TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I Phương pháp giải Vị trí tương đối của 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng Đường thẳng d qua A và có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng ( )P qua 0M và có vectơ pháp tuyế[.]
TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I Phương pháp giải Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng d qua A có vectơ phương u mặt phẳng ( P ) qua M có vectơ pháp tuyến n Có vị trí tương đối: _Cắt : u.n _Song song: u.n = A ( P ) _Đường thẳng thuộc mặt phẳng : u.n = A ( P ) Hình chiếu điểm lên mặt phẳng : Hình chiếu điểm M mặt phẳng ( P ) : Lập phương trình tham số đường thẳng d qua M , vng góc với ( P ) Hình chiếu H giao điểm d với ( P ) Từ suy điểm M đối xứng M qua ( P ) nhờ H trung điểm MM Hình chiếu điểm lên đường thẳng Hình chiếu điểm N đường thẳng d: Lập phương trình mặt phẳng ( Q ) qua N,vng góc với d Hình chiếu K giao điểm d với ( Q ) Ta dùng tọa độ K thuộc d theo tham số t tìm t nhờ điều kiện : NK ud = Từ suy điểm N đối xứng N qua đường thẳng d nhờ H trung điểm NN Chú ý: Cho mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = Hai điểm M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) M ( x2 ; y2 ; z2 ) nằm hai phía mặt phẳng ( P ) : ( Ax1 + By1 + Cz1 + D) ( Ax2 + By2 + Cz2 + D ) Hai điểm M1 ( x1 ; y1 ; z1 ) M ( x2 ; y2 ; z2 ) nằm phía mặt phẳng ( P ) : ( Ax1 + By1 + Cz1 + D) ( Ax2 + By2 + Cz2 + D ) II Ví dụ minh họa Bài tốn Cho mặt phẳng ( P ) có phương trình x − y + z − = a) Tìm tọa độ giao điểm mặt phẳng với trục Ox, Oy, Oz b) Tính thể tích tứ diện giới hạn mặt phẳng ( P ) mặt phẳng tọa độ Giải a) Cho y = z = giao với trục Ox A ;0;0 2 Cho x = z = giao với trục Oy B 0; − ;0 Cho x = y = giao với trục Oz C 0; 0; b) Tứ diện cần tìm OABC có OA, OB, OC đơi vng góc nên thể tích 1 1 1 V = OA.OB.OC = − = 6 180 Bài toán Cho ba mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = 0, (Q ) : mx − y + z + m − = ( R ) : mx + ( m − 1) y − z + 2m = a) Xác định giá trị m để ba mặt phẳng đơi vng góc với b) Tìm giao điểm chung ba mặt phẳng Giải a) Vectơ pháp tuyến ba mặt phẳng ( P ) , ( Q ) , ( R ) : nP = (1;1;1) , nQ = ( m; −2;1) , nR = ( m; m − 1; −1) Điều kiện ba mặt phẳng đôi vuông góc nP nQ = m = m − + = m =1 nP nR = m + m − − = m = m2 − 2m + − = n n = ( m − 1) = Q R b) Gọi I ( x; y; z ) giao điểm chung ba mặt phẳng Tọa độ điểm I nghiệm hệ : x + y + z − = x = x − y + z = y = I (1; 2;3) x − z + = z = Bài toán Tìm giao điểm đường thẳng: x = + 2t a)d : y = − t , với mặt phẳng ( P ) : x − y + 5z − = z = 3t b) d : x − y +1 z −1 = = , với mặt phẳng ( ) : x + y + z − = Giải a) Giao điểm M thuộc d nên M (1 + 2t;2 − t;3t ) thuộc ( P ) nên: (1 + 2t ) − ( − t ) + 15t − = t = Thay t = vào ta M ; ; 5 5 x = + 2t x − y +1 z −1 = = b) Đường thẳng d : có phương trình y = −1 + 3t z = + 5t Giao điểm A thuộc d nên A ( + 2t; −1 + 3t;1 + 5t ) Thế x, y, z vào phương trình ( ) , ta : ( + 2t ) + ( −1 + 3t ) + (1 + 5t ) − = Suy t = 8 giao điểm A ;0; 3 3 Bài toán Tìm giao điểm đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng: a) x + y − z − 11 = 0,3x − y + z − = với ( P ) : x + y − z − 15 = b)2 x − y + z − = 0, x + y − z − = với mặt tọa độ Giải a)Mp ( xOy ) : z = 32 x = 2 x − y + z = 10 Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ x + y − z = y = z = z = Vậy A ; ; 9 32 10 Giải tương tự giao điểm với mp(yOz) B ( 