CHỦ ĐỀ 7 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Dạng 1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị Phương pháp giải Cho 2 hàm số và có đồ thị.
CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị Phương pháp giải: Cho hàm số y f ( x) y g ( x) có đồ thị C C : Lập phương trình hồnh độ giao điểm C C f ( x) g ( x) Giải phương trình tìm x thay vào f ( x) g ( x) để suy y tọa độ giao điểm Số nghiệm phương trình số giao điểm C C Ví dụ 1: [Đề minh họa THPT QG năm 2017] Biết đường thẳng y 2 x cắt đồ thị hàm số y x x điểm nhất; ký hiệu xo ; yo tọa độ điểm Tìm yo A yo B yo C yo Lời giải D yo 1 Phương trình hồnh độ giao điểm là: 2 x x x x x x y Vậy tọa độ giao điểm 0; Chọn C Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y x x đường thẳng y cắt hai điểm phân biệt A x1 ; y1 , B x2 ; y2 Tính x1 x2 A x1 x2 B x1 x2 C x1 x2 18 Lời giải D x1 x2 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x 1 x x x 3x x x x2 x1 x2 x x 2 x2 2 Chọn B Ví dụ 3: Hỏi đồ thị hàm số y x x x đồ thị hàm số y x x có tất điểm chung? A B C Lời giải D Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số x3 x x x x x3 x ( x 1) x x x x Suy hai đồ thị có điểm chung Chọn C Ví dụ 4: Số giao điểm đồ thị hai hàm số y x x y x x A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x 3x x x x 3x x 1 x x2 đồ thị hàm số có giao điểm Chọn D x 2 x Ví dụ 5: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y A B x2 2x với đường thằng y x x 1 C Lời giải D Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị C đường thẳng d x2 x 3x x 1 x 1 x x x x ( x 1)(3x 6) x x 3x x 2 x x Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt nên C cắt d hai điểm Chọn D Ví dụ 6: Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y x 1 A x x B x 3 2x 1 C đường thẳng d : y x x2 x 1 C x Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị C d x 1 D x 3 x 2 2x 1 x2 x2 2 x x x 2 x 2 x 1 x 1 Chọn A x x 2x x Ví dụ 7: Biết đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y 4x hai điểm phân biệt có tung độ y1 x 1 y2 Tính y1 y2 A y1 y2 10 B y1 y2 11 C y1 y2 Lời giải D y1 y2 x2 x x 1 4x x Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x 1 x x x1 1 y1 y1 y2 11 Chọn B Ta có: x2 y2 10 Ví dụ 8: Gọi A, B giao điểm hai đồ thị hàm số y x3 y x Diện tích tam giác OAB x 1 bằng: A 2 B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x x 1 y x 3 1 x x 1 x y 1 x x Khi AB d O; AB d O; d : x y Do SOAB 1 d O; AB AB Chọn C 2 2 Ví dụ 9: Đồ thị hàm số y x x đồ thị hàm số y cắt hai điểm A B Khi độ dài x AB B AB 25 A AB C AB Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x x D AB 10 x x x x 5x x y A(3;6) AB Chọn C x 1 y B(1; 2) Ví dụ 10: Gọi M, N giao điểm đường thẳng y x đường cong y 2x Khi hồnh độ x 1 trung điểm I đoạn thẳng MN A B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x 1 2x x x2 2x x 1 x x M xI Chọn C xN Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y x 3x x cắt đồ thị hàm số y x 3x hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB A AB B AB 2 C AB Lời giải D AB Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x3 x x x x x3 x x x 1 x A(1; 1) AB Chọn D x B(2; 1) x 2 Dạng 2: Sự tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc bậc Phương pháp giải: Xét tương giao đồ thị C : y ax b đường thẳng d : y kx l cx d d ax b x kx l c Phương trình hồnh độ giao điểm d C là: cx d g ( x ) Ax Bx C Bài toán biện luận số giao điểm hai đồ thị Trường hợp 1: Xét A Kết luận số giao điểm Trường hợp 2: Xét A +) d cắt C hai điểm phân biệt g x hai nghiệm phân biệt B AC d d khác d d c C g A B c c c +) d cắt C điểm g x có nghiệm kép khác d g x có hai nghiệm phân c g ( x ) g d c d biệt có nghiệm x c g ( x ) g d c g ( x) 0 d g ( x ) +) d không cắt C g x vơ nghiệm có nghiệm kép c g d c Bài tốn liên quan đến tính chất giao điểm Phần này, ta xét tốn mà có liên quan đến d cắt C hai điểm phân biệt Bước Tìm điều kiện để d cắt C hai điểm phân biệt B AC d g x có hai nghiệm phân biệt khác d 1 d d c g A B C c c c Bước Khi gọi A( x1 ; kx1 l ), B( x2 ; kx2 l ) tọa độ hai giao điểm B x x A Với x1 , x2 hai nghiệm phương trình g ( x) nên theo định lý Viet ta có C x x A Bước Theo u cầu tốn, ta tìm giá trị tham số ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án Chú ý: x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 AB S IAB xA xB y A yB d I ; AB AB uu r uur Tam giác IAB vuông I IA.IB x x A xB y I y A y B ; Trọng tâm tam giác IAB G I 3 Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng d : x y m cắt đồ thị hàm số y A x3 hai điểm phân biệt x 1 3 3 m 2 B m 3 m C 3 m m D m Lời giải Ta có: d : y x m x 3 x m Phương trình hồnh độ giao điểm là: 2 x 1 x 1 g x x (m 1) x m Để d cắt đồ thị hàm số y x3 điểm phân biệt g ( x) phải có nghiệm phân biệt x 1 m (m 1) 4(m 6) m2 6m 23 khác 1 Chọn D g (1) m Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y 2x m hai điểm phân biệt có hồnh độ dương x 1 A 2 m 1 B m 1 C m Lời giải Điều kiện: x Phương trình hồnh độ giao điểm x D 2 m 2x m x x m x 1 Để cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ dương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt 1 m m 2 S 2 m 1 2 m 1 Chọn A khác P m m 2 m 2 m 2 x 1 C đường thẳng d : y x m Gọi S tập hợp giá trị m để d x 1 Ví dụ 3: Cho hàm số y 2 cắt C điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 Tổng phần tử tập hợp S là: A – B C Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm C d D – x x 1 xm 1 x 1 g x x (m 2) x m Để đồ thị C cắt d điểm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt khác (m 2) 4(m 1) * Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) g (1) 2 x1 x2 m Theo Viet ta có: x1 x2 m m 2 2 Ta có: x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 (2 m) 2(m 1) m 2m (thỏa mãn (*)) m 1 Vậy S 3; 1 T Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số: y 2x 1 (C ) đường thẳng d : y x m Gọi S tập hợp giá trị m để x 1 d cắt C điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2 Tổng phần tử tập hợp S là: A B Phương trình hồnh độ giao điểm C d: C 10 Lời giải D -1 x 1 2x 1 2x m x 1 g ( x) x mx m Để đồ thị C cắt d điểm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt khác -1 m 8( m 1) (*) Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) g ( 1) m x1 x2 Theo Viet ta có: x x m 1 2 Khi x1 x2 1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 