Bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 7 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Dạng 1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị Phương pháp giải Cho 2 hàm số và có đồ thị.

CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị Phương pháp giải: Cho hàm số y  f ( x) y  g ( x) có đồ thị  C   C   :  Lập phương trình hồnh độ giao điểm  C   C   f ( x)  g ( x)    Giải phương trình tìm x thay vào f ( x) g ( x) để suy y tọa độ giao điểm  Số nghiệm phương trình   số giao điểm  C   C   Ví dụ 1: [Đề minh họa THPT QG năm 2017] Biết đường thẳng y  2 x  cắt đồ thị hàm số y  x  x  điểm nhất; ký hiệu  xo ; yo  tọa độ điểm Tìm yo A yo  B yo  C yo  Lời giải D yo  1 Phương trình hồnh độ giao điểm là: 2 x   x  x   x  x   x   y  Vậy tọa độ giao điểm  0;  Chọn C Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y  x  x  đường thẳng y  cắt hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  Tính x1  x2 A x1  x2  B x1  x2  C x1  x2  18 Lời giải D x1  x2  Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là:  x  1 x  x  x  3x    x  x      x2      x1  x2   x   x  2  x2  2 Chọn B Ví dụ 3: Hỏi đồ thị hàm số y  x  x  x  đồ thị hàm số y  x  x  có tất điểm chung? A B C Lời giải D Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số x3  x  x   x  x   x3  x      ( x  1) x  x    x    x  Suy hai đồ thị có điểm chung Chọn C Ví dụ 4: Số giao điểm đồ thị hai hàm số y  x  x  y  x  x  A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x  3x   x  x   x  3x    x  1 x    x2     đồ thị hàm số có giao điểm Chọn D  x  2  x  Ví dụ 5: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y  A B x2  2x  với đường thằng y  x  x 1 C Lời giải D Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị  C  đường thẳng  d  x2  x   3x  x 1 x 1  x  x        x  x   ( x  1)(3x  6)  x  x   3x  x  2 x  x   Hệ phương trình   có hai nghiệm phân biệt nên  C  cắt  d  hai điểm Chọn D Ví dụ 6: Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y   x  1 A  x  x  B   x  3 2x 1  C  đường thẳng d : y  x  x2 x  1 C   x   Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  C   d   x  1 D   x  3  x  2 2x 1  x2  x2 2 x   x   x  2  x  2  x  1      x  1   Chọn A x  x  2x    x   Ví dụ 7: Biết đường thẳng y  x  cắt đồ thị hàm số y  4x  hai điểm phân biệt có tung độ y1 x 1 y2 Tính y1  y2 A y1  y2  10 B y1  y2  11 C y1  y2  Lời giải D y1  y2   x2  x    x  1 4x   x    Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị  x 1 x  x   x1  1  y1    y1  y2  11 Chọn B Ta có:   x2   y2  10 Ví dụ 8: Gọi A, B giao điểm hai đồ thị hàm số y  x3 y   x Diện tích tam giác OAB x 1 bằng: A 2 B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x   x  1  y  x 3  1 x    x 1  x   y  1 x  x   Khi AB    d  O; AB   d  O; d : x  y     Do SOAB  1 d  O; AB  AB   Chọn C 2 2 Ví dụ 9: Đồ thị hàm số y  x  x đồ thị hàm số y   cắt hai điểm A B Khi độ dài x AB B AB  25 A AB  C AB  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x  x   D AB  10 x   x  x  x  5x   x   y   A(3;6)    AB  Chọn C  x  1  y   B(1; 2) Ví dụ 10: Gọi M, N giao điểm đường thẳng y  x  đường cong y  2x  Khi hồnh độ x 1 trung điểm I đoạn thẳng MN A B  C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x  1 2x   x   x2  2x     x 1  x    x    M  xI  Chọn C  xN   Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y  x  3x  x  cắt đồ thị hàm số y  x  3x  hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB A AB  B AB  2 C AB  Lời giải D AB  Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x3  x  x   x  x   x3  x  x     x  1 x   A(1; 1)   AB  Chọn D  x   B(2; 1)  x  2    Dạng 2: Sự tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc bậc Phương pháp giải: Xét tương giao đồ thị  C  : y  ax  b đường thẳng d : y  kx  l cx  d d  ax  b x    kx  l   c   Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  là: cx  d  g ( x )  Ax  Bx  C    Bài toán biện luận số giao điểm hai đồ thị  Trường hợp 1: Xét A   Kết luận số giao điểm  Trường hợp 2: Xét A  +) d cắt  C  hai điểm phân biệt  g  x   hai nghiệm phân biệt   B  AC  d     d  khác d  d  c C  g    A    B c  c    c  +) d cắt  C  điểm  g  x  có nghiệm kép khác d g  x  có hai nghiệm phân c   g ( x )     g  d      c   d  biệt có nghiệm x  c   g ( x )     g  d      c     g ( x)   0  d    g ( x ) +) d không cắt  C   g  x  vơ nghiệm có nghiệm kép c   g  d      c   Bài tốn liên quan đến tính chất giao điểm Phần này, ta xét tốn mà có liên quan đến d cắt  C  hai điểm phân biệt Bước Tìm điều kiện để d cắt  C  hai điểm phân biệt   B  AC  d   g  x   có hai nghiệm phân biệt khác    d   1  d d   c g  A  B  C       c  c    c  Bước Khi gọi A( x1 ; kx1  l ), B( x2 ; kx2  l ) tọa độ hai giao điểm B  x  x    A Với x1 , x2 hai nghiệm phương trình g ( x)  nên theo định lý Viet ta có  C x x   A Bước Theo u cầu tốn, ta tìm giá trị tham số ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án Chú ý:  x12  x22   x1  x2   x1 x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2  AB   S IAB   xA  xB    y A  yB  d  I ; AB  AB uu r uur  Tam giác IAB vuông I  IA.IB   x  x A  xB y I  y A  y B  ;  Trọng tâm tam giác IAB G  I  3   Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng  d  : x  y  m  cắt đồ thị hàm số y A x3 hai điểm phân biệt x 1 3 3 m 2 B   m    3 m  C   3 m   m   D   m   Lời giải Ta có: d : y  x m x 3 x  m   Phương trình hồnh độ giao điểm là: 2 x 1  x  1   g  x   x  (m  1) x  m   Để d cắt đồ thị hàm số y  x3 điểm phân biệt g ( x)  phải có nghiệm phân biệt x 1 m     (m  1)  4(m  6)   m2  6m  23    khác 1   Chọn D  g (1)    m   Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đường thẳng y  x  cắt đồ thị hàm số y 2x  m hai điểm phân biệt có hồnh độ dương x 1 A 2  m  1 B m  1 C m  Lời giải Điều kiện: x  Phương trình hồnh độ giao điểm x   D 2  m  2x  m  x  x  m     x 1 Để cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ dương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt    1  m   m  2 S  2       m  1  2  m  1 Chọn A khác   P   m     m  2  m  2 m  2 x 1  C  đường thẳng d : y  x  m Gọi S tập hợp giá trị m để d x 1 Ví dụ 3: Cho hàm số y  2 cắt  C  điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Tổng phần tử tập hợp S là: A – B C Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d D –  x  x 1  xm    1 x 1  g  x   x  (m  2) x  m   Để đồ thị  C  cắt d điểm phân biệt  g ( x )  có nghiệm phân biệt khác   (m  2)  4(m  1)    * Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x)   g (1)  2   x1  x2   m Theo Viet ta có:   x1 x2   m  m  2 2 Ta có: x1  x2  ( x1  x2 )  x1 x2  (2  m)  2(m  1)  m  2m     (thỏa mãn (*))  m  1 Vậy S   3; 1  T  Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số: y  2x 1 (C ) đường thẳng d : y  x  m Gọi S tập hợp giá trị m để x 1 d cắt  C  điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Tổng phần tử tập hợp S là: A B Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d: C 10 Lời giải D -1  x  1 2x 1  2x  m   x 1  g ( x)  x  mx  m   Để đồ thị  C  cắt d điểm phân biệt  g ( x )  có nghiệm phân biệt khác -1   m  8( m  1)   (*) Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x)  g (  1)    m   x1  x2  Theo Viet ta có:  x x  m 1  2 Khi x1  x2   1  ( x1  x2 )   ( x1  x2 )  x1 x2  4 m  m2  2(m  1)    (t/m) 4  m  1 Vậy S   9; 1  T  Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y  x 1 (C ) đường thẳng d : y  x  m Số giá trị tham số m để d cắt (C) x2 điểm phân biệt A, B cho AB  A B Phương trình hoành độ giao điểm  C  d: C Lời giải D x  x 1  xm  (1) x2  g ( x)  x  (m  3) x  2m   Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt  g ( x )  có nghiệm phân biệt khác   (m  3)2  4(2m  1)     g (2)     Khi gọi A( x1 ; x1  m); B ( x2 ; x2  m) tọa độ giao điểm  x1  x2   m Theo Viet ta có:   x1 x2  2m  Ta có: AB  ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  ( x1  x2 )   ( x1  x2 )  x1 x2  m   (3  m)  4( 2m  1)   2( m2  m  13)   m  2m     ( t / m)  m  3 Vậy m  3; m  giá trị cần tìm Chọn A 2x 1 (C ) đường thẳng d : y  x  m Số giá trị m để d cắt (C) x 1 uuu r uuur điểm phân biệt A, B cho OA.OB  10 O gốc tọa độ Ví dụ 6: Cho hàm số y  A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d:  x  1 2x 1  2x  m   (1) x 1  g ( x)  x  mx  m   Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt  g ( x )  có nghiệm phân biệt khác -1   m  8(m  1)      g (1)   Khi gọi A( x1 ; x1  m); B ( x2 ; x2  m) tọa độ giao điểm m   x1  x2  Theo Viet ta có:  x x  m 1  2 uuu r uuu r 5m   m  m  10 Khi OA.OB  x1.x2  (2 x1  m)(2 x2  m)  x1 x2  2m  x1  x2   m   m  3  t / m  Vậy m  3 giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y  x 1 (C ) đường thẳng d : y   x  m Gọi m giá trị để d cắt  C  điểm x2 phân biệt A, B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x  y  Tính độ dài AB B AB  10 A AB  2 C AB  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d: D AB  10 x  x 1  x  m   (1) x2  g ( x )  x  (m  1) x  2m   Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt  g ( x )  có nghiệm phân biệt khác    m  1   2m  1     g (1)     Khi gọi A( x1 ;  x1  m); B( x2 ;  x2  m) tọa độ giao điểm  x1  x2  m  Theo Viet ta có:   x1 x2  2m  x1  x2  m     xG   m 1 m 1  3  G ; Gọi G trọng tâm tam giác OAB ta có      y   x1  m  x2  m   m   G 3 Do điểm G  x  y  nên ta có: m 1 m 1    m  0 t / m 3 Khi AB   x1  x2    x1  x2   x1 x2   m  1   2m  1  10  AB  10 Chọn D 2 Ví dụ 8: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  2mx  m  cắt đường x 1 thẳng d : y  x  hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích 3, với I (1;1) Tính tổng tất phần tử S A B – 10 C Lời giải D  f  x   x  2(m  2) x   m  2mx  m   x3  Phương trình hồnh độ giao điểm x 1  x  1  m      m         Hai đồ thị có giao điểm   f  1  1   m     m   x A  xB  2(m  2) 2  AB   x A  xB    x A  xB   x A xB Khi   x A xB   m  8( m  2)  8(5  m) Mặt khác d  I ; d   1   12   1  1 1  S ABC  AB.d  I ; d   8(m  2)  8(5  m) 2 2 m   (m  2)  (5  m)  m2  3m    m  3m  10     m  2 Kết hợp điều kiện (*) suy m = Chọn D Ví dụ 9: Cho hàm số y  2x 1 đường thằng d : y  x  m Gọi S tập hợp tất giá trị thực x 1 tham số m để d cắt  C  điểm phân biệt A, B cho SOAB  O gốc tọa độ Tính tổng tất phần tử S A B Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d: C Lời giải D x  2x 1  2x  m   (1) x 1  g ( x)  x  (m  4) x  m   Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt  g ( x )  có nghiệm phân biệt khác   (m  4)   m  1      g (1)  3  Khi gọi A( x1 ; x1  m); B ( x2 ; x2  m) tọa độ giao điểm m4   x1  x2  Theo Viet ta có:  x x  m 1  2 Ta có: AB  ( x1  x2 )  (2 x1  x2 )2  5( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2   m  24   d  O; AB   m Khi đó: SOAB   1 AB.d  O; AB   m m  24  4    m  24m  25  m  m  25   m  1 t / m   S   1 Chọn B Ví dụ 10: Cho hàm số y  x 1 đường thằng y  2 x  m Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số x 1 cho cắt điểm phân biệt A, B trung điểm AB có hồnh độ A B 11 C Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm  C  (d): D 10 x  x 1  m  2x   (*) x 1 2 x  (m  1) x  m   Để đồ thị (C) cắt (d) điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm khác m   (m  1)   m  1     m  1 Khi gọi x A , xB hồnh độ hai giao điểm A, B suy x A  xB   m 1  m   t / m Chọn C Ví dụ 11: Tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt đồ thị  C  hàm số y  x hai điểm phân biệt x 1 A B cho hai điểm A, B cách đường thẳng  : x  y   A m  B m  5 C m  Lời giải D m  Để A, B cách đường thẳng  : x  y   AB P trung điểm I AB thuộc  Do AB  d không song song với  nên toán thỏa mãn trung điểm I AB thuộc   x  mx  m   * x   x  m  Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị  x 1  x  Hai đồ thị cắt hai điểm PT (*) có hai nghiệm phân biệt x   (*)   m   A  x A ; y A   x  x y  yB   m  4m     I A B ; A Suy   trung điểm AB   1  m  m  m   B  xB ; y B  Hai điểm A, B cách đường thẳng  : x  y    I     xA  xB    y A  yB      xA  xB     xA  xB  2m      xA  xB   4m     m   m  m   m  Chọn D Kết hợp với điều kiện  m  Ví dụ 12: Số giá trị nguyên tham số m   20; 20 để đồ thị  C  hàm số y  x3 cắt đường x 1 thẳng d : y  x  m hai điểm phân biệt A B thỏa mãn ¼ AOB tù, với O gốc tọa độ A 22 B 17 C 16 Lời giải D 23 Phương trình hồnh độ giao điểm xm   x  1 x3  x  1   x 1  x  m   x  1  x   g ( x)  x  mx  m   Ta có d cắt  C  điểm phân biệt  g ( x ) có nghiệm phân biệt khác –   m   m  3   m        m  ¡  * g     m   m   m  ¡          Do A, B  d  A  x1; x1  m  , B  x2 ; x2  m  với x1 ; x2 nghiệm g ( x)   x1  x2  m Theo hệ thức Viet, ta có   x1 x2   m  uuu r OA   x1 ; x1  m  uuu r uuu r  OA.OB  x1.x2   x1  m   x1  m  r Khi đó:  uuu OB   x2 ; x2  m   x1 x2  m( x1  x2 )  m  2(m  3)  m  m  2(m  3) uuu r uuu r uuu r uuu r OA.OB · · Do AOB tù nên cos AOB    OA.OB   2(m  3)   m  3 OA.OB  m  ¢  có 23 giá trị m Chọn D Kết hợp   m   20; 20 Ví dụ 13: Cho hàm số y  2x 1 (C ) đường thẳng d : y  x  m Gọi m giá trị để d cắt  C  x 1 3  điểm phân biệt A, B cho tam giác ABC cân C  ;3  Tính d  O; d  đó: 4  A d  B d  C d  D d  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  :  x  1 2x 1  2x  m   x 1  g ( x)  x  mx  m    g ( x )  m   m  1  Để d cắt (C) điểm phân biệt    g (1)   m   x1  x2   Khi gọi A( x1 ; x1  m); B ( x2 ; x2  m) theo Viet ta có:  x x  m 1  2  x  x x  x2  2m   m m  ;  Trung điểm I AB I  ;  hay I     2 uur uuur m3 m        m   t / m  Khi d  O; d   Giải IC.u AB   Chọn A 2   Dạng 3: Sự tương giao đồ thị hàm số trùng phương Phương pháp giải: Xét tương giao đồ thị  C  : y  ax  bx  c  a   trục hồnh có phương trình y  Phương trình hồnh độ giao điểm  C  trục hoành ax  bx  c   1  Bài toán liên quan đến số giao điểm Số giao điểm đồ thị  C  trục hồnh số nghiệm phương trình (1) Đặt t  x  (1) thành at  bt  c  0(2) +)  C  cắt trục hoành điểm phân biệt  (2) có nghiệm dương phân biệt    b  4ac   b   t1  t2    a  c  t1.t2  a  +)  C  cắt trục hoành điểm phân biệt  (2) có nghiệm dương nghiệm  C cắt trục hoành điểm phân biệt  (2) có nghiệm kép dương (2) có hai nghiệm trái dấu +)  C  cắt trục hồnh điểm  (2) có nghiệm kép (2) có nghiệm nghiệm âm +)  C  không cắt trục hồnh  (2) vơ nghiệm, có nghiệm kép âm có nghiệm phân biệt âm Một số tốn thay trục hồnh thành d : y  m ( P ) : y  mx  n , phương pháp giải hoàn toàn tương tự  Bài toán liên quan đến tính chất giao điểm Tìm điều kiện để (C ) : y  ax  bx  c  a   cắt trục hoành bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có nghiệm phân biệt    b  4ac   b   (2) có nghiệm dương phân biệt t1 t2  t1  t2    (*) a  c  t1.t2  a  Bước 2: Giả sử t1  t2  nghiệm (1) xếp theo thứ tự tăng dần  t1 ;  t2 ; t2 ; t1 , xử lý điều kiện tìm giá trị tham số Đặc biệt: Khi