cac dang toan he thuc luong trong tam giac vuong

MỤC LỤC VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN 1) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN C.BÀI TẬP VỀ NHÀ VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN II) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông VẤN ĐỀ : LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT B BÀI TẬP TỰ LUYỆN C BÀI TẬP VỀ NHÀ VẤN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN I) 10 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 10 B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 10 Dạng Tính tỉ số lượng giác góc nhọn, tính cạnh, tính góc 10 C BÀI TẬP VỀ NHÀ 11 VẤN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN II) 13 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 13 B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 13 Dạng Sắp thứ tự dãy tỉ số lượng giác 13 m Dạng 3.Dựng góc nhọn α biết tỉ số lượng giác 14 n C BÀI TẬP VỀ NHÀ : 15 VẤN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG (PHẦN I) 16 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 16 B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 16 Dạng Giải tam giác vuông 16 Dạng Tính cạnh góc tam giác 17 C BÀI TẬP VỀ NHÀ 17 VẤN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN II) 19 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 19 B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 19 Dạng Toán ứng dụng thực tế 19 Dạng Toán tổng hợp 20 C BÀI TẬP VỀ NHÀ 20 ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 21 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 21 B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 22 HƯỚNG DẪN GIẢI 26 VẤN ĐỀ 26 VẤN ĐỀ 26 VẤN ĐỀ 27 VẤN ĐỀ 28 VẤN ĐỀ 29 VẤN ĐỀ 31 VẤN ĐỀ 32 ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 32 CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN 1) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: • AB2 = BH BC hay c = a.c ' A • AC = CH BC hay b2 = ab ' • AB AC = BC AH hay cb = ah • HA = HB.HC hay h = c ' b ' 1 1 1 hay = = + + 2 2 AH AB AC h c b2 • c B b b' c' BC = AB2 + AC (Định lí Pitago) • C H a B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vuông Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Nếu biết độ dài hai sáu đoạn thẳng AB, AC , BC , HA , HB, HC ta ln tính độ dài bốn đoạn thẳng cịn lại • Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: Bài Tính x , y hình vẽ sau: A A A 12 x B B x H y x y H C B C Hình 20 Hình C H y Hình Bài Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH a) Cho biết = AB 3= cm, AC 4cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , CH , AH BC b) Cho biết = BH 9= cm, ch 16cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC , BC AH Bài Cho tam giác ABC vuông A , AH ⊥ BC ( H thuộc BC ) Cho biết AB : AC = : BC = 15cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết AB : AC = : AH = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH * Học sinh tự luyện tập tập sau lớp : Bài Tính x, y hình vẽ sau : A A A 13 x y B B H C C H B y Hình Hình C H x Hình Bài Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH a) Cho biết = AB 3= cm, BC 5cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , CH , AH AC b) Cho = biết AH 60 = cm, CH 144cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC , BC BH c) Cho = biết AC 12 = cm, AH 60 cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC , BH CH 13 Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết AB = BC = 122cm AC Tính độ dài đoạn thẳng BH , CH Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết AB : AC = : AH = 12cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , CH C.BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết = AB 4= cm, BC 7,5cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , CH Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH a) Biết = AH 6= cm, BH 4,5cm Tính AB, AC , BC , HC b) Biết = AB 6= cm, BH 3cm Tính AH , AC , CH Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC , biết = AH 12 = cm, BH 9cm Bài 12 Cho tam giác ABC ,= biết BC 7,5 = cm, CA 4,5 = cm, AB 6cm a) Tính độ dài đường cao AH tam giác ABC b) Tính độ dài đoạn thẳng BH , CH Bài 13 Cho tam giác vng với cạnh góc vng 24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao đoạn thẳng mà đường cao chia cạnh huyền AB Bài 14 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết= = , AH 15cm Tính độ dài AC đoạn thẳng HB HC Bài 15 Cho ABCD hình thang vng A D Đường chéo BD vng góc với BC Biết = AD 12 = cm, DC 25cm Tính độ dài AB, BC BD VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (PHẦN II) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Nhắc lại lý thuyết : Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi có hệ thức sau : • • • • • • AB = BH BC hay c = a.c ' AC = CH BC hay b = a.b ' AB AC = BC AH hay cb = a.h HA2 = HB.HC hay h = c ' b ' 1 1 1 hay = = + + 2 2 AH AB AC h c2 b2 BC = AB + AC ( Định lí Pitago) A b c h B c' b' C H a B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Phương pháp giải : Sử dụng hệ thức cạnh đường cao cách hợp lý theo hướng : Bước Chọn tam giác vuông thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức Bước Tính đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh dường cao Bước Liên kết giá trị để rút hệ thức cần chứng minh * Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau : Bài Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu H lên CD, DE Chứng minh : a) CD.CM = CE.CN ; b) Tam giác CMN đồng dạng với tam giác CED Bài Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đường thẳng qua D , vng góc với DI , cắt đường thẳng BC L Chứng minh : a) Tam giác DIL tam giác cân ; b) Tổng 1 không đổi I thay đổi cạnh AB + DI DK * Học sinh tự luyện tập tập sau lớp : Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AH đường cao a) Chứng minh AB + CH = AC + BH ; b) Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu H lên AB, AC Chứng minh : AM AB = AN AC Bài Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt O Cho biết khoảng cách từ O 1 tới cạnh hình thoi h= + , AC m= , BD n Chứng minh : = 2 m n 4h C.BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho hình chữ nhật ABCD = có AB 8= cm, BC 15cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD b) Vẽ AH vng góc với BD H Tính độ dài đoạn thẳng AH c) Đường thẳng AH cắt BC DC I K Chứng minh AH = HI HK Bài Cho hình thang ABCD vuông A D Cho biết AB = 15cm, AD = 20cm, đường chéo AC BD vng góc với O Tính a) Độ dài đoạn thẳng OB OD; b) Độ dài đoạn thẳng AC ; c) Diện tích hình thang ABCD