4 m m2 2(m 1) (t/m) 4 m 1 Vậy S 9; 1 T Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y x 1 (C ) đường thẳng d : y x m Số giá trị tham số m để d cắt (C) x2 điểm phân biệt A, B cho AB A B Phương trình hoành độ giao điểm C d: C Lời giải D x x 1 xm (1) x2 g ( x) x (m 3) x 2m Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt khác (m 3)2 4(2m 1) g (2) Khi gọi A( x1 ; x1 m); B ( x2 ; x2 m) tọa độ giao điểm x1 x2 m Theo Viet ta có: x1 x2 2m Ta có: AB ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 m (3 m) 4( 2m 1) 2( m2 m 13) m 2m ( t / m) m 3 Vậy m 3; m giá trị cần tìm Chọn A 2x 1 (C ) đường thẳng d : y x m Số giá trị m để d cắt (C) x 1 uuu r uuur điểm phân biệt A, B cho OA.OB 10 O gốc tọa độ Ví dụ 6: Cho hàm số y A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm C d: x 1 2x 1 2x m (1) x 1 g ( x) x mx m Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt khác -1 m 8(m 1) g (1) Khi gọi A( x1 ; x1 m); B ( x2 ; x2 m) tọa độ giao điểm m x1 x2 Theo Viet ta có: x x m 1 2 uuu r uuu r 5m m m 10 Khi OA.OB x1.x2 (2 x1 m)(2 x2 m) x1 x2 2m x1 x2 m m 3 t / m Vậy m 3 giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y x 1 (C ) đường thẳng d : y x m Gọi m giá trị để d cắt C điểm x2 phân biệt A, B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x y Tính độ dài AB B AB 10 A AB 2 C AB Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm C d: D AB 10 x x 1 x m (1) x2 g ( x ) x (m 1) x 2m Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt khác m 1 2m 1 g (1) Khi gọi A( x1 ; x1 m); B( x2 ; x2 m) tọa độ giao điểm x1 x2 m Theo Viet ta có: x1 x2 2m x1 x2 m xG m 1 m 1 3 G ; Gọi G trọng tâm tam giác OAB ta có y x1 m x2 m m G 3 Do điểm G x y nên ta có: m 1 m 1 m 0 t / m 3 Khi AB x1 x2 x1 x2 x1 x2 m 1 2m 1 10 AB 10 Chọn D 2 Ví dụ 8: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y 2mx m cắt đường x 1 thẳng d : y x hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích 3, với I (1;1) Tính tổng tất phần tử S A B – 10 C Lời giải D f x x 2(m 2) x m 2mx m x3 Phương trình hồnh độ giao điểm x 1 x 1 m m Hai đồ thị có giao điểm f 1 1 m m x A xB 2(m 2) 2 AB x A xB x A xB x A xB Khi x A xB m 8( m 2) 8(5 m) Mặt khác d I ; d 1 12 1 1 1 S ABC AB.d I ; d 8(m 2) 8(5 m) 2 2 m (m 2) (5 m) m2 3m m 3m 10 m 2 Kết hợp điều kiện (*) suy m = Chọn D Ví dụ 9: Cho hàm số y 2x 1 đường thằng d : y x m Gọi S tập hợp tất giá trị thực x 1 tham số m để d cắt C điểm phân biệt A, B cho SOAB O gốc tọa độ Tính tổng tất phần tử S A B Phương trình hồnh độ giao điểm C d: C Lời giải D x 2x 1 2x m (1) x 1 g ( x) x (m 4) x m Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt khác (m 4) m 1 g (1) 3 Khi gọi A( x1 ; x1 m); B ( x2 ; x2 m) tọa độ giao điểm m4 x1 x2 Theo Viet ta có: x x m 1 2 Ta có: AB ( x1 x2 ) (2 x1 x2 )2 5( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 m 24 d O; AB m Khi đó: SOAB 1 AB.d O; AB m m 24 4 m 24m 25 m m 25 m 1 t / m S 1 Chọn B Ví dụ 10: Cho hàm số y x 1 đường thằng y 2 x m Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số x 1 cho cắt điểm phân biệt A, B trung điểm AB có hồnh độ A B 11 C Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm C (d): D 10 x x 1 m 2x (*) x 1 2 x (m 1) x m Để đồ thị (C) cắt (d) điểm phân biệt (*) có hai nghiệm khác m (m 1) m 1 m 1 Khi gọi x A , xB hồnh độ hai giao điểm A, B suy x A xB m 1 m t / m Chọn C Ví dụ 11: Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị C hàm số y x hai điểm phân biệt x 1 A B cho hai điểm A, B cách đường thẳng : x y A m B m 5 C m Lời giải D m Để A, B cách đường thẳng : x y AB P trung điểm I AB thuộc Do AB d không song song với nên toán thỏa mãn trung điểm I AB thuộc x mx m * x x m Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x 1 x Hai đồ thị cắt hai điểm PT (*) có hai nghiệm phân biệt x (*) m A x A ; y A x x y yB m 4m I A B ; A Suy trung điểm AB 1 m m m B xB ; y B Hai điểm A, B cách đường thẳng : x y I xA xB y A yB xA xB xA xB 2m xA xB 4m m m m m Chọn D Kết hợp với điều kiện m Ví dụ 12: Số giá trị nguyên tham số m 20; 20 để đồ thị C hàm số y x3 cắt đường x 1 thẳng d : y x m hai điểm phân biệt A B thỏa mãn ¼ AOB tù, với O gốc tọa độ A 22 B 17 C 16 Lời giải D 23 Phương trình hồnh độ giao điểm xm x 1 x3 x 1 x 1 x m x 1 x g ( x) x mx m Ta có d cắt C điểm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt khác – m m 3 m m ¡ * g m m m ¡ Do A, B d A x1; x1 m , B x2 ; x2 m với x1 ; x2 nghiệm g ( x) x1 x2 m Theo hệ thức Viet, ta có x1 x2 m uuu r OA x1 ; x1 m uuu r uuu r OA.OB x1.x2 x1 m x1 m r Khi đó: uuu OB x2 ; x2 m x1 x2 m( x1 x2 ) m 2(m 3) m m 2(m 3) uuu r uuu r uuu r uuu r OA.OB · · Do AOB tù nên cos AOB OA.OB 2(m 3) m 3 OA.OB m ¢ có 23 giá trị m Chọn D Kết hợp m 20; 20 Ví dụ 13: Cho hàm số y 2x 1 (C ) đường thẳng d : y x m Gọi m giá trị để d cắt C x 1 3 điểm phân biệt A, B cho tam giác ABC cân C ;3 Tính d O; d đó: 4 A d B d C d D d Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d C : x 1 2x 1 2x m x 1 g ( x) x mx m g ( x ) m m 1 Để d cắt (C) điểm phân biệt g (1) m x1 x2 Khi gọi A( x1 ; x1 m); B ( x2 ; x2 m) theo Viet ta có: x x m 1 2 x x x x2 2m m m ; Trung điểm I AB I ; hay I 2 uur uuur m3 m m t / m Khi d O; d Giải IC.u AB Chọn A 2 Dạng 3: Sự tương giao đồ thị hàm số trùng phương Phương pháp giải: Xét tương giao đồ thị C : y ax bx c a trục hồnh có phương trình y Phương trình hồnh độ giao điểm C trục hoành ax bx c 1 Bài toán liên quan đến số giao điểm Số giao điểm đồ thị C trục hồnh số nghiệm phương trình (1) Đặt t x (1) thành at bt c 0(2) +) C cắt trục hoành điểm phân biệt (2) có nghiệm dương phân biệt b 4ac b t1 t2 a c t1.t2 a +) C cắt trục hoành điểm phân biệt (2) có nghiệm dương nghiệm C cắt trục hoành điểm phân biệt (2) có nghiệm kép dương (2) có hai nghiệm trái dấu +) C cắt trục hồnh điểm (2) có nghiệm kép (2) có nghiệm nghiệm âm +) C không cắt trục hồnh (2) vơ nghiệm, có nghiệm kép âm có nghiệm phân biệt âm Một số tốn thay trục hồnh thành d : y m ( P ) : y mx n , phương pháp giải hoàn toàn tương tự Bài toán liên quan đến tính chất giao điểm Tìm điều kiện để (C ) : y ax bx c a cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có nghiệm phân biệt b 4ac b (2) có nghiệm dương phân biệt t1 t2 t1 t2 (*) a c t1.t2 a Bước 2: Giả sử t1 t2 nghiệm (1) xếp theo thứ tự tăng dần t1 ; t2 ; t2 ; t1 , xử lý điều kiện tìm giá trị tham số Đặc biệt: Khi hoành độ điểm A, B, C, D lập thành cấp số cộng AB BC CD khi: t1 t2 t2 t1 t2 t1 9t2 Ví dụ 1: Số giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x x 2m cắt trục hoành điểm phân biệt là: A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm x x 2m 2 Đặt t x , t PT t 8t 2m * Phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t1 t2 (*) 16 (5 2m) 11 m Khi t1 t2 8 2 t t 5 m 1 Kết hợp m ¢ Có giá trị m Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y x m x có đồ thị Cm , với m tham số thực Tìm tập hợp T gồm tất giá trị tham số m để Cm cắt Ox bốn điểm phân biệt A T 0; B T 4; C T ;0 4; D T ;0 Lời giải t x t m t 0(*) Phương trình hồnh độ giao điểm x m x Đồ thị hàm số trục hồnh có giao điểm PT hồnh độ giáo điểm có nghiệm phân biệt m (*) (*) có hai nghiệm phân biệt t t1 t2 2( m 2) t t 4 1 m T ;0 Chọn D Ví dụ 3: Cho hàm số y x 2mx m 1 C Gọi S tập hợp giá trị m để C cắt trục Ox 4 4 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 x4 20 Tổng phần tử tập hợp (S) là: A B – C Lời giải D – Phương trình hồnh độ giao điểm C Ox x 2mx m 1 2 Đặt t x : 1 t 2mt m Để C cắt trục Ox điểm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt t1 t2 m m S 2m * Theo Viet: P m t1 t2 2m t1.t2 m Khi phương trình (1) có nghiệm t1 ; t2 ; t2 ; t1 Ta có: giả thiết tốn t12 t22 t22 t12 20 t12 t22 10 t1 t2 2t1t2 10 m 4m 2m 10 2m m m 3 Kết hợp (*) m giá trị cần tìm Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y x (2m 1) x C Gọi S tập hợp giá trị m để C cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn 1 1 4 4 x1 x2 x3 x4 Số phần tử tập hợp S là: A B C Lời giải D Phương trình hoành độ giao điểm C Ox x (2m 1) x 1 2 Đặt t x : 1 t (2m 1)t Để C cắt trục Ox điểm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt t1 t2 2m 1 S 2m * Theo Viet: P t1 t2 2m t1.t2 +) Khi phương trình (1) có nghiệm t1 ; t2 ; t2 ; t1 ta có: 1 1 t12 t22 t32 t 42 2 t12 t22 m 2 5 2 2 2 t t t t t t m 2 m 2 t1 t2 t12 t22 Kết hợp (*) m giá trị cần tìm Chọn B 4 Ví dụ 5: Cho hàm số: y x 2mx m C Gọi S tập hợp giá trị m để C cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn: x1 x2 x3 x4 Tổng phần tử tập hợp S là: A B 12 C 17 Lời giải D – 17 Phương trình hồnh độ giao điểm C Ox x 2mx m 1 2 Đặt t x : 1 t 2mt m Để C cắt trục Ox điểm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt t1 t2 m m S 2m * Theo Viet: P m t1 t2 2m t1.t2 m +) Khi phương trình (1) có nghiệm t1 ; t2 ; t2 ; t1 Ta có: giả thiết t1 t2 t2 t1 t1 t2 t1 t2 m t1 t2 t1t2 16 m 16 2m m m m5 m 17m 60 Vậy m = giá trị cần tìm Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y f x ax bx c có đồ thị hình vẽ Tập hợp giá trị thực m để đường thẳng d : y m cắt đồ thị hàm số y f x bốn điểm phân biệt cách 34 A ; 25 34 B 25 7 C 4 D 1; 2 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, suy y f x x x tx t 2t m * PT hoành độ giao điểm hai đồ thị x x m Hai đồ thị có giao điểm PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt (*) 1 m t t 1 m Suy t1 t2 t1.t2 m t t m 1 Giả sử t1 t2 , nghiệm PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn t1 ; t2 ; t2 ; t1 t1 t2 t1 ; t2 5 Theo đề ta có t1 t2 2 t2 t1 t2 t1 9t2 t1.t2 m t 9t t1.t2 m 1 m 1 34 m Chọn B 25 25 2 