hoành độ điểm A, B, C, D lập thành cấp số cộng AB  BC  CD khi: t1  t2  t2  t1  t2  t1  9t2 Ví dụ 1: Số giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y  x  x   2m cắt trục hoành điểm phân biệt là: A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm x  x   2m  2 Đặt t  x , t   PT  t  8t   2m   * Phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn t1  t2   (*)  16  (5  2m)  11    m Khi t1  t2   8  2 t t  5  m   1 Kết hợp m  ¢  Có giá trị m Chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y  x   m   x  có đồ thị  Cm  , với m tham số thực Tìm tập hợp T gồm tất giá trị tham số m để  Cm  cắt Ox bốn điểm phân biệt A T   0;  B T   4;   C T   ;0    4;   D T   ;0  Lời giải t x  t   m   t   0(*) Phương trình hồnh độ giao điểm x   m   x    Đồ thị hàm số trục hồnh có giao điểm PT hồnh độ giáo điểm có nghiệm phân biệt  m      (*)     (*) có hai nghiệm phân biệt t   t1  t2   2( m  2)  t t  4  1   m   T   ;0  Chọn D Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  2mx  m  1 C  Gọi S tập hợp giá trị m để  C  cắt trục Ox 4 4 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1  x2  x3  x4  20 Tổng phần tử tập hợp (S) là: A B – C Lời giải D – Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x  2mx  m    1 2 Đặt t  x :  1  t  2mt  m     Để  C  cắt trục Ox điểm phân biệt  (2) có nghiệm phân biệt t1  t2     m  m      S  2m   * Theo Viet: P  m    t1  t2  2m  t1.t2  m  Khi phương trình (1) có nghiệm  t1 ;  t2 ; t2 ; t1 Ta có: giả thiết tốn  t12  t22  t22  t12  20  t12  t22  10   t1  t2   2t1t2  10 m   4m  2m   10  2m  m      m  3 Kết hợp (*)  m  giá trị cần tìm Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  (2m  1) x   C  Gọi S tập hợp giá trị m để  C  cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn 1 1  4 4  x1 x2 x3 x4 Số phần tử tập hợp S là: A B C Lời giải D Phương trình hoành độ giao điểm  C  Ox x  (2m  1) x    1 2 Đặt t  x :  1  t  (2m  1)t     Để  C  cắt trục Ox điểm phân biệt  (2) có nghiệm phân biệt t1  t2     2m  1      S  2m    * Theo Viet: P    t1  t2  2m   t1.t2  +) Khi phương trình (1) có nghiệm  t1 ;  t2 ; t2 ; t1 ta có:   1 1     t12 t22 t32 t 42 2 t12  t22 m  2 5 2 2  2     t  t   t  t  t t   m        2  m  2 t1 t2 t12 t22  Kết hợp (*)  m  giá trị cần tìm Chọn B 4 Ví dụ 5: Cho hàm số: y  x  2mx  m   C  Gọi S tập hợp giá trị m để  C  cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn: x1  x2  x3  x4  Tổng phần tử tập hợp S là: A B 12 C 17 Lời giải D – 17 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x  2mx  m    1 2 Đặt t  x :  1  t  2mt  m     Để  C  cắt trục Ox điểm phân biệt  (2) có nghiệm phân biệt t1  t2     m  m      S  2m   * Theo Viet: P  m    t1  t2  2m  t1.t2  m  +) Khi phương trình (1) có nghiệm  t1 ;  t2 ; t2 ; t1 Ta có: giả thiết   t1   t2  t2  t1     t1  t2   t1  t2  m   t1  t2  t1t2  16  m   16  2m  m    m   m5 m  17m  60  Vậy m = giá trị cần tìm Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Tập hợp giá trị thực m để đường thẳng d : y   m  cắt đồ thị hàm số y  f  x  bốn điểm phân biệt cách  34  A  ;   25   34  B    25  7  C   4 D  1; 2 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, suy y  f  x   x  x  tx  t  2t  m    * PT hoành độ giao điểm hai đồ thị x  x   m   Hai đồ thị có giao điểm PT (*) có hai nghiệm dương phân biệt (*)  1  m   t  t    1 m    Suy  t1  t2     t1.t2  m  t t  m    1 Giả sử t1  t2 , nghiệm PT ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn  t1 ;  t2 ; t2 ; t1 t1  t2    t1  ; t2  5 Theo đề ta có  t1  t2  2 t2  t1  t2  t1  9t2  t1.t2  m    t  9t t1.t2  m  1  m 1  34 m Chọn B 25 25 2 Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  2(2m  1) x  4m  C  Các giá trị tham số thực m để đồ thị  C  cắt trục 2 2 hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1  x2  x3  x4  A m   B m   D m  C m  1 Lời giải tx  t  2(2m  1)t  4m   * PT hoành độ giao điểm hai đồ thị x  2(2m  1) x  4m       Đồ thị cắt trục hoành điểm  (*) có nghiệm dương phân biệt t1  t  t t  1 (2m  1)  4m   2  m   t1  x1  x2  2(2m  1)   4 2  4m   t1  x3  x4 m0    m   Chọn D Khi x  x  x  x  2(t1  t2 )   2m  1   m  thỏa mãn   m  2 2 4 2 Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  (4m  2) x  2m  1 C  Có giá trị m để  C  chia trục hoành thành đoạn phân biệt có độ dài A B C Lời giải D 2 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox x  (4m  2) x  2m    1 2 Đặt t  x :  1  t  (4m  2)t  2m     Để  C  cắt trục Ox điểm phân biệt  (2) có nghiệm phân biệt t1  t2     2m  1  2m     2m  4m    S   4m      * m      P  2m   t1  t2  4m  Theo định lý Viet ta có:  t1.t2  2m  Khi PT (1) có điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là:  t1 ;  t2 ; t2 ; t1 Ta có: AB  CD  t1  t2 ; BC  t2  AB  BC  CD  t1  t  t1  9t2 t1  t2  4m  2m  2m   , t2   t1   5   2m  1  25 2m  Giải hệ: t1  9t2   t1.t2  2m  t1.t2  2m    m   m  18m     t / m(*)  Vậy m  2, m   giá trị cần tìm Chọn C m  7  Dạng 4: Sự tương giao đồ thị hàm số bậc Phương pháp giải: Xét đồ thị  C  : y  ax  bx  cx  d  a   đường thẳng d : y  kx  l Hoành độ giao điểm y  x  m  C  nghiệm phương trình ax3  bx  cx  d  kx  l  ax3  bx  ( x  k ) x  d  l  (1)  Số giao điểm d  C  nghiệm phương trình (1)  Trường hợp 1: Phương trình (1) có nghiệm đẹp x  xo  x  xo Khi (1) thành  x  xo  Ax  Bx  C     g ( x)  Ax  Bx  C      g ( x )  - Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  g ( x )  có nghiệm phân biệt khác xo    g ( xo )  Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình g ( x)  tọa độ giao điểm d  C  là: A  xo ; kxo  l  , B  x1 ; kx1  l  , C  x2 ; kx2  l  B  x  x   A  ( Định lý Viet) C  x x   A - Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  g ( x )  có nghiệm kép khác xo g ( x)  có hai nghiệm phân biệt, nghiệm xo nghiệm lại khác xo - Phương trình (1) có nghiệm  g ( x )  vô nghiệm g ( x)  có nghiệm kép x  xo  Trường hợp 2: Phương trình (1) khơng có nghiệm đẹp x  xo cô lập tham số Khi ta biến đổi (1) thành  ( x)  h(m) Từ số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số y   ( x ) y  h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số y   ( x )  Kết luận Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  x  1 C  Tìm giá trị tham số m để  C  cắt đường thẳng y  mx  điểm phân biệt 3  m  A   m  9  m  B   m  9 C m   m   D   m  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x  x3  3x   mx   x  3x  mx     g ( x)  x  3x  m  9    g ( x )   8m  m   Chọn D ĐK cắt điểm phân biệt    g (0)   m  m  2 Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y   x    x   2m  1 x  m  m  cắt trục hoành ba điểm phân biệt A Không tồn m B m  m  C m  1, m  Lời giải D m  ¡ Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  C  trục hoành x  (1)   x    x   2m  1 x  m2  m     2  f ( x)  x   2m  1 x  m  m  Đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh ba điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt  f ( x)  có hai nghiệm phân biệt 1   2m  1  m  m    m   x2   m    Chọn C  f (2)  4   2m  1  m  m  m   m     Ví dụ 3: Số giá trị nguyên tham số m để m   10;10 đường thẳng y  x  cắt đồ thị hàm số y  x  (m  2) x  2m  ba điểm phân biệt A 10 B 11 C 12 Lời giải D 13 Phương trình hồnh độ giao điểm x3  (m  2) x  2m   x   x3  ( m  6) x  2m   0(*) x  ( x  2)( x  x  m  2)     f ( x)  x  x  m   Hai đồ thị có giao điểm PT (*) có ba nghiệm phân biệt, PT f ( x)  có nghiệm    1  m    m  3   phân biệt x     f (2)  4   m   m   m   10;10  có 12 giá trị m Chọn C Kết hợp   m  ¢   Ví dụ 4: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số  C  : y   x   x  2mx  m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ dương 4 A m   1;   \   3  4 4  B m   ;0   1;   ;    3 3  C m   1;   D m   0;   Lời giải x  2 Phương trình hồnh độ giao điểm  x   x  2mx  m     f ( x)  x  2mx  m    C  cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ dương  PT f ( x )  có hai nghiệm x  0, x  m  m      m  x  x    2m     Suy   m   1;   x x  m  m      f (2)  4  4m  m  4 \   Chọn A 3 Ví dụ 5: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y  x  3x  (m  2) x  m đồ thị hàm số y  x  có ba điểm chung phân biệt A m  B m  C m  Lời giải D m  Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số   x  3x  (m  2) x  m  x   x  x  mx  m     x  1 x  x  m    *  Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt pt (*) có ba nghiệm phân biệt Khi x   x  1  x  x  m       f ( x)  x  x  m    f (1)  1   m   m     m  Chọn A Yêu cầu toán   1  m   m  f ( x )    Ví dụ 6: Cho hàm số y   x  1 x  mx   C  Số giá trị m thỏa mãn đồ thị  C  cắt trục Ox 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x1  x2  x3  10 A B C Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  C  trục Ox là:  x3   x  1  x  mx  1     f ( x)  x  mx    1 D Đồ thị  C  cắt trục Ox điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt  g( x)  có nghiệm phân   m   m    biệt nghiệm khác    g (1)  m    x1  x2   m Khi cho x3  x1 ; x2 nghiệm PT g ( x)  Theo định lý Viet ta có:   x1.x2  Theo đề ta có: x12  x22  x32  10   x1  x2   x1 x2   m    m  11  m   11  t / m  Vậy m   11 giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  mx  m  1 C  Gọi mo giá trị m để đồ thị  C  cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: A  A mo   2;0  B mo   0;3 1    Khi đó: x1 x2 x3 C mo   3;5  Lời giải D mo   5;7  Phương trình hồnh độ giao điểm  C  trục Ox là: x  mx  m    x3  x3   m( x  1)   ( x  1)( x  x   m)     1  g ( x)  x  x   m  Để đồ thị  C  cắt trục Ox điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt    4(1  m)  4m     *  g (1)   m  Khi gọi x3  x1 ; x2 nghiệm PT g ( x)   x1  x2  1 Theo Viet ta có:   x1.x2   m Do A  1 x x 1  1  1     m   tm  x1 x2 x1 x2 1 m Vậy m = giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  2mx  có đồ thị  Cm  , với m tham số thực Hỏi có tất giá trị nguyên m để  Cm  cắt đường thẳng d : y  x  ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa 2 mãn x1  x2  x3  20 A B Phương trình hồnh độ giao điểm C Lời giải D x  x  2mx   x   x( x  2mx  1)     1  x  2mx   Ta có d cắt  Cm  điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt khác   m     m¡ 0  2m.0   (*)  x1  x2  2m Giả sử x3  x1 ; x2 nghiệm (1), theo Viet có   x1.x2  1 2 2 Do x1  x2  x3  20   x1  x2   x1 x2  20  4m   20  m  3  m 2 Mà m  ¢  m   2; 1;0 Chọn C Ví dụ 9: Cho hàm số y  x  x  C  đường thẳng d : y  m( x  1) Gọi mo giá trị m để đồ thị  C    cắt đường thẳng d điểm phân biệt A; B; C cho điểm M   ; 9  trung điểm đoạn AB   C  1;0  Khi đó: B mo   0;  A mo  1 C mo   4;7  Lời giải  D mo   7;    Phương trình hồnh độ giao điểm  C  đường thẳng d là: x x   m  x  1  x    x  1 x  x  m  x  1    x  1 x  x  m     g ( x)  x  x  m      Đồ thị  C  cắt d điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt  g ( x )  có nghiệm phân biệt    4m   4m    (*) nghiệm khác    g (1)  2  m   x1  x2  1 Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x)  Theo định lý Viet ta có:   x1.x2  m Ta có: A  x1 ; m  x1  1  ; B  x2 ; m  x1  1  , trung điểm