BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Phương pháp tìm quỹ tích điểm M Tìm toạ độ x, y của M, khử tham số giữa x và y Giới hạn Chuyển điều kiện nếu có của tham số về điều kiện của[.]
BÀI TỐN QUỸ TÍCH ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I Phương pháp giải Phương pháp tìm quỹ tích điểm M: Tìm toạ độ x, y M, khử tham số x y Giới hạn: Chuyển điều kiện có tham số điều kiện x (hay y) Đặc biệt: Nếu M x , y V cần tìm x rút tham số để thế, khử tham số II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị Cm : y m 1 x m xm Giải D \ m Ta có: lim y , lim y nên x m x m TCĐ: x m với m y lim Ta có xlim x m 1 x m m nên TCN: xm y m 1 Giao điểm tiệm cận I m; m 1 , chuyển hệ trục theo phép tịnh tiến OI : x X m y Y m Thế vào Cm được: Y m Ta có Y F X m 1 X m m Y m X X m m m2 hàm số lẻ nên C có tâm đối xứng I có toạ độ x m, y m X Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng đường thẳng d : y x 1, x Bài tốn Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị Cm : y mx 6m Giải D \ m Ta có Cm : y mx 6m ,x m xm Đồ thị có TCĐ: x m TCX: y mx 6m nên giao điểm I m; m2 6m 1 Chuyển hệ trục phép tịnh tiến OI tâm đối xứng I có toạ độ: xm x m, y m2 6m Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng parabol P : y x x Bài toán Tìm quỹ tích điểm cực tiểu đồ thị y x3 3mx m2 1 x m3 3m Giải D , y ' 3x 6mx m2 Vì ' 0, m nên đồ thị ln có CĐ, CT có hồnh độ x m Lập BBT điểm cực tiểu B : x m, y f 1 m 2 Vậy quỹ tích điểm cực tiểu đường thẳng d : y 2 Bài toán Tìm quỹ tích điểm cực đại hàm số y x 2mx Giải Ta có y ' x3 4mx x x m , y " 12 x 4m Khi m y ' x 0, ta có y " 4m : điểm cực tiểu Khi m khơng có điểm cực trị Khi m y ' x x m , ta có y " m nên có điểm cực đại: x m , y x 2mx Khử m quỹ tích điểm cực đại đường cong: y x Bài toán Cho hàm số y 2x2 x x 1 a) Với giá trị m đường thẳng y m x cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A, B b) Tìm tập hợp trung điểm M đoạn AB Giải 2x2 x a) PTHĐGĐ: m x 3x m x m 0, x x 1 Vì x khơng phải nghiệm nên đường thẳng cắt đường cong cho hai điểm phân biệt khi: m 12 m 1 m2 8m m m b) Với điều kiện m m hồnh độ trung điểm M đoạn thẳng AB là: xM x A xB m Vì điểm M nằm đường thẳng y m x nên yM m xM Khử m, ta có m xM nên yM xM xM 5xM Vậy tập hợp điểm M nằm đường thẳng y 5x Giới hạn: m x x m x x 6 Bài toán Chứng minh đồ thị y x3 mx m qua điểm cố định A, B Tìm quỹ tích giao điểm tiếp tuyến A B Giải Gọi M x; y điểm cố định đồ thị: y0 x03 mx02 m 1, m y0 m x02 x03 1, m x02 x0 1, y0 2 y0 x0 x0 1, y0 Vậy đồ thị qua điểm cố định A 1; B 1; 2 Ta có y ' 3x 2mx nên tiếp tuyến A B là: y 2m 3 x 1 , y 2m 3 x 1 Khử m quỹ tích giao điểm đường cong y 3x x x Bài tốn Tìm quỹ tích điểm thuộc trục tung mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị y x2 x x 1 Giải Ta có D \ 1 , y ' y x0 x0 x 1 x x0 Cho x y x x 2 x 1 nên phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ x0 x02 x0 x0 x0 x 1 Xét f x 2x 1 x 1 , x f ' x 2 x x 1 Cho f ' 1 x Bảng biến thiên x y' y + 1 Do y 1, nên quỹ tích điểm thuộc trục tung cần tìm B 0; y với y Bài tốn Tìm quỹ tích điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến C : y x mà tiếp tuyến vng góc với Giải Gọi M a; b , phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k : y k x a b Điều kiện d tiếp xúc C hệ sau có có nghiệm x x 1 x 1 k x a b x 1 k x a b x 1 k 1 x k x 1 x 1 x 1 Do k 1 a b k 1 a b x 1 k Ta có phương trình bậc theo hệ số góc k: g k a 1 k 1 a b k b2 0, k Yêu cầu toán: a 1, k1k2 1, g 1 a 1, b2 a 1 , a 1 1 a b b 2 a 1 b2 4, a 1, a b Vậy quỹ tích điểm cần tìm đường tròn: x 1 y bỏ điểm A 1;2 , B 1; 2 , C 2; ; D ; x 1 ... 2x 1 x 1 , x f '' x 2 x x 1 Cho f '' 1 x Bảng biến thi? ?n x y'' y + 1 Do y 1, nên quỹ tích điểm thuộc trục tung cần tìm B 0; y với y Bài tốn...x m, y m2 6m Khử tham số m quỹ tích tâm đối xứng parabol P : y x x Bài tốn Tìm quỹ tích điểm cực tiểu đồ... b x 1 k x a b x 1 k 1 x k x 1 x 1 x 1 Do k 1 a b k 1 a b x 1 k Ta có phương trình bậc theo hệ số góc k: