BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Cho 2 đồ thị của hàm số , y f x y g x Phương trình hoành độ giao điểm 0f x g x f x g x là một phương trình đại[.]
BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số: y f x , y g x Phương trình hồnh độ giao điểm: f x g x f x g x phương trình đại số, tuỳ theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao: vơ nghiệm: khơng có điểm chung, nghiệm (đơn): cắt nhau, nghiệm kép: tiếp xúc, nghiệm: giao điểm, Chú ý: 1) Phương trình bậc ax3 bx cx d 0, a luôn có nghiệm Nếu có nghiệm x x0 ta phân tích thành tích số: x x0 Ax Bx C Nếu đặt hàm số f x ax3 bx cx d điều kiện: có nghiệm: đồ thị khơng có cực trị yCĐ yCT 0, có nghiệm: yCĐ yCT 0, có nghiệm phân biệt: yCĐ yCT 0, yCĐ yCT Phương trình bậc có nghiệm dương khi: xCĐ , xCT a f 2) Hai điểm nhánh đồ thị y g x , ta thường lấy hoành độ k a k b với xk a, b II Ví dụ minh họa Bài toán Cho hàm số y 2x Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng x 1 y mx cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt Giải Tập xác định D R \ 1 Đường thẳng y mx cắt đồ thị hai điểm phân biệt Phương trình 2x mx có hai nghiệm phân biệt x 1 Phương trình mx m x có hai nghiệm phân biệt, khác m m 6 m m 6 5, m g m 12m 16 Bài toán Cho hàm y x2 có đồ thị C Tìm m cho đường thẳng y m x x cắt đường cong C hai điểm thuộc hai nhánh Giải • Tập xác định D R \ 0 Hoành độ giao điểm đường thẳng đường cong C nghiệm phương trình: m x 2 x mx x x x 4, x x m 1 x m x 0, x Hai nhánh C nằm hai bên đường tiệm cận đứng x Đường thẳng cho cắt C hai điểm thuộc hai nhánh; phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu m a 4 m m P m Bài toán Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y x m cắt y x 3x hai điểm phân biệt x 1 Giải Hoành độ giao điểm đường thẳng đường cong nghiệm phương trình x 3x x m x m 3 x m 0, x x 1 Vì x nghiệm m 3 8m m2 2m với m, nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt suy đpcm Bài tốn Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành điểm phân biệt: y x3 2m 1 x 3m x m Giải Cho y x3 (2m 1) x (3m 2) x m x 1 x 2mx m x 1 f x x 2mx m (1) Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 m m ' m 1 m 2, m f 1 m Bài toán Tìm m để đồ thị Cm : y x3 3mx m cắt trục hoành điểm phân biệt Giải D R Ta có y ' 3x 3m, y ' x m Điều kiện Cm cắt trục hoành điểm phân biệt m yCĐ yCT f m f m (m 2m m )(m 2m m ) (m 1) 4m3 4m3 m2 2m m 1 4m2 3m 1 m (vì 16 nên 4m2 3m 0, m) Bài tốn Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ o cắt đồ thị hàm số y x 1 hai điểm phân biệt nhận O làm trung điểm x 2 Giải Đường thẳng d qua O có hệ số góc k d : y kx d cắt đồ thị hàm số y x 1 điểm M, N x 2 kx 2k 1 x có nghiệm phân biệt khác k 0; 4k 0; 1 k Điểm O trung điểm MN khi: Vậy: k y xM xN 2k 1 0 0k k x Bài toán Cho hàm số y x 3m x 3m có đồ thị Cm , m tham số Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị Cm điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Giải Phương trình hồnh độ giao điểm Cm đường thẳng: x 3m x 3m 1 Đặt t x , t 0, phương trình trở thành: t 3m t 3m t t 3m 0 3m 4 m 1, m 3m Yêu câu toán tương đương: Bài tốn Tìm m để đồ thị Cm : y x x 1 m x 3m cắt trục hoành điểm Giải D R Ta có y ' x x 1 m , ' 9m - Nếu m y ' 0, x nên Cm cắt trục hoành điểm: thoả mãn - Nếu m y ' có nghiệm phân biệt x1 , x2 S 2, P m ĐK Cm cắt Ox điểm yCD yCT Ta có y x 1 y ' mx m yi mxi m nên điều kiện mxi m mx2 m m2 x1 x2 m 1 m x1 x2 1 m m2 1 m 2m 1 m 1 m m3 m Vậy giá trị cần tìm m Bài tốn Cho hàm số: y 2x 1 Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt C hai x 1 điểm A, B thỏa mãn AB 10 Giải Tập xác định D R \ 1 Phương trình hồnh độ giao điểm d C : 2x 1 x m 1 x m =-x+m x 1 x Đường thẳng d cắt C điểm A, B phân biệt phương trình có nghiệm x1 , x2 phân biệt khác m 6m m (m 1) 4(m 1) m 1 0, m 1 m 1 m Khi A x1; x1 m , B x2 ; x2 m x1 x2 m 1; x1.x2 m Ta có AB 10 x2 x1 x2 x1 10 x2 x1 x x2 x1 x2 m 1 m 1 2 m 1 m (thỏa mãn) m m Vậy m hay m ... x 3m x 3m có đồ thị Cm , m tham số Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị Cm điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Giải Phương trình hồnh độ giao điểm Cm đường thẳng: x 3m ... với giá trị m, đường thẳng y x m cắt y x 3x hai điểm phân biệt x 1 Giải Hoành độ giao điểm đường thẳng đường cong nghiệm phương trình x 3x x m x m 3 x m ...Giải • Tập xác định D R \ 0 Hoành độ giao điểm đường thẳng đường cong C nghiệm phương trình: m x 2 x mx x x