60o �VABD tam giác cạnh a � AE �BD AE � BD (A 'AE) � BD AF Do � �BD AA ' Mặt khác AF A ' E � AF (A ' BD) Do A’B tạo với mặt phẳng đáy góc 60° góc 60° nên ) � A 'BA 60o � A ' A AB tan 60o a Khi d(A; (A 'BD) AF AA '.AE AA ' AE 2 a 15 Do B ' D / /BD � d(B'D';(A'BD)) d(B';(A'BD)) d Mà A ' B �AB' I trung điểm AB’ � d d(A;(A ' BD)) AF a 15 Chọn D Câu 52: Dễ thấy A’.ABC hình chóp tam giác nên hình chiếu A’ xuống mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC MN đường trung bình tam giác BA’C nên MN//A’C Khi d(A'C, (AMN)) d(A';(AMN)) d(B;(AMN) d Gọi H hình chiếu N mặt phẳng (ABC) � NH/ / A'G' � H trung điểm BG Dựng HE AM; HF NE � d(H;(AMN)) HF Mặt khác HE BM BC a A 'G , NH 4 Trong BG a a � A 'G A ' B2 BG 3 Do NH a � HF NH NE NH NE 2 Suy d d(B;(AMN)) 2d(H;(AMN)) a 22 2a a 22 Chọn A 11 22 Câu 53: Gọi O giao điểm AC BD OA SA � � OA đoạn vng góc chung SA BD Ta có � OA BD � a Ta có AC AB2 BC2 a � OA AC 2 Ta có d(SA, BD) OA a Chọn D AB SA � � AB đoạn vng góc chung SA BC Câu 54: Ta có � AB BC � Ta có AB BC ∆ABC cân nên ∆ABC vng cân B Do AB = BC = a Ta có d(SA,BC) = AB = a Chọn B Câu 55: Ta có JA = JB � IJ AB Ta có IC = ID � IJ CD Do IJ đoạn vng góc chung AB CD Do d(AB,CD)=IJ Chọn B Câu 56: Gọi O giao điểm AC BD � SO (ABCD) Kẻ OH SC BD AC � � BD (SAC) � BD OH � BD SO � OH SC � � OH đoạn vng góc chung BD SC � OH BD � OC 1 a a � OH � d(BD,SC) 2 OH OS OC a 2 a a AC ,SO SC2 OC 2 Chọn B Câu 57: Gọi M giao điểm AB’ A’B, N giao điểm CD’ C’D MN AB ' � � MN đoạn vng góc chung AB’ CD’ � MN CD ' � MN BC AC2 AB2 a d(AB', CD ') MN a Chọn A CD AD � � CD (SAD) � CD SD Câu 58: Ta có � CD SA � CD SD � � CD đoạn vng góc chung SD BC � CD BC � CD AC2 AD a d(SD, BC) CD a Chọn D Câu 59: Kẻ BH SM, AK SM � BH AK BC AB � � BC (SAB) � BC BH � BC SA � BH BC � � BH đoạn vng góc BC SM � BH SM � 1 a a � AK � BH 2 AK SA AM 2a 3 d(BC,SM) BH a Chọn A Câu 60: Gọi N trung điểm BC Ta có A ' B'/ /MN � d(A ' B', C ' M) d(A ' B', (C ' MN)) d(B', (B'MN)) 2d(C, (B' MN)) MN BC � � MN (BCC ') � MN HC Kẻ CH C ' N � � MN CC ' � Mà HC C ' N � HC (C ' MN) Lại có 1 1 � HC a 2 2 HC NC CC ' 2a � d(C, (B' MN)) a � d(A ' B', C ' M) 2a Chọn B �BC AB � BC (SAB) � BC SB Câu 61: Ta có � �BC SA BC SB � � BC đoạn vuông góc chung SB CD � BC CD � d(SB, CD) BC a Chọn A Câu 62: Gọi J trung điểm OB � IJ//OC, kẻ OH AJ IJ / /OC � d(AI, OC) d(OC, (AIJ)) d(O, (AIJ)) �IJ OB � IJ (OAB) � IJ OH � �IJ OA Mà OH AJ � OH (AIJ) 1 a � OH 2 OH OA OJ a Do d(AI, OC) a Chọn B Câu 63: Kẻ OH SA, CK SA BD AC � � BD (SAC) � BD OH � BD SA � OH SA � � OH đoạn vng góc chung SA BD � OH BD � Ta có AC a 1 1 a � CK a � OH 2 CK CS CA a � d(SA, BD) OH a Chọn A Câu 64: Ta có AA'//CC' � d(AB',CC') =d(CC',(ABB'A'))=d(C,(ABB'A')) CH AB � � CH (ABB'A') Kẻ CH AB ta có � CH AA ' � Ta có d(AB',CC')=CH= a Chọn A CD AD � � CD (SAD) � CD SD Câu 65: Ta có � CH SA � CD SD � � CD đoạn vng góc chung SD BC � CD BC � CD= AC2 AD a d(SD, BC) CD a Chọn D Câu 66: Ta có BD / /B'D ' � d(AD ', BD) d(BD, (AB' D ')) d(B, (AB'D')) d(A', (AB'D')) Gọi O’ giao điểm A’C’ B’D’, kẻ A'H O'A �B'D' A 'O ' � B' D ' (AA 'O) � B' D ' O ' A Ta có � �B' D ' AA ' Mà A ' H AO ' � A ' H (AB' D ') 1 a Ta có A'O' A 'C ' Ta có 2 A 'H A 'O' AA ' a 2 � A'H a a Chọn B � d(AD ', BD) 3 Câu 67: Kẻ AH SB AD AB � � AD (SAB) � AD AH � AD SA � AH SB � � AH đoạn vuông góc chung SB AD � AH AD � Ta có 1 a � AH 2 AH AS AB a Ta có d(SB, AD) AH a Chọn C ... BC) Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với AB=2, AC=3, AD=4 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD A d 12 61 61 B d 144 61 C d 61 12 D d 61 Câu 7: Khoảng cách lớn... HFsin 60 � � HK HE.SH SH HE 3a 3a 2 3a 93 2a 93 � d A; SCD HK 62 61 Dạng 4: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách. .. song với mặt phẳng Gọi d khoảng cách từ đến Mệnh đề sau sai? A d khoảng cách từ điểm đến B d khoảng cách từ điểm đến C d khoảng cách từ mặt phẳng đến