4;0; −2) mp(xOz) C ( 0;10;16) b)Tọa độ giao điểm nghiệm hệ : x + y − z − 11 = x = 3x − y + z − = y = Vậy M ( 4;5; −1) z + y − z − 15 = z = −1 Bài toán Tìm hình chiếu điểm A (1; 4; ) lên mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Giải Gọi d đường thẳng qua vng góc với ( P ) , H hình chiếu vng góc A ( P) Ta có n = (1; 2;1) vectơ pháp tuyến ( P ) nên n vectơ phương d Suy ra, d có phương trình : x −1 y − z − = = Tọa độ H nghiệm hệ phương trình : x −1 y − z − = = x + y + z −1 = Giải hệ ta : x = − , y = , z = Vậy H − ; ; 3 3 3 2 2 Bài toán Cho bốn điểm A ( 4;1;4) , B (3;3;1) , C (1;5;5) , D (1;1;1) Tìm hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (ABC) Giải Ta có AB = ( −1; 2;3) , AC = ( −3; 4;1) nên mp(ABC) có VTPT n = AB, AC = (14;10; ) hay ( 7;5;1) ( P ) : 7( x − + ( y − 1) + 1( z − 4) = hay x + y + z − 37 = Đường thẳng d qua A , vng góc với (ABC) có phương trình tham số: x = + 7t y = + 5t Thế x, y, z vào ( P ) t = 25 z = + t Vậy hình chiếu có tọa độ H 81 13 33 ; ; 25 25 Bài tốn Tìm điểm đối xứng A (1; 2; −3) qua mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z + = Giải Đường thẳng d qua A (1; 2; −3) có VTCP u = uP = ( 2; 2; −1) x = + 2t Nên có phương trình tham số d : y = + 2t z = −3 − t Hình chiếu H A lên ( P ) thuộc d nên tọa độ H có dạng (1 + 2t;2 + 2t; −3 − t ) H ( P ) nên (1 + 2t ) + ( + 2t ) − ( −3 − t ) + = Suy : t = −2 nên H ( −3; −2; −1) Gọi A đối xứng với A qua ( P ) H trung điểm AA Vậy A ( −7; −6;1) x = + 2t Bài tốn Tìm hình chiếu M ( 2; −1;1) lên đường thẳng d : y = −1 − t z = 2t Giải Hình chiếu H M lên d giao điểm d với mặt phẳng ( P ) qua M , vng góc đường thẳng d: ( x − 2) − 1( y + 1) + ( z − 1) = hay x − y + z − = H thuộc d nên H (1 + 2t; −1 − t;2t ) Thế tọa độ vào mp ( P ) t = nên 17 13 H ;− ; 9 Cách khác : Dùng điều kiện MH u = để tìm t Bài tốn Tìm điểm đối xứng A ( −2;3; −4) qua đường thẳng d : Giải Đường thẳng d qua M ( −2;3; −4) có VTCP u = ( −3; −2;1) Hạ AH ⊥ d H ( −2 − 3t; −2 − 2t; t ) d Ta có AH u = t = −1 nên H (1;0; −1) Điểm B đối xứng A qua d nên A trung điểm AB x+2 y+2 z = = −3 −2 x A + xB xH = xB = xH − x A = y A + yB yB = yH − y A = −3 Vậy điểm đối xứng B ( 4; −3;2) yH = z = 2z − z = H A B z A + zB z = H Bài tốn 10 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z = , hai đường thẳng d: x−4 y z x − y z +1 = = , : = = 1 −3 2 Tìm tọa độ điểm M nằm ( P ) điểm N d cho M, N đối xứng với qua đường thẳng Giải Vì N nằm đường thẳng d nên N ( + t; t; −3t ) Gọi I trung điểm MN I nằm đường thẳng Do I ( + m;2m; −1 + 2m) Đường thẳng có VTCP u = (1;2;2) Ta có : NI u = ( −1 + m − t ) + ( 2m − t ) + ( −1 + 2m + 3t ) = −3 + 9m + 3t = t = − 3m Suy N ( − 3m;1 − 3m; −3 + 9m) Vì M đối xứng với N qua I nên M (1 + 5m; −1 + 7m;1 − 5m) Ta có M ( P ) (1 + 5m) + ( −1 + 7m) − (1 − 5m) = m = Suy M (1; −1;1) , N (5;1; −3) ... Tìm tọa độ giao điểm mặt phẳng với trục Ox, Oy, Oz b) Tính thể tích tứ diện giới hạn mặt phẳng ( P ) mặt phẳng tọa độ Giải a) Cho y = z = giao với trục Ox A ;0;0 2 Cho x = z = giao với... 5t Giao điểm A thuộc d nên A ( + 2t; −1 + 3t;1 + 5t ) Thế x, y, z vào phương trình ( ) , ta : ( + 2t ) + ( −1 + 3t ) + (1 + 5t ) − = Suy t = 8 giao điểm A ;0; 3 3 Bài toán Tìm giao. .. 10 Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ x + y − z = y = z = z = Vậy A ; ; 9 32 10 Giải tương tự giao điểm với mp(yOz) B ( 4;0; −2) mp(xOz) C ( 0;10;16) b)Tọa độ giao điểm