AB x1  x2 1  x   M  2   y  m  x1  1  m  x2  1  m  x1  x2   2m  3m  M 2 3m    9  m   tm  Theo M   ;0  nên   Vậy m = giá trị cần tìm Chọn C Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng y  mx  m  cắt đồ thị hàm số y  x  3x  x  ba điểm A, B, C phân biệt cho AB = BC   B m    ;     A m   ;0   4;   C m   2;   D m  ¡ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x  x  x   m  x  1  x 1  x  1  x  x   m      g ( x)  x  x   m  Giả thiết toán B trung điểm AC hay g ( x)  có nghiệm phân biệt x1 ; x1  thỏa mãn g ( x )   m    x A  xC  xB  x1  x2    g (1)  2  m   m  2 Chọn C x  x   Ví dụ 11: Cho hàm số: y  x   m   x  m  C  đường thẳng d : y  x  Số giá trị nguyên m để 2 đồ thị  C  cắt đường y  x  m điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn A  y1  y2  y3  83 A B 10 C 11 Lời giải D 12 Phương trình hồnh độ giao điểm  C  đường thẳng d là: x  mx  m    x3   y3    x  1 x  x   m     1 g ( x )  x  x   m     Đồ thị  C  cắt y  x  m điểm phân biệt   1 có nghiệm phân biệt  g ( x )  có nghiệm     4(1  m)  4m   m    (*) phân biệt nghiệm khác    g (1)  3  m  m  Khi cho x3  1; y3  x1 ; x2 nghiệm phương trình g ( x)   x1  x2  1 Theo định lý Viet ta có:   x1.x2  m   2 2 Theo đề ta có: A  y1  y2  y3   x1  1   x2  1   x1  x2   x1  x2   11 2 A   x1  x2   x1 x2    x1  x2   11  1    m     11  8m   83  m  10   Kết hợp (*) m  ¢  có giá trị m Chọn A Ví dụ 12: Cho hàm số: y  x  mx   C  đường thẳng d : y  2mx  Gọi mo giá trị m để d   cắt  C  điểm phân biệt A, B, C cho trọng tâm tam giác OAB G   ;8   C  điểm   có hoành độ xC  O gốc tọa độ Khi A mo   5; 2  B mo   1;3 C mo   3;6  Lời giải D mo   6;   Phương trình hồnh độ giao điểm  C  d là: x  mx  2mx    x   C  2; 4m     x   x2  x   m  x      x   x  x   m     1  g ( x)  x  x   m      Để đồ thị  C  cắt đường thẳng d điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt     m  m    (*)  g    12  m   x1  x2  2 Khi gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình g ( x)  Theo Viet ta có:   x1.x2   m x1  x2  2    xo  3 Gọi A  x1 ; 2mx1   ; B  x2 ; 2mx2   ta có:   y  2mx1   2mx2    2m  x1  x2    o 3  4m   4m    m  4(tm) Do G   ;  Cho   Vậy m  4 giá trị cần tìm Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  x3  x (2m  3)  x(6m  7)  4m  đường thẳng d : y  x  Gọi S tập hợp giá trị thực m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A, B, C cho x A  diện tích tam giác OBC A T = , với O gốc tọa độ Tổng phần tử tập hợp S là: B T = C T  2 Lời giải D T = Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị x3  x (2m  3)  x(6m  7)  4m   x   x3  (2m  3) x  (6m  6) x  4m     x  1  x   2m   x  4m     x 1   xA     f ( x)  x   2m   x  4m   0(*)  x   2m   x  4m   Hai đồ thị có ba giao điểm (*) có hai nghiệm phân biệt x   m   m   m     xB  xC   m  1  f (1)       Suy   m3  (*)   m  1   m  1   xB xC   m  1     m  1  xB  xC  Ta có BC    yB  yC    xB  xC    xB  xC   xB xC   m  1  32  m  1 Mặt khác d  O; d   Suy S OBC  2 12   1   m  2 1 d  O; d  BC   m  1  32  m  1     m   2; 4  t / m  2 m  Vậy T  Chọn A  ... hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x  3x   x  x   x  3x    x  1 x    x2     đồ thị hàm số có giao điểm Chọn D  x  2  x  Ví dụ 5: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y ... trị tham số m cho đồ thị hàm số y  x  3x  (m  2) x  m đồ thị hàm số y  x  có ba điểm chung phân biệt A m  B m  C m  Lời giải D m  Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số  ... dụ 11: Đồ thị hàm số y  x  3x  x  cắt đồ thị hàm số y  x  3x  hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB A AB  B AB  2 C AB  Lời giải D AB  Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x3