Ví dụ 7: Cho hàm số y x 2(2m 1) x 4m C Các giá trị tham số thực m để đồ thị C cắt trục 2 2 hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 x3 x4 A m B m D m C m 1 Lời giải tx t 2(2m 1)t 4m * PT hoành độ giao điểm hai đồ thị x 2(2m 1) x 4m Đồ thị cắt trục hoành điểm (*) có nghiệm dương phân biệt t1 t t t 1 (2m 1) 4m 2 m t1 x1 x2 2(2m 1) 4 2 4m t1 x3 x4 m0 m Chọn D Khi x x x x 2(t1 t2 ) 2m 1 m thỏa mãn m 2 2 4 2 Ví dụ 8: Cho hàm số y x (4m 2) x 2m 1 C Có giá trị m để C chia trục hoành thành đoạn phân biệt có độ dài A B C Lời giải D 2 Phương trình hồnh độ giao điểm C Ox x (4m 2) x 2m 1 2 Đặt t x : 1 t (4m 2)t 2m Để C cắt trục Ox điểm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt t1 t2 2m 1 2m 2m 4m S 4m * m P 2m t1 t2 4m Theo định lý Viet ta có: t1.t2 2m Khi PT (1) có điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là: t1 ; t2 ; t2 ; t1 Ta có: AB CD t1 t2 ; BC t2 AB BC CD t1 t t1 9t2 t1 t2 4m 2m 2m , t2 t1 5 2m 1 25 2m Giải hệ: t1 9t2 t1.t2 2m t1.t2 2m m m 18m t / m(*) Vậy m 2, m giá trị cần tìm Chọn C m 7 Dạng 4: Sự tương giao đồ thị hàm số bậc Phương pháp giải: Xét đồ thị C : y ax bx cx d a đường thẳng d : y kx l Hoành độ giao điểm y x m C nghiệm phương trình ax3 bx cx d kx l ax3 bx ( x k ) x d l (1) Số giao điểm d C nghiệm phương trình (1) Trường hợp 1: Phương trình (1) có nghiệm đẹp x xo x xo Khi (1) thành x xo Ax Bx C g ( x) Ax Bx C g ( x ) - Phương trình (1) có nghiệm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt khác xo g ( xo ) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình g ( x) tọa độ giao điểm d C là: A xo ; kxo l , B x1 ; kx1 l , C x2 ; kx2 l B x x A ( Định lý Viet) C x x A - Phương trình (1) có nghiệm phân biệt g ( x ) có nghiệm kép khác xo g ( x) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm xo nghiệm lại khác xo - Phương trình (1) có nghiệm g ( x ) vô nghiệm g ( x) có nghiệm kép x xo Trường hợp 2: Phương trình (1) khơng có nghiệm đẹp x xo cô lập tham số Khi ta biến đổi (1) thành ( x) h(m) Từ số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số y ( x ) y h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số y ( x ) Kết luận Ví dụ 1: Cho hàm số y x x 1 C Tìm giá trị tham số m để C cắt đường thẳng y mx điểm phân biệt 3 m A m 9 m B m 9 C m m D m Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x x3 3x mx x 3x mx g ( x) x 3x m 9 g ( x ) 8m m Chọn D ĐK cắt điểm phân biệt g (0) m m 2 Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y x x 2m 1 x m m cắt trục hoành ba điểm phân biệt A Không tồn m B m m C m 1, m Lời giải D m ¡ Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số C trục hoành x (1) x x 2m 1 x m2 m 2 f ( x) x 2m 1 x m m Đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh ba điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt f ( x) có hai nghiệm phân biệt 1 2m 1 m m m x2 m Chọn C f (2) 4 2m 1 m m m m Ví dụ 3: Số giá trị nguyên tham số m để m 10;10 đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số y x (m 2) x 2m ba điểm phân biệt A 10 B 11 C 12 Lời giải D 13 Phương trình hồnh độ giao điểm x3 (m 2) x 2m x x3 ( m 6) x 2m 0(*) x ( x 2)( x x m 2) f ( x) x x m Hai đồ thị có