Bài Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH, kẻ HE, HF vng góc với AB, AC Chứng minh : EB  AB  = a)  ; FC  AC  b) BC.BE.CF = AH Bài Cho tam giác ABC cân A có AH BK hai đường cao Kẻ đường thẳng vng góc với BC B cắt tia CA D Chứng minh : a) BD = 2.AH ; 1 b) = + 2 BK BC 4HA VẤN ĐỀ : LUYỆN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Nhắc lại lý thuyết : Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: ● AB2 = BH BC hay c2 = a.c’ ● AC2 = CH BC hay b2 = a.b’ ● AB AC = BC AH hay c.b = a h ● HA2 = HB HC hay h2 = c’ b’ 1 1 1 hay = ● = + + 2 2 2 AH AB AC h c b 2 ● BC = AB + AC (Định lí Pitago) B BÀI TẬP TỰ LUYỆN * Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau : Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết BH = 4cm, CH = 9cm Gọi D, E hình chiếu vng góc H cạnh AB AC a) Tính độ dài đoạn thẳng DE b) Các đường thẳng vng góc với DE D E cắt BC M, N Chứng minh MN = BC c) Tính diện tích tứ giác DENM Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu vng góc H AB, AC Chứng minh a) AB2 HB ; = AC HC c) DE2 = BD CE BC; b) AB3 BD ; = AC EC d) 3= BC BD + CE *Học sinh tự luyện tập sau Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH BC b) Cho biết AB = 6cm, BC = 10cm Tính độ dài đoạn thẳng BH, CH, AH AC Bài Tìm độ dài cạnh tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền có độ dài 48cm hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền theo tỉ lệ : 16 Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, đường cao AH Biết BD = 15cm, CD = 20cm Tính độ dài đoạn thẳng HB, HC Bài Cho hình thang cân ABCD có độ dài cạnh đáy AB = 26cm cạnh bên AD = 10cm Cho biết đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Tính diện tích hình thang ABCD C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Nếu BH = 2cm, CH = 8cm Tính độ dài đoạn AB, AC, BC, AH b) Nếu AH = 5cm, CH = 16cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC, BC, BH Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Cho biết AB : AC = : AH = 12cm Tính độ dài đoạn thẳng BH CH Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, đường cao AH Cho biết BD = 15cm, CD = 20cm Tính độ dài đoạn thẳng HB HC Bài 10 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Tính chu vi tam giác ABC biết HB AH = 14cm, = HC Bài 11 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC biết AH = 12cm, BH = 9cm Bài 12 Cho tam giác ABC vuông C, đường cao CK a) Cho biết AB = 10cm, AC = 8cm Tính BC, CK, BK AK b) Gọi H I theo thứ tự hình chiếu K BC AC Chứng minh CB CH = CA CI 1 c) Gọi M chân đường vuông kẻ từ K xuống IH Chứng minh = + 2 KM CH CI d) Chứng minh AI AC = BH BC VẤN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN I) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT ( )  ● Cho góc nhọn α o < α < 90 o Dựng tam giác ABC vuông A cho α =ABC Từ ta có: cos α = AB AC AB AC ; sin α = ; tan α = ; cot α = AC AB AC AB ● Với góc góc nhọn α bất kì, ta ln có: < sin α < 1; < cos α < tan α = sin α ; cos α sin2 α + cos2 α = 1; cot α = tan α ; cos α + tan2 α = tan α.cot α =1 ; −1 ; + cot2 α = cos x sin α ●Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc ● Bảng tỉ số lượng giác góc đặc biệt α Tỉ số sin α cos α tan α cot α 30o 45o 60o 2 2 2 3 3 B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính tỉ số lượng giác góc nhọn, tính cạnh, tính