TƯƠNG GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT CẦU I Phương pháp giải Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu ( );S I R và mp ( )P Gọi IH d= là khoảng cách từ tâm I đến ( )P thì Nếu d R mp ( )P cắt[.]
Trang 1TƯƠNG GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT CẦU I Phương pháp giải
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu S I R( ; ) và mp( )P Gọi IH =d là khoảng cách từ tâm I đến ( )P thì :
- Nếu dR: mp( )P cắt mặt cầu theo đường tròn giao tuyến Đặc biệt, khi d =0 thì mp( )P đi qua tâm I của mặt cầu , giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu có bán kính R
- Nếu d =R: mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu -Nếu dR: mp( )P khơng có điểm chung với mặt cầu
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:
Cho mặt cầu S I R( ; ) và đường thẳng
Gọi H là hình chiếu của tâm I trên và d =IH là khoảng cách từ O tới
- Nếu dR:đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm A, B
Độ dài dây 22
2
AB= R −d
- Nếu d =R:đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
- Nếu d R: đường thẳng khơng có điểm chung với mặt cầu
Chú ý :
1) Đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng có tâm H là hình chiếu của tâm mặt cầu I lên mp( )P , bán kính 22r = R −d2) Khoảng cách từ M0(x y z0;0;0) đến mặt phẳng: ( )P :Ax+By+Cz+ =D 0 là () 0000222, AxByCzDd M PABC+++=++
II Ví dụ minh họa
Trang 2222)62450a x +y +z − x+ y+ z+ = và x+2y+ − =z 10222)622100b x +y +z − x+ y− z+= và x+2y+2z=0222)48240c x + y +z + x+ y− z− = và x+ − −yz 10=0Giải
a)Mặt cầu có tâm I(3; 1; 2− − ) và bán kính 222
3R= a +b +c − =dKhoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( )(( )) 3 22 1 2 6:;31 4 16Pd I P − − − R===+ +Vậy mặt phẳng cắt mặt cầu b)Mặt cầu có tâm I(3; 1;1− ) và R =1Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( )(( )) 3 22:,11 44Pd I P − + R== =+ +
Vậy mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu c)Mặt cầu có tâm I(− −2; 4;1 ,) R=11Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( )(( )) 24 1 10 17:,1 1 13Pd I P − − − − R==+ +
Vậy mặt phẳng khơng có điểm chung với mặt cầu
Bài tốn 2 Tìm tâm và bán kính các đường trịn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu lần
lượt có phương trình: ( )P :x+2y−2z+ =10 và ( ) 222:622100Sx +y +z − x+ y− z+=Giải Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 1;1− ) , bán kính R =1
Tâm H là hình chiếu của I lên ( )P
Phương trình của đường thẳng d qua I và vng góc với mặt phẳng
2210x+ y− z+ = là : 31 21 2xtytzt= + = − + = −
Từ đó ta suy ra giao điểm H của d và mặt phẳng ứng với t =0 là H(3; 1;1− )
Vì điểm H trùng với I nên ( )P là mặt kính cắt theo đường trịn lớn nên bán kính đường trịn giao tuyến r = =R 1
Bài tốn 3 Tìm tâm và bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu lần
Trang 3( )P : 2x+2y+ + =z 10 và ( ) 222
:1246240
Sx +y +z − x+ y− z+=
Giải
Mặt cầu ( )S có tâm I(6; 2;3 ,− ) R=5
Phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với mặt phẳng
2x+2y+ + =z 10 là : 62223xtytzt= + = − + = +
Từ đó suy ra giao điểm H của d và mặt phẳng ứng với 4
3
t = − là tâm đường tròn giao tuyến
1014 5;;33 3H − Bán kính 22225 169r = R −IH =−= Vậy r =3
Bài tốn 4 Xét vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng:
( ) () (2 ) (2 )2 ( )5423:23116,:22xtSxyzdytzt = +−+−++= = − −=Giải Mặt cầu ( )S có tâm I(2;3; 1− ) , bán kính R =4
Đường thẳng d đi qua 0 5; 3; 022M − và có VTCP u =(4; 2;1− )Ta có ( ) 0, 205,14IM ud I du==
Vì d I d( ); R nên đường thẳng (d) cắt mặt cầu
Bài toán 5 Xét vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng :
( ) 222 ( ) 22:864250,:321xyzSxyzxyzd +++++−+−===−Giải Mặt cầu ( )S có tâm I(4; 3; 2− ) , bán kính R =3 3
Trang 4Ta có ( ) 0,,3 3IM ud I du==
Vì d I d( );=R nên đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu
Bài toán 6 Cho mặt cầu ( ) 222
:264130Sx +y +z − x+ y− z+= và đường thẳng ( )2:12xtdymtzt= + = + = −
Biện luận theo m số điểm chung của ( )S và (d)
Giải
Điểm M x y z( ; ; ) thuộc (d) nên x= +t 2,y=mt+1,z= −2t
Thay vào (S) được :
() (2 )2 2 () ()21422618130t++ mt++ t − t++ mt+ + +t =( 2) 2 ()5 mt 2 54m t 200++++=Ta có ()2 ( 2) 2'5 420 544075 = + m −+m = − m + m−Biện luận : Nếu 515 ( )'0:22
md cắt (S) tại hai điểm phân biệt
Nếu '0 5
2
= =m hoặc 15 ( ):2
m= d tiếp xúc với (S) tại một điểm
Nếu '0 5
2
m hoặc 15 ( ):2
m d và (S) khơng có điểm chung
Cách khác:
Tính khoảng cách từ tâm I −( 1;3; 2− ) đến đường thẳng d rồi so sánh biện luận
Bài tốn 7 Trong khơng gian Oxyz , xét mặt phẳng
( ) 2
: 35 14200,1;1
mmxm ymzm
+−++= −
Chứng minh rằng với mọi m − 1;1 thì ( )m tiếp xúc với một mặt cầu cố định