giao điểm PT (*) có ba nghiệm phân biệt, PT f ( x) có nghiệm 1 m m 3 phân biệt x f (2) 4 m m m 10;10 có 12 giá trị m Chọn C Kết hợp m ¢ Ví dụ 4: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số C : y x x 2mx m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ dương 4 A m 1; \ 3 4 4 B m ;0 1; ; 3 3 C m 1; D m 0; Lời giải x 2 Phương trình hồnh độ giao điểm x x 2mx m f ( x) x 2mx m C cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ dương PT f ( x ) có hai nghiệm x 0, x m m m x x 2m Suy m 1; x x m m f (2) 4 4m m 4 \ Chọn A 3 Ví dụ 5: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y x 3x (m 2) x m đồ thị hàm số y x có ba điểm chung phân biệt A m B m C m Lời giải D m Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x 3x (m 2) x m x x x mx m x 1 x x m * Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt pt (*) có ba nghiệm phân biệt Khi x x 1 x x m f ( x) x x m f (1) 1 m m m Chọn A Yêu cầu toán 1 m m f ( x ) Ví dụ 6: Cho hàm số y x 1 x mx C Số giá trị m thỏa mãn đồ thị C cắt trục Ox 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x1 x2 x3 10 A B C Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm C trục Ox là: x3 x 1 x mx 1 f ( x) x mx 1 D Đồ thị C cắt trục Ox điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt g( x) có nghiệm phân m m biệt nghiệm khác g (1) m x1 x2 m Khi cho x3 x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) Theo định lý Viet ta có: x1.x2 Theo đề ta có: x12 x22 x32 10 x1 x2 x1 x2 m m 11 m 11 t / m Vậy m 11 giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y x mx m 1 C Gọi mo giá trị m để đồ thị C cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: A A mo 2;0 B mo 0;3 1 Khi đó: x1 x2 x3 C mo 3;5 Lời giải D mo 5;7 Phương trình hồnh độ giao điểm C trục Ox là: x mx m x3 x3 m( x 1) ( x 1)( x x m) 1 g ( x) x x m Để đồ thị C cắt trục Ox điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt 4(1 m) 4m * g (1) m Khi gọi x3 x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) x1 x2 1 Theo Viet ta có: x1.x2 m Do A 1 x x 1 1 1 m tm x1 x2 x1 x2 1 m Vậy m = giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 8: Cho hàm số y x 2mx có đồ thị Cm , với m tham số thực Hỏi có tất giá trị nguyên m để Cm cắt đường thẳng d : y x ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa 2 mãn x1 x2 x3 20 A B Phương trình hồnh độ giao điểm C Lời giải D x x 2mx x x( x 2mx 1) 1 x 2mx Ta có d cắt Cm điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt khác m m¡ 0 2m.0 (*) x1 x2 2m Giả sử x3 x1 ; x2 nghiệm (1), theo Viet có x1.x2 1 2 2 Do x1 x2 x3 20 x1 x2 x1 x2 20 4m 20 m 3 m 2 Mà m ¢ m 2; 1;0 Chọn C Ví dụ 9: Cho hàm số y x x C đường thẳng d : y m( x 1) Gọi mo giá trị m để đồ thị C cắt đường thẳng d điểm phân biệt A; B; C cho điểm M ; 9 trung điểm đoạn AB C 1;0 Khi đó: B mo 0; A mo 1 C mo 4;7 Lời giải D mo 7; Phương trình hồnh độ giao điểm C đường thẳng d là: x x m x 1 x x 1 x x m x 1 x 1 x x m g ( x) x x m Đồ thị C cắt d điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt g ( x ) có nghiệm phân biệt 4m 4m (*) nghiệm khác g (1) 2 m x1 x2 1 Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) Theo định lý Viet ta