góc Phương pháp giải:Sử dụng kiến thức phần Tóm tắt lý thuyết * Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau: = = cm , AC 0,9 cm Tính tỉ số lượng giác Bài Cho tam giác ABC vng Ccó BC 1,2 góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc A 10 a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh b) Diện tích hình bình hành tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh ƠN TẬP CHỦ ĐỀ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi ta có hệ thức sau : AB = BH BC hay c = a.c ' AC = CH BC hay b = a.b ' AB AC = BC AH hay c.b = a.h HA2 = HB.HC hay h = c '.b ' 1 1 1 • = hay = + + 2 2 AH AB AC h c2 b2 • BC = AB + AC ( Định lý Pitago ) Tỉ số lượng giác góc nhọn • • • • A b c B h b' c' H C a • Cho góc nhọn α ( 0° < α < 90°) Dựng tam giác ABC vuông A cho α =  ABC Từ ta có : AB AC AC AB ; sin α ; tan α ; cot α = = = BC BC AB AC • Với góc nhọn α bất kỳ, ta ln có : < sin α < 1; < cos α < 1; sin α cos α = tan α = ; cot α ;= tan α cot α 1; cos α sin α 1 sin α + cos α = 1;1 + tan α = ;1 + cot α = cos α sin α • Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc • Bảng tỉ số lượng giác góc đặc biệt : α 30° 45° 60° cos α = Tỉ số sin α 2 cosα 2 2 21 tan α 3 cot α 3 3 Hệ thức cạnh góc tam giác vng • Cho tan giác ABC vng A có= BC a= ; AC b= ; AB c Ta có : = b a= sin B a.cos C ; = c a= sin C a cos B; = b c= tan B c.cot C ; = c b= tan C b.cot B • Trong tam giác vng Cạnh góc vng = ( cạnh huyền ) x ( sin góc đối) = ( cạnh huyền ) x ( cosin góc kề ) Cạnh góc vng = ( cạnh góc vng ) x ( tang góc đối ) = ( cạnh góc vng cịn lại ) x ( cotang góc kề ) B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Trong đoạn thẳng AB , AC , BC, AH , HB , HC , tính độ dài đoạn thẳng lại biết : a) AB = cm AC = cm ; b) AB = 15 cm HB = cm ; c) AC = 44 cm BC = 55 cm Bài Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) có đường cao AH = AH 12 = cm; BC 25 cm a) Tìm độ dài đoạn thẳng BH , CH , AB AC b) Vẽ trung tuyến AM Tìm số đo góc  AMH c) Tính diện tích tam giác AHM  = 400  600 C Bài Cho tam giác ABC có đường cao CH= , BC 12 = cm, B a) Tính độ dài đoạn thẳng CH AC b) Tính diện tích tam giác ABC = cm, AC 4cm Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , AB 3= a) Tính độ dài đoạn thẳng BC AH ,C  b) Tính số đo góc B c) Đường phân giác góc  A cắt cạnh BC E Tính độ dài đoạn thẳng BE CE 22 Bài Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Từ H kẻ HE vng góc với AB ( E thuộc AB ) kẻ HF vng góc với AC ( F thuộc AC ) a) Chứng minh AE AB = AF AC b) Cho biết = AB 4= cm, AH 3cm Tính độ dài đoạn thẳng AE BE  = 300 Tính độ dài đoạn thẳng FC c) Cho biết HAC Bài Tứ giác MNEF vng M , F , có EF đáy lớn, hai đường chéo ME NF vng góc với O a) Cho biết MN = 9cm MF = 12cm Hãy : i) Giải tam giác MNF ii) Tính độ dài đoạn thẳng MO , FO iii) Kẻ NH vng góc với EF H Tính diện tích tam giác FNE Từ tính diện tích tam giác FOH b) Chứng minh MF = MN FE = cm, EF 10cm Bài Cho tam giác DEF biết DE = 6cm , DF 8= a) Chứng minh DEF tam giác vuông b) Vẽ đường cao DK Hãy tính DK , FK c) Giải tam giác vuông EDK d) Vẽ phân giác DM tam giác DEF Tính độ dài đoạn thẳng ME , MF e) Tính s inF tam giác vuông DFK DEF Từ suy ED.DF = DK EF  = 600 BC = 6cm Bài Cho tam giác ABC vng A , B a) Tính độ dài cạnh AB, AC b) Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh AB AC = BD CD  kẻ từ A cắt CD H Chứng minh c) Dường thẳng song song với phân giác góc CBD 1 = + 2 AH AC AD Bài Cho hình vng ABCD điểm E tùy ý cạnh BC Tia Ax vuông góc với AE A cắt CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K a) Chứng minh AE = AF b) Chứng minh tam giác AKF , CAF đồng dạng AF = KF CF 23 = AB 4= cm; BE c) Cho BC Tính diện tích tam giác AEF d) AE kéo dài cắt CD J Chứng minh 1 + không phụ thuộc vào vị trí điểm AE AJ E Bài 10 Khơng dùng máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn : a) sin 240 , cos 350 ,sin 540 , cos 700 ,sin 780 b) cot 240 , tan160 , cot 57 67 ',sin 780 Bài 11 Không dùng máy tính, sáp xếp tỉ sơ lượng giác sau theo thứ tự tăng dần : a) sin 400 , cos 280 ,sin 650 , cos880 , cos200 b) tan 320 48', cot 28036 ', tan 56032 ', cot 67 018' Bài 12 Cho góc α nhọn a) Tính sin α , cot α , tan α biết cos α = b) Tính cosα , cot α , tan α biết sin α = c) Cho tan α = Tính sin α cot α d) Cho cot α = Tính sin α , cos α tan α Bài 13 Một cột cờ cao 7m có bóng mặt đất dài 4m Tính góc α mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất ( làm trịn đến phút) Bài 14 Một cột đèn có bóng mặt đất dài 6,5m , tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 440 Tính chiều cao cột đèn Bài 15 a) Tính giá trị biểu thức A = cos 200 + cos 400 + cos 500 + cos 700 b) Rút gọn biểu thức B = sin α + cos α + 3sin α − cos α Bài 16 Cho 00 < x < 900 Chứng minh đẳng thức sau : − 2sin x.cos x a) sin x + cos x = − 3sin x.cos x b) sin x + cos x = c) sin x − cos x = − cos x Bài 17 Cho 00 < x < 900 Chứng minh đẳng thức sau : 24 a) − cos x sin x = sin x + cos x b) sin x + cos x + = + cos x sin x sin x c) sin x + cos x − cos x = − cos x sin x − cos x + 25 = AH 2,= 4; BC 5; HƯỚNG DẪN GIẢI CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG VẤN ĐỀ Bài Hình= 1: x 3,6; = y 6, 4; 35 74 = ;y 74 4; HC 9,6 Bài= BH 5,= 5; CH Bài= BH 4,= Bài= x = 5; y = cm; CH 3, cm; Bài= a) BH 1,8 Hình= 2: x 7,= 2; y 12,8; Hình 3: x = b) = AB 15; = AC 20; = BC 25; = AH 12 74 Bài = a) BH 1,8; = CH 3, 2; = AH 2,= cm; AC cm; = = cm; AC 156 cm; b) AB 65 = BC 169 = cm; BH 25 cm; c) AB = 5cm ; BC = 13cm ; BH = 25 144 cm ; CH = cm 13 13 VẤN ĐỀ Bài BH = 50cm ; CH = 72cm Bài BH = 9cm ; CH = 16cm 32 225 cm ; CH = cm Bài BH = 17 34 Bài 10 a) AB = 7, 5cm ; AC = 10cm ; BC = 12, 5cm ; HC = 8cm b) ) ∆CMN ∽ ∆CDE ( c.g.c )  chung CM = CN C CE CD Bài a) ∆ADI = ∆CDL ( g c g ) ⇒ DI = DL ⇒ ∆DIL tam giác cân ; b) AH = 3cm ; b) AC = 3cm ; CH = 9cm 1 1 + = 2+ = 2 DI DK DL DK DC ( ) ( ) Bài a) AB2 + CH = BH + AH Bài 11 S = 150cm2 Bài 12 a) AH = 3,6cm +CH = BH + AH + CH b) BH = 4,8cm ; CH = 2,7 cm Bài 13 Đường cao : 6,72 ; Độ dài hai đoạn chia cạnh huyền : 1,96 ; 23,04 75 Bài 14 HB = cm ; CH = 21cm Bài 15 AB = 9cm ; BC = 20cm ; BD = 15cm Bài a) BD = 17 ; b) AH = ( = CM CE = CN CH ; Bài a) CD 120 ; = BH + AC ; b) Làm tương tự câu a) 1, có ( ) AM = AB AN = AC AH Bài 1 + = + ⇒ đpcm 2 BD OA OB AC c) ∆BHI ∽ ∆IKC ( g.g ) =  ⇒ HBI IKC 26 ⇒ ∆HKD ∽ ∆HBI ( g.g ) ⇒ HK HD = HB HI ⇔ HK.HI = HD.DB = AH Bài a) OB 9= = ( cm ) ; OD 16 ( cm ) b) OA = 12 ; AC = c) SABCD = Bài a) 1250  AB  AC  AB  = =     AC  AB  AC  b) BC.BE.CF = BC 100 ; = ( cm ) = FB HB2 HC = : FC AB AC Bài a) AH đường trung bình ∆BCD ⇒ BD = AH 1 1 + = + b) = 