có: x1.x2 m Ta có: A x1 ; m x1 1 ; B x2 ; m x1 1 , trung điểm AB x1 x2 1 x M 2 y m x1 1 m x2 1 m x1 x2 2m 3m M 2 3m 9 m tm Theo M ;0 nên Vậy m = giá trị cần tìm Chọn C Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng y mx m cắt đồ thị hàm số y x 3x x ba điểm A, B, C phân biệt cho AB = BC B m ; A m ;0 4; C m 2; D m ¡ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x x x m x 1 x 1 x 1 x x m g ( x) x x m Giả thiết toán B trung điểm AC hay g ( x) có nghiệm phân biệt x1 ; x1 thỏa mãn g ( x ) m x A xC xB x1 x2 g (1) 2 m m 2 Chọn C x x Ví dụ 11: Cho hàm số: y x m x m C đường thẳng d : y x Số giá trị nguyên m để 2 đồ thị C cắt đường y x m điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn A y1 y2 y3 83 A B 10 C 11 Lời giải D 12 Phương trình hồnh độ giao điểm C đường thẳng d là: x mx m x3 y3 x 1 x x m 1 g ( x ) x x m Đồ thị C cắt y x m điểm phân biệt 1 có nghiệm phân biệt g ( x ) có nghiệm 4(1 m) 4m m (*) phân biệt nghiệm khác g (1) 3 m m Khi cho x3 1; y3 x1 ; x2 nghiệm phương trình g ( x) x1 x2 1 Theo định lý Viet ta có: x1.x2 m 2 2 Theo đề ta có: A y1 y2 y3 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 11 2 A x1 x2 x1 x2 x1 x2 11 1 m 11 8m 83 m 10 Kết hợp (*) m ¢ có giá trị m Chọn A Ví dụ 12: Cho hàm số: y x mx C đường thẳng d : y 2mx Gọi mo giá trị m để d cắt C điểm phân biệt A, B, C cho trọng tâm tam giác OAB G ;8 C điểm có hoành độ xC O gốc tọa độ Khi A mo 5; 2 B mo 1;3 C mo 3;6 Lời giải D mo 6; Phương trình hồnh độ giao điểm C d là: x mx 2mx x C 2; 4m x x2 x m x x x x m 1 g ( x) x x m Để đồ thị C cắt đường thẳng d điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt m m (*) g 12 m x1 x2 2 Khi gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình g ( x) Theo Viet ta có: x1.x2 m x1 x2 2 xo 3 Gọi A x1 ; 2mx1 ; B x2 ; 2mx2 ta có: y 2mx1 2mx2 2m x1 x2 o 3 4m 4m m 4(tm) Do G ; Cho Vậy m 4 giá trị cần tìm Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y x3 x (2m 3) x(6m 7) 4m đường thẳng d : y x Gọi S tập hợp giá trị thực m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A, B, C cho x A diện tích tam giác OBC A T = , với O gốc tọa độ Tổng phần tử tập hợp S là: B T = C T 2 Lời giải D T = Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị x3 x (2m 3) x(6m 7) 4m x x3 (2m 3) x (6m 6) x 4m x 1 x 2m x 4m x 1 xA f ( x) x 2m x 4m 0(*) x 2m x 4m Hai đồ thị có ba giao điểm (*) có hai nghiệm phân biệt x m m m xB xC m 1 f (1) Suy m3 (*) m 1 m 1 xB xC m 1 m 1 xB xC Ta có BC yB yC xB xC xB xC xB xC m 1 32 m 1 Mặt khác d O; d Suy S OBC 2 12 1 m 2 1 d O; d BC m 1 32 m 1 m 2; 4 t / m 2 m Vậy T Chọn A ... hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x 3x x x x 3x x 1 x x2 đồ thị hàm số có giao điểm Chọn D x 2 x Ví dụ 5: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y ... trị tham số m cho đồ thị hàm số y x 3x (m 2) x m đồ thị hàm số y x có ba điểm chung phân biệt A m B m C m Lời giải D m Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số ... dụ 11: Đồ thị hàm số y x 3x x cắt đồ thị hàm số y x 3x hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB A AB B AB 2 C AB Lời giải D AB Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x3