2 2 BC AH BK BC BD VẤN ĐỀ Bài a) DE = 6cm ; b) Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH ; c) S = 19, 5cm2 AB2 HB.BC HB Bài a)= = AC HC.BC BC b)  AB2 AC  AC = :   BC BC  AB 2 ED HB HC = : EC AB AC  AB  AC  AB  = =     AC  AB  AC  c) BE.CF.BC = = ( HB.HC ) HB2 HC AB AC BC ( HB.HC ) AB AC AH AH = AH BC BD = +1 CE2 CE2 ⇔ BC  AB  =   +1 CE2  AC  ⇔ BC  BC  BC  BC  = =   AC  ⇔ CE  CE    AC  ⇔ 2 3  AC  CE ⇔ =  AC  BC  CE AC HC = ⇔ sin ABC = AC AC  (đpcm) = cos ACB  AB AC  AC = :   BC BC  AB Bài a) BH = 3,6cm ; CH = 6cm ; AH = 4,8cm ; BC = 10cm HB2 HC BC AB AC BC AB AC b) BH = 3,6cm ; CH = 6, 4cm ; AH = 4,8cm ; AC = 8cm Bài Cạnh huyền : 100 cm ; Các cạnh góc vng : 60 cm 80 cm Bài HB = 22, 4cm ; HC = 12,6cm DE3 ; = AH = AH = AH BC d) 3= BD + CE2 27 = Bài S 34560 ≈ 204, 5cm2 169 Bài a) AB = 4cm ; AB = 5cm ; AC = 5cm ; BC = 10cm 281 cm ; AC = 281cm ; 16 281 25 BC = cm ; BH = cm 16 16 b) AB = Bài BH = 9cm ; BH = 16cm Bài 12 a) BC = 6cm ; CK = 4,8cm ; BK = 3,6cm ; AK = 6, 4cm = CK = CA.CI b) CB.CH 1 + c) = 2 KM HK KI = AI KA KB2 d) = : BH AC BC Bài Tương tự Bài  AC BC  BC = :   AB AB  AC 35 + 21 ≈ 81.95 ( cm ) Bài 10 P = VẤN ĐỀ ; OK = 41 ; OH = B Bài a) sin= sinC = sinC = 12 ≈ 0,9231 ; 13 ≈ 0, 3846 13 B b) sin=  AC  BC  AC  = =     BC  AC  BC  Bài 11 S = 1500cm2 Bài sin B = 1 + 2 CH CI ≈ 0,7559 ; ≈ 0,6547 tan C = 10 ; ; = B cosC = Bài sin cos = B sin = A ; tan = B cot = C ; 4 Bài 7.a) Vì HN = 18 13 13 cos = B sin = A 15 ; b) sin = B cos = C tan = B cot = A ; cos = B sin = C 15 ; tan = B cot = C ; cot = B tan = A ; Bài AC = ; BC = 89 cot = B tan = C Bài a) Vì OK = 2 b) sin = B cos = A Bài cos C = 0,8 ; sin C = 0,6 ; cot C = 10 ; 28 cot = B tan = C Bài cos C = 0,8 ; sin C = 0,6 ; cot C = ; 3 tan C = Bài AC = Bài 11 AC = 72 ; BC = 12 61 Bài 12 sin α = cot α = ; tan α = ; 12 13 ; BC = 2 Bài 10 O ∈ Ay Bài 13 a) AC = ; BC = 15 b) ANBM hình chữ nhật AN // BM ; AN = BM c) ∆MAB ∽ ∆ACB ( g.g ) VẤN ĐỀ Bài a) sin 20 < sin 70 ; b) cos 60 > cos 70 ; c) tan 730 20' > tan 450 ; d) cot 20 > cot 37 40' 29 c) Độ dài hai cạnh góc vng 2, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α; Bài a) cot 710 ( = tan 190 ) < cot 69 015'( = tan 20 85') < tan 28 < tan 38 < tan 42 ; d) Độ dài hai cạnh góc vng 5, góc đối diện với cạnh góc vng có độ dài góc α b) cos 79 13 ' = sin 10 87 ' 0 < sin 320 < sin 360 = = 5cm; AC 12, 5cm Bài BC 32, < cos 510 = sin 390 Bài a) sin 40 < sin 70 ; 12 = ; sin C 13 13 = sin B Bài a) b) cos 80 < cos 50 ; d) cot 530 < cot 37 40' < tan 12 < tan 28 21 Bài Dựng tam giác vng có: Bài a) cot 79 15 ' = tan 10 85 ' = ; sin C = b) sin B c) tan 730 20 ' > tan 650 ; a) Độ dài cạnh góc vng 1, cạnh huyền 2, góc đối diện với cạnh góc vng góc α ; < cot 610 ( = tan 29 ) < tan 58 ; b) Độ dài cạnh góc vng 2, cạnh huyền 3, góc cạnh góc vng cạnh huyền góc α ; b) cos 850 < cos 67 ( = sin 230 ) < cos 630 41'( = sin 26 59') < sin 56 < sin 74 c) Độ dài hai cạnh góc vng 5, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α ; Bài Dựng tam giác vng có: a) Độ dài cạnh góc vng 3, cạnh huyền 5, góc đối diện với cạnh góc vng góc α ; d) Độ dài hai cạnh góc vng 4, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α b) Độ dài cạnh góc vng 4, cạnh huyền 7, góc cạnh góc vng cạnh huyền α; Bài 10.a) cos 62 ( sin 28 ) < sin 34 = < sin 350 < sin 450 c) Độ dài hai cạnh góc vng 2, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α ; < cos 28 ( = sin 62 ); b) cos 650 30'( = sin 24 070') < cos 59 ( = sin 310 ) d) Độ dài hai cạnh góc vng 6, góc đối diện với cạnh góc vng độ dài góc α < sin 47 < cos 37 ( = sin 530 ) < sin 72 Bài Dựng tam giác vng có: a) Độ dài cạnh góc vng 2, cạnh huyền 3, góc đối diện với cạnh góc vng góc α ; Bài 11 a) A = b) Độ dài cạnh góc vng 2, cạnh huyền 5, góc cạnh góc vng cạnh huyền góc α ; Bài 12 cos α = 30 ; b) B = , tan α = , Bài AN ≈ 3,65cm; AC ≈ 7, 3cm cot α = Bài 13 TươngtựBài 14 Vấnđề Bài a) CH = 3cm; Bài 14 a) A = ; b) B = 2, = AC 3; sin 80 ≈ 5, 28cm Bài 15.Góc 2α góc AMH = b) S a) AH AH = AM BC AB AC sin α cos α ; = 2.= BC Bài S ≈ 5,09cm2 sin= 2α 1+ b) + cos 2α = Bài S = 7,66cm2 = Bài a) c ≈ 3,12; a ≈ 6, 24; B 60 HM HC = AM AM b) a = 10 HC AC = 2= = cos α ; BC BC 1− c) − cos 2α = = Bài 10 a) c = b) a HB AB = 2= = sin α BC BC 12  62 ; a ≈ 9, 4cm;  = 50 b) = A C b) b 20.sin 350 ≈ 11, 48; =  61;  28,07 = A = 930 ; C = c 20.cos 350 ≈ 16, 38 Bài 12 S ≈ 509,08cm2 Bài 13 S =  ≈ 41,8 ⇒ C  ≈ 48, ⇒B = 193; tan B = 193; tanB Bài 11 a) a ≈ 5,14cm; b ≈ 6,13cm; 20 10 ;c Bài= a) a = 3 = b) a  ≈ 59,7 ⇒ C  ≈ 30, 30 ⇒B VẤN ĐỀ = 115; sin B = 115; sin B  ≈ 41,8 ⇒ C = ⇒B 48, HM HB = AM AM = Bài a) c 3.6,92 ≈ 17,98cm2 24 + cm3 = = cm; AC 20 cm; Bài 14 a) AB 15 12 = BC 25 = cm; AH 12 cm; b) ADHE làhìnhchữnhật;  ≈ 59,7 ⇒ C  ≈ 30, 30 ⇒B c) S 69,12 = = cm2 ; P 33,6 cm  ≈ 53,10 ; C  ≈ 36,9 ; Bài a) a = 35; B  53,130 ; Bài 15 a) = AC 4= cm; B  ≈ 41,8 ; C  ≈ 48, b) c = 8; B  = 36,87 ; C = Bài a) b ≈ 2,95; a ≈ 4,69; C 49 = 25 cm; BD 3,75 cm; b) AD 2,=  =30 b) c ≈ 9, 53; b =5, 5; B 31 b) AMBN hình chữ nhật BD BA = BE.BC c) BF.=   = ABM  = NMB ⇒ CBM VẤN ĐỀ Bài 1.Chiều cao ≈ 6,75 m = Bài 2.Độ dài ⇒ MN / / BC (so le trong) 2,1 ≈ 4, m sin 28 AMBN hình chữ nhật ⇒ MN =AB = BC Bài 3.Chiều cao 5.tan 50 ≈ 5,96 m = 1   = ABM = ABC c) CBM  ≈ 59 44' Bài BCA Bài a) AE= AC AH = AD AB  = 30 = ACB ⇒ ∆ABC  ∆AED ( c - g - c ) ; ⇒ ∆MAB  ∆ABC ( g- g ) b) DE = cm Tỉ số đồng dạng :  = 56 ; c) ABC d) SADE = Bài 9.Tương tự Bài 54 cm 13 = CG = Bài a) Vì EF  < 90 , Bài 10 a) Giả sử tam giác ABC có A kẻ đường cao BH AB;  Ta có : BH = AB.sin A EF  CG  AB; ⇒ S∆ABC = BH AC b) CF ⊥ BE mà EG  CF = ⇒ EG ⊥ BE ⇒ BEG 90 c) SABCD = d) AC = = Bài BD AB = BC  ⇒ S∆ABC = AB AC.sin A h2 ; sin α cos α b) ABCD hình bình hành  < 90 , ∆ABD = ∆CBD , có A h sin α cos α  ⇒ SABCD = 2S∆ABD = AB AD.sin A 21 ≈ 22,73 cm cos 22, 50 ÔN TẬP CHỦ ĐỀ cm; AC cm Bài 8.= a) AB 5= 32 Bài a) BC = 13cm ; AH = 18 13 12 13 cm ; BH = cm ; 13 13 27 13 cm 13 = = cm; AC 20cm; b) BC 25 = HC 16 = cm; AH 12cm 132 c) AB 33 = = cm; AH cm; 99 176 = BH = cm; CH cm 5 cm; CH 16cm; Bài a)= Đặt BH 9= = AB 15 = cm; AC 20cm  ≈ 73,74 b) AMH CH = c) SAHM = 84cm2 Bài 3.a) CH = 3cm; ≈ 10, 55cm; sin 80 ( + 1,83 ) S∆ABC = b) ≈ 40,69cm2 12 Bài= 4.a) BC 5= cm; AH cm  ≈ 53,130 ; C  ≈ 36,87 b) B = AC 15 20 = cm; CE cm 7 Bài 5.a) AE= AB AH = AE AC b)= AE = ; BE ; 4 c) BE = Bài a) ∆ABE = ∆ADF ( g.c.g ) ⇒ AE = AF   b) F chung ,  FAK = FCA = 450 ⇒ ∆AKF ∽ ∆CAF ( g − g ) cm Bài a) i) NF = 15cm;  ≈ 48, 59 ; MNF = MFN 41, 410 c) FC = ii) = MO iii) SFNE 36 48 = ; FO 5 = 96cm2 S∆FOH FO FH = = S∆FNE FN FE 25 34, 56cm2 ⇒ S∆FOH = b) ∆MFN ∽ ∆FEM ( g − g ) MF MN = ⇔ MF = MN FE FE FM Bài a) Vì DE2 + DF = FE2 24 32 b) DK = = cm; FK cm 5 18  90 ; c) EK = = cm; DKE  = KDE ≈ 36 52' ; KED 530 8' ⇒ 30 40 = cm; MF cm 7  DK  DE e) sin DFK , sin DFE = = DF EF DK DE ⇒ = ⇔ DE.DF = DK.EF DF EF Bài = 8.a) AB 3= cm; AC 3cm AB AB  b) = = cos ABC BD BC  AC ; = cos = 60 cos= ACD CD 1 c) = + 2 AH AC AD 24 Bài 12 a) cos α = ; tan α = ; cot α 24 = 24 d) ME = AF CF = ⇔ AF = KF.CF ; KF AF 93 c) S∆AEF = cm2 ; b) cos α = ⇒ cot α = 33 ; tan α = 2 ; 1 + 2 AE AJ 1 = + = = const AF AJ AD c) cot α = d) AE =AF ⇒ ( Bài 10 a) cos 70 = sin 20 < sin 24 < sin 54 ( ) ) < cos 350 = sin 550 < sin 78 ; ( b) tan 16 = cot 74 0 ) ' < cot 57 67 < cot 30 ( ) < cot 24 < tan 80 = cot 10 Bài 11 a) cos 20 < sin 650 ( ) = cos 250 < cos 28 ( ) sin α = ± 1 ; d) tan α = ; sin α = ± 10 cos α = ± 10 Bài 13 tan α = ⇒ α ≈ 60 015' Bài 14 6, 28cm Bài 15 a) A = b) B sin α + sin α = Bài 16 a) sin x + cos x ( < sin 40 = cos 50 < cos 88 ( b) cot 67 018' = tan 22 42' ( ) ' < tan 32 48 < tan 56 32 ) = sin x + cos x − sin x cos x ) = − sin x cos x; b) sin x + cos6 x tan 610 24' < cot 28 36' = 1 ; cos α = ± ; = ' ( sin x + cos x ( ) −3 sin x cos x sin x + cos x ) = − sin x cos x c) sin x − cos x ( )( = sin x − cos x sin x + cos x ) = − cos x − cos x sin x = sin x + cos x ⇔ ( − cos x )( + cos x ) = sin x Bài 17 a) ⇔ sin x + cos x = b) VT = = sin x + ( + cos x ) sin x ( + cos x ) + cos x = VP; sin x ( + cos x ) c) Biến đổi tương đương tương tự câu a CHỦ ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN VẤN ĐỀ Bài a) Goi O trung điểmcủa BC ⇒ O tâm đườngtrònđi qua Bài MNPQ hình chữ nhật tâm O ⇒ M , N , P , Q thuộc ( O; OM ) Bài 5.Gọi E , F , P , Q trung điểm MA , MB, MC , MD Chứng minh tứ giác EFPQ có hai góc đối có tổng 180 ⇒ E , F , P , Q thuộc đường tròn Bài Trong hình thoi, đường chéo Trung trực đường chéo Do đó, điểm E giao điểm hai đường trung trực hai cạnh AB AC Nên E tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Tương tự, F tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD  Bài a) Ta có: ACD = 90 ⇒ C thuộcđường trịnđườngkính AD 34 A , B, C ; b) OA = OB = OC ⇒ OA = BC ⇒ ∆ABC vuông A Bài 2.Goi O trung điểm BC Chứng minh: B, C , D , E nằm  BC   O;    Chứngminh ABD = 90 ⇒ B thuộc đường trịn đường kính AD ⇒ B, C thuộc đường trịn đường kính AD ; b) AD = 10cm Bài8 a)Gọi O trungđiểm BC   Mà D ∈  O; BC    ⇒ OB = OC = OD ⇒ ∆BDC vuông D ⇒ CD ⊥ AB Tương tự ⇒ BE ⊥ AC ; b) Xét ∆ABC có K trực tâm ⇒ AK ⊥ BC Bài a) IFEK hình bình hành tâm O có: CH ⊥ IK , KE / /CH ⇒ IK ⊥ KE ⇒ IFEK hình chữ nhật ⇒ I , F , E, K thuộc ( O; OI ) b) Chứng minh KD ⊥ DF ⇒ ∆KDF vuông 35 ... ĐỀ 32 CHỦ ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VẤN ĐỀ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG (PHẦN 1) A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi... 15 VẤN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG (PHẦN I) A TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Cho tam giác ABC vng A có = BC a= , AC b= , AB c Ta có : • Trong tam giác vng : = b a= sin B a.cos C ;... CÁC DẠNG TOÁN Dạng Giải tam giác vuông Phương pháp giải: Giải tam giác tính độ dài cạnh số đo góc dựa vào kiện cho trước tốn Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức cạnh góc tam giác vng sử dụng máy